9 die~1

ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Dạng 1: Tìm điểm đối xứng đồ thị Bài toán: Cho đồ thị  C  : y f  x  , tìm đồ thị cặp điểm M,N đối xứng qua điểm A đường thẳng d : ax  by  c 0 ( cho sẵn ) Cách giải: - Giả sử M  x0 ; y0   (C)  y f  x0   1 - Tìm tọa độ điểm N theo x0 , y0 cho N điểm đối xứng M qua A ( qua d ) Nên ta có : y N f  x N   2 - Từ  1   ta tìm tọa độ điểm M,N Bài toán Cho hàm số  C  : y f  x  Tìm cặp điểm  C  đối xứng với qua điểm I  xI ; yI  Cách giải: Gọi cặp điểm cần tìm M(x1 ; y1 ) N(x2 ; y ) ,thế ta có:  M N đối xứng qua I  I trung điểm đoạn MN  M N thuộc (C) nên tọa độ chúng nghiệm phương trình y = f(x) Do tọa độ M , N nghiệm hệ sau  y1 f(x1 )   y f(x2 ) Giải hệ tìm tọa độ M , N  x1  x 2xI  y  y 2y  I Đặc biệt: Nếu M , N hai điểm đối xứng với qua gốc tọa độ O , M  x0 ; y0  N(  x0 ; y0 ) suy (x0 ; y0 ) nghiệm hệ  y0 f(x0 ) Giải hệ tìm tọa độ M , N   y f(  x0 ) Công thức tọa độ phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a; b) Gọi S I phép đối xứng tâm I x' 2a  x  Ta có M'(x'; y') ảnh M(x; y) qua S I   y' 2b  y Đường (C) : y f(x) có ảnh qua đối xứng tâm S I x 2a  x'   y 2b  y' (C) : 2b  y f(2a  x)  y  f(2a  x)  2b Các ví dụ Ví dụ : 252 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm M  –1;  2x  có đồ thị  C  Tìm  C  hai điểm đối xứng qua x 1 đường thẳng MN biết M  –3;  N  –1; –1 Cho hàm số y  Lời giải Gọi A  x0 ; y0  , B điểm đối xứng với A qua điểm M(  1; 3)  B    x0 ;  y0   y  x  3x  0 A, B  (C)    y  (   x0 )3  3(   x0 )     x03  3x0      x0      x    6x 02  12x0  0  x0   y0 0 Vậy điểm cần tìm là:   1;    1;  uuuu r MN (2;  1)  phương trình MN : x  2y  0 Phương trình đường thẳng  d   MN có dạng: y 2x  m Phương trình hồnh độ giao điểm  C   d  : 2x  2x  m x 1  2x  mx  m  0 (x  1)  1  d cắt  C  hai điểm phân biệt A, B   m – 8m – 32  Khi A(x1 ; 2x1  m), B(x2 ; 2x  m) với x1 , x  2 nghiệm  1  x  x2   m m ; x1  x  m  I   ;  (theo định lý Vi-et) Trung điểm AB I   2   A, B đối xứng qua MN  I MN  m  Suy  1  2x  4x 0  x 0,x 2  A  0; –  , B  2;  Ví dụ : Cho hàm số y x3  mx  9x  Xác định m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O Lời giải Giả sử M  x0 ; y0  , N   x0 ;  y  x0 0 cặp điểm đối xứng qua O, nên ta có :  y x3  mx2  9x   1  0 0   y  x0  mx0  9x    Lấy  1 cộng với   vế với vế ,ta có : mx0  0  3 Để   có nghiệm m  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 253 Vậy, với m  đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O có hồnh độ x0   m Ví dụ : Tìm đồ thị  C  : y  x hai điểm M,N đối xứng qua I(1;  2) x2 2x  có đồ thị  C  Tìm đồ thị hai điểm A, B cho A x3 B đối xứng qua điểm M  1;   Cho hàm số y  Lời giải Gọi (C') ảnh (C) qua phép đối xứng tâm I (2 1  x)   5x  15  y Ta có phương trình (C') là: (  2)  y  (2 1  x)  x Phương trình hồnh độ giao điểm (C') (C)  x    x 3 Hai điểm M,N cần tìm M(  1;  4) N(3; 0) x   5x  15   x  2x  0  x2 x Hàm số cho xác định liên tục khoảng   ;      3;   Cách 1:  2a    2b   Gọi tọa độ hai điểm thuộc đồ thị cần tìm A  a;  , B  b;   a, b    a3   b3  Vì A, B đối xứng qua M  1;   nên M trung điểm AB a  b 2.1 a  b 2 a  b 2  a 4  b      2a  2a     2a  2b   2      ab   a   b 4   b3  a3  a 3 b 3 Vậy điểm cần tìm A  4;1 , B   2;   A   2;   , B  4;1 Cách 2:  2a   Gọi A  a;  Phép đối xứng tâm M  1;   biến A thành điểm B có tọa độ thỏa  a3  x B 2xM  xA  2a   mãn:  nên B   a;    y  2y  y a3   B  M A 2a  2a   a     a  2a  0  a  a 4 a3 2 a 3 Vậy, điểm cần tìm A  4;1 , B   2;   A   2;   , B  4;1 Mà B   C      254 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x3  (m  2)x  2mx  có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng 9x – 6y – = Ví dụ Tìm m để (Cm) : y  Lời giải y' x  (m  2)x  2m  y' 0  x 2  x m Hàm số có hai điểm cực trị  Phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt  m 2 Khi hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho   1  m3 A  2; 2m   , B  m;   m  1   3    A B đối xứng với qua đường thẳng (d)  AB  (d) trung điểm I đoạn AB thuộc (d) r Một vectơ phương (d) a (2; 3) uuu r  m3 4 AB  m  2;   m  2m      uuu rr m3 AB vng góc với (d)  AB.a 0  2m    3m  6m  0  m 0 m3   3m  4m 0    m =  m =  m = (loại)  m  6m  0  1  1 Với m = A  2;   , B(0;1) suy trung điểm AB I  1;  3   3 Thay tọa độ I vào phương trình (d) ,ta = ,suy I  (d) m = thỏa mãn yêu cầu toán  23   19  Với m = A  2;  , B  4;  suy I(3;7)    3 Thay tọa độ I vào phương trình (d) ta 27 – 42 -7 = (sai)  I  (d) Vậy m = khơng thỏa mãn u câu tốn Vậy, m = thỏa mãn tốn Ví dụ Cho hàm số y  x , có đồ thị  C  Gọi A, B giao điểm đường x 1 thẳng : y  x với đồ thị  C  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường phân giác góc phần tư thứ cho MA  MB có giá trị nhỏ Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 255   1  A  2;   y  x   3   Tọa độ A, B nghiệm hệ phương trình:   B  3;  y  x      x 1 A, B nằm phía đường phân giác d : x  y 0 Gọi A' a;b điểm   1  a     b   0 3   đối xứng A qua d nên có:  a  b  0    2  r   uuuu a    A'  ;   A' B   16;   3   b 2  x 3  16t  Phương trình tham số A'B :   t R  y   9t  Khi M giao điểm A'B d Tọa độ M nghiệm hệ  x  y 0  7 7 7 7 x 3  16t  M  ;  Vậy M  ;  tọa độ cần tìm  5  5   y   9t  Ví dụ Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị  C  Tìm đồ thị hai điểm A, B cho A, B đối xứng qua    : y 2x  Lời giải    3 Vì A, B thuộc đồ thị  C  nên A a;  a  3a  , B b;  b  3b    a b   a  b  a  3a   b  3b   AB  I ;   Gọi I trung điểm     uuu r 2 Ta có AB  b  a  1;  a  ab  b   Do A, B đối xứng qua    : y 2x  nên:  uuu ru r AB.u  0 a  ab  b    I    a  b  a  ab  b  0   256  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  7 a  ab  b  Với   a  b  a  b 0   a  ab  b   Với  a  ab  b  0    19 a  b2  a  b    4   5 ab  ab    4  19  19 Vì     hệ vô nghiệm         14 14  ;2   , A  Vậy tọa độ cần tìm A        14 ;2  14    Ví dụ Cho hàm số y x3 3x  có đồ thị  C  Tìm đồ thị hai điểm A, B cho A, B song song với trục hoành AB 3 Lời giải uuu r r Vì AB song song với trục hoành nên AB ki k  1;  véc tơ phương đơn vị trục hoành Do AB 3 nên k 3  k 3 uuu r r uuu r r Với k   AB  3i  BA 3i không quan tâm tới thứ tự A, B uuu r nên cần xét AB  3;  uuu r u r Vì AB  3;  nên B ảnh điểm A qua phép tịnh tiến Tvur với v  3;  tọa độ điểm B giao điểm đồ thị  C  đồ thị  C'  ảnh  C  qua phép tịnh tiến Tvur Phương trình  C'  qua phép tịnh tiến Tvur y  x     x    x  9x  24x  15  y x  3x   x 1  y 1  Tọa độ điểm B nghiệm hệ   x 2  y 5  y x  9x  24x  15 uuu r Với B  1;1 từ AB  3;   A   2;1 uuu r Với B  2;  từ AB  3;   A   1;  Vậy, cặp điểm cần tìm A   2;1 , B  1;1 A   1;  , B  2;  ngược lại 16 x  x có đồ thị  C  Gọi B  x B  1 , D giao 3 điểm  C  đường thẳng d : 4x  3y  16 0 Xác định tọa độ trọng tâm G Ví dụ Cho hàm số y  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 257 ABC Biết A thuộc trục hồnh, ABC vng A, C  d đường tròn ngoại tiếp ABC có bán kính Lời giải Tọa độ giao điểm B,C nghiệm phương trình:     x2  x   4  x   x 16 16  4x x  x  3   x   0  x 4, x 1  x B  1  20   B  4;  , D   1;  D  1;    16 Cách 1: d : y  x  Nhận thấy, d tạo với Ox góc 3 4 AC 4 · tan    tan ABC  hay   AC  a với AB a  3 AB 3  mà 16 Do r 1 nên p S  a  a  a  a a a  a  a   0  a 3 Với a 3  A  1;  A  7;   4 A  1;  ,C  1;   G  2;  , trường hợp C D hay C thuộc đồ thị  C   3  4 A  7;  ,C  7;    G  6;   Do toán không yêu cầu C D nên trường 3  hợp thỏa mãn Cách 2:  16  4a  Vì A  Ox  A  a;  C  d  C  a;  nên AB  a  ,   AC  16  4a AB  BC  CA , BC  a  p  nửa chu vi 3 1 16  4a ABC vuông A  S ABC  AB.AC  a  2  16  4a  16  4a a   a   a   r 1 2 3   a  3  a 1 a 7 Với S ABC pr   4  Với a 1  A  1;  ,C  1;   G  2;   3  4  Với a 7  A  7;  ,C  7;    G  6;   3  258 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  4  4 Vậy, G  2;  G  6;   tọa độ cần tìm 3  3  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x2  x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho x  5 chúng đối xứng qua điểm I  0;  2  Cho hàm số y  x3  x2  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số  7 cho chúng đối xứng qua điểm E   ;    6 Cho hàm số y   2x có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho x chúng đối xứng qua điểm E   1;  1 Cho hàm số y  Cho hàm số y x  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm I  2;18  3x2  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho 2x  1  chúng đối xứng qua điểm I  ;1  2  Cho hàm số y  Bài 2: x2 có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng x đối xứng qua đường thẳng  d  : y x  1 Cho hàm số y  x2  2x  có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng  d  cắt x hai điểm cho chúng đối xứng qua đường thẳng  d'  : y x  Cho hàm số y  Cho hàm số y  x2   m   x  m  x 1  C có đồ thị  Cm  Tìm m để đồ thị  Cm  có hai điểm nằm đường thẳng  d  5x  y  0 , đồng thời chúng đối xứng qua đường thẳng  d'  : x  5y  0 x2  x  có đồ thị  C  Tìm cặp điểm  C  đối xứng x 1 qua đường thẳng  : 16x  17y  33 0 Cho hàm số y  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 259 Cho hàm số y x  3x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua đường thẳng x  2x  Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho x2 chúng đối xứng qua đường thẳng x – 3y  0 x2  x  có đồ thị  