Chuyên đề 25 giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

Chuyên đề 25 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC A Kiến thức cần nhớ Xét tập xác định (D): a) Hằng số a giá trị lớn A(x) với x xo nếu: x, A( x )  A( xo ) a Ký hiệu: max A( x) a  x  xo b) Hằng số b giá trị nhỏ B(x) với x xo nếu: x, B ( x ) B ( xo ) b Ký hiệu: B ( x) b  x xo c) Hằng số a giá trị lớn A(x, y,…_) với x xo ; y  yo ; x, y , A( x, y, )  A( xo , yo , ) a Ký hiệu: max A( x, y , ) a  x  xo ; y  yo ; d) Hằng số b giá trị nhỏ B ( x, y, ) với x xo ; y  yo ; x, y , B ( x, y, ) B( xo ; yo , ) b Ký hiệu: B( x, y, ) b  x  xo ; y  yo ; Định lý cực trị: a) Nếu tổng hai số dương khơng đổi tích chúng lớn hai số b) Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Một số bất đẳng thức hay dùng: (đã nêu chuyên đề 21) a Bất đẳng thức Cauchy b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki c Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối d Bất đẳng thức tam giác B Một số ví dụ Dạng tam thức bậc hai đưa tam thức bậc hai Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn A( x) 2015  x  x b) Tìm giá trị nhỏ B ( x) 2 x  2( x  5) c) Tìm giá trị nhỏ C ( y ) ( y  2)  ( y  5) * Tìm lời giải: Để tìm giá trị lớn A(x) ta phân tích A(x) thành số a trừ bình phương tổng (hoặc hiệu) Từ tìm xo để x A( x)  A( xo ) a Khi max A( x) a  x  xo Để tìm giá trị nhỏ B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương tổng (hoặc hiệu) trừ số b Từ tìm xo để x B ( x) B ( xo ) b Khi B( x) b  x xo Giải a) A( x) 2015  x  x 2016  ( x  x  1) 2016  ( x  1) Do ( x  1) 0, x nên 2016  ( x  1) 2016, x Do max A( x) 2016  x  0  x 1 1 19   19   b) B( x) 2 x  x  10 2  x  x   2  x  x    2  x    4 2   2 1  19 19   Do  x   0, x Nên  x     x 2 2 2   19 Do B( x)   x  2 c) C ( y ) ( y  2)  ( y  5)  y  y   y  10 y  25 29   2 y  y  29 2  y  y     49   49 49   2  y  y    2  y     , y 4  2 2   Do C ( y ) 24,5  y 1,5 Dạng đa thức biến bậc lớn hai Ví dụ 2: a) Tìm giá trị nhỏ C x  x  12 x  18 x  15 b) Tìm giá trị lớn D ( y  2)( y  5)( y  6)(9  y ) * Tìm cách giải: a) Sử dụng tách thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất bình phương nhị thức b) Hốn vị nhân cặp làm xuất biểu thức có phần giống y  11y đặt ẩn phụ để giải Giải a) C x  x  x  3x  18 x  27  12  x ( x  3)2  3( x  3)  12 ( x  3) ( x  3)  12 Do x   x;( x  3) 0, x  ( x  3) ( x  3)  12  12,  x Nên C  12  x 3 2 b) D  ( y  2)(9  y)  ( y  5)( y  6)    y  11y  18   y  11y  30  Đặt y  11 y  24  z ta có: D  ( z  6)( z  6) 36  z 36 z Vậy max D 36  z 0  y  11y  24 ( y  3)( y  8) 0  y 3; y 8 Dạng đa thức nhiều biến bậc hai Ví dụ 3: a) Tìm giá trị nhỏ A( x; y ) x  x  y  y  2018 b) Tìm x, y, z để đa thức B (x, y, z) có giá trị lớn B( x, y, z ) 1  (2 x  y  z  xy  xz  yz  x  y ) * Tìm cách giải: a) Biến đổi biểu thức thành tổng bình phương nhị thức với số b) Dùng tách, thêm bớt hạng tử làm xuất bình phương biểu thức Sử dụng đẳng thức: a  b  c  2ab  2ac  2bc (a  b  c)2 Giải a) A( x, y ) x  x   y  y   2016 ( x  1)  (3 y  1)  2016 Do ( x  1) 0, x (3 y  1) 0, y Nên ( x  1)  (3 y  1)  2016 2016, x; y Do A( x, y ) 2016  ( x  1; y  ) 2 2 b) B( x, y, z ) 1    x  x  1   y  y     x  y  z  xy  xz  yz    2 6    x  1   y     x  y  z   6, x, y , z    x  0   Do max B ( x, y, z ) 6   y  0  x  y  z 0   x 1   y 2  z 3  Dạng phân thức Ví dụ 4: a) Tìm giá trị lớn biểu thức A  16 x  x  19 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  c) Tìm giá trị lớn biểu thức C  x2  x2   x  x2 x2  x  Giải a) Do x  x  19 ( x  1) 18 18, x  1 16 16  , x  A    , x 2 ( x  1)  18 18 ( x  1)  18 18 Vậy max A   x 1 b) B  12 12 x   12 12 4    3, x 1  Do x  3 x nên 2 x 3 x 3 x 3 x 3 Vậy B   x 0   x2  2x   c) C  2 x  x   1 x  2x  x  2x  x  2x  Do x  x  ( x  1)  1 x nên  1  3 ( x  1)  ( x  1)   2, x Vậy max C 2  x 1 ( x  1)  Dạng chứng minh giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức Ví dụ 5: a) Chứng minh giá trị lớn A   x2  x  ( x 1)  x  x  x 1 b) Chứng minh giá trị nhỏ B  x2  2x  ( x 0) x 2 2 x * Tìm cách giải: + Phương pháp chứng minh max A( x) a (a số) Chứng minh A( x) a, x có  xo  cho A( xo ) a + Phương pháp chứng minh B ( x) b (b số) Chứng minh B( x ) b, x có  xo  cho B ( xo ) b Giải a) Ta chứng minh A   x2  x   x 1 Thật x 1 x  x 1  x2  x   x2  x   x2  2x   ( x  1)        0 x2  2x 1 x2  2x 1 x2  x 1 ( x  1) Hiển nhiên Dấu “=” xảy  ( x  1) 0  x  b) Ta chứng minh B  x2  2x   x 0 Thật x 0 x2 x2  x  x2  x  x2  4x  ( x  2)        0 x2 x2 2 x2 x2 Hiển nhiên Dấu “=” xảy  ( x  2)2 0  x 2 Dạng tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức 10( x  2) Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức M  x 5 Tìm cách giải: Biến đổi biểu thức M để có a M b, x (a, b số) Giải x M  10 x  25    x   x2   ( x  5)   1, x x2  Do M   x  * M 5( x  5)  5( x  x  1) ( x  1)   5, x x2  x2  Do max M 5  x 1 Dạng tập áp dụng định lý, tính chất cực trị Ví dụ 7: Chứng minh định lý: 1) Nếu tổng hai số dương khơng đổi tích chúng lớn hai số 2) Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Áp dụng: a) Tìm giá trị nhỏ T  16 x  , với x  x b) Cho a  9b 42 với a, b  Tìm giá trị lớn tích P ab Giải Gọi số dương a b Ta có  a  b  0  a  2ab  b 0  (a  b) 4ab 1) Nếu a  b k  không đổi 4ab k  ab  Vậy max(a.b)  k2 k2 k  a b  2) Nếu a.b h  không đổi ta có ( a  b) 4h  a  b 2 h Do min(a  b) 2 h  a b  h Áp dụng: a) T  16 x 16 x 2     x x 4 Ta có với x   16 x  16 x  ; 4 không đổi nên tổng chúng nhỏ số dương có tích x x 16 x  x  ( x  2) 64 Phương trình có nghiệm x 10 x  Nghiệm x 10 thỏa mãn điều kiện Vậy A 4,5  x 2 b) Xét 63P 7a.9b a  9b 42 khơng đổi nên tích chúng lớn hai số a 9b 21 Vậy max P 7  a 3; b  Ví dụ 8: Chứng minh tổng số dương với nghịch đảo có giá trị nhỏ Áp dụng:  1 a) Với a, b  tìm giá trị nhỏ A (a  b)     a b  1 1 b) Với a, b, c  tìm giá trị lớn B 1   a  b  c      a b c Giải Gọi số dương x Thì số nghịch đảo x 1 Ta có tích x 1 khơng đổi nên tổng x  nhỏ x   x 1 x x x 1  Vậy  x   2  x 1 x  a b  1 a b a) A  a  b        2 Do hai số dương nghịch đảo Theo chứng minh b