Luận văn đặc trưng vành trên các linh hóa tử trái mịn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– VŨ THỊ NHÌ ĐẶC TRƯNG VÀNH TRÊN CÁC LINH HÓA TỬ TRÁI MỊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— VŨ THỊ NHÌ ĐẶC TRƯNG VÀNH TRÊN CÁC LINH HÓA TỬ TRÁI MỊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8.46.01.04 Người hướng dẫn khoa học: TS.HỒNG ĐÌNH HẢI THANH HĨA, 2020 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 1993/QĐĐHHĐ ngày 30 tháng 11 năm 2020 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng PGS TS Ngô Sỹ Tùng Trường Đại học Hồng Đức Chủ tịch HĐ TS Trần Nam Trung Viện Toán Học UV Phản biện TS Phạm Thị Cúc Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện TS Lê Đình Nam TS Lê Xuân Dũng Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Trường Đại học Hồng Đức Ủy viên UV Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 26 tháng 12 năm 2020 (ký, ghi rõ họ tên) TS Hồng Đình Hải * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức Bộ môn Đại Số LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Vũ Thị Nhì i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS.Hồng Đình Hải Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc lịng u q tới Thầy Tơi xin cảm ơn tới tất quý thầy cô Khoa Khoa học Tự Nhiên, đặc biệt thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số lý thuyết số K11 - Trường Đại học Hồng Đức cho trải nghiệm, tự học, tập duyệt nghiên cứu khoa học mà phương pháp luận, giới quan khoa học niềm lạc quan, lĩnh nghiên cứu q trình học tập rèn luyện Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phòng QLĐT Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ tơi hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Vĩnh Lộc thường xuyên động viên, cổ vũ tạo điều kiện để yên tâm học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến góp ý nhà khoa học, thầy giáo, cô giáo, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 10 năm 2020 Vũ Thị Nhì ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN iv MỞ ĐẦU Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kiến thức liên quan đến vành, iđêan 1.2 Linh hóa tử .12 1.3 Iđêan mịn 17 Chương : ĐẶC TRƯNG VÀNH TRÊN CÁC LINH HÓA TỬ TRÁI MỊN 26 2.1 Định nghĩa linh hóa tử trái mịn 26 2.2 Ví dụ 26 2.3 Đặc trưng vành linh hóa tử trái mịn 27 2.4 Vành Ikeda-Nakayama 33 2.5 Vành với linh hóa tử hữu hạn sinh 37 KẾT LUẬN 44 Tài liệu tham khảo 45 iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN N : Tập hợp số tự nhiên Z : Tập hợp số nguyên Q : Tập hợp số hữu tỉ R : Tập hợp số thực C : Tập hợp số phức Ir hai : Tập hợp ma trận mà dòng thứ hai gồm số Mn (R) : Gồm ma trận vuông cấp n trường số thực n | m : n chia hết m hay n ước số m A ⊆ R : A R lR (X) : Linh hóa tử trái X R AnnR (X) : Linh hóa tử trái X R rM (A) : Linh hóa tử phải A M Tor(M) : Tập hợp phần tử xoắn M I C0 R : I iđêan mịn R I
Z : I iđêan vành Z B = A+ : B phần bù cộng tính A B = A∩ : B phần bù theo giao A A ∩ B : A giao B A
las R : A linh hóa tử trái mịn R A
ras R : A linh hóa tử phải mịn R A
as R : A linh hóa tử mịn R A ⊆ess rl(A) : A cốt yếu rl(A) ι : Ánh xạ nhúng Kerα : Hạt nhân đồng cấu α R[x] : Tập hợp đa thức ẩn R K[x1 , x2 , , xn , ] : Vành đa thức vô số ẩn x1 , x2 , , xn , trường K Card N : Lực lượng tập hợp N HomR (M, R) : Tập hợp tất đồng cấu từ R-môđun M vào R-môđun R ∏ Mi : Mơđun tích trực tiếp họ mơđun {Mi }i∈I i∈I dimL K : Số chiều không gian vectơ K trường L iv Q(x1 , x2 , x3 , ) : Trường phân thức vô số ẩn x1 , x2 , x3 , trường số hữu tỉ Q v MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong đại số, việc tìm cấu trúc hay mở rộng phân loại cấu trúc đại số sở lớp vành, môđun thu hút quan tâm nhà toán học Gần đây, giới Việt Nam, nhà nghiên cứu đại số kết hợp (vành khơng giao hốn) đưa nhiều cấu trúc mở rộng Chẳng hạn sau nghiên cứu CS−môđun người ta đưa khái niệm 1-C1 -môđun; 1-C2 -môđun ; Nghiên cứu cấu trúc môđun nội xạ nhận cấu trúc mở rộng như: p−nội xạ; rp−nội xạ; pp−nội xạ; mp−nội xạ ; Nghiên cứu điều kiện linh hóa tử phải ta có khái niệm mơđun Rickact từ phân loại lớp vành sinh lũy đẳng vành tự đồng cấu Vành R thỏa mãn điều kiện linh hóa tử phải giao iđêan trái tổng linh hóa tử phải iđêan trái đó: r(L ∩ K) = r(L) + r(K) L K iđêan trái gọi vành Ikeda-Nakayama Chúng ta biết linh hóa tử trái R Câu hỏi đặt iđêan K có tính chất mà K + X = R kéo theo l(X) = Đi tìm câu trả lời, chọn đề tài "Đặc trưng vành linh hóa tử trái mịn" để làm luận văn tốt nghiệp cho Luận văn trình bày cách có hệ thống tính chất, kiến thức liên quan, ứng dụng phổ biến ví dụ minh họa linh hóa tử trái mịn, iđêan K thỏa mãn điều kiện K + X = R kéo theo l(X) = 0, ta kí hiệu K ≤las R Trên sở để phân loại số lớp vành môđun Mục tiêu nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tính chất linh hóa tử trái mịn, tìm đặc trưng, từ đặc trưng vành với điều kiện linh hóa tử trái mịn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đặc trưng vành linh hóa tử trái mịn Nội dung nghiên cứu - Cấu trúc vành, iđêan, linh hóa tử trái mịn - Đặc trưng số lớp vành linh hóa tử trái mịn Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp, hệ thống tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài luận văn, đặc biệt toán liên quan đến đặc trưng vành linh hóa tử trái mịn - Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa tài liệu thu để thực đề tài luận văn - Khái quát hóa, tổng quát hóa Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu điều kiện linh hóa tử - Nghiên cứu điều kiện linh hóa tử trái mịn - Chứng minh định lí, hệ cấu trúc vành Ikeda - Nakayama - Chỉ đặc trưng linh hóa tử trái mịn - Tìm đặc trưng vành linh hóa tử trái mịn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương: – Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại kiến thức liên quan đến vành, iđêan, linh hóa tử, mơđun, mơđun con, mơđun cốt yếu, môđun mịn, phần bù môđun con, phần bù môđun cốt yếu, mịn, iđêan mịn sử dụng luận văn Đây kiến thức sở cần thiết cho việc trình bày chương sau – Chương 2: Đặc trưng vành linh hóa tử trái mịn Trong chương này, chúng tơi trình bày kết đặc trưng vành với điều kiện linh hóa tử trái mịn, vành Ikeda-Nakayama, vành với linh hóa tử hữu hạn sinh Mặc dù có nhiều cố gắng chắn luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết sai sót định Rất mong nhận góp ý, phê bình nhà khoa học, quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp