0D35 pt chua dau gia tri tuyet doi pham quoc toan

0D3 – PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU SỐ I PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Kiến thức cần nhớ  Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ – Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ  Phương trình dạng f (x) = g(x) ta giải cách biến đổi tương đương sau éf (x) = g(x) 2 f (x) = g(x) Û ê êf (x) = - g(x) f (x) = g(x) Û f (x) = g (x) ê ë Các ví dụ minh họa Loại Dùng định nghĩa, tính chất giá trị tuyệt đối phương pháp bình phương hai vế Ví dụ Giải phương trình sau x   x  x  Giải Phương trình  x  x  3x   x  x  0    2  x    x  x    x  x  0 Chú ý Phương trình này, ta khơng sử dụng phương pháp bình phương hai vế để tránh giải phương trình bậc cao (bậc )   45 x     13 x  Vậy phương trình có nghiệm x   45  13 2 Ví dụ Giải phương trình sau x  3  x Giải Cách 1: Với  x   x  ta có VT 0, VP  suy phương trình vơ nghiệm Với  x 0  x  không âm PT hai vế phương trình Chú ý Phương trình này, ta sử dụng biến đổi tương đương sau  g  x  0 f  x  g  x    2  f  x  g  x  2  3x    x   x  12 x  4 x  12 x   x 5  x 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 1 : Phương trình tương đương với 3x  3  x  x 5  x 1 (thỏa mãn) Cách 2: Với 3x  0  x  Với 3x    x  : Phương trình tương đương với   x   3  x  x  (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 1 Chú ý Ví dụ Giải phương trình sau x   x  x  0 Giải Ta có x  0, x  x  0 suy Phương trình dạng f  x   g  x  h  x  giải tổng quát cách xét khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối x   x  x  0 Dấu xảy  x     x  0    x 1  x   2  x  x  0   x   Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình sau x   x   x (*) Giải TH1 x 1 Khi (*)  x   x  3x  x 0 (luôn với x 1 ) TH2  x  Khi (*)   x  x  3 x  x 1 ( L) TH3  1  x  Khi (*)   x  x   x  x  ( N ) 2 TH4 x   1 Khi (*)   x  x   3x  x 0 (luôn với x   ) 2 1  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   ;     1;   2  Loại Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cách đặt ẩn phụ Chú ý Ví dụ Giải phương trình sau  x  1  x   0 Giải Đặt t  x  , t 0 t  x  với điều kiện t 0  t 1 Phương trình trở thành t  3t  0    t 2  x 0 Với t 1 ta có x  1  x  1    x   x 1 Với t 2 ta có x  2  x  2    x  Vậy phương trình có nghiệm x  3, x  2, x 0 x 1 Ví dụ Giải phương trình sau x  x  1  x   Giải Phương trình tương đương với x  x  x   0 Đặt t  x  , t 0  t 4 x  x   x  x t   t  2 Phương trình trở thành t   t  0  t  t  0    t 2  x  2  Vì t 0  t 2 nên x  2    x   Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình sau x    x 2   x   x  2  x  1  2 x  x2  x  x Giải Điều kiện x khác Phương trình tương đương  x  1  Đặt t  x    x  1 7 x   x , t 0 x 2 Suy t  x  1   x  1 Do  x  1  x  nên ta nghĩ đến việc đặt 2    x  1   x  1 t   t 1 2 Phương trình trở thành t  7t  t  7t  0    t 6 x2  x  x2  2x  1  1  1 Với t 1 ta có x   x x x   x  3x  0    x  x  0     13 x  (thỏa mãn)   13 x  Với t 6 ta có x   x2  x  x2  x  6  6  6 x x x  x  x  0    x  x  0  x 4 2  (thỏa mãn)  x  2 Vậy phương trình có nghiệm x   13  13 , x , x 4 2 x  2 2 Loại Phương trình chứa tham số Ví dụ Giải biện luận phương trình sau mx  2m  mx  x  (*)  mx  2m mx  x  Giải Ta có mx  2m  mx  x     mx  2m   mx  x  1 x 2m      2m  1 x  2m  (1) Giải (1) Với 2m  0  m  phương trình trở thành x 0 , phương trình nghiệm với x Với 2m  0  m  phương trình tương đương