Nguyên lý i của nhiệt động lực học

Nguyên lý I Nhiệt động lực học 2.6 Các tượng nhiệt khác (Romania) 1) Một hình trụ nằm ngang có đầu kín đầu cịn lại piston di chuyển có ma sát bên hình trụ Bên hình trụ có chứa khí lý tưởng đơn nguyên tử, CV 3R / , với thể tích đầu V0 , áp suất p0 , giá trị với áp suất khí bên ngồi Piston gắn kín Lực ma sát piston hình trụ chiếm f phần áp lực mà khí bên ngồi tác dụng lên piston Khí bên làm nóng chậm thể tích tăng lên f lần thể tích ban đầu làm nguội từ từ trở vị trí ban đầu Sau khí nung nóng trở lại đến trạng thái đầu Các thông số biết p0 , V0 , f số khí R 1a) Mơ tả q trình biến đổi khí biểu diễn giản đồ p  f  V  1b) Xác định tổng công thực khí 1c) Xác định nhiệt lượng mà khí nhận trao đổi trình 2) Một hình trụ cách nhiệt hồn tồn với mơi trường bên ngồi, bên có chứa khí lý tưởng lỗng, làm lạnh đến áp suất p, thể tích V nhiệt độ T, với số đoạn nhiệt γ Piston cách nhiệt, có khối lượng M giữ đầu hở hình trụ hình 2.6 Ở đầu kín hình trụ có lỗ nhỏ, qua người ta nối áp kế nằm cân nhiệt với mơi trường ngồi Thể tích áp kế nhỏ nhiều so với thể tích hình trụ, nhiệt độ mơi trường ngồi Text áp suất p0 , p0  p Cho trước đại lượng sau M, p0 , Text , p, V, T, γ số khí R 2a) Bỏ qua ma sát piston thành hình trụ, xác định vận tốc lớn piston sau thả 2b) Ở vị trí ban đầu, piston bị giữ đầu hở hình trụ, hình vẽ, nhiệt độ T khí lỗng bình khơng thay đổi, xác định phụ thuộc số áp kế vào nhiệt độ T Text , ( Text  T ) xác định sai số tương đối phép đo áp suất,  p / p 2.7 Chu trình “mở”! (Romania) Trong hình 2.6 đồ thị chu trình biến đổi chuẩn tĩnh 1-2-3-4-1 v mol khí lý tưởng đơn nguyên tử bên xy lanh có piston Trục hồnh đồ thị biểu diễn công nhiệt động trục tung biểu diễn nhiệt lượng mà khí trao đổi với hệ 1) Xác định nhiệt độ lớn nhỏ khí chu trình 2) Vẽ đồ thị chu trình giản đồ (p, V) 2.8 Đường thẳng Quốc) giản đồ p – V (Trung Giản đồ p – V biểu chậm mol khí lý Biết tỷ số áp suất khí diễn trình biến đổi tưởng từ điểm A đến B trạng thái B A Trang 1 , để khí nhận nhiệt từ bên ngồi q trình tỷ số thể tích khí trạng thái B A phải thỏa mãn điều kiện gì? Biết nội mol khí lý tưởng RT, R số khí, T nhiệt độ tuyệt đối 2.9 Làm lạnh Heli (Nga) Trong trình làm lạnh mol khí Heli từ nhiệt độ ban đầu T0 đến nhiệt độ Tx đó, nhiệt dung C tỷ lệ thuận với nhiệt độ T khí thực cơng khơng Ở đầu q trình làm lạnh, áp suất khí biến đổi tỷ lệ thuận với thể tích Hãy tìm cơng dương khí thực q trình tỷ số Tx / T0 2.10 Piston gắn lị xo (Romania) Xét xi lanh hình bên, thành xi lanh piston vật liệu cách nhiệt Piston di chuyển khơng ma sát, xi lanh cố định kín Trong xy lanh có mol khí lý tưởng đơn nguyên tử nhiệt độ T1 300 K Ở trạng thái ban đầu, chiều dài xy lanh L 1m , piston giữ cố định áp suất