C  Tìm điểm đồ thị hàm số cho x 1 chúng đối xứng qua đường thẳng y  x  3 Bài 3: 3 Cho hàm số y x  mx  m có đồ thị  Cm  Tìm m để đồ thị  Cm  có cực 2 đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng  d  : y x Cho hàm số y  x2  mx  2m  có đồ thị  Cm  Chứng minh hàm số ln x2 có cực đại ,cực tiểu với m Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : x  2y  0 Cho hàm số y  Bài 4: Cho hàm số y  x  3x2  có đồ thị (C) Trên đồ thị (C) có bốn điểm A, B,C, D cho tứ giác ABCD hình vng tâm I(1;  1) Trên mp(Oxy) cho đồ thị (C): y x3  2x Chứng minh hình bình hành có tất đỉnh nằm (C) tâm hình bình hành gốc tọa độ O Bài 5: Chứng minh với điểm A, B,C phân biệt thuộc đồ thị (C) : y  tam x giác ABC có trực tâm H thuộc đồ thị (C) x 1 Chứng minh A, B,C thuộc (C) : y  trực tâm H tam giác ABC x thuộc (C) Bài 6: Cho hàm số y 2x  3x  có đồ thị  P  đường thẳng    : y x  Tìm điểm M   P  , N     cho MN nhỏ Tìm điểm M đồ thị  C  : y x4  2x2  cho tiếp tuyến  C   17  M vng góc với đường thẳng IM, với I  0;    260 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tìm đồ thị  C  : y x3  3x2  , điểm M, N cho MN 4 tiếp tuyến song song với Bài 7: Tìm tọa độ điểm B, C thuộc nhánh khác đồ thị y  cho tam x giác ABC vuông cân A  1;   Tìm điểm thuộc nhánh khác  C  : y  2x  cho khoảng cách x 1 điểm ngắn Bài 8: Tìm tọa độ điểm B, D cho ABCD hình vng, biết D điểm nằm đường thẳng d : x  y  0 ; I  1;  trung điểm AC ; A C 7 điểm nằm đồ thị y  x  x  x  3 Bài 9: x2  4x  có đồ thị  C  Tìm đồ thị  C  điểm M có x2 khoảng cách đến đường thẳng 3x  y  0 nhỏ Tìm đồ thị  C  : y  x3  3x có bốn điểm A, B,C, D cho tứ Cho hàm số y  giác ABCD hình vuông tâm O  0;  2x  lấy điểm A có hồnh độ  Tìm điểm x2 tọa độ điểm B thuộc  C  cho tam giác OAB vuông A ( O gốc tọa độ ) Bài 10: Trên đồ thị  C : y  2x có đồ thị  C  Tìm đồ thị  C  hai điểm A 1x B cho A B đối xứng qua đường thẳng  d  : 8x  4y  21 0 Bài 11: Cho hàm số y  Bài 12: Cho hàm số y x có đồ thị  P  điểm A   1;1 , B  3;  thuộc  P  Tìm điểm M cung AB cho diện tích AMB lớn x2 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tìm điểm M đồ thị  C  cho x khoảng cách từ M : a Đến đường thẳng  d  : 2x  y  0 b Đến Oy gấp đôi khoảng cách từ M đến Ox Bài 13: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 261 Tìm tọa độ điểm B, C thuộc nhánh khác đồ thị y  3x  cho x tam giác ABC vuông cân A  2;1 2x có đồ thị  C  Tìm hai điểm B,C thuộc hai nhánh  C  x cho tam giác ABC vuông cân A  2;  Cho hàm số y  Với O  0;  A  2;  điểm thuộc đồ thị y x  3x , tìm điểm M nằm cung OA đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến OA lớn Tìm điểm M thuộc đường thẳng y 3x  tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị hàm số y x3  3x  nhỏ Tìm điểm M thuộc đồ thị y x4  2x  cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất, với A  0;  16  , B   1;   Tìm điểm M thuộc đồ thị y  x  3x  3x  cho khoảng cách từ điểm đến điểm A   3;  nhỏ Bài 14: Cho hàm số y x3  5x  10x  , có đồ thị  C  Gọi A điểm thuộc  C  , C điểm thuộc đường thẳng d : x  7y  25 0  7 I   ;  