Ôn tập chương i hình học

ÔN TẬP CHƯƠNG I A Tóm tắt lý thuyết: Ta có bảng tóm tắt kiến thức sơ đồ tư chương B Bài tập áp dụng dạng tốn Bài 1: Cho ABC vng A , đường cao AH  H  BC  A   , có AB 10cm, BH 6cm Tính B, C , BC , CH , BA B H d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải 2 Xét tam giác ABH vuông H , áp dụng định lý pytago ta được: AB  AH  HB  AH 102  62  AH 8(cm )   BH    B  530  C  470 cosB AB 10 C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC ta có: AB BC.BH  BC  Ta lại có: 50 40 (cm); AC CH CB  AC  (cm); AH BH CH  AH 8(cm) BH  HC BC  HC  32  cm  Bài 2: Cho ABC vng A , có AB 6cm A AC 8cm   a) Tính B, C , BC b) Đường phân giác góc A cắt BC D Tính BD, CD B D c) Từ D kẻ DE vng góc với AB , DF  AC Tứ giác AEDF hình gì? Tính chu vi diện tích tứ giác AEDF d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải a Xét tam giác ABC vuông A , theo định lý pytago, có: BC  AB  AC  BC 82  62  BC 10(cm) Theo tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:   AC 0,8  B  530  C  370 SinB BC DB AB DB DC 10 30 40       BD  ; CD  7 b Vì AD phân giác góc A nên ta có: DC AC c Hình chữ nhật AEDF có AD phân giác nên hình vng (dhnb) 570 96   ED  DE  24 (cm)  S SinB (cm ); PAEDF  (cm) AEDF  BD 49 Xét tam giác vng BED , có: C Bài 3: Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  , có C D  AB 20cm, AD 8cm, BAD 650 a) Tính đường cao DH cạnh CD b) Tính đường chéo BD ABD 65° H A 20 K B d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải a Xét tam giác vuông ADH vng H , ta có: Sin A  DH AH  DH 7, 25(cm); cos A   AH 3,38(cm) AD AD Xét tam giác AHD BKC ,  AD BC ( gt )  AHD BKC (ch  gn)  AH BK    A B 65 có: Ta lại có: HK  AB  AH 13, 24  cm  CD / / HK    DHKC DH / / CK   DHKC Xét có hình bình hành  CD HK b) Xét tam giác DHB vuông H , có: sin ABD  tan ABD  DH 7, 25  0, 436  ABD 23,560 BH 13, 24  3,38 DH DH  BD  18,14  cm  DB sin 23,560 Bài 4: A AB  AC  Cho ABC vng  có đường A cao AH 12cm, BC 25cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BH , CH , AB, AC 12 b) Vẽ trung tuyến AM Tính số đo AMH B c) Tính diện tích tam giác AHM H M 25 C d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải a Xét tam giác ABC vuông A , có:  AB  AC BC ( pytago)  AB  AC 625  AB 15(cm)       AC 20(cm)  AH BC  AB AC 300  AB AC 300 Xét tam giác vuông ABH theo định lý pytago ta có: AB  AH  HB  HB  AB  AH 152  122  BH 9(cm)  HC 16(cm ) 1  AM  BC  25 12,5(cm) 2 b) Ta có AM trung tuyến ứng với cạnh BC Xét tam giác AHM vng H , có: Sin AMH  AH 12   AMH 73, 740 AM 12,5 c Xét tam giác AHM vuông H , theo định lý pytago, ta có: AM  AH  HM  HM  AM  AH 12,52  122  HM 3,5(cm ) 1 S AHM  AH HM  12.3,5 21(cm ) 2 Bài 5: Hình thang MNEF vng M F có EF M N Là đáy lớn, hai đường chéo ME , NF vuông O góc với O a) Cho biết MN 9cm, MF 12cm Hãy 12 - Giải tam giác MNF - Tính độ dài đoạn thẳng MO, FO F - Kẻ NH  EF H Tính diện tích tam giác FNE , từ tính diện tích tam giác FOH b) Chứng minh: MF MN FE d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải E a Xét tam giác vuông MNF , theo định lý pytago ta có:   NF MN  MF  NF 15(cm)  MNF 530 ; MFN 370 +) Xét tam giác MNF D vuông M , theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có : M MN MF 36 MO.NF MN MF  MO   (cm) NF Xét tam giác vng MOF , theo định lý pytago ta cóE: MF MO  OF2  FO  +) Tính EF : Xét tam giác vuông EOF vuông O , có: OF 48 48  cosOFE   cos530  : EF  EF  : 0,6 16(cm) EF 5 1 S FNE  EF NH  16.12 96(cm ) 2 S FOH FO FH    S FOH 34,56(cm ) +) Cách 1: Ta có S FNE FN EF 25 Cách 2: Kẻ đường cao OK tam giác FOH  S FOH 34,56(cm ) b) Ta có MFN #FEM ( gg )  MF MN   MF MN FE FE FM (đpcm) Bài 6: Cho tam giác DEF , biết DE 6cm, DF 8cm FE 10cm a) Chứng minh tam giác DEF vuông b) Vẽ đường cao DK Tính DK , FK c) Giải tam giác vuông EDK d) Vẽ phân giác EM góc DEF Tính độ dài đoạn MD, MF , ME  e) Tính sinF tam giác vng DFK DEF Từ suy ED.DF DK EF d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải K 48 (cm) F 2 a) Xét tam giác DEF , có: EF DE  DF  DEF vuông D 2 b) Ta có: EF DE  DF  DEF D DE.DF 6.8 DK EF DK DF  DK   4,8  cm  EF 10 FK FE FD  FK  FD 32  (cm) FE c) Xét tam giác EDK vuông K , áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác B DK 24 24    cosEDK   :    EDK 36052 '  KED  5308' 60° ED 30 vuông ta được: H MD ED   MD 3; FM 5; EM 3 5(cm) C A d) Vì EM phân giác góc DEF nên ta có: MF EF DK DE DK DE   SinDFK  ; SinDFE     DE.DF DK EF DF EF DF EF e) Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A  a) Biết BC 6cm B 60 - Tính độ dài cạnh AB, AC - Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho AB AC  BD BC Chứng minh rằng: BD CD b) Đường thẳng song song với phân giác  CBD kẻ từ A cắt CD H 1  2 AC AD Chứng minh: AH d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải a Xét tam giác ABC vuông A , áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác   AC  AC 6 3(cm) SinB BC vng ta có:   AB  cos 600  AB  AB 3(cm) cosB BC +) Ta có BD BC  AB AB   cos ABC cos 600  1 BD BC 0    Ta có tam giác CBD cân B , DBC 120  BCD 30  ACD 60 (2) AC AB AC  coks 600 cos ACD    CD BD CD Từ (1)(2) b) Ta có tam giác BCD cân B , BI đường phân giác nên BI đồng thời đường cao xuất phát từ đỉnh B , BI / / AH  AH  BI Xét tam giác ABC vuông A , áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác ta có: 1  2 AH AC AD (đpcm) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho tam giác ABC , Bài 1: trực tâm H Chứng minh A 2 2 2 hệ thức: AB  HC BC  HA CA  HB E F d) b = 12cm, c = 7cm H B D Lời giải 2 2 2 2 2 Ta có AB BE  AE ; BC BE  CE  AB  BC  AE  CE  1 2   HE HA  AE  HA2  HC  AE  CE  2 Lại có:  HE HC  CE  2 2 2 Từ  1    AB  HC BC  HA 2 2 2 2 2 Tương tự ta có: CA  AF  CF ; BC BF  CF  CA  BC  AF  BF  3 Lại có  HF HA2  AF   HA2  HB  AF  BF  2   HF HB  BF  4 2 2 Từ  3    CA  HB BC  HA (đpcm) Bài 2: C Cho tam giác ABC cân A Kẻ đường A cao AH , BK , CI a) Chứng minh hệ thức: 3BK  AK  CK  AB  BC  CA2 K Xét hệ I thức trường hợp ABC tam giác C đều, suy cơng thức tính chiều cao tam B H giác theo cạnh b) Một đường thẳng qua C , song song với BK , cắt tia AB điểm J Chứng minh J AB  AI AJ d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải 2 2 2 2 Ta có: AB BK  AK ; AC CI  AI ; BC BK  CK ; CI BK ; AI  AK 2 2 2 Nên AB  AC  BC 3BK  AK  CK 1 1 AK  AC  BC ; CK  AC  BC 2 2 Khi ABC đều: 2 3BC  BC   BC  3BC 3BK       BK      Ta được: 2 b) CJ / / BK  CJ  AC  ACJ vuông C , CI đường cao tam giác nên ta có: AC  AI AJ Vì AC  AB  AB  AI AJ (đpcm) Cho tam giác AH Từ H ABC Bài 3: vuông A , đường cao A ta kẻ HD  AB; HE  AC Chứng E minh hệ thức sau: D a) DE BD.CE.BC b) B BC  BD  CE H C d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải a) Trong tam giác vng ABC , ta có: AH HB.HC  AH HB HC  AH  BD AB   CE AC  Mà AB AC  AH BC  AH  BD AB   CE AC   AH BC.BD.AC  AH BD.CE BC b) Đẳng thức chứng minh viết lại: Ta có ABH vng BH BD.BA  BD  Tương tự ta có: H, 3 đường cao BD CE  BC BC HD nên ta có: BH BH BH BD BH      BA2  BH BC  BC BC BC CE CH  BC BC BD BH   1 BC BC  2  Từ     đpcm Bài 4: Cho biết tan75 2  0 a) Tính cos75 ; sin75 ; cot 75 0 0 b) Suy cos15 ; sin15 ; cot15 ; tan15 Lời giải a) Ta có:  tan 2   cos 750  cot 75  b) Ta có: 2 1  1   cos  cos 750   cos 750  2  2   sin 750 1  cos 750  2  tan 750 sin2150 cos 750   4  3 10 2 sin2 750 cos 2150  2 ; tan15 2  3; cot150 2  Bài 5: Cho tam giác ABC với a 5 2; b 4 2; c 3 A a) Xác định hình dạng ABC b) Tính độ dài đường cao AH đoạn thẳng BH , CH B H C   c) Tính góc B; C d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải 2 a) Ta có: a 50; b 32; c 18 2 Nhận thấy a b  c  ABC vng b) Ta có: b b '.a  b ' CH  A b2 32 16 c2 18   c c '.a  c ' BH    a 5 a 5 ; 12  AH    b   0,8  B  53013'  C  360 47 ' sinB a 5 c) Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn điểm P A thuộc miền tam giác Gọi D, E , F theo thứ tự hình chiếu P cạnh E F BC , CA, AB P a) Chứng minh: BD  CE  AF DC EA2  FB b) BD  DC  B BC 2 c) Xác định vị trí điểm P ABC để 11 D C 2 tổng DC  EA  FB đạt giá trị nhỏ d) b = 12cm, c = 7cm Lời giải a) Ta có: BD  CE  AF  PB  PF    PC  PD    PA2  PE   BD  CE  AF FB  DC  EA2 b) Giả sử: BD  DC  BD  DC 0   BD  DC  0  BD  DC 2 BD.DC   BD  DC  BD  BD.DC  DC   BD  DC  BC  BD  DC  c) Ta có: BD  DC  Từ suy ra: BC 2 BC AC AB ; CE  AE  ; BF  AF  2 DC  EA2  FB  Dấu “=” xảy BC AB  BC  CA2  ; BD  DC   D trung điểm BC 2 Nên tổng DC  EA  FB đạt gí trị nhỏ D, E , F theo thứ tự trung điểm BC , CA, AB nghĩa P giao điểm đường trung trực cạnh BC , CA, AB BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hình vẽ Tính x, y hình vẽ a) x 1,58  cm  ; y 2, 76  cm  b) x 2,88  cm  ; y 3,84  cm  c) x 3,1 cm  ; y 4, 24  cm  d) x 3,1 cm  ; y 3,84  cm  12 Chọn đáp án B H Giải thích: O Áp dụng định lý Pytago vào tam giác HIK y 3,6cm x vuông I , ta có: HK  HI  IK  3, 62  4,82 6  cm  I K 4,8cm Lại có: IO.HK IH IK  OI x  IH IK 2,88  cm  HK Có tiếp: OEF IK KO.KH  KO  y  IK 3,84  cm  HK Câu 2: Cho hình vẽ Tính x, y hình vẽ a) x 4  cm  ; y 5 11  cm  b) x 3  cm  ; y 4  cm  c) x 4  cm  ; y 4 11  cm  Chọn đáp án C d) x 4 11  cm  ; y 5  cm  O Giải thích: Tam giác OEF vng O , đường cao OM , y x ta có: EF EM  MF 5  11 16  cm  E OE  x EF EM 16.5 80  x  80 4 5 M 11 OF  y EF FM 16.11 176  y 4 11 Câu 3: Cho hình vẽ Khẳng định sau sai a) AMB vuông M b) AMB tam giác c) d) A, B đúng; C sai x  m.n 13 F Chọn đáp án D M Giải thích: A ) Ta có OA OB OM  bán kính OM x trung tuyến ứng với cạnh AB n A  AB  AMB vuông M m B O I B ) Trong tam giác OAM có MI đường cao, đường trung tuyến nên tam giác OAM cân M  OM MA  1 Ta cịn có OM MA R   Từ  1    OM OA MA  OAM C ) Tam giác AMB vuông M , đường cao 2 MI ta có: MI IA.IB  x m.n  x  mn  Câu 4: Cho hình vẽ Số đo góc PNQ (kết làm tròn đến phút) b) 32 32 ' a) 30 52 ' 0 d) 35 c) 33 41' Chọn đáp án C P Giải thích: Ta có: OM ON OP R  OP đường MN trung tuyến ứng với cạnh MN  MPN MPN 9cm M vuông P vuông P có đường cao PQ , ta có: PQ QM QN 4.9 36  PQ 6 PQ   tanPNQ     PNQ 330 41' QN Ta có: 14 4cm Q O N Câu 5: Cho hình vẽ Khi cos a) 2a c) Chọn đáp án A b) d) a B Giải thích: Ta có: H  BC  2a  4a   AB  AC a      1 3a Từ  1    ABC vuông  4a a 2a  2 A A 3a C  300   C (cùng phụ với CAH ) Vậy sin   00    900  Câu 6: Cho Không dùng bảng máy tính bỏ túi tính cos cos  cos  4 a) b) cos cos300  cos  c) Chọn đáp án C d) Một kết khác Giải thích: sin   sin 2  16 Ta có: 7  sin 2  cos 2 1  cos 2   cos  16 16 Lại có Câu 7: Với gọn nhọn  tùy ý Khẳng định sau sai   cos    cos  sin 2  sin 2  cos 2 2cos 2 a) b) 4 2 d) sin   cos   2sin  cos  1 c) sin  sin cos  sin  Chọn đáp án B Giải thích: 15 2 A)   cos    cos  1  cos  sin  2 B)  sin   cos  1  2 C) sin  sin cos 2 sin   cos 2  sin sin 2 sin 3 D) sin 4  cos 4  2sin 2 cos 2  sin 2  cos 2  12 1   Câu 8: Cho hình vẽ, biết BAC 42 ; CAD 30 ; AB  AC 10cm Tính diện tích tứ giác ABCD A (làm tròn kết đến hàng đơn vị) a) S ABCD 48  cm  b) 10cm S ABCD 51 cm  c) Chọn đáp án D d) Giải thích: Vẽ 30° S ABCD 42° 50  cm  10cm D S ABCD 55  cm  B C BH  AC H ABH vng H ta có:  BH  AB.sinBAH 10.sin420 6, 69  cm  1 S ABC  BH AC  6, 69.10 33, 45  cm  2 ACD vuông D ta có:  CD  AC.sinCAD 10.sin300 10 5  cm   AD  AC.cosCAD 10.cos300 10 5  cm  Diện tích ACD là: 1 S ACD  AD.CD  5.5 21, 65  cm  2 S ABCD S ABC  S ACD 33, 45  21, 65 55  cm  Câu 9: Cho hình vẽ, biết ABCD hình thang  AB / / CD  , có  AB  AD 6cm, ADH 700 ; CBK 450 Tính độ dài cạnh CD (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ nhất) a) CD 13,  cm  b) CD 14,  cm  c) CD 14,5  cm  d) CD 15,  cm  16 Chọn đáp án A A B Giải thích: 45° AHD vng H ta có: AH  AD.sin700 6.0,94 5, 64  cm  70° DH  AD.cos 70 6.0,34 2, 04  cm  D 45° H C K Ta có ABKH hình chữ nhật  HK  AB 6cm; BK  AH 5, 64cm   có K 90 ; CBK 45  BKC vuông BKC K  BK  CK  5, 64  cm  cân Lại có: CD CK  KH  HD 5, 64  2, 04  13, 68  cm   Câu 10: Cho ABC cân A có BC 12cm diện tích 24cm