9 DIEM THUOC DO THI

ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Dạng 1: Tìm điểm đối xứng đồ thị Bài toán: Cho đồ thị ( C ) : y = f ( x) , tìm đồ thị cặp điểm M ,N đối xứng qua điểm A đường thẳng d : ax + by + c = ( cho sẵn ) Cách giải: - Giả sử M ( x0;y0 ) ∈ (C) ⇒ y0 = f ( x0 ) ( 1) - Tìm tọa độ điểm N theo x0 ,y0 cho N điểm đối xứng M qua A ( qua d ) Nên ta có : yN = f ( xN ) ( 2) - Từ ( 1) ( 2) ta tìm tọa độ điểm M ,N Bài toán Cho hàm số ( C ) : y = f ( x) Tìm cặp điểm ( C ) đối xứng với qua điểm I ( xI ;yI ) Cách giải: Gọi cặp điểm cần tìm M(x1;y1) N(x2;y2) ,thế ta có: • M N đối xứng qua I ⇔ I trung điểm đoạn MN • M N thuộc (C) nên tọa độ chúng nghiệm phương trình y = f(x) