Công thức toán lượng giác
CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I. Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với 02 ≤ β≤ π Đặt k2 ,k Zα=β+ π ∈ Ta đònh nghóa: sin OKα= cos OHα= sin tg cos α α= α với co s 0α≠ cos cot g sin α α= α với sin 0α≠ II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trò () o 00 () o 30 6 π () o 45 4 π () o 60 3 π () o 90 2 π sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 t g α 0 3 3 1 3 || cot gα || 3 1 3 3 0 III. Hệ thức cơ bản 22 sin cos 1α+ α= 2 2 1 1tg cos +α= α với () kkZ 2 π α≠ + π ∈ 2 2 1 tcotg sin += α với ( ) kkZα≠ π ∈ IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a. Đối nhau: và −α α ( ) sin sin−α = − α ( ) cos cos−α = α ( ) ( ) tg tg−α = − α ( ) ( ) cot g cot g−α = − α b. Buø nhau: vaø α π−α ( ) () () () sin sin cos cos tg tg cot g cot g π−α = α π−α =− α π−α =− α π−α =− α c. Sai nhau : vaø π+ π α α ( ) () () () sin sin cos cos tg t g cot g cot g π+α =− α π+α =− α π+α = α π+α = α d. Phuï nhau: vaø α 2 π −α sin cos 2 cos sin 2 t g cot g 2 cot g t g 2 π ⎛⎞ −α = α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ −α = α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ −α = α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ −α = α ⎜⎟ ⎝⎠ e.Sai nhau 2 π : α vaø 2 π +α sin cos 2 cos sin 2 t g cot g 2 cot g t g 2 π ⎛⎞ +α = α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ +α =− α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ +α =− α ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ +α =− α ⎜⎟ ⎝⎠ f. ()() ()() () () +π=− ∈ +π=− ∈ +π= ∈ +π= k k sin x k 1 sin x,k Z cos x k 1 cosx,k Z tg x k tgx,k Z cotg x k cot gx V. Công thức cộng ( ) () () sin a b sinacosb sin bcosa cos a b cosacosb sin asin b tga tgb tg a b 1tgatgb ±= ± ±= ± ±= m m VI. Công thức nhân đôi = =−=− = = − − = 22 2 2 2 2 sin2a 2sinacosa cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1 2tga tg2a 1tga cotg a 1 cotg2a 2cotga − VII. Công thức nhân ba: 3 3 sin3a 3sina 4sin a cos3a 4 cos a 3cosa =− =− VIII. Công thức hạ bậc: () () 2 2 2 1 sin a 1 cos2a 2 1 cos a 1 cos2a 2 1cos2a tg a 1cos2a =− =+ − = + IX. Công thức chia đôi Đặt a tt g 2 = (với ak ) 2≠π+ π 2 2 2 2 2t sina 1t 1t cosa 1t 2t tga 1t = + − = + = − X. Công thức biến đổi tổng thành tích () () ab ab cosa cosb 2cos cos 22 ab ab cosa cosb 2sin sin 22 ab ab sina sinb 2cos sin 22 ab ab sina sinb 2cos sin 22 sin a b tga tgb cosacosb sin b a cotga cotgb sina.sin b +− += +− −=− +− += +− −= ± ±= ± ±= XI. Công thức biển đổi tích thành tổng () () () () ()() 1 cosa.cosb cos a b cos a b 2 1 sina.sin b cos a b cos a b 2 1 sina.cosb sin a b sin a b 2 =⎡ + + −⎤ ⎣⎦ − =⎡ +− − ⎣⎦ =⎡ + + −⎤ ⎣⎦ ⎤ Bài 1: Chứng minh 44 66 sin a cos a 1 2 sin a cos a 1 3 +− = +− Ta có: ( ) 2 44 22 22 2 sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=− 2 Và: ( ) ( ) () 66 224224 4422 22 22 22 sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1 sin a cos a sin acos a 1 1 2sinacosa sinacosa 1 3sin acos a +−= + − + =+ − − =− − − =− − Do đó: 44 22 66 22 sin a cos a 1 2sin acos a 2 sin a cos a 1 3sin acos a 3 +−− == +−− Bài 2: Rút gọn biểu thức () 2 2 1cosx 1cosx A1 sin x sin x ⎡ ⎤ − + ==+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Tính giá trò A nếu 1 cosx 2 =− và x 2 π < <π Ta có: 22 2 1cosxsinx12cosxcosx A sin x sin x ⎛⎞ ++−+ = ⎜⎟ ⎝⎠ ( ) 2 21 cosx 1cosx A. sin x sin x − + ⇔= ( ) 2 2 33 21 cosx 