BAC có số đo là? 0 a) 110 25' b) 108 42 ' d) Cả A, B, C sai c) 112 36 ' Chọn đáp án C A Giải thích: Vẽ đường cao AH , ta có: S ABC  AH BC B 48  24  AH 12  AH  4  cm  12 ABC cân A, nên đường cao AH  phân giác BAC , đồng thời đường trung   BAC  BC  A1  A 2 tuyến ứng với cạnh HB HC  BC 6  cm  Và AHB vuông tan A1  H ta có: HB  1,5  A1 56018' AH 17 H C   BAC 2 A1 2.56018' 112036 ' Câu 11: Hình vẽ cho biết: Cột cờ dựng vng góc với mặt đất Bóng cột cờ chiếu ánh sáng mặt trời dài 15  cm  Góc nhìn mặt trời 42 Tính chiều dài cột cờ a) 13  m  b) 14  m  c) 15  m  Chọn đáp án B d) Một kết khác Giải thích: Gọi chiều dài cột cờ l cột cờ Ta có l 15.tan 42 15.0,9 13,51 14  cm  Vậy chiều cao cột cờ xấp xỉ 14  cm  mặt đất Câu 12: Hình vẽ cho biết: Từ đỉnh tháp chuông cao 26  m  người ta nhìn thầy tảng đá góc 30 so với đường nằm ngang qua chân tháp Hỏi khoảng cách từ tảng đá đến chân tháp (làm tròn kết đến chữ số hàng đơn vị) a) 38  m  b) 40  m  c) 41 m  Chọn đáp án D d) 45  m  30° Giải thích: Gọi x khoảng cách từ tảng đá đến chân tháp, ta có: tan300  26m 26 26  x 45  m  x tan300 mặt đất Vậy khoảng cách từ tảng đá đến chân tháp xấp xỉ 45  m  Câu 13: Chiều cao thông đỉnh O , người ta lấy hai điểm B C mặt đất với BC 2cm 0 Góc nhìn đỉnh O từ B 47 , từ C 38 Tính chiều cao h thông kể từ 18 mặt đất a)  m  b)  m  c)  m  Chọn đáp án C d) Cả A, B, C sai O Giải thích: Từ hai tam giác vng OAB OAC ta có: OA  tan 470   OA  AB.tan 470   AB  tan380  OA  OA  AC tan380  AC  C 38° 47° B A mặt đất  AB.tan470  AC.tan380  AB.tan47  AB   tan380  AB  tan 47  tan380  2tan380  AB  2tan380 5, 37 tan 47  tan380  OA 5,37.tan 47 5, 76 6  m  Vậy chiều cao thông xấp xỉ  m  Câu 14: Một khúc sông rộng khoảng 280  m  Một đò chèo qua sơng dịng nước đẩy xiên nên chèo khoảng 340  m  sang sơng Hỏi dịng nước đẩy đị góc độ (hình vẽ) b) 38 a) 35 0 d) 44 c) 42 Chọn đáp án A Ta có: cos  C B Giải thích:                                    280 0,8235   350 340 Vậy dòng nước đẩy lùi đò  A góc xấp xỉ 35 Câu 15: Một khúc sơng rộng khoảng 320  m  Một thuyển di chuyển vượt qua khúc sông nước chảy mạnh phút Tính vận tốc thuyền, biết đường 19 thuyền tạo với bờ góc 35 a)  km / h  b)  km / h  c)  km / h  Chọn đáp án B d) Một kết khác Giải thích:                                   35° A    A 350  sinC  sin350  320 C AC Ta có:  AC  C B 320 320  5,58  cm  0,558km sin35 0,574  0,558.60 4  km / h  Vận tốc thuyền  Câu 16: Giải ABC vuông A Cho biết AC 410  cm  , B 54 17 '  a) C 35 43'; AB 196,54cm; BC 405, 93cm  b) C 35 43'; AB 294,96cm; BC 504,93cm  c) C 35 43'; AB 299,93cm; BC 506,87cm d) Cả A, B, C sai Chọn đáp án D A Giải thích: ABC vng A, 410cm   ta có: B  C 90  900  B  900  350 43'; tanB   AC C AB  AB  54°17' B C AC 410  294,96  cm   tanB tan54 17 '   AC  BC  AC  410 504,93  cm  sinB  BC 54017 ' sinB Câu 17: Cho ABC vuông A , có AB 15cm, AC 20cm Đường cao AH trung tuyến a) 50 AM Tính số đo AMH (làm tròn kết đến độ) b) 54 c) 60 d) 74 20