Biến đổi fourier và biến đổi laplace

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F —————— —————— ——————– —————–FF TRẦN THỊ MINH THÙY BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F —————— —————— ——————– —————–FF TRẦN THỊ MINH THÙY BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG VINH - 2009 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Biến đổi Fourier 1.1 Các kiến thức chuẩn bị 1.2 Chuỗi Fourier 1.3 Tích phân Fourier 15 1.4 Biến đổi Fourier 19 1.5 Ứng dụng biến đổi Fourier 27 Chương Biến đổi Laplace 31 2.1 Biến đổi Laplace 31 2.2 Tính chất ảnh 34 2.3 Tích chập 39 2.4 Biến đổi Laplace ngược 41 2.5 Ứng dụng biến đổi Laplace 45 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết toán tử hướng nghiên cứu Giải tích hàm Giải tích phức Khi nghiên cứu phép tính tốn tử người ta đưa khái niệm tính chất biến đổi Fourier biến đổi Laplace Các biến đổi hữu ích việc giải phương trình vi phân, giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình thường xuất toán Vật lý, Điện tử, Qua hai phép biến đổi ta chuyển phương trình phức tạp phương trình đơn giản Vì việc tiếp cận tìm hiểu biến đổi Fourier biến đổi Laplace điều bổ ích cần thiết Do chúng tơi chọn đề tài cho luận văn là: "Biến đổi Fourier biến đổi Laplace" Mục đích chúng tơi dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu nghiên cứu tính chất biến đổi Fourier biến đổi Laplace với vài ứng dụng chúng Với mục đích đó, luận văn trình bày hai chương Chương Biến đổi Fourier Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày số khái niệm kết cần dùng luận văn, khái niệm tích phân suy rộng, tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối, tích phân hàm biến phức, định lý Cauchy cho miền đơn liên, định lý Morera, chuỗi Laurent, khái niệm điểm bất thường cô lập, thặng dư, Tiếp theo, chúng tơi trình bày số vấn đề chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Biến đổi Laplace Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất ứng dụng phép biến đổi Laplace Các kết luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo Chúng tơi tìm hiểu, trình bày theo bố cục Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu chứng minh vắn tắt bỏ qua chứng minh Bên cạnh đó, chúng tơi đưa số kết Định lý 1.4.2, Mệnh đề 1.4.10, Ví dụ 2.1.2 Luận văn thực hồn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn, Ban Chủ nhiệm khoa Sau đại học, tất thầy giáo mơn Giải tích giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tạo điều kiện động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy bạn đọc góp ý để luận văn ngày hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an CHƯƠNG BIẾN ĐỔI FOURIER 1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.1 Định nghĩa Cho a ∈ R f : [a, +∞)→R hàm khả tích đoạn [a, b] với b ≥ a Khi đẳng thức Zb F (b) = f (x)dx, b≥a (1) a xác định hàm F : [a, +∞)→R Nếu hàm F (1) có giới hạn I (hữu hạn vơ hạn) b→ + ∞ I gọi tích phân suy rộng +∞ R Rb hàm f [a, +∞) ký hiệu f (x)dx = lim f (x)dx b→∞ a a Nếu I tồn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng +∞ R f (x)dx hội tụ a I viết +∞ R f (x)dx = I a Nếu I không hữu hạn không tồn giới hạn lim F (b) ta nói tích b→∞ phân suy rộng +∞ R f (x)dx phân kỳ a Tương tự ta có định nghĩa sau 1.1.2 Định nghĩa Cho f : (−∞, a]→R hàm khả tích đoạn [b, a], b ≤ a Tích phân suy rộng hàm f (−∞, a] giới hạn có Za lim Za f (x)dx = b→−∞ f (x)dx −∞ b 1.1.3 Định nghĩa Cho f : (−∞, ∞)→R khả tích đoạn hữu hạn Tích phân suy rộng hàm f (−∞, +∞) +∞ +∞ Z Za Z f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx ∞ −∞ a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an với a ∈ R vế phải có nghĩa 1.1.4 Định nghĩa Tích phân suy rộng +∞ R f (x)dx gọi hội tụ tuyệt a đối tích phân Nếu tích phân +∞ R a +∞ R |f (x)|dx hội tụ f (x)dx hội tụ tuyệt đối hội tụ a 1.1.5 Định nghĩa Cho hàm W = f (z) xác định miền D, nhận giá trị C z0 ∈ D Hàm f gọi giải tích z0 tồn lân cận U z0 cho