a a b b a A 2  4 Vậy A 4  a b  1 1 a b b c  c a b) Ta có C  a  b  c      3             a b c b a c b a c Theo chứng minh ta có C 3    9 Nên B 1  C 1  Vậy B   x  y z Dạng tập biến bị ràng buộc hệ thức Ví dụ 9: Cho x  y  z 6 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x  y  z b) Tìm giá trị lớn biểu thức B xy  yz  zx c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  B Giải a) Cách 1: x  y  z 6  ( x  y  z ) x  y  z  2( xy  yz  zx ) 36 Mặt khác x  y 2 xy; y  z 2 yz; z  x 2 zx Do cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta được:  x  y  z  2  xy  yz  zx   x  y  z   x  y  z  36   x  y  z  36 Vậy A 12  x  y  z 2 Cách 2:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số 1, 1, x, y, z ta có ( x.1  y.1  z.1)  12  12  12   x  y  z  Hay  x  y  z  3( x  y  z ) Từ A  ( x  y  z ) 36  12, x, y , z 3 Vậy A 12  x  y  z 2 b) Theo a) ta có A  B 36 A B  3B  A  B 36 nên B 12  max B 12  x  y  z 2 c) Ta có A  B 36 mà B 12 nên: A  B  A  B  B 36  48  min( A  B)  12  x  y  z 2 Dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 10: 1945  x  a) Tìm giá trị lớn biểu thức A  2015 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  x   x  11 c) Tìm giá trị lớn biểu thức C 4 x   16  (5 x  8) Giải 1945  x  1945 a) Ta ln có: x, x  0 1945  x  1945 A   2015 2015 Dấu “=” xảy  x  0  x 4,5 Do max A  1945 389   x 4,5 2015 403 b) Cách 1: Sử dụng a  b  a  b Dấu “=” xảy  ab 0 Ta có: B  x   x  11  x   11  x  (2 x  5)  (11  x) 6 Vậy B 6 Dấu “=” xảy  (2 x  5)(11  x) 0 Lập bảng xét dấu: x 2x  11  2x Vế trái + - 2,5 | + + + 5,5 | 0 + - (2 x  5)(11  x) 0  2,5  x 5,5 Do B 6  2,5  x 5,5 Cách 2: Lập bảng xét giá trị tuyệt đối: x 2x  5  2x 2,5 2x  5,5 | 2x  x  11 11  2x 11  2x | * Với x  2,5 ta có B 16  x  (1) * Với 2,5  x 5,5 B 6 (2) * Với x  5,5 ta có B 4 x  16  (3) x  11 Từ (1), (2), (3) ta có B 6  2,5  x 5,5 c) Đặt x   y C 4 x   16  (5 x  8) 4 x   16  x   ( y  y  4)  12  ( y  2)  12  12 Vậy max C  12  y 2  x  2  x 2; x 1, C Bài tập vận dụng Dạng tam thức bậc hai đưa tam thức bậc hai 25.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A( x) 4 x  x  15 b) A( y ) ( y  1)  ( y  2)  ( y  3)  ( y  4) c) A( z ) ( z  2)3  ( z  2)(z  z  4) Hướng dẫn giải – đáp số a) A( x) 4  x  1  11 11, x Vậy A( x) 11  x  b) A( y ) 2 y  16 y  2( y  4)  34  34, y Vậy A( y )  34  y 4 c) A( z ) 6 z  12 z  16 6( z 1)  10 10, z Vậy A( z ) 10  z  25.2 Tìm giá trị lớn biểu thức: a) B ( x) 15  x  x b) B ( y ) ( y  2)  2( y  1)  (2  y )(2  y ) 11z  22 z  33 B( z )  c)         1   1      1 2     10  Hướng dẫn giải – đáp số a) B ( x) 24  ( x  x  9) 24  ( x  3) 24, x Vậy max B ( x ) 24  x 3 b) B( y )  y  y  10 12  2( y  1) 12, y Vậy max B ( y ) 12  y  11       c) Rút gọn   1   1   1   1  ( bạn đọc tự rút gọn) 20 2     10  Lưu ý 1.3 2.4 9.11   ;   ; ;   2 2.2 3.3 10 10.10 Do B( z )  20( z  z  3)  40  20( z  1)  40, z Vậy max B ( z )  40  z 1 Dạng đa thức biến bậc lớn hai 25.3 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức C ( x  3)( x  5)( x  x  17) b) Tìm