Đồ thị hàm số y = ax +b

ÔN TẬP ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax  b  a 0  A Tóm tắt lý thuyết Đồ thị hàm số bậc Hàm số bậc y ax  b  a 0  d : y ax  b có đồ thị đường thẳng, kí hiệu:   Trong đó: a hệ số góc đường thẳng b gọi tung độ gốc đường thẳng - Nếu b 0 đường thẳng y ax qua gốc tọa độ - Nếu b 0 đường thẳng y ax  b 0;b +) Cắt trung tung Oy điểm   b   ;0  Ox +) Cắt trục hoành điểm  a  - Đường thẳng y ax  b song song với đường thẳng y ax Cách vẽ đồ thị hàm số bậc y ax  b  a 0  d : y ax  b  a 0  Xét đường thẳng   O 0;0 A 1; a - Nếu b 0 ta có y ax qua gốc tọa độ   qua điểm   - Nếu b 0 ta làm sau  x 1  y a  b  +) Cách 1: Cho  x   y  a  b  x 0  y b   b  y 0  x  a +) Cách 2: Cho Chú ý: - Trục hoành đường thẳng: y 0 - Trục tung đường thẳng: x 0 B Bài tập dạng toán Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc Cách giải: Có hai cách d : y ax  b  a 0  Xét đường thẳng   d : y ax O 0;0 A 1; a - Nếu b 0 ta có   qua gốc tọa độ   qua điểm   - Nếu b 0 ta làm sau:  x 1  y a  b  +) Cách 1: Cho  x   y  a  b  x 0  y b   b  y 0  x  a +) Cách 2: Cho Bài 1: Cho ba đường thẳng y  x  1; y  x  1; y  a) Vẽ ba đường thẳng hệ trục tọa độ Oxy b) Gọi giao điểm đường thẳng y  x  y  x  A , giao điểm y  với hai đường thẳng y  x  y  x  theo thứ tự B C Tìm tọa độ điểm A, B, C c) Tam giác A, B, C tam giác gì? Tính diện tích ABC Lời giải b) Hai đường thẳng y  x  y  x  cắt A nên tọa độ A nghiệm hai phương trình: y  x  y  x 1 Ta có: x   x   x 0  y 1  A  0;1 Tương tự ta có: B  2;  1 ; C   2;  1 c) Gọi H giao điểm BC với Oy, BC  Oy HB HC Tam giác ABC có AH vừa đường cao, đường trung tuyến ABC cân A 1 S ABC  BC AH  4.2 4  cm  2 Ta có: Bài 2: d : y x  4;  d  : y  x  a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số sau:   d d b) Tìm tọa độ giao điểm M     c) Gọi giao điểm  d1  d với Ox, Oy theo thứ tự A B Gọi giao điểm   với Ox C Tính diện tích tam giác BMC Lời giải d d b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm     : x   x   x   x   y 3  M   1;3  1 S BMC S ABC  S AMC  6.4  6.3 3 2 c) Ta có: (đvdt) Bài 3: a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số sau:  d1  : y x  2;  d  : y  x 1 b) Gọi A giao điểm d1 d Tìm tọa độ điểm A d K 0;0, 25  d d d c) Gọi   đường thẳng qua  song song với trục hoành,   cắt     B C Tìm tọa độ điểm B C d) Tính S ABC Lời giải b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d1 d : x   2  2 4 x   x   x   y   A  ;  2 3  3 c) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d1 d3 : 1 5 x 2   x   B ;  2  2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm d d3 : 1 5  x    x   C   3;  2 2  7 49 AH     cm  ; BC 3    cm  ; S ABC    cm  2 24 d) Chiều cao Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng Cách giải: Cho hai đường thẳng d : y ax  b d ' : y a ' x  b ' Để tìm tọa độ giao điểm d d ' , ta làm sau: Cách 1: Dùng phương pháp đồ thị (thường sử dụng trường hợp d d ' cắt điểm có tọa độ nguyên) - Vẽ d d ' hệ trục tọa độ - Xác