THƯ VIỆN HỌC LIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022-2023_MƠN TỐN Câu (5 điểm) x 3 x x x 10 24 x 1) Phân tích đa thức thành nhân tử x x 25 x x 3 x A 1 : x 25 x x 15 x x 2) Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm điều kiện x để A Câu (3,5 điểm) 1) Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn ab bc ca 1 2 a b b c c a A 2 a b c2 Tìm giá trị biểu thức A x 1 x 3 x x 2028 2) Tìm số dư chia đa thức chia cho đa thức x x 12 Câu (3,5 điểm) 2 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x 656 xy 657 y 1983 x 241 x 220 x 195 x 166 10 19 21 23 2) Giải phương trình : 17 Câu (6 điểm) Cho hình vng ABCD điểm E , F cạnh AB, AD cho AE AF , H hình chiếu A DE a) Chứng minh AD DH DE b) Chứng minh hai tam giác AHF DHC đồng dạng c) Xác định vị trí điểm E , F để diện tích CDH gấp lần diện tích AFH Câu (2 điểm) 1) Chứng minh A n 4n 6n 4n n chia hết cho 16 2) Cho a, b, c Chứng minh : a2 b2 c2 a3 b3 c3 b2 c2 c2 a2 a b2 2abc ĐÁP ÁN Câu (5 điểm) 3) Phân tích đa thức thành nhân tử x 3 x 5 x x 10 24 x x 3 x x x 10 24 x x 13 x 30 x 11x 30 24 x 2 x 12 x 30 x 24 x x 12 x 30 25 x x 12 x 30 x x 12 x 30 x x x 30 x 17 x 30 x x 15 x 17 x 30 x x 25 x x 3 x A 1 : x 25 x x 15 x x 4) Cho biểu thức 5 3 d) Rút gọn A x x 25 x x 3 x 5 A 1 : x 5; x 3 x 25 x x 15 x x x x 5 x 25 x x 3 ( x 3) ( x 5)( x 5) : ( x 5)( x 3) x 5 x 5 x 2 x x 25 x x x 25 x x 3 : x 5 ( x 5)( x 3) x 5 9 x x 3 e) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên x U (5) 1; 5 x 8; 4; 2; 2 Để A nguyên f) Tìm điều kiện x để A A x3 x Câu (3,5 điểm) 3) Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn ab bc ca 1 2 a b b c c a A 2 a b c2 Tìm giá trị biểu thức 2 a b b c c a A 2 a b c2 a b b c c a ab bc ca a ab bc ca b ab bc ca c 2 2 2 a b b c c a A a b a c b c a b a c b c 4) Tìm số dư chia đa thức 1 A x 1 x 3 x x 2028 x x 12 A x 1 x 3 x x 2028 x x x x 15 2028 Đặt t x x 11 A t t 2028 t 16 2028 t 2012 2 A x x 11 2012 x x 12 1 2012 A x x 12 x x 12 2013 Vậy số dư phép chia đa thức A cho đa thức x x 12 dư 2013 Câu (3,5 điểm) 2 3) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x 656 xy 657 y 1983 x 656 xy 657 y 1983 x 656 xy y 656 y 1983 x y 656 xy y 1983 x y x y 656 y x y 1983 ( x y )( x 657 y ) 3.661 661.3 661 661 x y 661 3 x 657 x 661 660 661 4 660 y 1 1 Vậy 661 1 x; y 4; 1 ; 4;1 ; 660;1 ; 660; 1 x 241 x 220 x 195 x 166 10 19 21 23 4) Giải phương trình : 17 chia cho đa thức x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 x 258 0 x 258 0 x 258 17 19 21 23 Vậy phương trình có nghiệm x 258 Câu (6 điểm) Cho hình vng ABCD điểm E , F cạnh AB, AD cho AE AF , H hình chiếu A DE E A B H F C D d) Chứng minh AD DH DE Xét ADE vuông A HDA vuông H có : AD DE AD DE.DH DH AD ADE chung e) Chứng minh hai tam giác AHF DHC đồng dạng AD AE DC AF ADE ∽ HDA DH EH DH AH (do AD DC , AE AF ) Vì Mà HDC HAD (cùng phụ với HDA) AHF ∽ DHC ADE ∽ HDA( g g ) f) Xác định vị trí điểm E , F để diện tích CDH gấp lần diện tích AFH CDH ∽ AFH Ta có SCDH CD SCDH CD 9 9 CD 3 AF S AFH AF S AFH AF Vậy để diện tích CDH gấp lần diện tích AFH E, F thuộc AB, AD cho AE AF AB Câu (2 điểm) 3) Chứng minh A n 4n 6n 4n n chia hết cho 16 A n8 4n 6n6 4n5 n n n 1 3n n 1 3n n 1 n n 1 n 1 n n 3n 3n 1 n n 1 4 n n 1 2 n n 1 24 16 dfcm n n 1 Vi tích số nguyên liên tiếp nên 4) Cho a, b, c Chứng minh : a2 b2 c2 a3 b3 c3 b2 c2 c2 a2 a b2 2abc Ta có : a2 a2 b2 b2 c2 c2 , ; b c 2bc c a 2ac a b 2ab Cộng vế ta có : a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b3 c b c c a a b 2bc 2ac 2ab 2abc