1 động học và động lực học vật rắn

CHƯƠNG I: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN CHỦ ĐỀ 1: ĐỘNG HỌC VẬT RẮN VÀ ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN A LÝ THUYẾT CỦA CHỦ ĐỀ CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH Toạ độ góc - Xét vật rắn quay xung quanh trục Az cố định - Dựng mặt phẳng P0 cố định chứa trục quay mặt phẳng động P chứa trục quay gắn với vật Khi vật quay mp(P) quay theo Góc  P P0 dùng để xác định vị trí vật rắn gọi toạ độ góc vật - Đơn vị  radian (rad) - Chú ý : Nếu xét vật quay theo chiều chọn chiều dương chiều quay vật,   > Tốc độ góc - Tốc độ góc trung bình khoảng thời gian t là:      tb= (1.1) t  t0 t - Tốc độ góc tức thời thời điểm t:   lim t   d  , hay  = ’(t)t) t dt (1.2) Vậy: Tốc độ góc tức thời (gọi tắt tốc độ góc) đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh, chậm chuyển động quay vật rắn quanh trục thời điểm t xác định đạo hàm toạ độ góc theo thời gian - Đơn vị tốc độ góc rad/s Gia tốc góc - Gia tốc góc trung bình khoảng thời gian t là:   0  tb= t  t  t (1.3) - Gia tốc góc tức thời thời điểm t:   lim t   d  , hay  = ’(t)t) t dt (1.4) Vậy: Gia tốc góc tức thời (gọi tắt gia tốc góc) vật rắn quay quanh trục thời điểm t đại lượng đặc trưng cho biến thiên tốc độ góc thời điểm xác định đạo hàm tốc độ góc theo thời gian Đơn vị gia tốc góc rad/s2 Các phương trình động học chuyển động quay a) Trường hợp tốc độ góc vật rắn khơng đổi theo thời gian ( = const): chuyển động quay - Từ (1.1)      (t  t ) (1.5) Trong 0 toạ độ góc vật thời điểm t0 b) Trường hợp gia tốc góc vật rắn khơng đổi theo thời gian ( = const): chuyển động quay biến đổi - Các phương trình chuyển động quay biến đổi vật rắn quay quanh trục có dạng:     (t  t ) (1.6)     (t  t )   (t  t ) 2 (1.7)    02 2 (   ) (1.8) - Nếu vật quay theo chiều định tốc độ góc vật tăng dần theo thời gian chuyển động quay nhanh dần ( . >0) (trang1) Nếu tốc độ góc vật giảm dần theo thời gian chuyển động quay chậm dần (. < 0) Vận tốc gia tốc điểm vật quay - Quan hệ tốc độ dài tốc độ góc điểm vật quay: v  r (1.9) - Nếu vật rắn quay đều: vận tốc dài điểm vật rắn thay đổi hướng mà không thay đổi độ lớn, điểm có gia tốc hướng tâm có độ lớn: an  v2  r r (1.10) - Nếu vật quay không đều: vận tốc điểm thay đổi hướng độ lớn Do vectơ gia tốc điểm có thành phần:    a an  at Trong đó:  a n gia tốc hướng tâm, đặc trưng cho thay đổi hướng   v  at gia tốc tiếp tuyến, đặc trưng cho thay độ lớn   v: at  dv v' ( r. )' dt  at r. Độ lớn gia tốc a  a n2  at2 (1.11) (1.12)  Véctơ a hợp với bán kính OM góc α, với: a  tan   t  (1.13) an  PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH Mối liên hệ giữagia tốc góc momen lực  a) Momen lực đối F trục quay vng góc với F : M = F.d (2.1) Trong d tay địn lực = khoảng cách trục quay giácủa lực, M có đơn vị N.m Quy ước: Chọn chiều quay chiều dương, M > lực F có tác dụng làm vật quay theo  chiều dương; M < lực F có tác dụng làm vật quay theo chiều ngược lại b) Mối liên hệ gia tốc góc momen lực  Xét chất điểm M có khối lượng m, chuyển động đường trịn  tâm O bán kính r chịu lực F (hình vẽ)    - Phân tích: F Fn  Ft - Xét thành phần Ft: + Ft = mat = mr  Ftr = mr2 (2.2) + Vì Ftr = Frcos = Fd = M (2.3) - Vậy : M = (mr ) (2.4)  Xét trường hợp vật rắn gồm nhiều chất điểm khối lượng m i, mj, cách trục quay khoảng ri, rj, khác nhau: Ta có Mi = (mi ri2) (2.5) Lấy tổng cho tất chất điểm vật rắn ta   M  M i   mi ri   i  (2.6) (trang2) Momen quán tính Định nghĩa: Momen quán tính I trục đại lượng đặc trưng cho mức quán tính vật rắn chuyển động quay quanh trục ấy: I  mi ri (2.7) i Độ lớn I phụ thuộc vào khối lượng vật rắn phân bố khối lượng xa hay gần trục quay Đơn vị momen quán tính kg.m2 Ví dụ: Momen quán tính số vật đồng chất trục đối xứng nó: a) Đĩa trịn hình trụ đồng chất bán kính R, trục quay trùng với trục hình trụ: I  mR b) Vật có dạng hình trụ rỗng vành trịn, chiều dày nhỏ, bán kính R: I mR c) Hình cầu đồng chất: I  mR ml 12 d) Thanh mảnh đồng chất, chiều dài l, trục quay qua trung điểm vng góc với thanh: I  Định lí Stainơ – Huy-ghen: - Gọi  trục quay qua khối tâm, I mơ men qn tính vật  - Gọi  ' trục quay song song với  , cách  khoảng d Khi đó, mơ men qn tính rắn trục  ' I’ = I + md2 VD: Mơ men qn tính mảnh đồng chất trục quay qua đầu thanh, vng góc với là: 1 l I’ = m   + ml2 = ml2   12 Phương trình động lực học vật rắn quay quanh trục cố định (2.6)  M  I (2.8) Bài tập ví dụ Một thùng nước khối lượng m thả xuống giếng nhờ dây dài quấn quanh hình trụ có bán kính R, momen qn tính I Bỏ qua khối lượng dây momen quán tính tay quay Hình trụ coi quay tự khơng ma sát quanh trục cố định (hình vẽ) Tính gia tốc thùng nước Bài giải Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động tịnh tiến thùng nước, ta có: mg – T = ma (1) T lực căng dây Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay hình trụ, ta có: M = T.R = I. Hay T  I  R (2) Giữa gia tốc dài gia tốc góc có liên hệ:  = a R (3) Lấy (1) cộng (2) vế với vế, kết hợp với (3) ta suy mgR mR  I mg a g I = I  m  1 R mR  (trang3) BÀI TẬP Các phương trình động học:     (t  t )     (t  t )   (t  t ) 2    02 2 (   ) v  r v2  r r at r. an  Phương trình động lực học - Momen lực : M = F.d mi ri - Momen qn tính: I  i - Phương trình chuyển động quay: M  I Câu 1: Một bánh xe bán kính R = 30 cm quay nhanh dần từ tốc độ góc 0, 30s đầu quay 86,25 vịng Tốc độ góc bánh xe cuối 30s 4,75 vịng/s Tính gia tốc góc , tốc độ góc 0 tốc độ dài điểm mép bánh xe cuối 10s LG: - Trong t = 30s, bánh xe quay góc  = 86,25 vịng = 172,5 rad,  = 4,75 vòng/s = 9,5 rad/s Ta có: .t (1)  0  .t - Mặt khác:  0   .t (2)  0 t  - Thay (2) vào (1): (trang4)   .t    .t 2 2 2  t t (3) - Thay số ta được:  =  rad/s2 = 0,785 rad/s2  0   .t = 4 rad/s = vòng/s - Ở cuối 10s tiếp theo, tức sau t’ = 40s kể từ thời điểm ban đầu:  ' 0  .t ' = 12 rad/s  v = R = 11,31 m/s Câu 2: Cã hai vËt A vµ B khối lợng lần lợt 200g 100g đợc buộc vào hai đầu sợi dây mảnh, không giÃn, không khối lợng Dây đợc vắt qua ròng rọc đĩa hình trụ đồng chất khối lợng 200g, bán kính cm Giữ cho A B đứng yên, sau thả nhẹ Dây không trợt rßng räc LÊy g = 10 m/ s2.TÝnh gia tèc gãc cđa rßng räc, gia tèc cđa hai vËt A, B tốc độ góc ròng rọc sau A đợc 40cm LG: Chn chiu dng ngc chiu kim đòng hồ m1 g  T1 m1a1 Vật A: (1) m2 g  T1 m2 a2 Vật B: (2) T1 R  T2 R  I  Ròng rọc: (3) Liên hệ đại lượng động học hệ: a1  a2  R. (4) (m  m2 ) g a I = 2,5 m/s2 →  = 62,5 rad/s2 Giải hệ (1)  (4) ta được: m1  m2  R Sau s = 40 cm = 0,4 m  Vận tốc A v  2.a.s = m/s  Tốc độ góc rịng rọc:  v = 25 rad/s R Câu - HSG chọn đội dự tuyển QG vịng Quảng Bình 2016-2017(4 điểm): Cho hệ hình Trong sợi dây khơng dãn, khối lượng không đáng kể, đầu dây gắn với vật có khối lượng M đầu quấn vào hình trụ đặc đồng chất khối lượng m có bán kính R.Tồn hệ M thống vắt qua rịng rọc khơng có khối lượng gắn đỉnh  mặt phẳng nghiêng nằm cố định với góc nghiêng Bỏ qua ma sát mặt phẳng nghiêng rịng rọc