1 chứng minh vật dao động điều hòa

Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2019 - 2020 CHỦ ĐỀ 1: CHỨNG MINH VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA – TÌM BIỂU THỨC TÍNH CHU KỲ I PHƯƠNG PHÁP: CÁCH 1: Dùng phương pháp động lực học: - Chọn phương, chiều chuyển động - Xác định lực tác dụng vào vật - Định vị trí cân (tại có lực tác dụng, độ lớn lực tổng hợp đó) - Xét vị trí có độ dịch chuyển x (kể từ vị trí cân bằng):  F  k x - Áp dụng định luật II Newton để thiết lập phương trình chuyển động: k - kx = ma = mx’’  x’’ = -  2x  x = Acos(  t +  ) nghiệm   m - Kết luận suy kết CÁCH 2: Dùng định luật bảo toàn ( xét Fms không đáng kể) Eđ + Et = E = const - Lấy đạo hàm hai vế theo t (chú ý x’’ = v’ = a; x’ = v) - Biến đổi đưa đến phương trình;  x’’ = -  2x II CÁC DẠNG TOÁN: Câu – Trích đề thi chọn Giáo viên dạy giỏi Nghệ An giai đoạn 2010-2015 (6 điểm): Một xe lăn B khối lượng M, phần có dạng phần mặt cầu tâm C, bán kính R Xe đặt mặt sàn nằm ngang trọng tâm xe nằm đường thẳng đứng qua tâm mặt cầu Một hịn bi A nhỏ, có khối lượng m đặt mặt C cầu xe (hình 2) Bi A giữ vị trí bán kính mặt cầu qua hợp với phương thẳng đứng góc  hệ đứng yên Bỏ qua ma sát, cho gia tốc trọng trường g Xe lăn giữ cố định Thả cho bi A chuyển động khơng vận tốc đầu a Tìm vận tốc A áp lực A nén lên B vị trí bán kính qua A hợp với phương thẳng đứng góc    b.Giả thiết góc  bé, chứng minh A dao động điều Hình hịa tính chu kì dao động nó? 2.Giả thiết góc  bé, đồng thời giải phóng A B khơng vận tốc đầu Chứng minh hệ dao động điều hịa Tìm chu kì dao động hệ, biên độ dao động A, B áp lực cực đại mà A nén lên B trình dao động? HƯỚNG DẪN CHẤM Câu (6 điểm) + Áp dụng định luật bảo toàn năng, ta có: mv  mgR(1  cos) = mgR(1  cos ) ………………………………………….………0,5đ + Suy ra: v  2gR(cos-cos ) (1)……………… 0,5đ + Ápdụng định luật II NiuTơn chiếu dọc bán kính,chiều dương tới tâm bán cầu,ta có mv  mg cos   N  (2) …………… 0,5đ R + Từ (1), (2) định luật III NiuTơn, ta được: Q N mg(3cos   2cos  ) …………… ………………………0,5đ 2.+ Chọn trục tọa độ ox hình vẽ, gốc O trùng vị trí cân A    + Khi bán kính OA lệch góc  : N + mg = ma (3) + Chiếu (3) trục Ox, ta được: - mg x = mx " 1đ R Trang 1/ 41 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2019 - 2020 x ''  2 x 0 với   g 0,5đ R T 2 R 0,5đ g + A dao động điều hoà với: + Theo phương ngang, động lượng bảo tồn  nhỏ nên coi vận tốc m có phương nằm ngang: mv + MV = (4) + Bảo toàn năng: mv MV + = mgR(cos a - cos a0 ) 2 C (5) m ) M + Từ (4), (5) (6), ta được: với ’R = (v –V ) = v( 1+ A (6) mR 2a '2 Mm R 2a '2 + = mgR(a02 - a ) m m ; 2(1 + ) 2M (1 + ) 2 M M a' R = g(a - a ) m (1 + ) M 0 m B M  mg O x (7) + Đạo hàm hai vế theo thời gian t (7), ta được: a "+ g(1 + R m ) M a = .0,5đ g(1  + Hệ dao động điều hòa với:     R m ) M ;T 2  R g(1  m ) M + Lại xét vật m : N + mg = ma (8) + Trong hệ quy chiếu gắn với xe lăn.Chiếu (3) lên bán kính chiều dương hướng tới