trung điểm AC Tìm tọa độ điểm B có hồnh độ âm cho tam giác  2 OAB vuông cân A Gọi E,F theo thứ tự giao điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OABC với trục hoành, trục tung ( E,F khác O ) Tìm tọa độ điểm M đường trịn cho tam giác MEF có diện tích lớn 41 x có điểm A, B, C, D Bài 15: Tìm đồ thị  C  : y  x  12 cho tứ giác ABCD hình vng tâm O Bài 16: Tìm tất điểm  C  có tọa độ số nguyên y   x  1 x 2 y  3x2  5x  14 6x  Bài 17: x2  3x  có đồ thị  C  Tìm đồ thị  C  tất cặp x 1  điểm đối xứng qua điểm I  ;1  2  Cho hàm số y  262 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x2  x  có đồ thị  C  Tìm cặp điểm đồ thị  C  x 1 đối xứng qua đường thẳng  d  : 16x  17y  33 0 Cho hàm số y  Dạng 2: Điểm cố định thuộc đường cong, điểm mà họ đường cong không qua Phương pháp Ta thường gặp tốn sau Bài tốn : Tìm tất điểm M thuộc đồ thị (C) : y f(x) , biết M thỏa mãn tính chất T cho trước Phương pháp : M  (C)  M(m; f(m)) Dựa vào tính chất T M ta tìm m Điểm cố định họ đường cong Điểm A(x0 ; y0 ) gọi điểm cố định họ đường cong (Cm ) : y F(x,m) F(x0 , m) y m (1) Để giải (1) ta thường biến đổi (1) dạng f(x0 , y0 ).m  g(x0 , y ).m  h(x , y ) 0 m  ¡  f(x0 , y0 ) g(x0 , y ) h(x0 , y ) 0 Từ ta tìm A Điểm mà họ đường cong khơng qua Điểm A(x0 ; y0 ) gọi điểm khơng có đường cong họ đường cong (Cm ) : y F(x,m) qua F(x0 , m) y m  ¡ Hay phương trình F(x0 , m) y vô nghiệm với m a 0 Chú ý : Phương trình ax  b 0 vơ nghiệm    b 0 Các ví dụ Ví dụ Cho hàm số y (m  2)x  3(m  2)x  m  có đồ thị  Cm  Chứng minh họ đường cong (Cm ) qua ba điểm cố định ba điểm nằm đường thẳng Lời giải Gọi A(x0 ; y0 ) điểm cố định họ đường cong (Cm )  y0 (m  2)x03  3(m  2)x0  m  m  ¡  m(x03  3x  1)  2x03  6x0   y 0 m  ¡ x3  3x  0    y 2x0  6x0  x0  3x0  0   y 2(3x0  1)  6x  12x0  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 263 Vì phương trình x3  3x  0 ln có ba nghiệm phân biệt nên ta suy họ đường cong (Cm ) ln qua ba điểm cố định Từ phương trình y0 12x0   ba điểm cố định nằm đường thẳng y 12x  Ví dụ Chứng minh họ  Cm  : y  (m  1)x  m tiếp xúc với đường xm thẳng cố định Lời giải Cách 1: Giả sử  Cm  tiếp xúc với đường thẳng y ax  b Khi hệ phương trình sau có nghiệm với m:   (m  1)x  m m2 ax  b a(x  m)  am  b m    xm xm      2  m  m a a  (x  m)2  (x  m)2   2m am  m   b  (am  m   b)2 x  m   a 2 4m  m a  (x  m)2  m  ¡ a 1  (a  1)2 m  2(1  b)(a  1)m  (1  b)2 0 m    b 1 Vậy  Cm  tiếp xúc với đường thẳng y x  Cách 2: Ta dễ dàng tìm điểm cố định  Cm  A(0;1) Hệ số góc tiếp tuyến A : y'(0) 1 nên tiếp tuyến A có phương trình: y x  Vậy  Cm  tiếp xúc với đường thẳng y x  Cách 3: Giả sử M(x0 ; y0 ) điểm mà khơng có đường họ  Cm  qua  y0  (m  1)x0  m x0  m  (x0   y0 )m x0 y0  x0 (m  x0 ) vô nghiệm với m  x0   y0 0   y0 x0      x0 y0  x0 0   x0 0  y0 x0  Ta dễ dàng chứng  (x   y )(  x ) x y  x  x 0 0 0   minh  Cm  tiếp xúc với đường thẳng y x  Vậy,  Cm  tiếp xúc với đường thẳng y x  264 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Chú ý: Để chứng minh họ đường cong (Cm ) : y F(x,m) tiếp xúc với đường cong cố định ta có cách sau Cách Sử dụng hệ để xét điều kiện tiếp xúc: Giả sử họ (Cm) tiếp xúc với đường cố định (C): y g(x) Khi hệ phương trình F(x, m) g(x) sau có nghiệm với m:  Từ ta xác định g(x) F'(x, m) g '(x) Ta thường áp dụng cách y g(x) Parabol đường thẳng Cách Phương pháp tiếp tuyến cố định : (Áp dụng đường cố định đường thẳng) Tìm điểm cố định viết phương trình tiếp tuyến (Cm) điểm cố định đường thẳng cố định tiếp tuyến đường thẳng cần tìm Cách Phương pháp tìm đường biên hình lồi: * Tìm điểm mà khơng có đường (Cm) qua, chẳng hạn ta quỹ tích điểm bao lồi có đường biên (C): y g(x) * Ta chứng minh (Cm) tiếp xúc với đường (C) : y g(x) Ví dụ Chứng minh tiệm cận xiên họ đồ thị  Cm  : y (m  1)x  m (m 0) tiếp xúc với Parabol cố định x m Lời giải m3  tiệm cận xiên  Cm  đường thẳng d x m có phương trình: y (m  1)x  m(m  1) Ta có y (m  1)x  m(m  1)  Cách 1: Giả sử d tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình : y ax2  bx  c (a 0) Khi hệ phương trình sau có nghiệm với m : ax2  bx  c (m  1)x  m(m  1) (1)  (2) 2ax  b m  m 1 b Từ (2) suy x  thay vào (1) ta có được: 2a (m   b)2 b(m   b) (m  1)(m   b)  c   m(m  1) 4a 2a 2a  (1  4a)m  2[(1  b)  2a]m  (1  b)2  4ac 0 (*) Vì hệ có nghiệm với m nên (*) với m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 265  a  1  4a 0   1 1   (1  b)  2a 0   b   (P) : y  x  x  4   (1  b)  4ac 0  c   1 x  x 4 Cách 2: Giả sử M(x0 ; y0 ) điểm mà d không qua, phương trình Vậy d ln tiếp xúc với Parabol (P) : y  y0 (m  1)x0  m  m  m  (x0  1)m  x0  y0 0 vô nghiệm m 1 x  x0  4 Ta dễ dàng chứng minh d tiếp xúc với Parabol 1 (P) : y  x  x  4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP   (x0  1)2  4x0  4y0   y   Bài 1: Cho hàm số y x3  (2m  1)x  mx  3m  có đồ thị  Cm  Tìm  C1  cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Tìm m để tồn cặp điểm đối xứng qua trục tung Tìm tất điểm cố định họ đường cong  Cm  ln qua 4.Tìm điểm cố định mà khơng có đồ thị họ  Cm  qua mx  có đồ thị  Cm  2x  m Tìm điểm cố định mà họ đồ thị  Cm  qua Bài 2: Cho hàm số y  Tìm tập hợp điểm mà khơng có đường cong họ  Cm  qua Bài 3: 2x  (1  m)x   m Gọi  Cm  đồ thị hàm số y  , m tham số Chứng xm minh với m   Cm  tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định , m tham số khác x Chứng minh với m 0 đường tiệm cận xiên  Cm  tiếp xúc với 2 Gọi  Cm  đồ thị hàm số y = 2mx  m   parabol cố định Cho họ đồ thị  Cm  : y   Cm  266 (m  1)x  m , m tham số khác Chứng minh họ x m tiếp xúc với điểm cố định http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Chứng minh với tham số m khác 0, đồ thị  Hm  : y  (m  2)x  3m  x 1 m tiếp xúc với điểm cố định Bài 4: Cho họ đồ thị (Cm) : y = mx4  (4m  1)x  3m  Tìm điểm đường thẳng (d): y = x+1 mà khơng có đồ thị (Cm) qua dù m lấy giá trị Cho họ đồ thị (Cm): y (m  3)x  (3m  7)x  m  Chứng minh (Cm) qua ba điểm cố định thẳng hàng Cho họ đồ thị (Cm) : y mx  (m  2m)x  m Chứng minh với điểm A cho trước mặt phẳng tọa độ , ta ln tìm giá trị m thích hợp để (Cm) qua A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 267