bên xy lanh coi không đáng kể Piston gắn vào đầu tự lị xo có hệ số đàn hồi k 1660 N / m , lò xo đủ dài lúc đầu chưa biến dạng Xác định khoảng cách tối đa từ vị trí mà piston bắt đầu di chuyển thả Cho biết R 8.3 J / (mol.K) 2.11 Bóng thám khơng (Romania) Phần Khí cầu khơng khí Một bóng thám khơng cấu tạo từ vỏ đàn hồi lý tưởng cách nhiệt hồn tồn với mơi trường Bóng chứa khơng khí có khối lượng m thể tích V với dây đốt điện RC tích khơng đáng kể Nhiệt độ T áp suất p khối khí m giả thiết phân bố bóng Ở phía khí cầu người ta treo giỏ có chứa ắc quy điện tích khơng đáng kể Khối lượng khí cầu giỏ treo với toàn thiết bị M Ở độ cao z khí cầu có nhiệt độ Tz , áp suất pz khối lượng riêng không khí  z Chọn trục tọa độ Oz hướng thẳng đứng từ lên, gốc mặt đất Nhiệt độ Tz giảm dần độ cao 11km từ có giá trị khơng đổi độ cao lớn Áp suất pz xác định từ định luật khí lý tưởng thỏa mãn cân học cân nhiệt Gia tốc trọng trường g số khí R Khơng khí bên khí cầu coi khí lý tưởng có hệ số đoạn nhiệt  C p / CV khối lượng mol μ 1a) Thiết lập quan hệ T Tz để khí cầu lên chậm từ từ Chỉ với chuyển động nhỏ, áp suất khí làm biến dạng vỏ khí cầu Có thể tính cơng thực khí cầu dịch chuyển đoạn nhỏ tổng hai công học: công để biến dạng cầu áp suất không đổi, công thứ hai tương ứng với chuyển động cầu tích khơng đổi khơng khí (chính công lực đẩy Ác si mét) 1b) Viết biểu thức nguyên lý I Nhiệt động lực học, áp dụng cho khối khí có khối lượng m, dịch chuyển lên cao đoạn z với vận tốc không đổi Trang 1c) Trong lên cao đoạn nhỏ z , nhiệt độ T khí cầu giữ không đổi nhờ vào nguồn điện, xác định biểu thức lượng điện Wel cho nguồn cung cấp Giả thiết với dịch chuyển nhỏ z , áp suất khí giảm tuyến tính theo z , hay pz   g.z Kết biểu diễn theo hàm M, m, g, z Liệu có khả chuyển động không với z < 11km? Giải thích câu trả lời Phần Khí cầu Heli Trong phần đây, giả thiết đốt nhiệt đưa khỏi khí cầu, giỏ treo gỡ bỏ vỏ khí cầu coi nhẹ khơng đáng kể, khơng khí khí cầu thay khí Heli Để tránh nhầm lẫn, ta dùng ký hiệu B cho tất đại lượng khí bên khí cầu, cịn số A dùng cho đại lượng khí Khối lượng mol Heli  B , hệ số đoạn nhiệt B khối lượng mol khí  A , hệ số đoạn nhiệt A Ký hiệu  C A / C B tỷ số nhiệt dung đẳng áp khơng khí Heli Khi khí cầu cịn mặt đất, nhiệt độ nhiệt độ khí độ cao TB   T0 Ký hiệu TB  z  nhiệt độ khí Heli độ cao z TA  z  nhiệt độ khí độ cao Giả thiết khí biến đổi đoạn nhiệt Tốc độ thay đổi nhiệt độ khơng khí theo độ cao ký hiệu TA  TA cho biến thiên độ cao nhỏ z Nếu cần thiết, đại lượng y thỏa mãn điều kiện  y = , sử dụng gần 1 y n 1  ny 2a) Tìm biểu thức xác định phụ thuộc nhiệt độ khí vào độ cao z Kết biểu diễn hàm số mA , g, T0 A Kết áp dụng cho phụ thuộc nhiệt độ khí Heli vào độ cao z:  T   A z  TB T0   T0    