Ban đầu hệ đứng n sau thả tự cho vật chuyển động không vận tốc đầu phần dây hình  trụ ln thẳng đứng Tìm gia tốc chuyển động tịnh tiến hai vật M m Biện luận gia tốc hai vật theo góc  HƯỚNG DẪN CHẤM: (trang5) m Hình +  T + Các lực tácdụngMg lên vật v chọn chiều dương nh h×nh vÏ: mg - T = m.am (1) T - Mg sin  = M.aM T.R= mR γ v M = v m - R điểm 0,5 0,5 (2) 0,5 (3) v× dây không giÃn nên điểm dây có vËn tèc vA (4) a M = a m - R Giải hệ (4) phơng trình ta c: m-3Msin aM = g m+M m+ M(2 - sinα) am = g m+M 0,25 0,25 0,5 0,5 Biện luận V× :  sin    am  : Vật m chuyển động xuống 0,25 Khi : m > 3M sin  : Vật M chuyển động lên theo chiều dương 0Z 0,25 m < 3M sin  : Vật M chuyển động xuống ngược chiều dương 0,25 0Z m = 3M sin  : Vật M đứng yên 0,25 Câu – HSG Ninh bình 2012-2013: Một bánh xe khơng biến dạng khối lượng m, bán kính R, có trục hình trụ bán kính r tựa lên hai đường ray song song nghiêng góc α so R với mặt phẳng nằm ngang hình Coi hệ số ma sát trượt trục r hình trụ hai đường ray hệ số ma sát nghỉ cực đại chúng  Cho biết momen quán tính bánh xe (kể trục) trục quay qua tâm I = mR2  Giả sử trục bánh xe lăn khơng trượt đường ray Tìm lực ma sát Hình trục bánh xe đường ray α α Tăng dần góc nghiêng tới giá trị tới hạn trục bánh xe bắt đầu trượt đường ray α Tìm Câu Đáp án Điểm (2,5 điểm) (4 điểm) Khi bánh xe lăn khơng trượt, ta có phương trình chuyển động 0,75 -tịnh tiến: mgsinα  Fms ma a 0,75 Fms r I.γ -quay: với γ  I m.R Từ phương trình rút a (trang6) r gsinα R 1    r  1,0 R2 suy ra: Fms  2 mgsinα R r (1,5 điểm) Để bánh xe trượt đường ray, lực ma sát đạt giá trị cực đại 0,75 Fms Fmsmax μ.N μ.mgcosα0 Theo kết câu 1: Fms   tanα  R mgsinα R  r2 (do α α ) 0,75 R2  r2 μ R2 Câu 5(2đ) – HSG Thanh hóa 2011-2012: Một rịng rọc hình trụ khối lượng M=3kg, bán kính R=0,4m dùng để kéo nước giếng (hình vẽ) Một xơ khối lượng m=2kg, buộc vào sợi dây quấn quanh ròng rọc Nếu xơ thả từ miệng giếng sau 3s chạm vào nước Bỏ qua ma sát trục quay momen quán tính tay quay Lấy g = 9,8 m/s2 Tính: a Lực căng T gia tốc xơ, biết dây khơng trượt rịng rọc b Độ sâu tính từ miệng giếng đến mặt nước HƯỚNG DẪN GIẢI: Hình câu Câu Thang điểm Đáp án a Đối với xô: mg – T = ma  Q (1) Đối với ròng rọc: a 1 T R I  M R t  T  M at R Câu (2điểm) 0,25   T' Mg Dây khơng trượt nên rịng rọc có: a a (3)  Từ (1), (2) (3) ta tính được: a = 0,56 m/s2, T = 8,4 N T (2) t 0,5 0,25 0,5  mg 0,5 b h  at  (5,6).(3) 25,2m Câu – HSG Thanh hóa 2010-2011 đề thức (2,5 điểm): Một rịng rọc kép gồm hai hình trụ đặc đồng chất đặt đồng tâm Hình trụ lớn có khối lượng M = 200g, bán kính R = 10cm, hình trụ nhỏ có khối lượng m = 100g, bán kính r = 5cm Trên rãnh hình trụ có quấn sợi dây R đầu tự dây mang vật khối lượng m = 250g m2 = 200g (hình nhẹ không dãn, + vẽ) Ban đầu hệ đứng yên, thả cho hệ chuyển động Tính gia tốc vật lực căng dây treo r HƯỚNG  DẪN GIẢI: Câu T m(2,5 đ) P1  T2 m2  P2 Nội dung Điểm R r  Biểu diễn lực tác dụng lên hệ Vì R.P2 > r.P1 nên m2 xuống, m1 lên (trang7) 0,5 m1 m2  Áp dụng định luật II Newton cho m1, m2: Vật m1: - m1g + T1 = m1a1 (1) Vật m 2: m2g – T2 = m2a2 (2) Áp dụng phương trình ĐLHVR cho rịng rọc: T2R – T1r = I (3) Mặt khác: a1 = r (4) a = R (5)  Từ (1), (2), (3), (4), (5):  0,5 0,5 (m2 R  m1 r ) g 1 với I  MR  mr 2 2 m2 R  m1 r  I Thay số:  = 20 rad/s2 ; a1 = 1m/s2 ; a2 = 2m/s2 ;  T1 = m1(g + a1); T2 = m2(g - a2) , thay số T1 = 2,75N; T2 = 1,6N 0,5 0,5 Câu 7: Cuộn lăn phía nào, ta kéo sợi góc nghiêng khác (Hình 1.22)? Xét trường