Phương pháp tính thể tích

Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền Phần I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ Trong trường phổ thông, Hình học không gian là bài toán rất khó đối với học sinh, do đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thiết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài toán. Cả chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích khối đa diện( thể tích khối chóp và khối lăng trụ ) Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành hai dạng như sau: Cho hình chóp Thông thường bài toán về hình lăng trụ: Cho hình lăng trụ: ( Sưu tầm và biên soạn ) PP Tính thể tích khối đa diện Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. A C B S Đa giác đáy: - Tam giác: vuông, cân, đều, …. - Tứ giác : Vuông, chữ nhật, … Hình chóp đều. A C B S O - Hình chóp tam giác đều - Hình chóp tứ giác đều Lăng trụ đứng 1 1 1 .ABC A B C 1 ( )A A ABC⊥ Lăng trụ xiên 1 1 1 .ABC A B C 1 ( )AG ABC⊥ Trường : THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền Phần II. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN A. MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC VÀ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A ta có - BC = 2 AM - Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông : µ = = Ñoái sin Huyeàn b B a ; µ = = Keà cos Huyeàn c B a ; µ = = Ñoái tan Keà b B c 2. Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lí hàm số côsin : 2 2 2 2 . osAa b c bc c= + − * Định lí hàm số sin : 2 sin sin sin a b c R A B C = = = ( R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC∆ ) 3. Cấc công thức tính diện tích: a. Công thức tính diện tích tam giác: - 1 . . 2 ABC S BC AH ∆ = - µ ( ) ( ) 1 . . . . .sin . .( ) 2 4 ABC a b c S AB AC A p r p p a p b p c R ∆ = = = = − − − Với 2 a b c p + + = * Đặc biệt: + Diện tích tam giác vuông: 1 . . 2 ABC S AB AC ∆ = + Tam giác cân: - Đường cao AH cũng là đường trung tuyến - Tính đường cao và diện tích µ .tanAH BH B= 1 . . 2 ABC S BC AH ∆ = ( Sưu tầm và biên soạn ) PP Tính thể tích khối đa diện - Định lý pitago: - - - _h _H _A _B _C _ M b c a b’c’ A B C H c a b C B A Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền + Tam giác đều - Đường cao của tam giác đều = = 3 . 2 h AM AB ( đường cao h = cạnh x 3 2 ) - Diện tích : 2 3 ( ) . 4 ABC S AB ∆ = b) Hình vuông: S = cạnh x cạnh c) Hình chữ nhật: S = dài x rộng d) Diện tích hình thoi: S = 1 2 ( chéo dài x chéo ngắn ) e) Diện tích hình thang: S = 1 2 ( đáy lớn + đáy nhỏ ) x chiều cao f) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao i) Diện tích hình tròn : S = 2 R π B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. 1. Kiến thức cơ bản thường sử dụng: • Định lý 1 : ( ) ( ) ; , , a b a b P d P d a d b ∩ ∈   ⇒ ⊥  ⊥ ⊥   • Định lý 2 : Nếu ( ) d P⊥ ⇒ d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P). • Định lý 3 : ( ) ( ) // ' ' d d d P d P   ⇒ ⊥  ⊥   • Định lý 4 : ( ) ( ) ( ) ( ) d Q Q P d P ⊂   ⇒ ⊥  ⊥   • Định lý 5 : ( ) ( ) ( ) ( ) , P Q d Q d P d ∩ = ∆   ⇒ ⊥  ⊂ ⊥ ∆   • Định lý 6 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q P R R Q R ∩ = ∆  ⊥ ⇒ ∆ ⊥   ⊥  ( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện B A G C M Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cách xác định góc − Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P): o Tìm hình chiếu d / của d lên mặt phẳng (P) o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d / Ví dụ: A C B S Xác định góc giữa SB và (ABC) Ta có AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) ⇒ · · · ( ,( )) ( , )SB ABC SB AB SBA= = 3. Góc giữa hai mặt phẳng A C B S M O Xác định góc giữa (SBC) và (ABC) Ta có : · · · ( ) ( ) (( ),( )) ( , ) SBC SABC BC SM BC SBC ABC SM AM SMA AM BC ∩ =   ⊥ ⇒ = =   ⊥  Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. ( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền C. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: + Thể tích khối chóp = 1 . . 3 V B h Trong đó : B là diện tích đa giác đáy h : là đường cao của hình chóp. + Diện tích xungt quanh: xq S = Tổng diện tích các mặt bên + Diện tích toàn phần : tp xq S S= + diện tích đáy. Các khối chóp đặc biệt : − Khối tứ diện đều: + Tất cả các cạnh đều bằng nhau + Tất cả các mặt đều là các tam giác đều + O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO ⊥ (BCD) − Khối chóp tứ giác đều + Tất cả các cạnh bên bằng nhau + Đa giác đáy là hình vuông tâm O + SO ⊥ (ABCD) D. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ : + Thể tích khối lăng trụ = .V B h B: diện tích đáy h : đường cao ( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện h S B A C H O C D B A S H A1 B C A B1 C1 G _ b _A _C _D _M _O Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền E. TỶ SỐ THỂ TÍCH - Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau: + Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo công thức + Cách 2 o Xác định đa giác đáy o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho + Cách 3: dùng tỷ số thể tích Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S Ta có : . . . . S MNK S ABC V SM SN SK V SA SB SC = Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên ( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện n B C A S N K M Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền PHẦN III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH THƯỜNG GẶP DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY. Phương pháp: + Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích. + Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết. Ví dụ mẫu 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải:  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông  Lời giải: Ta có : AB = a 2 , AC = a 3 SB = 3a . * ∆ ABC vuông tại B nên 2 2 BC AC AB a= − = ⇒ 2 ABC 1 1 . 