định tọa độ giao điểm hình vẽ - Chứng tỏ tọa độ giao điểm thuộc d d ' Cách 2: Dùng phương pháp đại số - Xét phương trình hồnh độ giao điểm d d ' : ax  b a ' x  b ' - Từ phương trình hồnh độ giao điểm, tìm x thay vào phương trình d (hoặc d ' ) để tìm y - Kết luận tọa độ giao điểm d d ' Bài 1: Cho hai đường thẳng d : y 2 x 1 d ' : y x  Bằng phương pháp đồ thị, tìm tọa độ giao điểm d d ' Lời giải I 2;5 Từ đồ thị dự đoán d d '   Thay tọa độ I vào d d ' thấy thảo mãn Vậy I tọa độ giao điểm d d ' Bài 2: d : y  x Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d ' : y  x  cách vẽ đồ thị Lời giải Ta tìm A  2;   tọa độ giao điểm d d ' Bài 3: Cho đường thẳng d : y x  d ' : y x  2  không vẽ đồ thị, tìm tọa độ giao điểm d d ' Lời giải 2  1 x   1 x   x  Xét phương trình hồnh độ giao điểm d d ' :  y    d  d '   2;    Thay x  vào d d ' tìm được: Bài 4: d : y  x 1 Khơng vẽ đồ thị, tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d ' : y  x  Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d d ' ta được: 10 x   x   x 1  x   y  4 7  10   ;  Vậy  7  tọa độ giao điểm d d ' Dạng 3: Xét tính đồng quy ba đường thẳng Cách giải: Chú ý: Ba đường thẳng đồng quy ba đường thẳng phân biệt qua điểm - Để xét tính đồng quy ba đường thẳng (phân biệt) cho trước, ta làm sau: +) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng cho +) Kiểm tra xem giao điểm vừa tìm thuộc đường thẳng cịn lại kết luận ba đường thẳng đồng quy Bài 1: Cho ba đường thẳng d1 : y 4 x  3, d : y 3x  1, d3 : y  x  Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Lời giải Gọi giao điểm hai đường thẳng d1 d I I 2;5 Tìm   I 2;5 Thay tạo độ   vào d3 thấy thỏa mãn Vậy ba đường thẳng d1 , d , d3 đồng quy Bài 2: Ba đường thẳng d1 : 3x  y  0, d : y  x  3, d3 : 3x  y  0 có đồng quy hay không Lời giải Gọi giao điểm hai đường thẳng d1 d I I 2;  1 Tìm  I 2;5 Thay tạo độ   vào d3 thấy không thỏa mãn Vậy ba đường thẳng d1 , d , d3 không đồng quy Bài 3: Cho ba đường thẳng d1 : y x  4, d : y 2 x  3, d3 : y mx  m  Tìm m để ba đường thẳng đồng quy Lời giải Gọi giao điểm hai đường thẳng d1 d I I  7;  11 Tìm  I 2;5 Thay tạo độ   vào d3 ta tìm m 2  d3 : y 2 x  d Vậy giá trị m thỏa mãn tốn Bài 4: Cho ba đường thẳng d1 : y x  2, d : y 2 x  3, d3 : y  x a) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy b) Tìm m cho đường thẳng d1 , d , d d : y mx 1 đồng quy Lời giải a) Gọi I giao điểm d1 d suy tọa độ I nghiệm hệ phương trình:  y x     y 2 x   x 1  I (1;  1)   y  Ta chứng minh I thuộc vào d3 I 1;  1 d : y  x Thật thay tọa độ  vào   ta   (đúng) I 1;  1 d   m.1   m  b) Để đường thẳng đồng quy  phải thuộc vào   Bài 5: Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy 2 a) d1 : y ( m  1) x  (m  5)(m 1); d : y  x  1; d3 : y  x  b) d1 : y 3x  8; d : y  x  3; d : y 3mx  2m 1 Lời giải M 1; a) Ta có: d cắt d3   Để ba đường thẳng đồng quy M  1;  d  m 2 thuộc   Thử lại với m 2 ta d1 không trùng với d , d3 Vậy m 2 b) Ta tìm được: m 6 Dạng 4: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng không qua O Cách giải: Để tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d (khơng qua O) ta làm sau: Bước 1: Tìm A, B giao điểm d với Ox Oy 1  2 2 Bước 2: Gọi H hình chiếu vng góc O d Khi đó: OH OA OB Bài 1: Cho hàm số y ax  b M 2;3 a) Xác định a b biết đồ thị hàm số qua điểm   b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm câu a c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng tìm câu a Lời giải a) Ta có M  2;3 thuộc đồ thị hàm số  a 3  y 6 x  b) Gọi H hình chiếu O lên đường thẳng Xét tam giác OAB vuông O 1 OA.OB  2  OH   2 2 37 OA  OB Ta có: OH OA OB Bài 2: d : y 2 x  I 3;   Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng   điểm  Hãy tính khoảng cách a) Từ O đến d b) Từ I đến d Lời giải a) Gọi A, B giao điểm d với Ox Oy Ta có: A  1;0  ; B  0;    OA 1; OB 2 d  OH d Gọi H hình chiếu vng góc O   khoảng cách từ O đến   1  2  OH  2 Ta có: OH OA OB d C 3; B 0;   b) Qua I kẻ đường thẳng vng góc với Ox, Oy cắt      d  IK d Gọi K hình chiếu vng góc I   khoảng cách từ I đến   1    IK  Sử dụng công thức: IK IC IB Bài 3: M   1;  3 Cho đường thẳng  : y  x  hệ trục tọa độ Oxy Hãy tính khoảng cách a) Từ O đến  b) Từ M đến  Lời giải a) Ta tính khoảng cách từ O đến  là: b) Ta tính khoảng cách từ M đến  là: Dạng 5: Tìm điểm cố định mà hàm số qua phụ thuộc vào tham số m Cách giải: Khái niệm điểm cố định: Điểm M  x0 ; y0  d : y ax  b điểm cố định   d ( a, b phụ thuộc vào tham số m, a 0 ) điểm M thuộc   với điều kiện tham số m Hoặc tương đương với điều kiện: y0 ax0  b với mội điều kiện tham số Cách tìm điểm cố định I x ;y d  y0 ax0  b, m Gọi  0  điểm cố định   A x ; y m  B  x0 ; y0  0 - Biến đổi y0 ax0  b dạng  0  A( x0 ; y )m  B ( x0 ; y0 )m  C ( x0 ; y0 ) 0  A( x0 ; y0 ) 0 A( x0 ; y ) m  B( x0 ; y0 ) 0m    B ( x0 ; y0 ) 0 +) Ta có:  A( x0 ; y0 ) 0  A( x0 ; y )m  B ( x0 ; y0 ) m  C ( x0 ; y0 ) 0, m   B ( x0 ; y0 ) 0 C ( x ; y ) 0 0  +)Ta có: Từ tìm x0 ; y0 kết luận Chú ý: Cách tính khoảng cách từ A  x1 ; y1  đến AB  ( y1  y2 )  ( x1  x2 ) 10 B  x2 ; y2  hệ trục tọa độ Oxy Bài 1: 1  I  ;  3 d  : y (1  2m) x  m   a) Chứng minh điểm   điểm cố định mà đường thẳng qua với giá trị tham số m d : y  2m  1 x  m  d b) Cho đường thẳng   với m tham số Tìm điểm cố định mà   qua với giá trị m Lời giải x  ; y  d a) Thay vào   thấy thỏa mãn với m, ta (đpcm) I x ;y d b) Gọi  0  điểm cố định   2 x0  0    5  y0 (2m 1) x0  m  2m  (2 x0  1)m  ( x0  y0  2) 0m     ;   x0  y0  0  2  Là điểm cố định mà đường thẳng qua Bài 2: a) Cho đường thẳng d : y  2m  1 x  3m    1 K ;  d với tham số m Điểm  2  có điểm mà   ln qua với giá trị m hay không? b) Chứng minh đường thẳng d1 : y  m   x  3m  qua điểm cố định với giá trị tham số m Lời giải   1 K ;  d a) Thay tọa độ điểm  2  vào   không thỏa mãn Vậy K không điểm cố định d  3;7  b) Tìm  điểm cố định đường thẳng qua Bài 3: d : y  3m  1 x  m  d : y 4mx   m   Cho hai đường thẳng   với m 0   d a) Chứng minh   qua điểm A d cố định,   qua điểm 11 B cố định b) Tính khoảng cách AB c) Tìm m để d1 song song với d Lời giải A x ;y  y0 4mx0   m  5 , m a) Giả sử d1 qua điểm  0  cố định 4 x0  0 1   (4 x0  1)m  y0     A ; 5 y   4      13  B ;  Tương tự:  3  13 113 AB  (  )2  (  )  4 12 b) Ta có: c) a a ' d1 / / d    b b ' 3m2  4m  1  m  1;    3 m   (m  5) Bài 4: d : y  m  1 x  m  3;  d  : y  x  5;  d3  : y  x  Cho ba đường thẳng   d a) Chứng minh với giá trị m   qua điểm cố định d // d b) Với giá trị m     d // d d  d c) Chứng minh         d , d , d d) Với giá trị m ba đường thẳng       đồng quy Lời giải d I 1; a) Tìm   ln qua điểm   b)  d1  / /  d   m  d // d c) Nếu      d1  : y  x  m 0    d1  d d : y  x      d d K  2;3 d)     cắt  Để ba đường thẳng đồng quy I   d1   m   12 Dạng 6: Tìm tham số m cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng cho trước lớn Cách giải Cho đường thẳng  d  : y ax  b phụ thuộc tham số m Muốn tìm m để khoảng cách từ O đến d lớn nhất, ta làm theo hai cách sau Cách 1: Phương pháp hình học - Gọi A, B giao điểm d với Ox Oy ; H hình chiếu vng góc O d 1  2 2 - Ta có khoảng cách từ O đến d OH tính cơng thức sau: OH OB OC - Từ tìm điều kiện m để OH đạt giá trị lớn Cách 2: Dùng phương pháp điểm cố định điểm cố định mà d ln di qua - Tìm I - Gọi hình chiếu vng góc O H d  OH OI = số H I O d  OH OI hangso d 13 - Ta có: OH max OI  d đường thẳng qua vng góc với OI Từ tìm tham số I m Bài 1: Cho đường thẳng  d  : y mx  2m  với m tham số Tìm m cho khoảng cách từ O đến  d  đạt giá trị a) Lớn b) Nhỏ Lời giải a Khoảng cách từ O đến d nhỏ O thuộc vào  d  Từ tìm m 1 b) Cách 1: Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu m 0   d  : y   khoảng cách từ O đến  d   2m   A ;0   B  0;  2m  1 Trường hợp 2: Nếu m 0   d  cắt hai trục Ox, Oy  m Gọi hình chiếu vng góc O lên  d  H 1 (2m  1) 2    OH  2 m2 1 Từ OH OA OB Lại có: OH   (m  2) 0  OH  5m 0 m2 1 OH max   m 2 Kết hợp trường hợp 2, ta được: Cách 2: Gọi I điểm cố định d Ta tìm I  2;  1 Với m, gọi  OH max H hình chiếu vng góc O d  OH OI  5, m   d  OI  m 2 Bài 2: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng  : y  m  1 x  m  đạt gía trị a) Nhỏ b) Lớn 14 Lời giải a) Khoảng cách từ O đến d có giá trị nhỏ 0, đạt O  d Từ tìm m  b) Cách 1: Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Với m    : y 1  d  O;   1  m2  A  ;0  ; B  0; m   Trường hợp 2: Với m    cắt   m   Gọi H hình chiếu vng góc O lên   d  O;   OH  m   2m   OH   m 0 1  2  OH  max 2 m  2m  Từ OH OA OB Bài 3: Cho đường thẳng  d  : y mx  (m tham số) a) Tìm điểm cố định I mà d ln qua với m b) Tìm m để khoảng cách từ O đến d lớn c) Khi m 0 , tìm m để khoảng cách từ O đến d Lời giải a) Tìm điểm cố định I  0;  b) Gọi H hình chiếu O d , OH khoảng cách từ O đến d H K Ta có: OH OI 2, dau " "  H I (0; 2)  d  Oy  d I I  0;  có dạng y 2  m 0 Vậy khoảng cách từ O đến d lớn  m 0 2  Ox  K  ;0   m  c) Gọi K giao điểm d với 2  2 OI 2; OK     0  m m  m Xét OIK vuông O , có: 15 O 1 