hợp sau: a) phương dây qua điểm O (điểm c tiếp xúc vành cuộn mặt bàn); b) góc kéo dây nhỏ a trường hợp a; c) góc kéo dây lớn trường hợp a Trong b ba trường hợp cuộn không trượt HƯỚNG DẪN GIẢI: Phương trình chuyển động tịnh tiến: F cos   Fmsn ma (1) Phương trình chuyển động quay quanh trục 0: Fmsn R  F r I 0 Hình 1.22 (2) + a Ta có:   ; I  mR R với   hệ số Từ phương trình (1) (2), suy ra: a F ( R cos   r ) mR(1   ) Fmsn F (  R cos   r )  0 R (1   )  Fmsn (3) r  a  F  R K Hình 1.22G (4) Theo (4) lực ma sát ln hướng bên trái Theo (3) thì: a, Khi cos    r  a 0 Lực F có giá qua điểm tiếp xúc K Do khơng gây momen R K,  0 Cuộn đứng cân r  a  cuộn chuyển động sang phải R r c, Khi cos    a  cuộn chuyển động sang trái R b, Khi cos   (trang8) Câu – HSG Quảng nam 2013-2014: Trên mặt phẳng nghiêng góc α (so với mặt ngang) đặt vật hình hộp nhỏ A vật hình trụ đặc B, đồng chất, khối lượng phân bố Cùng lúc cho hai vật bắt đầu chuyển động xuống phía theo đường dốc mặt nghiêng Vật A trượt, vật B lăn không trượt q trình chuyển động hai vật ln cách khoảng không đổi Biết hệ số ma sát trượt vật A mặt phẳng nghiêng μ a) Tìm giá trị góc α b) Hệ số ma sát μ’ vật B mặt phẳng nghiêng phải thỏa mãn điều kiện để có chuyển động hai vật trên? Bài 3,0 - Phương trình chuyển động vật A (theo phương nghiêng): m1gsinα – μm1gcosα = m1a1  Gia tốc vật A: a1 = g.(sinα – μcosα) 0,50 - Phương trình chuyển động tịnh tiến vật B: m2gsinα – Fms2 = m2a2 (1) 0,50 - Với Fms2 lực ma sát giữ cho B lăn không trượt, đồng thời gây quay quanh trục với gia tốc góc γ Ta có phương trình: M = I.γ  Fms2.r = m2.r2.γ (2) - Vật B lăn không trượt nên:   Từ (1), (2) (3): a  g.sin  a2 r 0,25 (3) 0,25 (4) 0,25 - Muốn khoảng cách hai vật không đổi thì: a1 = a2  g.(sin  cos    g.sin   tg 3 0,25  α = arctg3μ b) Từ (1) (4) ta có: Fms  m g sin  0,25 - Lực ma sát cực đại B mặt nghiêng: Fmsnmax = μ’m2gcosα - Điều kiện phải thỏa mãn là: Fms2 ≤ Fmsnmax  m g sin   ' m g cos   '  tg  0,25 0,25 0,25 Câu – HSG Thừa thiên huế 2008-2009: Một hình trụ đặc bán kính R, khối lượng m = 20 kg quay khơng ma sát quanh trục cố định nằm ngang trùng với trục hình trụ Trên hình trụ có quấn sợi dây khơng giãn, khối lượng không đáng kể Đầu tự m O dây có buộc vật nặng m2 = kg, hình vẽ Tìm gia tốc vật nặng lực căng dây Biết moment quán tính hình trụ trục quay I = m1R ; lấy g = 10 m/s2 HƯỚNG DẪN CHẤM: Câu Nội dung – Yêu cầu - Do tác dụng trọng lực P2 = m2g, hệ chuyển động : hình trụ quay vật nặng tịnh tiến xuống (4đ) - Gọi a gia tốc dài vật nặng, γ gia tốc góc hình trụ Ta có: a = Rγ - Áp dụng định luật II Newton cho vật nặng: m2g – T = m2a (1) (trang9) Điểm 0,5 m (với T lực căng dây tác dụng lên vật nặng) - Phương trình chuyển động quay hình trụ : M = I γ , với M = T’R = TR (với T’ lực căng dây tác dụng lên hình trụ, T’ = T) a (2) R 2m g  2,86 (m/s2) - Từ (1) (2) ta có : a = 2m + m1 T = m2(g – a)  286 (N) I= m1R , γ= 0,5 0,5 0,75 1,0 0,75 Câu 10 – HSG Long an 2012-2013 bảng A: Dùng ròng rọc có vành bán kính R2 = 2R1 để kéo vật nặng khối lượng m = 50kg từ mặt đất lên cao 10m nhanh dần R2 2s bỏ qua ma sát Coi ròng rọc đĩa trịn có khối lượng M = 2kg Lấy g =10m/s2 Hãy xác định độ lớn lực F? R1  F HƯỚNG DẪN GIẢI: R2 R1  F m 0,25đ  T m  P Xét vật S 2.10 S  at  a   5m / s 2 t T  mg ma  T m( g  a ) 50.15 750 N Xét rịng rọc: a Ta có:   R 0,5đ 0,5đ Đến kết T cho điểm 0,25đ F R2  T R1 I  0,25đ a  F R1  T R1  MR22 R1 0,5đ a  F R1  T R1  M R12 R1 2M a  T 385 N  F 0,25đ 0,5đ Câu 11 (2 điểm): Chứng minh momen qn tính rắn, mảnh, đồng chất có chiều dài L, khối lượng m trục quay vng góc với đầu I = HƯỚNG DẪN: Câu3 (4 điểm): (trang10) mL2 so với phương nằm ngang Rịng rọc có bán kính R = 10 cm, momen quán tính I = 0,05kg.m Thả cho hai vật chuyển động với vận tốc ban đầu Bỏ qua ma sát, coi sợi dây khơng trượt rịng rọc Lấy g = 10 m/s2 a Tính gia tốc vật A lực căng dây b Tính áp lực dây nối hai vật lên ròng rọc HƯỚNG DẪN GIẢI:  T 'B  T'A  TA   TB N B B  PB A  PA 0,5  (Hình 1) a - Vì M P  M P sin  nên A chuyển động xuống - Phương trình động lực học cho A; B rịng rọc A   PA  TA m A a  TB  PB sin  mB a  Ia TA  TB  R I  R B (1) (2) 0,5 (3) - Từ (1), (2), (3)  a=0,5 m/s2; TA = 19N; TB = 16,5N b      - Áp lực lên ròng rọc: Q TA 'TB ' với TA ' ; TB ' 600 TA' TA , TB' TB 0.5 0.5 - Suy Q  TA2  TB2  2TA TBcos600 30, 769 (N) 0.5 Câu 15 – HSG Bà rịa vũng tàu 2010-2011: Hai vật có khối lượng m1 m2 nối với sợi dây nhẹ, không dãn vắt qua rịng rọc có trục quay nằm ngang cố định gắn vào mép bàn (hình 3) Rịng rọc có m2 momen qn tính I bán kính R Coi dây khơng trượt rịng rọc quay Biết hệ số ma sát vật m mặt bàn , bỏ qua ma sát trục quay a Xác định gia tốc m1 m2 b Tìm điều kiện khối lượng m1, m2 hệ số ma sát mặt bàn  m1 Hình để hệ thống nằm cân HƯỚNG DẪN GIẢI: a/ Xác định gia tốc m1 m2 (2,5đ) + Biểu diễn lực hình + Xét vật m1: m1g – T1 = m1a  T1 = m1(g –a) (3.1) + Xét vật m2 : T2 – Fms = m2a  T2 = m2(g + a) (3.2) + Xét ròng rọc : (T1 – T2)R = I  T1  T2 I Từ (4.1), (4.2), (4.3)  a g(m1  m2 ) I  m1  m2 R2 a R2 (3.3) (3.4) b/ Tìm điều kiện khối lượng m 1, m2 hệ số ma sát mặt bàn  để hệ thống nằm cân Để hệ thống nằm cân P1 = Fmsn ≤ (Fmsn)max,  m2µ ≥ m1 (trang12) 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Câu 16(5 điểm): Trên mặt sàn nằm ngang hoàn toàn nhẵn có đặt nêm, khối lượng M, mặt nêm nghiêng góc  = 30 so với phương ngang Trên mặt nêm có đặt cầu đồng chất, đặc, bán kính R, khối lượng 0,5M Khi thả, cầu lăn khơng trượt nêm (như hình vẽ) Hãy xác định gia tốc nêm Lấy g = 10 m/s HƯỚNG DẪN GIẢI: (5 điểm) Hãy xác định gia tốc nêm - Gọi nêm vật 1, cầu vật - Xét chuyển động nêm hệ quy chiếu mặt đất (Hình a) / N 21 sin  - F msn cos  = Ma (1) - Xét chuyển động cầu hệ quy chiếu gằn với nêm (Hình b) Chọn chiều (+) hình vẽ ta có: F qt cos  + 0,5Mgsin  - F msn = 0,5Ma 21 (2) N 12 + F qt sin  - 0,5Mgcos  = (3) F msn R = a 2 0,5MR  = 0,5MR 21 5 R F msn = 0,5Ma 21 F qt N 12 (4) = 0,5Ma / = N 21 = N; F msn = F msn (5) (6) g sin  cos  Thay (3), (4), (5), (6) vào (1), (2) ta được: a = 4,2  cos   1,26 m/s Câu 17: ÔN THI HSG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG (Khảo sát chuyển động vành tròn mặt phẳng) Một vành trịn mảnh bán kính R khối lượng M phân bố Trên vành mặt có gắn vật nhỏ khối lượng m (hình vẽ) Kéo cho vành lăn không trượt mặt ngang cho tâm vành có vận tốc v0 Hỏi v0 phải thoả mãn điều kiện để vành khơng nảy lên? Lực tác dụng lên vành để kéo vành chuyển động với vận tốc khơng đổi (như giả thiết) khơng có thành phần thẳng đứng? Bài giải + Khi m vị trí bất kì, lực tác dụng vào m có P F lực mà vành Q tác dụng vào m Có thể phân tích lực F thành hai phần: N có phương trùng với bán kính vành trịn, chiều hướng tâm, Q có phương tiếp tuyến với vịng (hình vẽ) N Định luật II: m a P  Q  N (1) P Chiếu (1) theo Q theo N +Thành phần lực F tác dụng vào m theo phương thẳng đứng: Fy = Qsin - N cos (3) Từ (2) (3) ta có: Q  P sin     P cos   N   mv R  mv  mv02 Fy  P sin     P cos    cos   P  cos  R  R  (Fy)max  = vật vị trí cao nhất, Fy hướng xuống với (Fy)max = P - mv02 R Theo định luật III lực tác dụng từ m vào vành M có phương ngược với Fy, (Fy’ hướng xuống): mv02 (Fy)’max = - (Fy)max = -P Vành không nẩy lên khi: R ( Fy' ) max  Mg  mv 02 m   P  Mg  v0     gR R M  (trang13) Câu 19 - ÔN THI HSG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG Vật rắn có liên kết rịng rọc Có hai rịng rọc hai đĩa tròn gắn đồng trục Ròng rọc lớn có khối lượng m = 200g, bán kính R1 = 10cm Rịng rọc nhỏ có khối lượng m’ = 100g, bán kính R2 = 5cm Trên rãnh hai rịng rọc có hai dây quấn ngược chiều để m1 xuống m2 lên ngược lại Đầu dây ròng rọc lớn mang khối lượng m1 = 300g, đầu dây ròng rọc nhỏ mang khối lượng m2 = 250g Thả cho hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên Lấy g = 10m/s2 a Tính gia tốc vật m1 m2 b Tính lực căng dây treo Lời giải P1 = m1g > P2 = m2g, nên m1 xuống, m2 lên Phương o r1 r2 trình chuyển động m1 m2: P1  T1 m1 a1 ; P2  T2 m2 a (1) Chiếu (1) theo chiều (+) chiều chuyển động m1 m2: m1 g  T1  m1 a1 ( 2)  T2  m g  m a Với ròng rọc T1R1 - T2R2 = I I= (3) a a 1 mR12  mR22 ;    ; a1 2a 2 R1 R2 T + Nhân (2a) với R1, (2b) với R2, cộng hai vế (2) (3):  m1gR1 - m2gR2 = m1a1R1 + m2a2R2 + I = a2 T m2 m1  (m1 R1  m2 R2 ) g I   2m1 R1  m2 R2    a  I R2   2m1 R1  m2 R2  R2 P P thay số ta được: a2 = 1,842 (m/s2); a1 = 2a2 = 3,68 (m/s2) + Thay a1, a2 vào (2) ta T1 = 1,986 (N); T2 = 2,961 (N) Câu 20 – HSG Gia lai 2015-2016 bảng A đề thức: Một đĩa tròn đồng chất, khối lượng M = 2(kg) phân bố đều, bán kính R = 0,5 (m) quay quanh  trục thẳng đứng độ cao h = (m) so với mặt đất Một thép mỏng, v M R nhẹ uốn thành nửa vòng trịn có bán kính r = , gắn cố định đĩa (hình 1) Ban đầu, đĩa trạng thái đứng yên, cầu nhỏ khối lượng m = (kg) truyền với vận tốc v0 = 3(m / s) R m M h r O  v0  m Hình1 theo phương tiếp tuyến vào phía bên bề mặt vịng thép Lấy g = 9,81(m / s ), bỏ qua ma sát lực cản khơng khí a Tìm tốc độ cầu rời đĩa b Tìm khoảng cách từ mép đĩa đến nơi cầu chạm mặt đất c Kể từ thời điểm cầu rời đĩa vị trí K đến thời điểm cầu chạm đất A điểm K đĩa cách A khoảng bao xa? Biểu Câu Nội dung điểm (trang14) 4,0 điểm (đ) a Lập luận dẫn đến: M mv1R -  v1 Mặt h dA h x sx A  Hình1 Từ (1), Thay MR 2w = (1) khác, ta có: 2 1 mv = mv + MR 2w2 2 2 tốc độ góc đĩa: 2mv1R m v1 w= = (3) M R MR vào (2), ta được: 0,25 (2) Tốc độ cầu m rời đĩa là: v1 = v0 (4) M m =3 = 2,12( ) M + 2m + 2.1 s 2h 2.1 = = 0,45(s) g 9,81 Quãng đường mà cầu chuyển động theo phương ngang thời gian b Thời gian cầu chạm đất kể từ lúc rời đĩa t = 2h = v1.t = 2,12.0,45 = 0,95(m) g Khoảng cách x theo phương ngang từ mép đĩa đến nơi cầu chạm mặt đất: sx = v1 M 2h x = R + (vt ) - R = R +v - R M + 2m g 2 Þ x = 0,52 + 32 2.1 - 0,5 = 0,58(m) + 2.1 9,81 dA = h2 + x2 = 12 + (0,58)2 = 1,156(m) » 1,16(m) c Góc mà đĩa quay thời gian t : ổm v mv M 2h ữ ỗ j = wt = ỗ 1ữ t =2 (5) ữ ỗ ữ ỗ MR M + 2m g è M Rø    O  R  K1 sx A  0,25 0,25 0,25 Þ j =2 0,25 0,25 0,25 1.3 2.1 = 1,92rad » 110o 2.0,5 + 2.1 9,81 Gọi: K vị trí hình chiếu điểm K nơi mà cầu Hình rời đĩa; K vị trí điểm K thời điểm cầu chạm đất Ký hiệu góc mặt phẳng hình chiếu bằng: ÐK 1OK = j ;ÐAOK = a;ÐAOK = b Ta có: a = arccos 0,25 Khoảng cách dA từ mép đĩa đến nơi cầu chạm mặt đất: K2 0,25 0,25 ỉm v ÷ ỉ 2 1 m m2 ữ ỗ 1ữ ữv12 ỗ mv0 = mv1 + MR ỗ = ỗ ữ ỗ ỗ2 + M ữ ữ ữ ç ç 2 2 M R ø è ø è 0,25 0,25 R (6) d0 Với d0 = R + sx2 = R + v12 2h g 0,25 (trang15) Þ d0 = R + v02 M 2h 