tâm C,ta được:  mg cos   N  m2 x sin   m(v  V) R m(v  V) N mg cos    m2 x sin  R + Từ (4) (5) ta được: v= ( M )2gR(cos a - cos a ) ; m +M Và: v  V v(1  m ) nên  = , cos (v-V) cực đại, sin  = 0, nên N cực đại: M m(v - V) m = mg + 2mg(1 + )(cos a - cos a0 ) R M m m = 3mg + 2mg - 2mg(1 + )c os a0 0,5đ M M +Vậy: N max = mg + +Trong hệ quy chiếu Ox mx1 + Mx2 =  A B dao động điều hòa ngược pha +Tốc độ hai vật đạt cực đại lúc Từ (6) suy ra: Trang 2/ 41 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2019 - 2020 M A (9) m +Mặt khác: A1  A R. (10) +Từ (7) (8), ta được: MR mR A1  ; A2  .0,5đ Mm Mm A1  Lưu ý: GV CM hệ DĐĐH theo cách sau cho điểm tối đa ( 1đ): + Trong hệ Ox trên: mv + MV = + Tọa độ khối tâm hệ thỏa mãn: mx1 + Mx2 = 1 1 + Cơ hệ bảo toàn: mgR 02  mgR  mv  MV 2 2 + Để ý liên hệ:  x1  x 1 g m m + Từ (1’) (2’) (3’), ta được: mgR 02  m (1  )  mv (1  ) 2 k M M g m + Đạo hàm hai vế (4’) theo t, ta được: x1''  (1  )x1 0 R M + Suy A DĐĐH với: T = 2p (1 ’) (2’) (3’) (4 ’) ’) R g(1 + m ) M + Tại t = thì: v10 0 x1< 0, suy ra:   , x 01  A1 + Mặt khác: x10  x 20   R , kết hợp (2’) ta được: A1 (1  m ) R M MR Mm Câu 2: Cho vật nhỏ A có khối lượng m vật B có khối lượng M Mặt B phần mặt cầu bán kính R Lúc đầu B đứng yên mặt sàn S, C bán kính mặt cầu qua A hợp với phương thẳng đứng góc 0 Thả cho cầu dao độngvới vận tốc ban đầu  R không Ma sát A B không đáng kể Cho gia tốc trọng trường g 1/ Giả sử A dao động B đứng yên có ma sát với A m sàn M B a/ Tìm chu kỳ dao động A b/ Tính cường độ lực mà A tác dụng lên B S bán kính qua A hợp với phương thẳng đứng góc  (  0 ) c/ Hệ số ma sát B sàn S phải thoả mãn điều kiện để B đứng yên A dao động ? 2/ Giả sử ma sát gữa B sàn bỏ qua a/ Tính chu kỳ dao động hệ? C b/ Lực mà A tác dụng lên B có giá trị cực đại bao nhiêu?  R Giải:    x(+) N 1a/ Khi bán kính lệch góc  : N  mg ma (1) A m Chiếu (1) lên trục Ox : + Hay: A1  M B Trang 3/ 41 P S Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học x" 2019 - 2020 g x 0 R R g 1b/ Chiếu phương trình (1) lên phương bán kính phương vng góc với bán kính:  mv N mg cos    R  N 3mg cos   2mg cos   mv   mgR(cos  cos  ) 1c/ A'p lực mà hệ nén lên sàn: Q = Mg + N cos = Mg + 3mgcos2 - 2mgcos0 cos Lực mà A tác dụng lên B theo phương ngang: F = Nsin = 3mgcossin - 2mgcos0 sin Điều kiện để B đứng yên : F  kQ với   0 Do  góc nhỏ F max  = 0 Fmax m sin 2 Qmin  = 0 suy k  Vậy k  2 M  m cos   Qmin 2a/ Khi bỏ qua ma sát, theo phương ngang động lượng bảo tồn Vì  nhỏ coi vận tốc m có phương nằm ngang: mv + MV =0 Suy A dao động điều hoà với chu kỳ: T 2 Định luật bảo toàn năng: mv MV  mgR(cos   cos  ) (2) 2 Với 'R = (v - V) = v ( 1+m/M) Đạo hàm phương trình (2) theo thời gian:  " Hệ dao động với chu kỳ: T 2 g ( M  m)  0 MR MR g ( M  m) m( v  V ) 2b/ Khi B chuyển động, ta có hệ phương trình: N mg cos   R mv + MV =0 mv MV  mgR(cos   cos  ) 2 m m  2mg (1  ) cos  M M Câu 3: ( HSG ĐBSCL An Giang 2008 – 2009 