m2       m 4  m 2 2 4 Ta có: OH OK OI Vậy m 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Đường thẳng đồ thị hàm số y  x  A)  d1  B)  d  C)  d3  -2 O D)  d  O d2 d1 Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: 5 O 16 -5 d3 d4 O 5  B ;0 Đồ thị hàm số y  x  đường thẳng qua hai điểm A  0;5    Câu 2: Đường thẳng A) y AB hình vẽ đồ thị hàm số 3 x3 2 y  x3 B) C) y 2 x  D) y  x  Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Đường thẳng AB Do đường thẳng A B Ta có: Thay A đồ thị hàm số y ax  b  * AB qua hai điểm A  0;3 B  2;0  nên tọa độ nghiệm y ax  b 3 a.0  b   0 a.2  b a  , b 3 b 3   3 a   vào  * ta được: y 3 x 3 Câu 3: Cho hàm số y  x  có đồ thị  d  Khẳng định sau sai A) d 1  A  ;0  cắt trục hoành   17 B O B)  d  cắt trục tung B  0;  C)  d  song song với đồ thị hàm số y 4 x D)  d  qua điểm M   1;  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có :  d  : y  x   * A) Thay xA     A   d  * y    A vào , ta được: hay  d  cắt trục hoành 1  A ;0 2  B) Thay xB 0 yB 2 vào  * , ta được:  4.0   B   d  hay  d  cắt trục tung B  0;  C) Ta biết đồ thị hàm số y ax  b  a 0; b 0  đường thẳng song song với đường thẳng y ax Do đường thẳng  d  : y  x  song song với đường thẳng y  x D) Thay xM  1; yM 6 vào  * ta được:    1   M   d  hay  d  qua M Câu 4: Đồ thị  d  hàm số y 1 x cắt trục hoành E cắt trục tung F Tọa độ E , F là:    1 E  ;0  ; F  0;  A)      2   E  0;  ; F  ;0  B)         E   ;1 ; F   ;0  C)       1    E  0;  ; F  ;  D)     Lời giải 18 Chọn đáp án A Giải thích: Điểm E thuộc trục hồnh nên có tung độ  yE 0  Thay yE 0 vào Điểm F y 1 2  1 x  0   xE  0  xE   E  ;  x 5 5  , ta được: thuộc trục tung, nên có hoành độ  xF 0  Thay xF 0 vào y 1  1 1 yF    yF   F  0;  x 5  5 , ta được: Câu 5: 1  P  ;1 Giá trị b đồ thị  d  hàm số y  x  b qua điểm   A) C) b B) b 4 D) b 0 b  Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: 1    b  b    xP  ; yP  y  x  b 3 3 Thay vào , ta được: Câu 6: Giá trị b đồ thị  d  hàm số y ax  b qua hai điểm M  0;   N  1;   A) a 4; b 2 B) a  3; b 4 C) a 1; b  D) a  2; b  Lời giải Chọn đáp án B 19 Giải thích: Tọa độ M  0;   N  1;   nghiệm y ax  b , từ ta có hệ phương trình:   a.0  b     a.1  b b    a; b   1;    a 1 Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , có ba điểm Hỏi có điểm không thẳng hàng 1  A   2;9  , B  ;  , C  0;5    A) 1  M   1;  , N  ;   , P  5;  2  B) 1  M   1;  , E  ;  , F  1;3  2  C) 3  A   2;9  , F  1;3 , K  ;  2  D) Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta biểu diễn ba điểm lên hệ trục tọa độ thấy ba điểm M , N , P thẳng hàng Câu 8: Ba đường thẳng y  x  4; y 2 x  5; y  3x  10 qua điểm (đồng quy) Điểm điểm A) A   3;  1 B) B  3;1 C) C   3;1 D) D  3;  1 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Thay tọa độ điểm B  3;1 vào ba phương trình đường thẳng, ta có: 1    1 2.3  1  3.3  10  (đúng) Nên B  3;1 thuộc ba đường thẳng Câu 9: Cho hai điểm M  2;  , N   2;1 Trong đường thẳng sau đây, đường thẳng qua M , N 20