(Luận văn) biến đổi laplace và một số ứng dụng vũ thị thu hà

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG fu an nv a lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m ll z at nh z gm @ m co l an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2015 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ lu BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG an n va p ie gh tn to CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG d oa nl w MÃ SỐ: 60 46 01 12 a lu oi m ll fu an nv LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh TS.NCVC NGUYỄN VĂN NGỌC z gm @ m co l an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th si Mục lục lu an n va 1 Định nghĩa biến đổi Laplace tính chất 1.1 Định nghĩa hình thức biến đổi Laplace ví dụ 1.1.1 Định nghĩa hình thức 1.1.2 Các ví dụ 1.2 Điều kiện tồn biến đổi Laplace 1.3 Các tính chất đơn giản biến đổi Laplace 1.4 Tích chập Laplace 1.5 Đạo hàm biến đổi Laplace biến đổi Laplace tích phân Volterra 1.5.1 Đạo hàm biến đổi Laplace 1.5.2 Biến đổi Laplace tích phân Volterra 1.6 Biến đổi Laplace ngược 1.6.1 Công thức Mellin 1.6.2 Phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược dựa vào công thức biết 1.6.3 Phương pháp vận dụng tích chập 1.6.4 Tích phân theo chu tuyến kín thặng dư tìm biến dổi Laplace ngược 1.6.5 Định lý khai triển Heaviside 1.7 Định lý Tauberian bổ đề Watson 1.7.1 Định lý Tauberian 1.7.2 Bổ đề Watson 3 3 gh tn to Mở đầu p ie 10 10 12 13 13 d oa nl w a lu m ll fu an nv 17 18 oi 18 21 23 23 26 z at nh z gm @ m co l Ứng dụng biến đổi Laplace phương trình vi phân 2.1 Dẫn luận 2.2 Phương trình vi phân thường số vấn đề liên quan 2.2.1 Phương trình vi phân thường 2.2.2 Dao động điều hòa an Lu 29 29 30 30 33 n va ac th si 2.3 2.4 Phương trình sai phân phương trình vi-sai phân 2.3.1 Dẫn luận 2.3.2 Phương trình sai phân 2.3.3 Phương trình vi phân có chậm Phương trình đạo hàm riêng 2.4.1 Phương trình cấp 2.4.2 Phương trình truyền nhiệt 2.4.3 Phương trình dao động lu Ứng dụng biến đổi Laplace phương trình tích phân 3.1 Tổng chuỗi vơ hạn 3.2 Tính tích phân suy rộng 3.3 Phương trình tích phân Volterra 44 44 48 49 51 51 53 57 chuỗi, tích phân 60 60 62 64 an 71 Tài liệu tham khảo 72 n va Kết luận p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Cùng với biến đổi tích phân khác, biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin, v.v , biến đổi Laplace biến đổi tích phân quan trọng Giải tích tốn học cơng cụ hữu hiệu giải nhiều tốn phương trình vi phân, phương trình tích phân, v.v Vì thế, tìm hiểu học tập biến đổi Laplace việc cần thiết Tôi chọn đề tài "Biến đổi Laplace số ứng dụng" làm đề tài luận văn với mong muốn học tập tìm hiểu sâu lĩnh vực Đã có số luận văn khóa luận đề tài này, chẳng hạn tài liệu từ 1)-3) [4] Tuy nhiên, nhiều vấn đề quan trọng hay lý thuyết ứng dụng biến đổi Laplace mà tài liệu trước chưa đề cập, là: Định lý Tauberian Bổ đề Watson, phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược, phương trình sai phân vi phân có chậm, áp dụng biên đổi Laplace tìm tổng chuỗi tính tích phân suy rộng, phương trình tích phân Abel, v.v Mục đích luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi Laplace số ứng dụng phương trình vi phân, phương trình tích phân số vấn đề liên quan khác Luận văn có bố cục: Mở đầu, ba chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương trình bày sở lý thuyết biến đổi Laplace, sâu biến đổi Laplace ngược, Định lý Tauberian Bổ đề Watson Đặc biệt, đưa nhiều ví dụ có độ khó khác tìm biến đổi Laplace biến đổi Laplace ngược Chương trình bày ứng dụng biến đổi Laplace phương trình vi phân thường, phương trình sai phân phương trình vi phân có chậm, phương trình đạo hàm riêng Đã chọn lựa nhiều ví dụ áp dụng có nguồn gốc từ Cơ học Vật lý, đao động điều hòa, dao động điện điều hòa, truyền nhiệt, v.v Chương trình bày số ứng dụng biến đổi Laplace tốn tìm tổng chuỗi vơ hạn, tính tốn đánh giá tích phân, giải phương trình tích phân Volterra dạng chập, đặc biệt phương trình tích d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va p ie gh tn to phân Abel nửa trục Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình Thầy-Tiến sỹ, NCVC Nguyễn Văn Ngọc, Trường