2 S . . 2. 2 2 2 a BA BC a a ∆ = = = * ∆ SAB vuông tại A có 2 2 SA SB AB a= − = * Thể tích khối chóp S.ABC 2 3 . 1 1 . 2 . 2 . . . . 3 3 2 6 S ABC ABC a a V S SA a= = = Ví dụ mẫu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên (ABCD)  Lời giải: * Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a , ( ) SC ABCD AC hc= ⇒ · · · ( ,( )) ( , ) 60 o SC ABCD SC AC SCA= = = * Diện tích hình vuông ⇒ 2 ABCD S a= * ∆ SAC vuông tại A có AC= 2a , µ 0 60C = ⇒ .tan 60 6 o SA AC a= = * Thể tích khối chóp S.ABCD 3 2 . 1 1 . 6 . . . . 6 3 3 3 S ABCD ABCD a V S SA a a= = = ( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện A C B S 60 A B D C S Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền Ví dụ mẫu 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Sai lầm của học sinh: − Gọi M là trung điểm BC − Ta có AM ⊥ BC SM ⊥ BC ⇒ · · · (( ),( )) ( , ) 60 o SBC ABC SM AM SMA= = = (Hình vẽ sai)  Lời giải đúng: * Ta có : AB = 3a , (SBC) ∩ (ABC) = BC AB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vuông tại B) SB ⊥ BC ( vì ( ) SB ABC AB hc= ⇒ · · · (( ),( )) ( , ) 60 o SBC ABC SB AB SBA= = = * ∆ ABC vuông tại B có AB = 3a ,BC =a ⇒ 2 ABC 1 1 . 3 S . . 3. 2 2 2 a BA BC a a ∆ = = = * ∆ SAB vuông tại A có AB= a, µ 0 60B = ⇒ .tan 60 3 o SA AB a= = * Thể tích khối chóp S.ABC 2 3 . 1 1 . 3 . 3 . . . .3 3 3 2 2 S ABC ABC a a V S SA a= = =  Nhận xét: − Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60 o , do đó mất điểm. − Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến. ( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện 60 M S B C A 60 S B C A Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền BÀI TẬP VẬN DỤNG: 01 Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a. ĐS. 3 2 12 a V = 02 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 5a .Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS. 3 . 3 3 a V = 03 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS. 3 . 2 6 a V = 04 Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = 2a, ( )SA ABC ⊥ , góc giữa SB và mặt đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 3 6 3 a V = 05 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , · 0 AC 120B = ,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS. 3 2 . 3 3 a V = 06 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, · 0 60ACB = , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. 07 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3,AC 2a= = , góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 3 3 2 a V = 08 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một góc 30 0 . Gọi M là trung điểm SB. Tính thể tích khối chóp M.ABC. ĐS. 3 3 9 a V = 09 Cho hình chóp S.ABC có SB = 2a ,AB=AC = a, · 0 60BAC = , Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 3 3 12 a V = 10 Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại Bvới AC = a, biết ( )SA ABC ⊥ và SB hợp với đáy một góc 0 60 . Tính thể tích của khối chóp. ( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS. 3 6 a V = b) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( AB’C’). c)Tính thể tích khối chóp S.AB’C’. ĐS. 3 36 a V = 11 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 3 3 2 a V = 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 3 2 12 a V = 13 Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a , biết SA (ABC) ⊥ và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60 o . Tính thể tích khối chóp SABC. ĐS. 3 V a= 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 3 4 a V = 15 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM. ĐS. 3 3 6 a V = , 3 3 2 a V = 16 . Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD ⊥ và SA a = .Tính thể tích khối chóp .S BCD theo a. ĐS. 3 6 a V = 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB). ĐS. 3 3 , 2 3 AMB a V V d a S = = = V ( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện [...]... 6 ; S xq = a 2 6 ( 6 10 6 + 10 ; Stp = a 2 + + 1ữ 2 ữ 2 ) DNG 2 : TH TCH CA KHI HP ( Su tm v biờn son ) PP: Tớnh th tớch khi a din Trng: THPT Nguyn Th Minh Khai Giỏo viờn : Khng Thanh Hin 01 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 2,chiều dài bằng 3 và chiều cao bằng 4 02 Tớnh th tớch ca khi hp ch nht cú chiu rng bng 1, chiu di bng 3 v ng chộo ca hỡnh hp hp vi ỏy mt gúc bng 300 . TOÁN TÍNH THỂ TÍCH THƯỜNG GẶP DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY. Phương pháp: + Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích. + Tìm diện tích. O + SO ⊥ (ABCD) D. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ : + Thể tích khối lăng trụ = .V B h B: diện tích đáy h : đường cao ( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện h S B A C H O C D B A S H A1 B C A B1 C1 G _ b _A _C _D _M _O Trường:. PP: Tính thể tích khối đa diện Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền C. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: + Thể tích khối chóp = 1 . . 3 V B h Trong đó : B là diện tích