TÓM tắt LUẬN văn biến đổi fourier rời rạc, fourier nhanh và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THU THỦY BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC, FOURIER NHANH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Phản biện 1: TS Lê Hải Trung Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 11 tháng 01 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Nhiều vấn đề khoa học công nghệ đưa đến việc giải phương trình vi phân hay phương trình đạo hàm riêng Những tốn tính độ lệch đứng dầm, dao động dây, sóng âm, sóng tạo thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường tìm phương trình đường cho phương trình sóng Vấn đề đặt tìm lời giải cho tốn Có nhiều phương pháp khác để giải vấn đề, số khơng thể khơng nói đến vai trị đặc biệt quan trọng phép biến đổi Fourier Một khái niệm không tầm quan trọng phép biến đổi Fourier biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Trong toán học, biến đổi Fourier rời rạc gọi phép biến đổi Fourier hữu hạn, biến đổi giải tích Fourier với tín hiệu thời gian rời rạc Nó công cụ lý tưởng để xử lý thông tin sử dụng rộng rãi xử lý tín hiệu ngành liên quan đến phân tích tần số, tìm hình dạng lý tưởng cho phương trình truyền sóng, tốn sơ cấp, ma trận phép tốn tích chập Việc ứng dụng hiệu biến đổi Fourier rời rạc thực tế đặc biệt việc phân tích phổ ngành xử lý tín hiệu tiếng nói, địa chất, vật lý, y tế, sóng âm, tốn ma trận,phép nhân đa thức người ta quan tâm đến việc rút ngắn thời gian độ phức tạp tính tốn Năm 1965, Cooley Tukey tìm thuật tốn tính biến đổi Fourier rời rạc nhanh chóng hiệu gọi biến đổi Fourier nhanh (FFT) Biến đổi Fourier nhanh thuật toán cho phép tính DFT nhanh chóng cách giảm độ phức tạp thời gian tính tốn Kể từ đời, biến đổi FFT tạo bước ngoặc lớn thực đóng vai trị quan trọng việc xử lý tín hiệu, toán ma trận toán sơ cấp Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm giúp người đọc hiểu chất biến đổi AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Fourier rời rạc, hiệu biến đổi Fourier rời rạc thuật tốn FFT Qua áp dụng để tìm lời giải cho số toán sơ cấp, toán liên quan đến ma trận phương trình truyền sóng Một số điểm cố gắng đưa vào luận văn là: - Một số định nghĩa liên quan đến biến đổi DFT, chứng minh chặt chẽ định lí liên quan - Làm rõ tính hiệu biến đổi nhanh FFT, sâu số thuật toán cụ thể - Đưa nhiều ví dụ tập áp dụng để làm bật tính hiệu quả, tính nhanh chóng biến đổi DFT FFT Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phép biến đổi Fourier Phạm vi nghiên cứu đề tài biến đổi Fourier rời rạc, Fourier nhanh ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến biến đổi DFT, vấn đề quan trọng áp dụng biến đổi DFT FFT vào giải toán Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia ứng dụng biến đổi DFT FFT giải toán Bố cục đề tài Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận phụ lục Chương trình bày số tích chất biến đổi Fourier rời rạc, Fourier nhanh Chương đưa số ứng dụng biến đổi Fourier rời rạc biến đổi Fourier nhanh Tổng quan tài liệu nghiên cứu Luận văn tham khảo số tài liệu khoa học tiếng Việt tiếng Anh biến đổi Fourier đặc biệt biến đổi Fourier rời rạc Fourier nhanh Hiện ngồi nước có cơng trình nghiên cứu biến đổi Fourier rời rạc, biến đổi Fourier nhanh ứng dụng thực tế hữu ích chúng Tuy nhiên cơng trình khoa học chưa tổng hợp nhiều ứng AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com dụng biến đổi Fourier rời rạc, biến đổi Fourier nhanh sơ cấp thực tế có cịn hạn chế Vì việc nghiên cứu, tổng hợp ứng dụng phép biến đổi Fourier rời rạc, Fourier nhanh cách rõ ràng, hệ thống cần thiết Kết nghiên cứu đề tài giúp người học tốn dễ dàng việc hình dung tính hữu ích phép biến đổi Fourier tốn học thực tiễn AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho dãy x(n), n = 0, 1, , N − Khi biến đổi Fourier rời rạc dãy x(n), viết tắt DFT xác định công thức: N−1 X(k) = ∑ x(n)WNkn, k = 0, 1, , N − (1.1) n=0 Biến đổi Fourier rời rạc ngược viết tắt IDFT xác định công thức: x(n) = Ở WNkn = e N−1 X(k)WN−kn , ∑ N k=0 −i2π.kn N n = 0, 1, , N − (1.2) eia = cos a + i sin a Ví dụ 1.1.1 1.1.2 Biểu diễn DFT dạng ma trận Định nghĩa ma trận Fourier Một ma trận vuông cấp N mà phần tử thứ (k, n) W kn (0 ≤ k, n ≤ N − 1) gọi ma trận Fourier cấp N, ký hiệu WN Tức là:   1   N−1  WN1  W W N N  WN =      2(N−1) WNN−1 WN (N−1)(N−1) WN AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Biến đổi DFT dạng ma trận    x(0)     x(1)   ;  Đặt: xN =  X = N       x(N − 1)  1  1 WN−1 WN−2 ∗  WN =   −(N−1) −(2(N−1)) WN WN X(0)  X(1)      X(N − 1) −(N−1) WN −(N−1)(N−1)       WN Khi biến đổi DFT XN biến đổi ngược IDFT viết lại: XN = WN xN ; xN = ∗ W XN N N Mệnh đề 1.1.1 Gọi WN−1 ma trận nghịch đảo ma trận WN Khi đó: WN−1 = N1 W ∗ Ví dụ 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Giải Ví dụ 1.1.1 cách sử dụng ma trận Fourier Mệnh đề 1.1.2 Cho vectơ x(n,1) , tích WN x gọi phép biến đổi Fourier rời rạc vectơ x WN−1 x phép biến đổi nghịch đảo x Phần tử vị trí k WN x WN−1 x xác định công thức: N−1 [WN x]k = ik ∑ xiw ; [WN−1 x]k i=0 N−1 −ik = ∑ xi w N i=0 Ví dụ 1.1.4 1.1.3 Biến đổi DFT cho toán tử unita Trước kia, biến đổi DFT biến đổi ngược IDFT dãy x(n) viết dạng: N−1 X(k) = √ ∑ x(n)WNkn , N n=0 k = 0, 1, , N − (1.5) AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com N−1 √ X(k)WN−kn , x(n) = ∑ N k=0 1.1.4 n = 0, 1, , N − (1.6) Tính chất biến đổi DFT Tính tuần hồn Cho X(k) ↔ x(n), X(k) x(n) tuần hoàn với chu kỳ N tức là: X(k + N) = X(k), ∀k = 0, 1, , N − x(n + K) = x(n), ∀n = 0, 