Đại học Thăng Long Chính Thầy giúp em có thêm động lực để học tập, nghiên cứu hồn thiện khóa luận Bên cạnh đó, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Quý Thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp K7Y chúng em, Ban Giám Hiệu, Phòng đào tạo, Khoa Toán-Trường Đại học khoa học-Đại học Thái Nguyên nhiệt tình giúp đỡ em suốt trình học tập Trường, trình làm luận văn sau Thật thiếu sót em khơng nhắc đến quan tâm, giúp đỡ thành viên lớp K7Y em; Thầy cô BGH, đồng nghiệp, Tổ Toán Hội đồng Giáo dục Nhà Trường THPT Hưng Yên, nơi em công tác Và nữa, tinh thần ủng hộ, quan tâm, động viên, khích lệ, tạo điều kiện hết lịng gia đình giúp em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới tất người Về thân, em cố gắng không ngừng việc trau dồi cầu thị để khóa luận thêm hồn thiện đón nhận quan tâm, góp ý Q Thầy bạn bè đồng nghiệp Em xin trân trọng cảm ơn oa nl w d Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Học viên fu an nv a lu oi m ll Vũ Thị Thu Hà z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Định nghĩa biến đổi Laplace tính chất lu an n va Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace thuận Laplace ngược, tính chất biến đổi Laplace, đặc biệt dịch chuyển tích chập Ngồi phần lý thuyết, chương cịn đưa nhiều ví dụ minh họa Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [5], [6] tn to Định nghĩa hình thức biến đổi Laplace ví dụ p ie gh 1.1 1.1.1 Định nghĩa hình thức d oa nl w Biến đổi Laplace f (t) cách hình thức định nghĩa cơng thức: Z ∞ L{f (t)} = f (s) = e−st f (t)dt Res > (1.1) a lu fu an nv oi m ll Ở e−st hạt nhân biến đổi s biến số biến đổi số phức Dưới điều kiện rộng rãi f (t), biến đổi Laplace f (s) hàm giải tích theo s nửa mặt phẳng, Re > a, a số thực dương Sử dụng công thức (1.1), tính tốn biến đổi Laplace số hàm cấp thấp đơn giản z at nh z @ Các ví dụ gm 1.1.2 Z ∞ e−(s−a)t dt = (1.2) an , Res > a s−a Lu L{e } = f (s) = at m co l Ví dụ 1.1 Nếu f (t) = eat , a số thực n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 1.2 Nếu f (t) = sin at, a số thực L{sin at} = Z ∞ e −st ∞ Z sin atdt = [e−t(s−ia) − e−t(s+ia) ]dt 2i h i 1 a = − = 2i s − ia s + ia s + a2 (1.3) Tương tự, ta có: L{cos at} = s2 s + a2 (1.4) Ví dụ 1.3 Nếu f (t) = sinh at cosh at, a số thực Z ∞ a − a2 Z ∞ s L{cosh at} = e−st cosh atdt = s − a2 L{sinh at} = e−st sinh atdt = (1.5) s2 lu an (1.6) n va Ví dụ 1.4 Nếu f (t) = tn , n số nguyên dương tn to n! sn+1 (1.7) p ie gh f (s) = L{tn } = oa nl w Trở lại công thức (1.2) với a = 0, lấy đạo hàm theo s hai vế, cách hình thức, ta có: Z ∞ (1.8) te−st dt = d fu an nv a lu Điều có nghĩa s L{t} = s2 (1.9) oi m ll Đạo hàm theo s hai vế (1.8) ta được: Z ∞ 2 t2 e−st dt = L{t } = z at nh (1.10) s z Tương tự vậy, với a = 0, lấy đạo hàm theo s hai vế (1.2) n lần, ta công thức: Z ∞ n! n L{t } = tn e−st dt = n+1 (1.11) gm @ an Γ(a + 1) , (s > 0) sa+1 Lu L{ta } = m co Ví dụ 1.5 Nếu a > −1 số thực l s (1.12) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chúng ta có L{t } = a ∞ Z ta e−st dt Lúc này, đặt st = x, = ∞ Z sa+1 xa e−x dx = Γ(a + 1) sa+1 Ở Γ(a) hàm Gamma định nghĩa tích phân Z ∞ xa−1 e−x dx, a > Γ(a) = (1.13) Hàm Gamma có tính chất: (1.14) Γ(a + 1) = aΓ(a) lu an n va Rõ ràng, kết (1.12) phần mở rộng (1.11) Sau trường hợp đặc biệt trước a số nguyên dương to tn Đặc biệt a = − , kết (1.12) cho: p ie gh (1.15) √ Γ( ) √ π L{ t} = 3/2 = , s3/2 s (1.16) d oa nl w Tương tự, Γ( ) r π √ 1 , khiΓ( ) = π L{ √ } = √2 = s s t fu an nv a lu đây: oi m ll √ 1 π Γ( ) = Γ( + 1) = Γ( ) = 2 2 z at nh 1.2 Điều kiện tồn biến đổi Laplace z gm @ Một hàm f (t) gọi hàm cấp mũ a > (0 ≤ t < ∞), tồn số dương K , cho t > T , l (1.17) m co |f (t)| ≤ Keat , an f (t) = O(eat ), t → ∞ Lu viết điều cách tượng trưng sau: (1.18) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Hay tương đương: lim e−bt |f (t)| ≤ K lim e−(b−a)t = 0, b > a t→∞ (1.19) t→∞ Đơn giản hơn, hàm f (t) gọi cấp mũ t → ∞ khơng tăng nhanh Keat t → ∞ Định lý 1.1 Nếu hàm f (t) liên tục liên tục khúc khoảng thời gian xác định (0; T ) hàm cấp mũ eat , biến đổi Laplace f (t) tồn với s, theo điều kiện phần thực Res > a Chứng minh Chúng ta có e−R1 t tn dt < e−R1 t tn dt e t dt ≤ n! n! n!