THPT chuyên TNH) Từ điểm A lòng chén tròn M đặt mặt sàn phẳng nằm ngang, người ta thả vật m nhỏ (hình vẽ) Vật m chuyển động mặt phẳng thẳng đứng, đến B quay lại Bỏ qua ma sát chén M m y a Tìm thời gian để m chuyển động từ A đến B Biết A cách điểm O x O I chén khoảng ngắn so với bán kính R Chén đứng M yên  N N b Tính hệ số ma sát nghỉ chén sàn M m Giải I     A Fmsn ma  p  N a Ta có: * Chiếu lên phương tiếp tuyến: N' P x mat  P sin  mg (0,25đ) M R Trang 4/ 41 Khi  = cos (v-V) cực đại nên N cực đại: N max 3mg  2mg Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học Với:  x"   x 0 2019 - 2020 2  g R (0,25đ) Từ cho thấy m dao động điều hồ, thời gian từ A đến B t  b Chén đứng yên nên: T R  g chu kỳ dao động (0,25đ)     PM  N M  N '  Fmsn 0 * Chiếu (1) lên phương Oy:  PM  N M  N ' cos  0 Với N' = N (1) (2) (0,25đ)  mV  mV  N  mg cos  N   mg cos   R  R  Ở góc lệch , m có:  2  mV  mgh mgh  mV mgR  cos   cos   0    N mg  3cos   cos   (3) Từ (2) (3) ta được: N M Mg  mg cos   3cos   cos   * Chiếu (1) lên Ox: N ' sin   Fmsn 0  N sin  Fmsn  N N sin  ( N sin  ) max    y NM M O O x Fmsn P N' (0,25đ) (4) (0,25đ) (0,25đ) ( N M ) (0,25đ)  N sin  mg  3cos   cos   sin  0 bé;   0  N  Mg  mg cos  3cos   cos     M   N sin   max ;( N M )  = 0  N m I A NM (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) M m sin 2 Vậy:   M  m cos    (0,25đ) Câu – Học sinh giỏi Đắc lăk 2011-2012: Có số dụng cụ gồm cầu nhỏ có khối lượng m, lị xo nhẹ có độ cứng k cứng nhẹ OB có chiều dài l 1) Ghép lị xo với cầu để tạo thành lắc lò xo treo thẳng đứng hình vẽ (H.1) Kích thích cho lắc dao động điều hồ với biên độ A = 2cm Tại thời điểm ban đầu cầu có vận tốc v 20 3cm / s gia tốc a = 4m/s2 Hãy tính chu kì pha ban đầu dao động (H.1) 2) Quả cầu, lò xo OB ghép với tạo thành hệ hình O vẽ (H.2) Thanh nhẹ OB treo thẳng đứng Con lắc lị xo nằm ngang có l cầu nối với Ở vị trí cân cầu lị xo khơng bị biến dạng Từ vị trí cân kéo cầu mặt phẳng chứa lò xo để OB nghiêng với phương thẳng đứng góc α0 < 100 bng không vận tốc đầu Bỏ qua ma sát lực cản B Chứng minh cầu dao động điều hoà Cho biết: l = 25cm, (H.2) m = 100g, g = 10m/s2 Tính chu kỳ dao động cầu HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Chu kì pha ban đầu dao động (2,00 điểm): - Chu kỳ: Ta có hệ thức: a2 v2  2 1  A2  v 2  a 0 (1) A A Đặt X = ω2, thay giá trị v0 a0 ta đến phương trình bậc hai: 4X2 – 1200X – 160000 = (2) 0,25 đ  X2 – 300X – 40000 = Trang 5/ 41 0,25 đ Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2019 - 2020 300  500 (3) Chọn nghiệm thích hợp: X = 400  ω2 = 400  ω = 20(rad/s) 2 2  Vậy chu kì dao động: T    ( s ) (4)  20 10 x1,2  Phương trình cho nghiệm: - Pha ban đầu: Tại t = 0, ta có: v0 = -Aωsinφ = 20 3cm / s (2) a0 = -Aω2coφ = - 4m/s2 = -400cm/s2 Từ (3): cos   0,25 đ 0,25 đ (5) 0,50 đ (6) 0,50 đ a0 400       ; A 2.400 Từ (2): chọn    (rad ) 2) Hệ dao động điều hòa - Chu kỳ: (2,00 điểm) Tại thời điểm t, cầu có