2.1 = 0,52 + 32 = 1,08(m) M + 2m g + 2.1 9,81 Thay vào (6) ta tính a = arccos 0,25 R 0,5 = arccos = 1,09(rad) = 62,4o d0 1,08 0,25 o Do b = 2p - j - a = 6,28 - 1,92 - 1,09 = 3,27(rad) = 187,5 Áp dụng định lí hàm số cos ta tìm hình chiếu phương ngang 2 2 0,25 o AK 2x = d + R - 2d0R cosb = 1,08 + 0,5 - 2.1,08.0,5.cos187,5 = 1,58(m) S uy khoảng cách cần tìm xác định định lí Pi-ta-go: AK = h2 + AK 22x = 12 + 1,582 = 1,78(m) Câu 21 – HSG Bình thuận 2015-2016 chọn đội tuyển thi QG: Cho mặt phẳng nghiêng nhám tạo góc  so với phương ngang hai vật rắn M1, M2 có dạng hình trụ đồng chất, có khối lượng m, có bán kính (vật M hình trụ đặc; vật M2 hình trụ rỗng, thành mỏng) Ma sát vật mặt nghiêng đủ lớn để vật  a lăn không trượt mặt nghiêng Hệ số ma sát trượt hai vật  Gia tốc  trọng trường g a Đặt vật lên mặt phẳng nghiêng hình (a) thả nhẹ để  b vật lăn khơng trượt Tính gia tốc trục hình trụ vật  b Đặt lúc hai vật lên mặt phẳng nghiêng cho hai vật tiếp xúc với hình (b) thả nhẹ Hỏi phải đặt M2 phía trước hay sau M1 để hai vật lăn không trượt mặt nghiêng mà tiếp xúc với nhau? Tính gia tốc trục hình trụ vật áp lực tương tác vật a Chọn chiều dương hình vẽ Hình trụ chịu tác dụng lực hình vẽ Theo định luật II Newton: mg sin   f ma (1)………………………… … f N     [0,25đ] P Áp dụng định lý biến thiên MMĐL cho trục quay trùng với khối tâm: f R I  (2)………………………… ….[0,25đ] Do hình trụ lăn khơng trượt nên ta có: a  R (3)………………………………[0,25đ] Từ (1), (2) (3); giải HPT ta tìm được: (trang16)   a g sin  a I 1 …………………………………………[0,25đ] mR I mR  ar  g sin  + Hình trụ rỗng: ………………………………………….[0,25đ] 2 I  mR  ad  g sin  + Hình trụ đặc: …………………………………………[0,25đ] b Chọn chiều dương hình vẽ Các hình trụ chịu tác dụng lực hình vẽ (để đơn giản, ta không vẽ phản lực mặt nghiêng tác dụng) Do ar < ad nên trụ đặc lăn nhanh trụ rỗng, để hai hình trụ ln tiếp xúc trình trượt phải đặt hình trụ rỗng phía trước hình f1 N F1    F2 P1 f2 trụ N    b P2 đặc…………………………………………… [0,5đ] Theo định luật II Newton: mg sin   N  f1 ma (4) mg sin   N  f ma (5) …………………………………………………… [0,25đ] …………………………………………………… [0,25đ] Áp dụng định lý biến thiên MMĐL cho trục quay trùng với khối tâm: f1.R   N R  mR 1 (6)……………………………………………[0,25đ] f R   N R mR 2 (7)…………………………………………… [0,25đ] Do hai hình trụ ln tiếp xúc với lăn không trượt mặt nghiêng nên: a1 a2 a  R [0,25đ] Thay vào (6), (7) ta được: f1   N  ma f   N ma (6a)………………………………… ……………………[0,25đ] (7a)…………………………………………… ………… [0,25đ] (trang17) Thay (6a), (7a) vào (4), (5) ta được: mg sin       N  ma (4a) ……………………………………………[0,25đ] mg sin       N 2ma (5a) ………………………………………… [0,25đ] Giải HPT (4a) (5a) ta tìm được: N mg sin  ………………………………….[0,25đ]  7 a g sin  ……………………………….….[0,5đ]  7 Câu 22: Một vòng dây cao su trịn có hệ số đàn hồi k 0, khối lượng m, nằm mặt phẳng ngang nhẵn Vòng kéo giãn cho ln trạng thái trịn với tâm bất động, sau thả Hỏi có xu hướng chuyển động nào? Giải: Xét đoạn nguyên tố dl = R0d có độ cứng k k0 2 d Lực căng dây tác dụng lên dl bán kính tăng tới R : T = k(R - R0)d = 2k0(R-R0) Phương trình động lực học chiếu lên trục Oy qua tâm: - Td = dmR" Suy T  Chú ý : R" 2k ( R  R0 )  = dm m R"  R" d 2 (R - R 0)" suy m ( R  R0 )" 2 Đặt x = R- R0 ta có : T 4 k x  x 0 m d O dl Vịng dây dao động điều hồ với tần số góc  2 y R T k m Chu kỳ dao động  m k Bài 23: Một OM quay mặt phẳng nằm ngang, quanh đầu O cố định Đầu M trượt không ma sát dây dẫn uốn thành cung trịn AB bán kính OM Mặt phẳng cung AB nằm ngang, I điểm cung Tâm