f khả vi z ∈ U Hàm f gọi giải tích miền D giải tích z ∈ D 1.1.6 Định nghĩa Giả sử γ đường cong R2 (trong C) f : γ→C với f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ γ Ta gọi tích phân f γ biểu thức Z Z Z u(x, y)dx + v(x, y)dy + i v(x, y)dx − u(x, y)dy := f (z)dz γ γ γ 1.1.7 Định lý (Cauchy) Giả sử D miền đơn liên C hàm f giải tích D Khi tích phân f đường cong đóng nằm D 1.1.8 Định lý (Morera) Cho f hàm liên tục miền đơn liên D tích phân f theo đường cong đóng D Khi f hàm giải tích D Giả sử với số nguyên k, fk hàm xác định tập A Ta gọi ∞ P chuỗi hàm fk (z) A tổng hai chuỗi hàm k=−∞ −1 X k=−∞ fk (z) = ∞ X f−k (z) k=1 ∞ X k=0 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn fk (z) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Như ∞ X fk (z) = k=−∞ −1 X fk (z) + k=−∞ ∞ X fk (z) k=0 1.1.9 Định lý (Laurent) Cho hàm f giải tích hình vành khăn V = {z ∈ C : r < |z − z0 | < R}, ≤ r < R ≤ ∞ Khi V ta có f (z) = ∞ X ak (z − z0 )k , (1) k=−∞ hệ số ak tính theo cơng thức Z f (η) ak = dη, 2πi (η − z0 )k+1 Cρ Cρ đường trịn tâm z0 , bán kính ρ với r < ρ < R 1.1.10 Định nghĩa Chuỗi (1) Định lý 1.1.9 gọi khai triển Laurent hay chuỗi Laurent hàm f hình vành khăn {z ∈ C : r < |z − z0 | < R} Trường hợp r = 0, chuỗi (1) hội tụ hình trịn thủng {z ∈ C : < |z − z0 | < R}, ta gọi (1) khai triển Laurent f lân ∞ P ak z k hội tụ miền cận z0 Trường hợp z0 = 0, R = ∞, chuỗi k=−∞ |z| > r đến hàm f gọi khai triển Laurent f lân cận ∞ 1.1.11 Định nghĩa Điểm z0 gọi điểm bất thường cô lập hàm f f không xác định z0 xác định giải tích hình tròn thủng < |z − z0 | < R, R > 1.1.12 Định nghĩa Giả sử z0 điểm bất thường cô lập hàm f Khi tồn R > cho f giải tích hình trịn thủng < |z −z0 | < R Ký hiệu Cρ đường tròn tâm z0 , bán kính ρ Ta gọi thặng dư f điểm z0 res[f (z), z0 ] = 2πi Z f (z)dz, < ρ < R Cρ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.13 Định lý (a) Nếu z0 ∞-điểm đơn hàm f res[f (z), z0 ] = lim (z − z0 )f (z) z→z0 (b) Nếu f (z) = ϕ(z) , ψ(z) ϕ ψ hàm giải tích z0 thỏa mãn ϕ(z0 ) 6= 0, ψ(z0 ) = 0, ψ (z0 ) 6= res[f (z), z0 ] = ϕ(z0 ) ψ (z0 ) (c) Nếu z0 ∞- điểm cấp m hàm f dm−1 [(z − z0 )m f (z)] res[f (z), z0 ] = lim (m − 1)! z→z0 dz m−1 1.1.14 Định lý Cho hàm f giải tích miền D trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập z1 , z2 , , zn Khi với chu tuyến γ cho {z1 , z2 , , zn } ⊂ D ⊂ γ có Z n X f (z)dz = 2πi res[f (z), zj ] j=1 γ 1.1.15 Định lý Cho số thực a > hàm f giải tích tồn mặt phẳng trừ hữu hạn điểm bất thường cô lập có phần thực khác a với lim f (z) = z→∞ Khi với t > ta có I(t) = 2πi a+i∞ Z tz e f (z)dz = n X   res eitz f (z), zj , j=1 a−i∞ {z1 , z2 , , zn } tập điểm bất thường lập f (z) có phần thực nhỏ a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.2 CHUỖI FOURIER 1.2.1 Định nghĩa Ta gọi hàm n a0 X P (x) = + (ak coskx + bk sinkx), ∀x ∈ R k=1 đa thức lượng giác, a0 , ak , bk ∈ R, k = 1, 2, 1.2.2 Định nghĩa Giả sử f : [−π, π]→R hàm khả tích Đặt ak = π Zπ f (x) cos kxdx, k = 1, −π bk = π Zπ f (x) sin kxdx, k = 1, 2, (1) −π Ta gọi ak , bk , k = 1, 2, hệ số Fourier hàm f gọi chuỗi ∞ a0 X + (ak coskx + bk sinkx) k=1 chuỗi Fourier hàm f Khi ta viết ∞ a0 X (ak coskx + bk sinkx) f (x) ∼ + (2) k=1 1.2.3 Nhận xét Nói chung chuỗi Fourier hàm f chưa hội tụ hội tụ chưa biết tổng có hàm f hay khơng? Do có vấn đề đặt với điều kiện chuỗi Fourier hội tụ tới hàm f ? Sau ta giải vấn đề Đặt n a0 X Sn (f, x) = + (ak coskx + bk sinkx) k=1 Ta có Sn (f, x) = 2π Zπ −π Zπ n X f (u)du + f (u)(cos ku cos kx + sin ku sin kx)du π k=1 −π Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 0 = [uf (x + θ1 u) − uf (x − θ2 u)] du (0 ≤ θ1 , θ2 ≤ 1) π sin u2 ≤ π Zδ u 2M du = M δ π2 u2 Với ϕ > tùy ý cho, chọn δ > đủ nhỏ để f (u) liên tục khoảng < δ < ϕ 2M Ta có |I1 | < ϕ (4) Trên đoạn [δ, π] hàm f (x + u) − f (x+ ) + f (x − u) − f (x− ) φn (u) = sin u2 trơn khúc nên theo Định lý 1.2.4, tồn N cho n > N Zπ ϕ 2n + |I1 | = φx (u) sin udu < (5) π