2b) Xác định biểu thức độ cao z E mà cầu nằm cân Kết biểu diễn hàm  A , T0 , mA , mB  2c) Thiết lập điều kiện để cầu dao động thẳng đứng quanh vị trí cân 2d) Xác định biểu thức tần số dao động nhỏ cầu quanh vị trí cân Kết biểu diễn theo g, T0 , C pA , mA , mB  Trang LỜI GIẢI 2.6 Các tượng nhiệt khác (Romania) 1a) Đầu tiên khí phải tăng nhiệt độ q trình đẳng tích p1  p0  Ff S   f  p0 , piston bắt đầu dịch chuyển, trình đẳng áp thể tích V2   f  V0 Sau q trình làm lạnh đẳng tích đến áp suất p3  p0  Ff S   f  p0 , (lực ma sát đổi chiều tác dụng) làm lạnh đẳng áp đến thể tích V4 V0 Để quay trở lại trạng thái ban đầu cần nung nóng đẳng tích tới áp suất p0 1b) Cơng thực = +diện tích chu trình 2 f p0V0 1c) Khí nhận nhiệt q trình    Q1  Cv  T1  T4    C p  T2  T1  Q1     f  p0V0    f  p0V0      f 2  f  11  f   p0V0    f  p0V0   p0V0 Khí tỏa nhiệt q trình   Q2  Cv  T3  T2    C p  T4  T3  Q2     f  p0V0    f  p0V0      f  p0V0    f  p0V0   2  f  11  f  p0V0 2a) Sau thả ra, piston chuyển động không Khi vận tốc tăng lên, áp suất khí bình tăng lên gia tốc giảm Vận tốc cực đại gia tốc không p0 S  p1S Ma 0  p1  p0 Các thơng số trạng thái khí p1 , V1 , T1 Khi áp suất khí lớn giá trị p0 , gia tốc nhận dấu âm piston giảm tốc Biến thiên động piston cơng ngoại lực bên ngồi tác dụng cơng khí bình tác dụng lên piston trình nén đoạn nhiệt Mv  p0 S x    vCV  T1  T   Khí biến đổi đoạn nhiệt:  p p T  p T  T1 T    p1  1   1   1 1    p T    p0  1   Trang 1  p   p  pV   p1V1  V1 V   V    p1   p0  Độ dịch chuyển piston: S x V  V1   S   p   x     V   p0     Thay x T1 vào biểu thức động năng: 1        p   p  Mv    p0V     vCV T       p0     p0       1           Mv p  R p      p0V     v T      p0       p0       vmax 1       2V    p    p   p         p0      M    p0       p0          2b) Vì áp kế nằm cân nhiệt với mơi trường ngồi nên khí áp kế có nhiệt độ Text , khác với nhiệt độ T khí hình trụ Nhiệt độ khác nhau, có trao đổi phân tử hình trụ áp kế, dịng hạt từ vùng nóng sang vùng lạnh ngược lại Số phân tử khí qua lỗ nhỏ từ vùng sang vùng đơn vị thời gian, tức dòng hạt, từ hai phía phải N N  nSvt nSv ' t    t t t t nv nv ' Vận tốc v phân tử khí tỷ lệ thuận với T , v a T Sử dụng phương trình khí lý tưởng tìm biểu thức vận tốc v : p p p p a T  a Text   kT kText T Text Chú ý áp suất áp kế áp suất bình nhiệt độ hai nơi p  p Text T Hiện tượng gọi tượng phóng lưu nhiệt Sai số tương đối phép đo áp suất  T p p    ext  p p T 2.7 Chu trình “mở” (Romania) Trang 1) Trong trình   khí khơng trao đổi cơng với hệ bên ngồi Suy q trình   q trình đẳng tích ( V1 V2 ; V3 V4 ) Xét q trình đẳng tích  , Q12 4kJ  (khí nhận nhiệt), nhiệt độ khí tăng lên T1  T2 , áp suất tăng p1  p2 Xét q trình đẳng tích  , nhiệt Q34  4kJ  (khí tỏa