toạ độ x vận tốc v, treo OB có góc lệch α so với phương thẳng đứng Biểu thức năng toàn phần hệ: E Ed  Et1  Et  mv kx   mgh 2 (7) Chọn gốc VTCB: Et Et mgh mgl (1  cos  ) mgl x l Do   nên Et  2 (8) 0,50 đ mg x 2l Cơ toàn phần hệ: E Et1  Et  Ed  mv kx mg   x co n s t 2 2l (9) 0,50 đ Lấy đạo hàm bậc E theo thời gian: mg x ' 0 l  k g Vì v = x’, v’ = x’’ nên : x ''    x 0 hay x " +  x = m l  Vậy cầu dao động điều hồ với tần số góc:   k  g m l  Et  ' mvv ' kxx ' (10) (11) 0,50 đ - Ta lại có: k = mω2 = 0,1.400 = 40N/m k g 40 10     440( rad / s) m l 0,1 0, 25 2 2 T  0,3s Chu kì dao động:  440 Vậy:   (12) Câu 5: HSG Ngh An 2008-2009 (4,5 điểm) Cho hệ nh hình vẽ Hai cứng MA NB khối lợng không đáng kể, chiều dài l = 50cm Đầu tự gắn cầu nhỏ khối lợng m =100g, đầu M N chúng quay dễ dàng Lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m đợc gắn với NB vị trí C điều chỉnh đợc Khi hệ cân lò xo không biến dạng, hai cầu tiếp xúc Kéo cầu A cho MA lệch bên trái góc nhỏ thả nhẹ Coi va chạm cầu đàn hồi xuyên tâm Bỏ qua ma sát, lấy g = 10m/s2 a HÃy mô tả chuyển động xác định chu kì dao động hệ C ë trung ®iĨm cđa NB 0,50 đ M A B k C N Trang 6/ 41 H×nh Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2019 - 2020 b Tìm vị trí C để chu kì dao động hệ chu kì dao động lắc đơn có chiều dài l nh dao động với biên độ nhỏ nơi thí nghiệm Câu Nội dung ý a + Do A va chạm với B đàn hồi nên động lợng động hệ đợc bảo toàn Điểm 4,5 0,25® mv1 mv1'  mv2' mv12 m(v1' ) m(v2' )   2 2 + Chän chiÒu dơng chiều với v1 0,25đ suy ra: mv1 mv1'  mv2' mv12 m(v1' ) m(v2' )   2  v1' 0, v2' v1 +T¬ng tự cho va chạm từ cầu A trở lại cầu B ta đợc v1'' v2' , v2'' + Sau va chạm cầu truyền hoàn toàn vận tốc cho cầu Hệ thống dao động tuần hoàn, lắc tham gia nửa dao ®éng + Chu kú dao ®éng T (T1 T2 ) với T1 chu kì dao động lắc đơn, 0,25đ 0,25đ T2 chu kì dao động lắc gắn với lß xo l 1, 4( s) g + Ta biÕt chu kỳ dao động lắc đơn: T1 Ta tìm T2 phơng pháp lợng: +Chọn mốc trọng trờng mặt phẳng ngang qua m cân +Xét vật m vị trí có li độ x: 0,25đ 0,25đ -Động cầu: Eđ = mv 2 -Thế trọng trờng: Et1 = mgx 2l 0,25đ -Thế hßn bi hƯ lß xo: Et2 = kx1  kx 2 2 +Cơ hệ: E = E® + Et1 + Et2 = mv - mgx  kx (1) 2l Do kh«ng có lực cản nên E = const +Lấy đạo hàm vế (1) theo thời gian t, ta đợc: ' 0,25® 0,25® 0,25® ' mvv’ - mgxx  kxx 0 l k g Hay x’’+(  ) x 4m l +Vậy vật dao động điều hòa víi tÇn sè gãc   T2  k g chu kì 4m l 0, 41s +Hệ dao động tuần hoàn với chu kỳ T  (T1  T2 ) =0,7 + 0,2 = 0,9s b 0,25đ x NB Đặt a = Khi vật m có li độ x Et2= k ( a ) kx  NC 2a Trang 7/ 41 0,25đ 0,5đ Vạch dấu D1 Vạch dÊu D2 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Hc 2019 - 2020 Chứng minh tơng tự ta ®ỵc: 2  k g  am l +Để T = T1 T1 = T2 hay 1 2 Tõ ®ã 0,5® g k g  l am l Thay số vào ta đợc a = Vậy lò xo phải mắc vào điểm C nằm cách N 0,5đ NB đoạn 10cm Câu – HSG Vĩnh phúc 2014/2015: Cho hệ hình vẽ Thanh cứng NB khối lượng không đáng kể, dài