Hhbe3 f~1

Chun Đề 5-Cung Chứa Góc CHUN ĐỀ 5-CUNG CHỨA GĨC QUỸ TÍCH CUNG CHỨA GĨC Với đoạn thẳng AB góc   0    180  cho trước quỹ tích điểm M thỏa mãn AMB  hai cung chứa góc  dựng đoạn AB Hai cung chứa góc  nói hai cung tròn đối xứng với qua AB Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích CÁCH GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần:  Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H  Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T  Kết luận: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H CÁCH VẼ CUNG CHỨA GĨC   Bước 1: Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB  Bước 2: Vẽ tia Ax tạo với AB góc   Bước 3: Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d Chuyên Đề 5-Cung Chứa Góc  Bước 4: Vẽ cung AmB , tâm O , bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho đường trịn  O  , P điểm cố định nằm  O  không trùng với tâm O Một đường thẳng d thay đổi qua P cắt  O  A B Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn AB d quay quanh P Giải chi tiết Phần thuận: (Hình 1)  Nối OM Vì M trung điểm AB nên OM  AB  POM 90 , tức M nhìn đoạn OP góc vng Vậy M ln thuộc đường trịn đường kính OP Giới hạn: Theo chứng minh điểm M thuộc quỹ tích thuộc đường trịn đường kính OP Vị trí M trùng O tương ứng với trường hợp d qua O Như vậy, quỹ tích đường trịn đường kính OP Phần đảo: (Hình 2) Lấy điểm M  thuộc đường trịn đường kính OP ( M  khác O ) Nối OM  Qua M  kẻ  P 90 nên d  qua P đường thẳng d  vng góc với OM  cắt  O  A B Do góc OM Vì tam giác OAB cân O OM  vng góc với AB nên M  trung điểm AB Chuyên Đề 5-Cung Chứa Góc Vậy M  điểm thuộc quỹ tích Kết luận: Quỹ tích đường trịn đường kính OP Chú ý: Nếu P điểm nằm ngồi đường trịn quỹ tích phần đường trịn đường kính OP nằm bên  O  Như vậy, phần đảo phần giới hạn có ý nghĩa nói chung khơng thể bỏ qua Ví dụ 2: Cho đường trịn  O  dây AB cố định, điểm C chuyển động cung lớn AB ( C khác A B ) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC chuyển động cung trịn cố định Giải chi tiết Vì dây AB cố định nên ACB  sđ AB không đổi Đặt ACB  Ta có:  BAC  ABC  ACB 180 (tổng ba góc tam giác)   BAC  ABC 180  ACB 180   Vì I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC nên AI , BI tia phân giác hai góc A B Suy 1    ABC IAB  BAC ; IBA 2    IBA   BAC   IAB  ABC 90  2     IBA  180 (tổng ba góc tam giác) Lại có: AIB  IAB      IBA   AIB 180  IAB 180   90   90  không đổi 2    Vì AB cố định, I thuộc nửa mặt phẳng chứa cung lớn AB có bờ đường thẳng AB nên I ln chuyển động cung chứa góc 90   dựng đoạn AB Ví dụ 3: Cho nửa đường trịn đường kính AB cố định C điểm nửa đường tròn, dây AC kéo dài lấy điểm D cho CD CB a) Tìm quỹ tích điểm D C chạy nửa đường tròn cho b) Trên tia CA lấy điểm E cho CE CB Tìm quỹ tích điểm E C chạy nửa đường tròn cho Giải chi tiết a) Phần thuận: Ta có ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Chuyên Đề 5-Cung Chứa Góc   BCD 90 , mà CD CB (giả thiết) Suy BCD vuông cân C   CDB 45 hay ADB 45 Mặt khác AB cố định Do C chuyển động nửa đường trịn đường kính AB D chuyển động cung chứa góc 45 dựng đoạn thẳng AB cố định Giới hạn: Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C nửa đường trịn đường kính AB - Dây AC lớn đường kính đường trịn Khi C trùng với B D trùng với B Vậy B điểm thuộc quỹ tích - Dây AC có độ dài nhỏ C trùng với A , D trùng với B giao điểm tiếp tuyến đường tròn đường kính AB A với cung chứa góc 45 vẽ AB Phần đảo: Lấy điểm D tùy ý cung BB , nối AD cắt đường tròn đường kính AB C  Nối BC , BD Ta có: ADB 45 (vì D nằm cung chứa góc 45 dựng đoạn AB ) Trong đường trịn đường kính AB ta có: AC B 