1, , N − Ví dụ 1.1.5 Tính tuyến tính Cho x1 (n) ↔ X1 (k) x2 (n) ↔ X2 (k) với a1 , a2 ta có: a1 x1 (n) + a2 x2 (n) ↔ a1 X1 (k) + a2 X2 (k) Dịch vòng Cho x(n) ↔ X(k) x(n + h) ↔ X(k).W −hk Khi x(n + h) dịch chuyển theo vòng tròn bên trái khoảng thời gian h miền thời gian Ở xn+k = (xh , xh+1 , , xN−1 , x0 , , xh−1 ) Ví dụ 1.1.6 Độn khơng Về ngun tắc, chiều dài L chiều dài N biến đổi DFT khác Hầu hết vấn đề DFT giả sử L = N Tuy nhiên không thiết điều xảy Nếu L < N ta độn N - L số cuối ghi liệu để có chiều dài N Độn số vào phần tín hiệu khơng ảnh hưởng đến biến đổi DFT Nếu L > N ta giảm chiều dài ghi thành N theo kỹ thuật rút gọn modN Để có phép chập khơng trịn khơng tuần hồn hai dãy (một dãy có chiều dài L dãy khác có chiều dài M) cách sử dụng phương pháp AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com biến đổi DFT hay IDFT, ta thấy hai dãy phải độn vào phần đuôi chúng cho chiều dài lúc L + M − ≤ N Hiệu thể rõ miền tần số Cho (x(n)) = (x0 , x1 , , xM−1 ), dãy M điểm độn N − M số vào x(n), dãy sau độn là: (xe (n)) = (x0 , x1 , , xM−1 , 0, , 0) Ở Xe (n) = 0, M ≤ n ≤ N − Và DFT (xe (n)) là: N−1 Xe (k) = ∑ xe(n)WNnk n=0 M−1 = ∑ x(n)WNnk (k = 0, 1, , N − 1) n=0 Ví dụ 1.1.7 1.1.5 Một số định lí liên quan Định lý 1.1.1 (Định lí Parseval) Tính chất với toán biến đổi unita N−1 ∑ x(n)x (n) = N ∑ X(k)X ∗(k) n=0 n=0 N−1 ∗ (1.9) Khi lượng dãy x(n) bảo tồn biến đổi DFT Định lý 1.1.2 (Định lí số phức liên hợp) Cho DFT N điểm, x(n) chuỗi thực, ta có: X( N N + k) = X ∗ ( − k), 2 k = 0, 1, , N Định lý 1.1.3 Định lí chập Cho x(n), y(n) hai dãy thực với chu kỳ N Chập vòng chúng ký hiệu x(n) ∗ y(n) cho công thức: N−1 Zcon (m) = ∑ x(n)y(m − n), N n=0 (m = 0, 1, , N − 1) (1.10) AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com = x(n) ∗ y(n) Trong miền Fourier rời rạc, điều tương đương với: Zcon (k) = X(k)Y (k) N Ở x(n) ↔ X(k), y(n) ↔ Y (k) Zcon (m) ↔ Zcon (k) Định nghĩa 1.1.2 (Tích chập hai vectơ)    Cho hai vectơ: a =    a0 a1        b =      b0 b1     Tích chập hai vectơ   an−1 bn−1 a b vectơ ký hiệu [a ∗ b] mà phần tử xác định cơng thức: [a ∗ b]k = ∑ki=0 bk−i (k = 0, 1, , 2n − 1) Ở an = an+1 = = a2n−1 = bn = bn+1 = = b2n−1 = Khi đó:   a0 b0   a0 b1 + a1 b0      a0 b2 + a1 b1 + a2 b0      [a ∗ b] =      an−2 bn−1 + an−1 bn−2      an−1 bn−1       a0 b0      a1   b1     Định nghĩa 1.1.3 Cho hai vectơ: a =    ; b =       an−1 bn−1 Tích hai vectơ a b vectơ ký hiệu a × b xác   a0 b0    a1 b1     định cơng thức: a × b =  a b 2       an−1 bn−1 AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 10 1.2.2 Thuật toán Fourier nhanh FFT Trong phạm vi này, ta tập trung nghiên cứu số thuật toán với N = 2v Thuật toán phân ly theo thời gian Nguyên tắc chung: Dựa việc phân tích DFT N điểm thành DFT nhỏ (số điểm tính