l = 50cm Đầu B gắn vật nhỏ khối lượng m =100g, quay dễ dàng quanh N mặt phẳng hình vẽ Lị xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m gắn với NB vị trí trung điểm C Khi hệ cân lò xo không biến dạng Kéo cầu B cho NB lệch góc nhỏ so với phương thẳng đứng thả nhẹ Bỏ qua ma sát, lấy g = 10m/s Coi q trình dao động lị xo nằm ngang Xác định chu kỳ dao động nh ca h + Chọn mốc trọng trờng mặt phẳng ngang qua m cân + Xét vật m vị trí có li độ x: - Động cầu: Eđ = mv 2 - Thế trọng trờng: Et1 = mgx 2l - Thế bi hƯ lß xo: Et2 = kx1  kx 2 2 + Cơ hệ: E = E® + Et1 + Et2 = mv - mgx  kx = const (*) 2l (1điểm) + Lấy đạo hàm vế (*) theo thời gian t, ta đợc: ' ' mvv - mgxx kxx 0  x’’+( l k g  ) x 0 4m l  vËt dao ®éng ®iỊu hòa với tần số góc chu kì T  0,5 k g …………  4m l 2 0, 41s …………………  0,25 0,25 Câu – HSG Nghệ An bảng A K12 2011/2012: Một lò xo nhẹ có độ cứng K , đầu gắn vào giá cố định mặt nêm nghiêng góc  so với phương ngang, đầu gắn vào vật nhỏ có khối lượng m (hình vẽ 1) Bỏ qua ma sát mặt nêm ma sát nêm với sàn ngang Nêm có khối lượng M Ban đầu nêm giữ chặt, kéo m lệch khỏi vị trí cân đoạn nhỏ thả nhẹ vật đồng thời bng nêm Tính chu kì dao động vật m so với nêm HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM: Tính chu kì dao động vật so với nêm (1điểm): + Trong hệ quy chiếu gắn với nêm: - Tại VTCB m nêm (khi m cân nêm nêm cân bàn): lị xo giãn đoạn: l0  mg sin  F (1)d K N K - Chọn trục Ox gắn với nêm trùng mặt nêm hướng xuống, O VTCB m • Q O F nêm m q m - Tại vị trí vật có li độ x: theo định luật II Niu Tơn: P X N mg sin   K (l0  x)  ma.cos =mx // (2) M Trang 8/ 41 P/ Hình 0,25 300 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2019 - 2020 với a gia tốc nêm so với sàn + Trong hqc gắn với bàn, với nêm ta có: (mgcos -ma.sin )sin -K(x+l )cos =Ma thay (1) vào biểu thức vừa tìm ta được: a 0,25  Kx.cos (3) M  m sin  + Thay (3) vào (2) cho ta:  Kx  m K x.cos 2 K ( M  m) mx //  x //  x 0 M  m.sin  m( M  m.sin  ) 2 m( M  m.sin  ) 0,5 2  K ( M  m) Câu – HSG Quảng bình 2012-2013 vịng đề thức: Một pittong khối lượng m trượt khơng ma sát xilanh đặt nằm ngang Ban đầu pittong ngăn xilanh thành hai phần chứa lượng khí lý tưởng áp suất P, chiều dài ngăn d, tiết diện pittong S Pittong hồn tồn kín để khí hai ngăn P, V P, V không trộn lẫn vào Dời pittong đoạn nhỏ thả không vận tốc đầu Coi q trình biến đổi khí xilanh đẳng nhiệt Chứng minh pittong dao động điều hòa Tìm chu kì dao Hình cho câu động chứng tỏ m dao động điều hồ so với nêm với chu kì: T  F2 F1 0,25 x x     Các lực tác dụng lên pittong gồm có: mg , N , F1 , F2 (F1 = P1.S, F2 = P2.S)    Ta ln có: mg  N 0 Ở vị trí cân bằng: P1= P2  F01 = F02 O - Câu (2,0 đ) Chọn trục ox hình vẽ, gốc O VTCB.Xét pittong vị trí có tọa độ x bé + V1= (d+x) S; V2 = (d-x) S + Áp dụng định luật Bôilơ-Mariốt: P1.S.(d +x) = P2 S.(d-x) = P.S.d ……………… + Áp dụng định luật II Newton: - P.S d x ma …………………………… d  x2 2.P.S x mx '' Vì x