với x  Kết luận: m  m  phương trình (*) nghiệm với x phương trình (*) có hai nghiệm x  x 2m  Ví dụ Giải biện luận phương trình sau mx  x   x  (**)  mx  x   x   (m  1) x 0 (2)  Giải Ta có mx  x   x     (m  3) x 2 (3)  mx  x    x  1 Với phương trình (2) ta có m  phương trình (2) nghiệm với x m  phương trình (2) có nghiệm x 0 Với phương trình (3) ta có m  phương trình (3) vơ nghiệm m  phương trình (3) có nghiệm x  m 3 Kết luận m  phương trình (*) nghiệm với x m  phương trình (*) có nghiệm x 0 m  m  phương trình (*) có nghiệm x 0 x  m 3 2 Ví dụ Tìm m để phương trình x  x  mx  (m  1) x  2m  có ba nghiệm phân biệt Giải Phương trình tương đương với x  x  1   x  1  mx  2m  1  x   x  mx  2m   0 x     x  mx  2m  (*)  mx  2m   x  Ta có (*)    mx  2m   x  ( m  1) x 1  2m (1)  (m  1) x 1  2m (2)  Nếu m 1 phương trình (1) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt Nếu m  phương trình (2) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt  2m  x  m Nếu m 1 (*)    x 1  2m  m 1 Suy để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt   2m  m 0  m      m  1  2m     m 1  1  2m  2m  m    m   m  1   Vậy với m   1;  ;  ;0;1 phương trình có ba nghiệm phân biệt   Bài tập tự luyện Bài 1: Giải phương trình sau a) | x  | x  x  i) x2   x2  x 1 b) | x  x  | x  j) x  3x  x 1 c) | x  | x  x  k) 2x   x2  5x  d) x   x  3x  l) x  x  x  e) x   x  3x  m) x    x 10 f) x2   x2  4x  n) x  x  x  1 g) x2   x 1 o) x   x   x  14 h) 3x   x  3x 1 Bài 2: Giải phương trình sau a)  x  1  x   0 b) x4  x2  x2   x2 x Bài 3: Cho phương trình x  x  x   m  0 a) Giải phương trình m  b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài 4: Giải biện luận phương trình sau a) mx  2m  x  b) mx  x  mx  II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẤN Ở MẪU SỐ Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn mẫu ta thường - Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không) - Đặt ẩn phụ Các ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình sau a) x 1 x 1  3x  x  b)  10 50   x  x  (2  x)( x  3) c) x 3 4x   ( x  1) (2 x  1) d) x 1 x  x 1   x  x  x 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x  x 2 Với điều kiện đó, phương trình tương đương với  x  1  x    x 1  3x    x  x  x  3x  x  3x   x  x  0  x  2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x  2 b) ĐKXĐ: x  x 2 Với điều kiện đó, phương trình tương đương với   x   x  3   x  3 10   x   50  x 10  x  x  30 0    x  Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x 10 c) ĐKXĐ: x  x  Với điều kiện đó, phương trình tương đương với  x  3  x  1 2  x  1  x 5 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x 5 d) ĐKXĐ: x 2 x  Với điều kiện đó, phương trình tương đương với  x 1  x  2   x  1  x 1  x    x 1  x    x     x  x  1  x     x  1  x    x  1  x    x3  x  x  x  x   x3  x  x  2 x3  x  x   x 0  x  x 0   (thỏa mãn điều kiện)  x  Vậy phương trình có nghiệm x  x 0 Ví dụ Giải phương trình sau a)    x 1 x  2 x  x  b) 1    x  x  x  11x  28 x  17 x  70 x  2 c)    x  x2 Lời giải 1  a) ĐKXĐ: x    2;  ;  1;   2  Với điều kiện đó, phương trình tương đương với 4 x  10  x  10      2 x 1 x  x  x  x  x  x  12 x  1     x  10     0  x  x  x  12 x     x  10   x  x   x  12 x   0  x  10 0   x  10   x  20 x  11 0    x  20 x  11 0   x   (thỏa mãn điều kiện)  5   x  Vậy phương trình có nghiệm x   5 x  1  b) Điều kiện: x    10;  7;  4;  1;  2  Phương trình tương