DFT nhỏ hơn) Theo cách này, khai thác tính đối xứng tuần hồn hàm W k+ N2 WN = −WNk WNk+N = WNk Thuật toán phân chia dựa việc phân chia dãy x(n) thành dãy nhỏ gọi thuật toán phân chia theo thời gian (vì số n thường gắn liền với thời gian) Nguyên tắc thuật toán minh họa rõ rệt ta xem xét trường hợp N lũy thừa Do N số chẵn nên ta tính X(k) cách tính x(n) thành dãy, dãy có N2 điểm, dãy chứa điểm lẻ x(n) dãy chứa điểm chẵn x(n) Theo định nghĩa DFT: N−1 X(k) = ∑ x(n)WNkn, k = 0, 1, , N − n=0 Sau tách x(n) thành dãy số chẵn dãy số lẻ, ta có: X(k) = = x(n)WNkn + ∑ x(n)WNkn n lẻ n chẵn ∑ N −1 N −1 m=0 m=0 N −1 = (2m+1)k ∑ x(2m)WN2mk + ∑ x(2m + 1)WN ∑ m=0 f1 (m)W Nkm +WNk =F1 (k) +WNk F2 (k) N −1 ∑ m=0 f2 (m)W Nkm (k = 0, 1, , N − 1) AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 Trong F1 (k) biến đổi DFT N điểm dãy f1 (m) F2 (k) biến đổi DFT N2 điểm dãy f2 (m) Như X(k) tính từ DFT F1 (k), F2 (k) Ở đây: F1 (k), F2 (k) tuần hoàn với chu kỳ N2 k+ N2 F1 (k + N2 ) = F1 (k); F2 (k + N2 ) = F2 (k); WN N điểm = −WNk Khi ta có: X(k) = F1 (k) +WNk F2 (k), k = 0, 1, , N2 − X(k + N2 ) = F1 (k) −WNk F2 (k), k = 0, 1, , N2 − Do ta thấy F1 (k), F2 (k) DFT N2 điểm, F1 (k) DFT N2 điểm số chẵn dãy x(n) ban đầu, F2 (k) DFT N2 điểm đánh số lẻ dãy ban đầu; ta cần tính F1 (k), F2 (k) với k = 0, 1, , N2 − Sơ đồ thực FFT điểm phân chia theo thời gian: Hình 1.1: Sơ đồ cánh bướm theo thời gian Hình 1.2: Sơ đồ tổng quát AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 Hình 1.3: Sơ đồ cụ thể Ví dụ 1.2.1 Giải Ví dụ 1.1.1 thuật toán FFT phân chia theo thời gian: Thuật toán phân ly theo tần số Nguyên tắc chung: Dựa việc phân tích dãy X(k) thành dãy nhỏ theo cách phân tích dãy x(n) Do số k X(k) thường gắn liền với thang tần số nên thuật toán gọi thuật toán phân chia theo tần số Xét DFT N điểm, N = 2v Phân ly X(k) thành chuỗi có hệ số chẵn lẻ Chuỗi có hệ số chẵn là: N−1 X(2k) = ∑ x(n)WN2kn n=0 Phân chuỗi thành N N điểm đầu N −1 X(2k) = điểm sau, với WN2kn = W Nkn , ta có: N−1 kn ∑ x(n)WN2 + n=0 ∑N x(n)WN2kn n= Đổi cách ghi số tổng thứ ta được: N −1 X(2k) = ∑ x(n)W Nkn + n=0 k(n+ N2 ) Vì W N N −1 ∑ x(n + n=0 N k(n+ N2 ) )W N2 = W Nkn nên: N −1 X(2k) = N ∑ [(x(n) + x(n + )]WN2kn n=0 Tương tự ta có chuỗi có hệ số lẻ là: N −1 X(2k + 1) = ∑ WNn x(n) − x(n + n=0 N ) W Nkn 2 Tiếp tục DFT điểm AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 13 Sơ đồ thuật toán FFT phân ly theo tần số: Hình 1.4: Sơ đồ cụ thể phân theo tần số Hình 1.5: Sơ đồ cánh bướm theo tần số Từ thuật tốn FFT trên, ta có cơng thức tính IDFT sau: x(n) = N = Hay x(n) = N N−1 ∑X ∗ ∗ (k)WNkn k=0 [DFT (X ∗ (k)]∗ N [FFT (X ∗ (k))]∗ AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 14 CHƯƠNG ỨNG DỤNG 2.1 ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC Bài toán 2.1 Cho dãy x(n) = {2, 3; 1; 4} Tìm biến đổi DFT X(k) dãy tín hiệu x(n)? Bài tốn 2.2 Cho x(n) = α n u(n) Dãy tuần hoàn x(n) ˜ xác định bởi: ∞ x(n) ˜ = ∑ x(n + rN) n=−∞ ˜ Xác định chuỗi Fourier rời rạc X(k) x(n)? ˜ Bài tốn 2.3 Cho tín hiệu xc (t) liên tục tuần hồn có chu kỳ 1ms có dạng: xc (t) = i 2πkt ∑ ak e 10−3 , ak = với k > 9, k=0 xc (t) lấy mẫu với khoảng cách mẫu T = 16 10−3 s để tạo thành tín hiệu rời rạc x(n) x(n) = xc n10−3 a Tín hiệu x(n) có phải tín hiệu tuần hồn khơng, có chu kỳ bao nhiêu? b Xét xem tốc độ lấy mẫu có thỏa mãn tiêu chuẩn Nyquist khơng, nghĩa T có đủ nhỏ để tránh xảy tượng chồng phổ khơng? Bài tốn 2.4 Thực phép nhân hai đa thức: q−1 p−1 P(x) = k ∑ pk x ; k=0 Q(x) = ∑ qk x k k=0 Ví dụ 2.1.1 AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 15 Bài toán 2.5 Dùng mối quan hệ chuỗi Fourier thời gian liên tục Fourier rời rạc để xét dạng phương trình sóng Một chuỗi Fourier (FS) thể tín hiệu liên tục, tuần hồn x(t) với khoảng thời gian T khoảng vô hạn số nguyên thể hàm sin điều hòa Tần số hàm điều hòa w0 = 2π T cịn hàm điều hịa khác có tần số bội nguyên w0 Các tín hiệu biểu diễn chuỗi Fourier phải thỏa điều kiện Dirichlet: Tín hiệu x(t) phải hội tụ tuyệt đối, tức là: T |x(t)|dt < ∞ Tín hiệu phải số hữu hạn khoảng thời gian Tín hiệu có số hữu hạn điểm gián đoạn khoảng hữu hạn thời gian Những điều kiện thường gặp nhiều ứng dụng thực tiễn quan trọng Dạng lượng giác: Một tín hiệu thực x(t) thỏa điều kiện Dirichlet biểu diễn dạng hàm sóng cosin sin sau: ∞ x(t) = Xc (0) + ∑ (Xc (k) cos(kw0t) + Xs (k) sin(kw0t)) (2.1) k=1 Ở đây: Xc (0) = T Xc (k) = T Xs (k) = T t1 +T x(t)dt t1 t1 +T t1 t1 +T t1 x(t) cos(kw0t)dt, k = 0, 1, , ∞ x(t) sin(kw0t)dt, k = 0, 1, , ∞ với t1 tùy ý Dạng e mũ: Ta có: cos(kw0t) = eikw0t +e−ikw0t ; sin(kw0t) = eikw0t −e−ikw0t 2i thay vào cơng thức 2.1, đó: ∞ x(t) = Xc (0) + ∑ Xc (k) k=1 eikw0t + e−ikw0t eikw0t − e−ikw0t + Xs (k) 2i AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 16 ∞ Xc (k) − iXs (k) ikw0t Xc (k) + iXs (k) −ikw0t e + e 2 = Xc (0) + ∑ k=1 ∞ = Xcs (0) + ∑ Xcs (k)eikw0t + Xcs (−k)e−ikw0t k=1 ∞ = Xcs (0) + ∑ Xcs (k)eikw0t −∞ Xcs (0) = Xc (0), Xcs (k) = Xc (k)−iXs (k) , Xcs (−k) = Xc (k)+iXs (k) Từ định nghĩa Xc (k) , Xs (k) theo ta có: T = T Xcs (k) = t1 +T t1 t1 +T x(t)(cos(kw0t) − i sin(kw0t))dt (2.2) x(t)e−ikw0t dt, k = −∞, , +∞ (2.3) t1 Từ công thức 2.2, ta phân chia thời gian T N khoảng thời gian với độ rộng khoảng Ts = NT , công thức 2.2 viết lại dạng: N−1 T Xcs (k) = ∑ x(nTs )e−ikw0 nTs T n=0 N = N−1 x(nTs )e−ikw0 nTs ∑ N n=0 Do x(nTs ) đại diện cho mẫu thứ n nên Xcs (k) x(n) viết lại: Xcs (k) = 2π N−1 x(n)e−i N nk , k = 0, 1, , N − ∑ N n=0 N−1 x(n) = 2π ∑ Xcs(k)ei N nk k=0 Ví dụ 2.1.2 Từ sóng vng cho dạng: x(t) = A 0≤t < T T ≤t