2sin x 2 A sin x sin x sin x − ⇔= = = (với sinx 0 ≠ ) Ta có: 22 13 sin x 1 cos x 1 44 = −=−= Do: x 2 π <<π nên sin x 0> Vậy 3 sin x 2 = Do đó 244 A sin x 3 3 === 3 Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a. 4422 A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ + 2 b. 2cotgx B tgx1 cotgx1 + =+ −− 1 a. Ta có: 4422 A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ + 2 ( ) ( ) ( ) () 2 42 22 2 42424 A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x ⇔= −− +− + − ⇔= −− + + − +− 2 A2⇔= (không phụ thuộc x) b. Với điều kiện sinx.cosx 0,t g x1 ≠ ≠ Ta có: 2cotgx B tgx1 cotgx1 1 + =+ −− 1 1 221t g x tgx B 1 t g x1 t g x11t g x 1 tgx + + ⇔= + = + −− − − ( ) 21tgx 1tgx B1 tgx 1 tgx 1 −− − ⇔= = =− −− (không phụ thuộc vào x) Bài 4: Chứng minh () 2 22 22 222 1cosa 1cosa cosbsinc 1cot g bcot g ccot g a1 2sina sin a sin bsin c ⎡⎤ − +− − +−= ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ − Ta có: * 22 22 22 cos b sin c cot g b.cot g c sin b.sin c − − 2 22 22 cot g b1 cot g bcot g c sin c sin b =−− ( ) ( ) 22 222 cot g b1 cot g c1cot g bcot g bcot g c=+−+− 1=− (1) * () 2 2 1cosa 1cosa 1 2sina sin a ⎡⎤ − + − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ () 2 2 1cosa 1cosa 1 2sina 1 cos a ⎡⎤ − + =− ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎣⎦ 1cosa 1cosa 1 2sina 1 cosa +− ⎡⎤ =− ⎢⎥ + ⎣⎦ 1cosa2cosa .cot g a 2sina 1 cosa + == + (2) Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong. Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn. ABCΔ Tìm giá trò nhỏ nhất của Pt g A.t g B.t g C= Ta có: AB C+=π− Nên: ( ) tg A B tgC+=− tgA tgB tgC 1 tgA.tgB + ⇔= − − t g At g Bt g Ct g A.t g B.t g C⇔+=−+ Vậy: Pt g A.t g B.t g Ct g At g Bt g C==++ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương t g A,t g B, t g C ta được 3 tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC++≥ 3 P3P⇔≥ 32 P3 P33 ⇔≥ ⇔≥ Dấu “=” xảy ra == ⎧ π ⎪ ⇔⇔= ⎨ π << ⎪ ⎩ tgA tgB tgC ABC 3 0A,B,C 2 == Do đó: MinP 3 3 A B C 3 π = ⇔=== Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của a/ 84 y2sinxcos2x=+ b/ 4 ysinxcos=−x a/ Ta có : 4 4 1cos2x y2 cos2x 2 − ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ Đặt với thì tcos2x= 1t1−≤ ≤ () 4 4 1 y1t 8 =−+t => () 3 3 1 y' 1 t 4t 2 =− − + Ta có : Ù () y' 0= 3 3 1t 8t−= ⇔ 1t 2t−= ⇔ 1 t 3 = Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; 11 y 32 ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ 7 Do đó : ∈ = x y3 Max và ∈ = x 1 y Min 27 b/ Do điều kiện : sin và co nên miền xác đònh x 0≥ s x 0≥ π ⎡⎤ =π+π ⎢⎥ ⎣⎦ Dk2, k2 2 với ∈ k Đặt tcos= x x với thì 0t1≤≤ 42 2 tcosx1sin==− Nên 4 sin x 1 t=− Vậy 8 4 y1t=−−t trên [ ] D' 0,1= Thì () − =−< − 3 7 4 8 t y' 1 0 2. 1 t [ ) t0;1∀∈ Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy : ( ) ∈ = = xD max y y 0 1, ( ) ∈ = =− xD min y y 1 1 Bài 7: Cho hàm số 44 ysinxcosx2msinxcos=+− x Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x Xét 44 f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+− () () 2 22 2 fx sinx cosx msin2x 2sinxcosx=+ − − 2 () 2 1 f x 1 sin 2x m sin 2x 2 =− − Đặt : với tsin2x= [ ] t1,∈− 1 y xác đònh ⇔ x∀ () fx 0x R≥∀∈ ⇔ 2 1 1tmt0 2 −−≥ [ ] t1,1−∀∈ ⇔ () 2 gt t 2mt 2 0=+ −≤ [ ] t1,∀∈− 1 t Do nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t 1 , t 2 2 'm 20Δ= + > m∀ Lúc đó t t 1 t 2 g(t) + 0 - 0 Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ 12 t11 ≤ −< ≤ ⇔ ⇔ () () 1g 1 0 1g 1 0 −≤ ⎧ ⎪ ⎨ ≤ ⎪ ⎩ 2m 1 0 2m 1 0 −−≤ ⎧ ⎨ −≤ ⎩ ⇔ 1 m 2 1 m 2 − ⎧ ≥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ≤ ⎪ ⎩ ⇔ 11 m 22 −≤ ≤ Cách khác : gt () 2 t 2mt 2 0=+ −≤ [ ] t1,1−∀∈ { } [,] max ( ) max ( ), ( ) t gt g g ∈− ⇔≤ ⇔−≤ 11 0110 { } max ), )mm⇔−−−+≤21210 ⇔ 1 m 2 1 m 2 − ⎧ ≥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ≤ ⎪ ⎩ m⇔− ≤ ≤ 11 22 Bài 8 : Chứng minh 4444 357 A sin sin sin sin 16 16 16 16 2 π πππ =+++ 3 = Ta có : 7 sin sin cos 16 2 16 16 πππ π ⎛⎞ =−= ⎜⎟ ⎝⎠ πππ ⎛⎞ =−= ⎜⎟ ⎝⎠ 55 sin cos cos 16 2 16 16 π3 Mặt khác : ( ) 2 44 22 22 cos sin cos 2sin cosα+ α= α+ α − α αsin 22 12sin cos = −αα 2 1 1sin2 2 = −α Do ủoự : 4444 73 A sin sin sin sin 16 16 16 16 =+++ 5 44 44 33 sin cos sin cos 16 16 16 16 =+++ 22 11 1sin 1sin 28 2 8 = + 3 22 13 2 sin sin 28 8 = + 22 1 2sincos 28 8 = + = 3 do sin cos 88 13 2 22 = = Baứi 9 : Chửựng minh : oooo 16 sin 10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 1 = Ta coự : o o Acos10 1 A cos10 cos10 == o (16sin10 o cos10 o )sin30 o .sin50 o .sin70 o () oo o 11 o A 8sin20 cos40 .cos20 2 cos10 = () 0o o 1 o A 4sin20 cos20 .cos40 cos10 = () oo o 1 A 2sin40 cos40 cos10 = o o oo 1cos10 A sin 80 1 cos10 cos10 === Baứi 10 : Cho A BC . Chửựng minh : A BBCCA tg tg tg tg tg tg 1 22 22 22 + += Ta coự : A BC 22 + 2 = Vaọy : A BC tg cot g 22 + = A B tg tg 1 22 A BC 1tg .tg tg 22 2 + = A BC A tg tg tg 1 tg tg 222 2 += B 2 A CBCAB tg tg tg tg tg tg 1 22 22 22 ++ = Baứi 11 : Chửựng minh : () ++ +=84tg 2tg tg cotg * 81632 32 Ta có : (*) ⇔ 8cotg tg 2tg 4tg 32 32 16 8 ππ π =−−− π Mà : 22 cos a sin a cos a sin a cot ga tga sin a cos a si n a cos a − −=−= cos 2a 2cotg2a 1 sin 2a 2 == Do đó : cot g tg 2tg 4tg 8 32 32 16 8 π ⎡ ⎢ ππ π ⎤ −−−= ⎥ ⎣⎦ (*) ⇔ 2cotg 2tg 4tg 8 16 16 8 ππ π ⎡⎤ −− ⎢⎥ ⎣⎦ ⇔ = 4cotg 4tg 8 ⇔ 88 π π = − 8cotg 8 π ⇔ = (hiển nhiên đúng) 4 Bài :12 : Chứng minh : 22 2 22 cos x cos x cos x 33 ππ ⎛⎞⎛⎞ +++− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 3 2 = a/ 111 1 cot gx cot g16x b/ sin 2x sin 4x sin 8x sin16x +++ =− a/ Ta có : 22 2 22 cos x cos x cos x 33 ππ ⎛⎞⎛ +++− ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ () 11 414 1cos2x 1cos2x 1cos 2x 22 323 ⎡π⎤⎡π⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ =+ ++ + ++ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦⎣⎦ 31 4 4 cos 2x cos 2x cos 2x 22 3 3 ⎡ ππ⎤ ⎛⎞⎛⎞ =+ + + + − ⎜⎟⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣ ⎦ 31 4 cos2x 2cos2xcos 22 3 π ⎡ ⎤ =+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 31 1 cos2x 2cos2x 22 2 ⎡ ⎤ ⎛⎞ =+ + − ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎣ ⎦ 3 = 2 b/ Ta có : cos a cos b sin b cos a sin a cos b cot ga cot gb sin a sin b sin a sin b − −=−= () sin b a sin a sin b − = Do đó : ( ) () sin 2x x 1 cot gx cot g2x 1 sin x sin 2x sin 2x − −= = ( ) () sin 4x 2x 1 cot g2 x cot g4x 2 sin2xsin4x sin4x − −= = . CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I. Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với 02 ≤ β≤. Công thức nhân ba: 3 3 sin3a 3sina 4sin a cos3a 4 cos a 3cosa =− =− VIII. Công thức hạ bậc: () () 2 2 2 1 sin a 1 cos2a 2 1 cos a 1 cos2a 2 1cos2a tg a 1cos2a =− =+ − = + IX. Công thức. tgx,k Z cotg x k cot gx V. Công thức cộng ( ) () () sin a b sinacosb sin bcosa cos a b cosacosb sin asin b tga tgb tg a b 1tgatgb ±= ± ±= ± ±= m m VI. Công thức nhân đôi = =−=− = = − − = 22