O đầu A L nối  với cuộn dây có độ tự cảm L Một từ trường cảm ứng A B từ B vng góc với mặt phẳng cung AB Bỏ qua điện trở Ban đầu đầu M OM đứng yên I Người ta truyền cho M O vận tốc v theo phương tiếp tuyến với cung tròn I B  1/ Thanh chuyển động ? Viết phương trình chuyển động thanh? (trang18) I 2/ Vận tốc M quay khơng 900 so với OI ? Giải: 1/ Xét thời điểm t , góc lệch  so với phương OI, vận tốc góc ' Suất điện động cảm ứng E C  Bl  ' (1) Suất điện động tự cảm cuộn dây: ET = - Li' (2) Điện trở mạch không cho nên: EC + ET = Bl 2 Bl 2 ' Suy ra: i '   i  K 2L 2L Tại thời điểm t = : 0 = ; i0 =  K = Vậy Bl 2 i  2L (3) B l 3 Từ lực tác dụng lên thanh: F iBl  2L (4) Phương trình động lực học cho chuyển động tâm quay O: F l  I " l2 3B 2l Với  0 (5) I  I G  m  ml Suy ra:  " 4mL Phương trình cho nghiệm   A sin(t   ) (6) Với   Bl mL (7) Tìm A   0  0    v   v 2v mL (8) Tại thời điểm ban đầu    '  l  A  l  Bl  2/ Muốn cho    2v mL  Bl Thì A   (9)   v Bl mL Câu 24 - Đề thi đề nghị chuyên Biên hòa Hà Nam thi Duyên Hải đồng Bắc Bộ 2010: Một mảnh OA đồng chất, khối lượng M = 1kg, dài l = 1m quay không ma sát mặt phẳng thẳng đứng quanh trục cố định nằm ngang qua đầu O Lúc đầu vị trí cân bằng, vật nhỏ khối lượng m chuyển động thẳng với vận tốc V0 = 0,5 O m/s vuông góc với vng góc với trục quay thanh, đến va chạm vào đầu tự A (hình 2) Coi va chạm hồn tồn khơng đàn hồi Sau va chạm, m gắn vào đầu A dao động Biết mô men quán tính mảnh trục quay quanh O I  Ml Lấy g = 10 m/s2 Chứng minh sau va chạm, hệ dao động điều hoà  Chọn gốc thời gian lúc va chạm, chiều dương chiều V0 , gốc toạ độ vị trí cân hệ Lập phương trình li độ góc hệ HƯỚNG DẪN CHẤM: (trang19)  V0 m A m va chạm mềm với l: * Áp dụng định luật bảo tồn mơmen động lượng: Ltrước v.c = L sau v.c I m 0 (I m  I M ). 0,5 Ml ).  3mV0 l (3m  M )l   ml 0 (ml  3mV *   (3m  M )l : tốc độ góc hệ sau va chạm, đồng thời tốc độ góc cực đại hệ (M+m) * Sau va chạm, hệ lệch góc  nhỏ khỏi vị trí cân Phương trình động lực học cho vật rắn quay quanh trục cố định O: M = Ihệ  l  Mg sin   mg.l.sin   ( 0,5 0,5 M  m).l  * Do sin     " g l2 3 g M  2m    "  2l M  3m g M  2m Đặt   =>  "    => hệ vật dao động điều hoà 2l M  3m  ( M  2m)   (3m  M )  " Phương trình li độ   cos (t   ) * pt li độ góc có dạng:  pt tốc độ góc có dạng:    .sin (t   ) * tốc độ góc cực đại: max =      0,5 0,5 max 3mV0 2l M  2m   ( M  3m)l g M  3m * Thay số: M = 1kg; m = 0,2kg; l = 1m; V0 = 0,5m/s, ta được: 0,5 0,5  3, 62(rad / s );  0, 05( rad ); * Chọn t0 = lúc va chạm =>    0,5 Vậy pt li độ góc hệ vật là:  0, 05.cos (3,62.t -  ) (rad) Câu 25 - Trích đề thi chọn HSG dự thi Quốc gia Thành ph H ni 2007/2008: Một vành tròn mảnh đồng chất quay quanh trục qua tâm vuông góc với mặt phẳng vành với vận tốc góc Ngời ta đặt nhẹ vành xuống chân mặt phẳng nghiêng góc so với phơng ngang (xem hình vẽ) Hệ số ma sát trợt vành mặt phẳng nghiêng Biết vành có khối lợng m, bán kính R Bỏ qua ma sát lăn Lấy gia tốc trọng trờng g a/ Tìm điều kiện để vành lên mặt phẳng nghiêng b/ Giả sử điều kiện nói câu a đà thỏa mÃn Tính thời gian để vành lên đến độ cao cực đại quÃng đờng vành lên đợc mặt phẳng nghiêng Gii: a) Do vận tốc ban đầu khối tâm không nên đặt xuống vành vừa quay vừa trợt mặt phẳng nghiêng Phơng trình động lực học cho khối tâm: mặt Để vành lênsin Fms đimg ma phẳng nghiêng a > 0, tan .1,5 điểm mgkhối cos tâmmgtăng sin dÇnma b) VËn tèc vËn tèc   giảm dần, đến thời điểm a g( cos sin ) (trang20) hay Fms N  P gãc