đương với 1    ( x 1)( x  4) ( x  4)( x  7) ( x  7)( x  10) x   1 1  1 1  1 1            x  x    x  x    x  x 10  x   1 1    x  x  12 0     x  x  10  x   x   x   Đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm x  c) ĐKXĐ: x 0 x 2 Phương trình tương đương với x  4x2   x 5 x2 4x2 4x2  x     0  x   x 2  x 2  x2  2x  4x2 4x2   x       0    2 x 2 x   2 x  2 x Đặt t  x2 , phương trình trở thành 2 x  t 1 t  4t  0    t  x2 1  x  x  0  Với t 1 ta có 2 x Với t  ta có  x 1  x  (thỏa mãn)  x2   x  x  10 0 (vơ nghiệm) 2 x Vậy phương trình có nghiệm x  x 1 Ví dụ Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) x m 2 (1) x 1 x  mx  c) 2m  (3) 3 x b) x  mx  1 (2) x2  d) x  mx  m (4) x 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x  Phương trình tương đương với x  m 2  x  1  x  m  Đối chiếu với điều kiện ta xét  m    m  Kết luận m  phương trình (1) có nghiệm x  m  m  phương trình (1) vô nghiệm b) ĐKXĐ: x  0  x 1 Phương trình (2)  x  mx   x   mx  (2') Với m 0 : Phương trình (2') trở thành x  suy phương trình (2') vơ nghiệm phương trình (2) vơ nghiệm Với m 0 phương trình (2') tương đương với x  3 m 3 3 1  m 3 suy m 3 phương trình (2') có nghiệm x  m m nghiệm phương trình (2) Cịn m 3 phương trình (2') có nghiệm x  , m  phương trình (2') có nghiệm x 1 phương trình (2) vô nghiệm Đối chiếu điều kiện xét Kết luận m    3;0;3 phương trình (2) vơ nghiệm m    3;0;3 phương trình (2) có nghiệm x  3 m c) ĐKXĐ: x 3 Phương trình (3)  x  mx    x   2m    x   3m   x  6m  16 0  x 2   x    x  3m   0    x  3m  Đối chiếu điều kiện ta xét  3m  3  m  Kết luận m  phương trình (3) có nghiệm x  m  phương trình có nghiệm x 2 x  3m  d) ĐKXĐ: x  TH1: Nếu m  ta có VP (4) 0, VT (4)  suy phương trình vơ nghiệm TH2: Nếu m 0 phương trình tương đương với  x  mx  m  x  1 x  mx  m x     3x  mx   m  x  1 m  x       2m  3 x  m   Với x  nhận x  m   x   x  m  2m   m m   m  (luôn đúng) với m 0 phương trình (4) ta xét 2 m nghiệm  m  m   m  (ln đúng) với m 0 phương trình (4) ta xét 2m  2m   m nhận x  nghiệm 2m   Với x  Kết luận m  phương trình (4) vơ nghiệm m 0 phương trình (4) có hai nghiệm x  m  m x  2m  a b a  b2   Ví dụ Tìm điều kiện tham số a b để phương trình (*) x  a x  b x   a  b  x  ab a) Có nghiệm b) Có nghiệm Lời giải ĐKXĐ: x a x b a  x  b  b  x  a a2  b2    a  b  x a  b (**) Phương trình tương đương với x   a  b  x  ab  x  a  x  b a) Phương trình (*) có nghiệm phương trình (**) có nghiệm khác a  a   a  b   a  a2    a  b 0  a b b2  a   a  b a  b  a  b b b  b b a b  a 0 b 0   a b  Vậy phương trình (*) có nghiệm  a 0 b 0  b) Phương trình (*) có nghiệm phương trình (**) có nghiệm khác a b Với a b phương trình (**) trở thành x 0 suy phương trình (**) có nghiệm với x phương trình (*) có nghiệm Với a b phương trình (**) tương đương với x  a  b2 a  b a b  a  b a  Suy phương trình (*) có nghiệm   a  b b  a 0  Vậy phương trình (*) có nghiệm b 0 a b  a b  a 0  b 0 Bài tập tự luyện Bài 1: Bài 2: Bài 3: Giải phương trình sau a) 13   2 x  x  21 x  x  b) 1    2 x  x  x  12 x  x  x  x  c) x 1 x  x  x     4 x  x 2 x 3 x  Giải phương trình sau a) 2x 13x  6 3x  x  3x  x  b) x  3x  3 x3  x  x c) 1  15 x ( x  1) 2 Giải phương trình 2 x 1  x 1   x 2 a)  12      x 2 x  x 3 b) 2( x  1) 13( x  1)  6 3x  x 3x  x  a  x  1 ax  Bài 4: Giải biện luận phương trình sau   x  x 1 x 1 Bài 5: Tìm điều kiện a, b để phương trình a b  2 có hai nghiệm phân biệt x b x a