nhiệt), nhiệt độ khí giảm T3  T4 , đồng thời áp suất giảm p3  p4 Vì Q12  Q34 4kJ , nên: Q12 vCV  T2  T1  ; Q34 vCV  T4  T3   vCV  T3  T4  T2  T1 T3  T4 ,  T   T  T2    T3     T1   T3  Thay vào phương trình nhiệt Q12 vCV  T2  T1  Q  ta T2 T1  p2  p1 Q p p ;  2; vCV T1 T2  T1 Q   p1    T2 vCV T1   Xét trình  p2 , V2 , T2    p3 , V3 , T3  Q23 aW23  b; Q23 W23 4kJ   a 1; b 0 Khí nhận nhiệt sinh cơng; T constant; T3 T2 ; p2V2  p3V3 ; Q23 vRT2 ln V2 V1 ; ln p3  V3 Q; V2 V3 Q  V2 vRT2 Q  Q  vR  T1   vCV   p2V2 T V pV  Q  vRT1  Q   p1  1    1   V3 T1 V3 V3  vCV T1  V3  vCV T1  Xét trình  p3 , V3 , T3    p4 , V4 , T4  W34 0; V constant; V4 V3 ; Khí tỏa nhiệt sinh cơng; Q34  vCV  T3  T4   Q suy T3  T4  Q ; T3 T2 ; vCV T2  T4  T2 T1  Q ; vCV T4 T2  Q vCV Q ; T4 T1 vCV Trang p3 p4  ; T3 T4 p4  p3 T4 ; T3 p3 p4  Q 1 vCV T1 vRT1  Q  1   V3  vCV T1  vRT1 p4   Q V3 1 vCV T1 Xét trình  p4 , V4 , T4   1 p1 , V1 , T1  T4 T1; p4V4  p1V1 ; V4 V3 Q41 vRT1 ln V1 V V vRT1 ln  0, ln  V4 V3 V1 Q41  vRT1 Q  Q  vR  T1   vCV   Q vRT1 , T1   vRT1 Q  Q  vR  T1   vCV   Q T1  Q vCV  Q ; Q vCV T2 T1  p3  Q 2Q 2T1  ;  CV  CV 2vRT1 p1V1 V C  ; ln  V V3 V3 V1 R Quá trình đẳng nhiệt cuối từ  , hệ tỏa nhiệt Q41  2kJ  Q / , nhận công W41  2kJ  Q / : Q41  RT1 ln V1 V   RT1 ln V4 V1   RT1 ln ln V3 Q  V1 V3 Q V C  ; Q vCV T1; ln  V V1 2vRT1 V1 2R T2 Tmax ; T1 Tmin , Tmax T2  2 Tmin T1 2) Biểu diễn chu trình giản đồ  p, V  hình 2.7S 2.8 Đường thẳng giản đồ p-V (Trung Quốc) Gọi U độ thay đổi nội năng, Q W nhiệt công mà hệ nhận từ hệ Theo nguyên lý I nhiệt động lực học: U Q  W (1) Gọi T1 , T2 nhiệt độ khí trạng thái A B, ta có: Trang U  R  T2  T1  (2) Gọi p1 , p2 V1 , V2 áp suất thể tích khí trạng thái A, B Phương trình (2) viết lại dạng U   p2V2  p1V1  Cơng mà khí nhận q trình có độ lớn diện tích hình chắn đồ thị giản đồ p  V trục hoành, lấy dấu trừ W   p2  p1   V2  V1  Để hệ khí nhận nhiệt từ mơi trường Q  , hay  p2V2  p1V1    p2  p1   V2  V1   2 Với p2 V  , suy  p1 V1 2.9 Làm lạnh Heli (Nga) Theo nguyên lý I Nhiệt động lực học Q U  A Công mà khí thực giai đoạn đầu q trình làm lạnh diện tích chắn đồ thị (hình 2.9Sa) A  1 R  p0V0  p1V1    RT0  RT1   T 2 Ở giai đoạn đầu, nhiệt dung có giá trị C  Q U   A R  CV  2 R T T Suy nhiệt dung trình C 2 R T T0 (1) Khí thực cơng âm thể tích khí nhỏ (điểm C hình 2.9Sb) Tại vị trí V 0 , nhiệt dung C CV  p V CV  R T (2) Từ (1) (2) tìm nhiệt độ TC mà khí tích nhỏ TC  T0 Vì công tổng cộng không, nên công dương A (diện tích đoạn đồ thị CX) giá trị tuyệt đối cơng âm A (diện tích đoạn OC đồ thị) Sử dụng nguyên lý I Nhiệt động lực học để tìm cơng này: QOC U  AOC , QOC - nhiệt mà khí nhận đoạn OC Nhiệt diện tích đồ thị giản đồ C  T  Vì đồ thị đường thẳng: Trang QOC  R T02  Tc2  RT0 T0 16 Độ biến thiên nội đoạn này: U U c  U CV  Tc  T0   từ AOC QOC  U  RT0 , RT0 RT Cơng cần tìm ACX  AOC  16 16 Ta tìm nhiệt độ T để cho tồn cơng khơng: R Tx2  T02 R   A Q  U   CV  Tx  T0    Tx  T0   Tx  T0  T0  T0 T0   Từ Tx / T0 1/ 2.10 Piston gắn lị xo (Romania) Hệ khí sinh cơng lên lị xo, cơng chuyển thành đàn hồi lị xo Vì bình cách nhiệt nên cơng độ biến thiên nội khí: U f  U i  kx vCV  T2  T1   kx Phương trình trạng thái: PV PV kx 1  2  V1  Sx  vT2 R , T1 T2 S P2 áp suất khí bình sau lò xo biến dạng Từ suy T2  kx  l  x  vR Thay biểu thức vào biểu thức lượng:  kx  l  x   kx  vCV  T1   0 vR   Giải nghiệm: x 3l  16vRT1      8 3kl  Trang Thay số x     0.75m 2.11 Bóng thám khơng (Romania) Phần Khí cầu khơng khí 1a) Phương trình định luật II Newton:      M  m  a  M  m  g  V  z g Để khí cầu chuyển động chậm lên, lực Archimed cân với trọng lực, V  z M  m Mặt khác, phương trình khí lý tưởng khí cầu pV  cho khí ngồi cầu pz  Từ  zV m m RT ,  z RTz  T Tz Kết hợp lại, ta tìm điều kiện để cầu lên T M  m Tz 1b) Biến thiên nội khí cầu không U 0 Công biến dạng cầu W1  pV Công lực Archimed W2  z gV z Công trọng trường: W3   M  m  g z Dễ thấy, từ điều kiện chuyển động chậm khí cầu: W3  W2 Biểu thức nguyên lý I là:  pV  Q 0 1c) Từ phương trình đẳng nhiệt, lấy vi phân ta pV  V p 0 Điện cần cung cấp cho dịch chuyển nhỏ: Q  pV  V p  M  m  g z Theo đầu bài, nhiệt độ khí khơng đổi độ cao z  11km Do nâng vật lên độ cao không z 11km Phần Khí cầu heli 2a) Từ điều kiện cân lớp khí, tìm thay đổi áp suất khí theo độ cao: dp   gdz Phương trình trạng thái cho khí viết lại:  A  Với giả thiết khí biến đổi đoạn nhiệt: pA  A RTA p1A A TAA const Lấy vi phân phương trình được:   A  dp A dT  A A 0 pA TA Trang 10  dTA  A dp A    gdz   A A TA A p A A pA  dTA  A  TA  A gdz   g  A dz A pA A  A R Sau lấy tích phân TA  z  T0  Ag  A  1 z RA 2b) Các phương trình trạng thái cho khí khí Heli: A  p A , RTA B  Điều kiện để cầu nằm cân bằng:  A  B Biểu diễn lại quan hệ  A  p B RTB  TB  B  TA  A TA cho đầu dạng: z TA T0   A z   T  A z  Chia biểu thức nhiệt độ Heli cho đề TB T0   , cho TA :  T0  TB   A    zE  TA  T0  T  zE  A 2c) Xét tỷ số Gaparent mB Gaparent mB Gaparent mB Gaparent mB Gaparent mB    B A         B  1    A     Vg   B   A       T    g   A  g   A B  V B  B    B TA                 A A A A  g   1 z   g   1  z E  x      B    B  T0   T0       A  x       T    g   A   A z E     B   T0  A     T zE                  A   x    1           T   , x z E g   A   A zE     T0  B     A z E     T0     g A T0C p , A      x    1  A   B  Trang 11 Đó gia tốc nâng x  Gaparent mB x  g   A    1  A  T0C p , A  B    x 0 Điều kiện để có dao động    suy C p , A  C p , B      A 2d) Tần số dao động dễ dàng tìm   g    1  A  T0C p , A  B  Trang 12