giá trị lớn biểu thức D (1  x )( x3  11x  41x  55) c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức E ( x  x  18)( x  x  2)  4 d) Tìm giá trị lớn biểu thức F 2018   ( x  2014)  ( x  2016)  Hướng dẫn giải – đáp số a) C ( x  x  15)( x  x  17) Đặt x  x  16  y ta có C  y  1  y  1  y   1, y Vậy C   y 0   x   0  x 4 2 b) D   x   x    x  x  11   x  x    x  x  11 Đặt x  x   y ta có D   y  3  y  3 9  y 9, y  x 2 Vậy max D 9  y 0  x  x  0  ( x  2)(x  4) 0    x 4 c) E ( x  6)( x  3)( x  2)(x  1)  (x  x  6)( x  x  6)  Đặt x  x  y ta có E ( y  6)( y  6)   y  36   35, y Vậy E  35  y 0  x  x ( x  5) x 0  x 0; x  4 d) Đặt x  2015  y F 2018    y  1   y  1  Áp dụng đẳng thức  a  b  a  4a 3b  6a 2b  4ab  b ta có F 2018  2( y  y  1) 2016  2( y  y ) 2016, y Vậy max F 2016  y 0  x 2015 Dạng đa thức nhiều biến bậc hai 25.4 a) Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ tìm giá trị đó: M ( x, y ) x  xy  y  12 y  22 b) Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị lớn tìm giá trị đó: N ( x, y ) 2006  x  y  xy  x  y c) Tìm x, y, z để biểu thức sau đạt giá trị lớn tìm giá trị đó: P( x, y, z ) 1  x  y  z  x  y  z d) Tìm x, y, z, t để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ tìm giá trị đó: Q( x, y, z , t ) ( x  y  z )  x  y  2t  xt  y  6t  113 Hướng dẫn giải – đáp số 2 a) M ( x, y )  x  y    y    10 10, x, y Do M ( x, y ) 10   x  2; y   2 b) N ( x, y ) 2015   x  y 1   y   2015, x, y Do max N ( x, y ) 2015   x  3; y 2  2 c) P ( x, y , z ) 15   x  1   y     z   15, x, y, z Do max P ( x, y, z ) 15   x 1; y 2; z 3  2 2 d) Q( x, y, z , t )  x  y  z    x  t    y     t    100 100, x, y, z, t Do Q( x, y, z, t ) 100   x  3; y 2; z 1; t 3  25.5 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: R  x12  x22  x32   x102  4( x1  x2  x3   x10 ) b) Với n  N n  Tìm giá trị nhỏ của: S x12  22 x22  32 x32   n xn2  2( x1  x2  3x3   nxn )  2n c) Với n  N n  Tìm giá trị lớn biểu thức: T 2(50  x1  x2  3x3   nxn )  (12  22  33   n )  ( x12  x22  x32   xn2 ) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 a) R  x1     x2     x3      x10    40  40, xi (i 1; 2; ;10) minR  40   x1  x2   x10 2  b) Ta có i xi2  2ixi   ixi  1 2 2 Do S  x1  1   x2  1   3x3  1   ( nxn  1)  n n, xi (i 1; 2; ; n) 1 Do minS n  x1 1; x2  ; x3  ; ; xn  n c) Ta có xi2  2ixi  i  xi  i  (i 1; 2;3; ; n) Do đó: 2 2 T 100   x1  1   x2     x3  3    xn  n  100, xi Do max T 100   x1 1; x2 2; x3 3; ; xn n  Dạng phân thức 25.6 200 a) Tìm giá trị lớn biểu thức A  16 x  x  21 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B   50 x  4x  c) Tìm giá trị lớn biểu thức E  2015 x  y  2( x  y )  2018 2 Hướng dẫn giải – đáp số a) A  200 200  10, x Vậy max A 10  x 0, 25 (4 x  1)  20 20 b) B   50  50  50    25 x Vậy B  25  x 2 ( x  x  4)  ( x  2)  2 c) E  2015 2015 2015  x, y Vậy max E   ( x  1)  ( y  1)  2016 2016 2016 2  x 1   y 1 25.7 5x2  x  a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức D  x2  x  26 b) Tìm giá trị lớn biểu thức E  x 5 x  x  16 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  x2  4 x  16 x  38 d) Tìm giá trị lớn biểu thức G  x  4x  Hướng dẫn giải – đáp số a) D  4( x  2)  (x  x  1) ( x  1)   4, x Vậy D 4  x 1 x2  x2  b) E  5( x  5)  1 5  x 5 x 5 Do x ta có x  5  1 26   5  , x  max E 5,  x 0 x 5 x 5 c) F 2  2( x  2) 2, x Vậy F 2  x 2 x2  d) Q 4  6 4  , x  max Q 5,5  x  2 ( x  2)  4 25.8 a) Tìm giá trị lớn biểu thức f ( x )  x x  x 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức g ( x)  x  12 x  13  2( x  2) với x 2 x2  4x  Hướng dẫn giải – đáp số a) Với x  1; f ( x )  3( x  1)  3   Đặt y  2 ( x  1) x  ( x  1) x 1 1 1 1 3   Ta có f ( x ) 3 y  y   y  y      y     , y 4 2 4   Vậy max f ( x)   y  hay x 1 b) g ( x)     y  y   ( y  1)  2 y với ( x  2) x y x với x 2 Vậy g ( x) 2  y 1 hay x 3 Dạng chứng minh giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức 25.9 a) Chứng minh giá trị nhỏ biểu thức A x  x  15 x 3 b) Chứng minh giá trị lớn biểu thức B   x2  4x   x 2 x2  x   y c) Cho C  chứng minh rằng: max C 1  y 1 C  0,5  y  2  y2 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta chứng minh A 6, x Thật x  x  15 6  x  x  0  ( x  3) 0 x Dấu “=” xảy  x 3 b) Ta chứng minh B 8, x Thật vậy: x, ta có:  x2  4x   x  x   8( x  x  5)  9( x  2)     0 x2  4x  x2  4x  ( x  2)  Hiển nhiên Dấu “=’ xảy  x 2 1 y  y   y  ( y  1)    0, y Như C 1, y, dấu “=” xảy  y 1 c) Xét C    y2  y2  y2 nghĩa max C 1  y 1 1  y  y   y  y  2 Xét C      0, y Như C  0,5, y, dấu “=” xảy 2  y2 2  y2  y2  y  nghĩa minC  0,5  y  25.10 Chứng minh với x  Z , biểu thức: a) A  30 có giá trị lớn 30  x 3 4 x b) B  x  26 có giá trị lớn 24  x 2 x 975  x c) C  có giá trị nhỏ  31  x 1944 x  1945 Hướng dẫn giải – đáp số a) Với x  A  Với x  Z Xét x  mẫu – x số nguyên dương Phân số A có tử mẫu dương, tử 30 không đổi nên A lớn  mẫu (4 – x) số nguyên dương nhỏ Do  x 1  x 3 Khi A 30 Vậy max A 30  x 3, b) Với x 3 B x  26 ( x  3)  23 23 23  1  1  x x x 3 x B lớn 23 23 0 lớn Nếu x  3 x 3 x Nếu x  23 23  nên lớn  (3  x) nhỏ 3 x 3 x 3  x   nhỏ   x 1 hay x 2 3  x (3  x)  Z  Khi max B 24  x 2 1975  x 30  ( x  1945) 30   1 c) Với x 1945 C  x  1945 x  1945 x  1945 Đặt E  30 Ta có: C nhỏ  E nhỏ x  1945 * Với x  1945 E  * Với x  1945 E  nên C nhỏ  số đối E lớn  nên 30 lớn  (1945  x) nhỏ 1945  x 1945  x   (1945  x) nhỏ  1945  x 1 Khi C  31 1945  x  Z  Vậy C  31  x 1944 Dạng tìm giá tị lớn nhỏ biểu thức 25.11 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: a) D  x 1 x2  b) E  x2  4x  x2  2x  30 lớn Do 1945  x  1945  x c) G  2x2  2x  với x 0 x  x 1 d) K  x  y với x  y  50 Hướng dẫn giải – đáp số (9 x  2)  (9 x  x  1) (3x  1) a) D  1  1 x 9x2  x2  Do max D 1  x  D 12 x  (9 x  12 x  4)  (9 x  2) (3 x  2) 1     x, 2 2(9 x  2) 2(9 x  2) 2(9 x  2) 2 Do D  b) E   x  2( x  x  3)  x x2   2, x x2  2x  x2  2x  Do max E 2  x 0 E x  x  12 ( x  x  3)  (x  x  9) ( x  3)     , x 2 2( x  x  3) 2( x  x  3) 2( x  x  3) Do E   x  c) G 2( x   x  1)  ( x  x  1)  x  x x  x 1 2, x 0 Vậy maxG 2  x 0 * Xét với x  G 2x2  4x   2x 2x 2  2  x  x 1 x  x 1 x2 x 2  , x  Do x  2 nên Vậy G 1,5  x 1 x 2 x x d) Ta có xy x  y  ( x  y ) 2( x  y ) 100  x  y 10   10  x  y 10 Vậy max K 10  x  y 5; K  10  x  y  Dạng tập áp dụng định lý, tính chất cực trị 25.12 a) Chứng minh hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn b) Chứng minh hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng trực tiếp định lý cực trị 25.13 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  ( x  8)(2 x  9) với x  x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức C  x  với x 0 x 1 c) Tìm giá trị lớn biểu thức D ( x  x  20)(28  x  x) Hướng dẫn giải – đáp số a) B  x  25 x  72 72 2 x   25 x x Ta có với x  2x 72 hai số dương có tích 144 không đổi nên tổng chúng nhỏ x hai số tức là: 2x  72  x 36 Nghiệm x 6 thỏa mãn điều kiện x Vậy minB 49  x 6 ( x  x  1)   2( x  1) b) C  ( x  1)  2 x 1 x 1 Ta có với x 0, số dương x  Nên C nhỏ  x   có tích khơng đổi x 1  ( x  1) 4 Nghiệm x 1 thỏa mãn điều kiện đầu x 1 Vậy C 2  x 1 2 c) Tổng  x  x  20    28  x  x  8 khơng đổi nên tích chúng lớn hai số x  x  20 28  x  5x  x  x  24 0  ( x  3)( x  8) 0  x  3; x 8  x  Vậy max D 4.4 16    x 8 25.14 a b c a) Với a, b, c  tìm giá trị lớn biểu thức G 2020      b c a 1 1 1 b) Với a, b, c, d  tìm giá trị nhỏ biểu thức H (a  b  c  d )       a b c d Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta biết x  a b 2, x  Do  2 (1) x b a Do vai trò a, b, c nên ta giả sử a b c  Ta có a  c 0 b(a  c) c (a  c)  ab  bc  c ac  b b c   1 (2) c a a Từ (1) (2)  a b c   3  G 2020  b c a a b c     2017 b c a Vậy max G 2017  a b c a, b, c   a b  a c  a d  b c  b d   c d  b) H 4                          8  2.6 20  b a  c a  d a  c b  d b  d c  Vậy minH 20  a b c d a, b, c, d  25.15 Với x, y , z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1    1 a) K x     y     z   z zx  y yz  x xy b) L  x  ( y  z )2 y  ( z  x)2 z ( x  y )2   x( y  z ) y ( z  x) z(x  y) Hướng dẫn giải – đáp số  x y z  x y z    a) K         y z x  yz zx x y Ta có x y z x y z   3 (xem tập 25.14)    y z x yz zx xy (xem ví dụ chuyên đề 20)  K 3   2 Vậy K 4,5  x  y  z x, y , z  b) Biến đổi L   x y z yz zx xy      yz zx x y x y z  x y x z  y z x y z              2 2 yz zx xy  y x   z x  z y Vậy L 7,5  x  y  z x, y , z  Dạng tập biến bị ràng buộc hệ thức 25.16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) D a  b với a; b  a  b 4 b) E a  b  c với a, b, c  a  b  c 3 c) F a  b3  2ab biết a  b 2 Hướng dẫn giải – đáp số a) a  b 4  16 a  b  2ab 2(a  b )  (a  b)  16 2(a  b2 )  a  b2 8 Vậy D 8  a b 2 b) Ta có 3(a  b  c ) (a  b  c) (xem tập 21.1) Do 3E (a  b  c ) 9 Vậy E 3  a b c 1 c) F a  b3  2ab ( a  b)(a  ab  b )  2ab Do a  b 2 nên F 2( a  ab  b2 )  2ab 2a  2b 2a  2(2  a )2 4a  8a  4(a  1)  4, a Vậy F 4  a b 1 25.17 a) Tìm giá trị lớn biểu thức G 2ab với a  2b 2; 1     b) Tìm giá trị lớn biểu thức H 1    với a, b, c 0 a  b  c 3  a 1 b 1 c 1  Hướng dẫn giải – đáp số a) a  2b 2  a 2  2b  G 2ab 4(1  b)b  4(b  b) 1    b    1, b Vậy maxG 1  b  a 1 2  b) Đặt a   x; b   y; c   z x  y  z a  b  c  6 nên  1 1 Ta có ( x  y  z )     9 (xem ví dụ chuyên đề 21)  x y z  1 1 1 9 3            1   x y z xyz 2  x y z max H   x  y  z 2  a b c 1 Dạng tập chứa dấu giá trị tuyệt đối 25.18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) L  x  2010  x  2020 ; b) M  x  2015  x  2016  x  2017  x  2018 ; c) N  19 x    10 19 x   1970 Hướng dẫn giải – đáp số a) Sử dụng bất đẳng thức a  b  a  b Dấu “=” xảy  ab 0 L  x  2010  x  2020  x  2010  2020  x  x  2010  2020  x 10 Vậy L 10 Dấu “=” xảy  (2020  x)(5 x  2010) 0  402  x 404 Do L 10  402 x 404 (có thể lập bảng xét giá trị tuyệt đối để giải) b) Đặt M  x  2015  x  2018 ; M  x  2016  x  2017 Giải tương tự a) ta có: minM1 3  2015  x 2018 M 1  2016  x 2017 1  x yz Vậy M 4  2016  x 2017 c) Đặt 19 x   y N  y  10 y  25  1945 ( y  5)  1945 1945 13 Vậy N 1945  y 5  19 x  5  x  ; x  19 19 25.19 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) P 8  2y b) Q  2014 1954  y   60 60 c) T  x   x  Hướng dẫn giải – đáp số a) max P 8  y  b) y ta có: y  0  y   60 60   1  y   60 60 2014 2014 2014 1954 2014 1954      1 y   60 60 y   60 60 60 60 Vậy max Q 1  y  c) Với x  T  x   x   Với   x   T x   x  2 x  Do   x   nên  10  x      T  Với x  T x   x  3 Vậy max T 3  x  25.20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S  z   z   z    z  99  z  100 Hướng dẫn giải – đáp số Đặt S1  z   z  100 ; S2  z   z  99 ; S3  z   z  98 ; ; S50  z  50  z  51 Tương tự 24.18 a) Ta có: minS1 99   z 100 minS2 97   z 99 minS3 95   z 98 minS49 3  49  z 52 minS50 1  50  z 51 Ta có     97  99 (1  99).50 : 2500 Vậy minS minS1  minS2  minS3   minS49  minS50 2500  50  z 51 2 25.21 Tìm tất giá trị x để hàm số y  x  x  16  x  x  đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ (Thi vào lớp 10 THPT Chu Văn An & Hà Nội Amsterdam, năm học 2000-2001) Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng bất đẳng thức a  b  a  b , dấu “=” xảy  ab 0 2 2 Ta có y  x  x  16   x  x  x  x  16   x  x 22  63  Dấu “=” xảy  ( x  x  16)(6  x  x) 0   x  x 0 x  x  16  x     0, x 2  Hay x  x  0  ( x  3)( x  2) 0    x 2 Vậy y 22    x 2 25.22 Cho biểu thức A  x  y  xy  x  y Hãy tìm cặp số  x, y  để biểu thức A đạt giá trị lớn tìm giá trị (Thi vào lớp 10 THPT Chu Văn An & Hà Nội Amsterdam, năm học 2001-2002) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 Ta có: A 8   ( x  xy  y )( x  x  4)  ( y  y  4)  8   ( x  y )  ( x  2)  ( y  2)  8  max A 4  x  y 2 ( x3  y )  ( x  y ) 25.23 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x, y số thực lớn ( x  1)(y  1) (Thi vào lớp 10 THPT chuyên ĐHQG Hà Nội, năm 2004) Hướng dẫn giải – đáp số x P  y3    x  y  ( x  1)( y  1)  x ( x  1)  y ( y  1) x2 y2   ( x  1)( y  1) y x Đặt x  a y  b, x  y  nên a  b  đồng thời x a  y b  Khi  a 1 P b  b  1  a Áp dụng bất đẳng thức  x  y  4 xy x   a  1 2 4a;  b  1 4b; Nên P  2 (với x >0) ta có: x 4a 4b a b  4    8 b a b a Vậy P 2  a b 1 hay x  y 2 25.24 Tìm giá trị nhỏ P 5 x  y  12 xy  24 x  48 y  82