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  D 90  BC D vuông cân C   C B C D  BC Kết luận: Vậy quỹ tích điểm D C chuyển động nửa đường trịn đường kính AB cung   nằm cung chứa góc 45 vẽ đoạn AB , nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C BB b) Phần thuận: Trong đường trịn đường kính AB ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Mà CE CB (giả thiết) nên suy CBE vuông C    CEB 45  AEB 180  CEB 135 (hai góc kề bù) Mặt khác, AB cố định, nên C chuyển động đường trịn đường kính AB E chuyển động cung chứa góc 135 dựng đoạn thẳng AB cố định Giới hạn: Khi dây AC có độ dài lớn đường kính đường trịn, C trùng với B E trùng với B Suy B điểm quỹ tích Khi dây AC có độ dài nhỏ C trùng với A , E trùng với A nên A điểm quỹ tích Phần đảo: Lấy E  cung chứa góc 135 Kẻ AE  cắt đường trịn đường kính AB C  Nối BE , BC  Ta có: AE B 135 (vì E nằm cung chứa góc 135 )  C  180  AE B 45 (hai góc kề bù)  BE Trong đường trịn đường kính AB có: AC B 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tam giác E C B vng cân C  Do C E C B Chuyên Đề 5-Cung Chứa Góc Vậy C  điểm thuộc quỹ tích Kết luận: Vậy E chuyển động cung chứa góc 135 vẽ đoạn AB , nằm nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho nửa đường tròn  O; R  đường kính AB Vẽ dây MN R (điểm M cung AN ) Hai dây AN BM cắt I Hỏi dây MN di động điểm I di động đường nào? Câu 2: Cho nửa đường trịn đường kính AB dây AC quay quanh A Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B ta vẽ hình vng ACDE Hỏi: a) Điểm D di động đường nào? b) Điểm E di động đường nào? Câu 3: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E , tia đối tia CD lấy điểm F cho CE CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC Gợi ý giải Câu 1: Phần thuận: Tam giác MON (vì OM ON MN R )   MON 60   180  60 120  sđ MN 60  sđ AM  sđ NB    NIB  sđ AM  sđ NB 60    Ta có: AIB 180  NIB 120 (hai góc kề bù) Do AB cố định nên quỹ tích điểm I cung chứa góc 120 dựng đoạn AB Phần đảo: Trên cung chứa góc 120 dựng đoạn AB , lấy điểm I  AI  BI  cắt nửa  N  60  M  ON  60 đường tròn  O  N  M  Khi AI B 120  BI Suy tam giác M ON  Do M N  R Vậy I  điểm thuộc quỹ tích Kết luận: Quỹ tích điểm I cung chứa góc 120 dựng đoạn AB Câu 2: a) Phần thuận: Ta có ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ACD 90 (do ACDE hình vng)  B, C , D thẳng hàng ADB 45 (do ACDE hình vng) AB cố định nên quỹ tích điểm D cung chứa góc 45 dựng đoạn AB Chuyên Đề 5-Cung Chứa Góc Giới hạn: Dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C nửa đường trịn đường kính AB + Nếu C trùng với A D B Vậy A điểm thuộc quỹ tích + Nếu C trùng với B D  A E ( B giao điểm tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn) Phần đảo: HS tự làm Kết luận: Quỹ tích điểm D cung AB nằm cung chứa góc 45 dựng đoạn AB , nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C b) Phần thuận: Từ A kẻ tiếp tuyến Ay với nửa đường tròn Gọi F ED  Ay Xét AEF ACB có: AEF  ACB 90 ; AE  AC (do ACDE hình vng);    (cùng phụ với CAF ) EAF BAC  AEF ACF (cạnh góc vng – góc nhọn)  AF  AB  AF cố định Mà AEF 90 nên E nằm đường trịn đường kính AF Phần đảo: HS tự làm Giới hạn: Tương tự câu a, ta có điểm E nằm đường trịn đường kính AF , nửa mặt phẳng không chứa điềm B Kết luận: Quỹ tích điểm E nửa đường trịn đường kính AF , nửa mặt phẳng khơng chứa điềm B Câu 3: Phần thuận:   CBF CDE  CBM CDE    DCE BME  g.g   BMD DCE 90  M nằm đường trịn đường kính BD Giới hạn: E trùng với C M trùng với C , E trùng với B M trùng với B Suy M thuộc cung nhỏ BC Phần đảo: Lấy điểm M thuộc quỹ tích chứng minh CE CF Kết luận: Quỹ tích điểm M cung nhỏ BC đường trịn đường kính BD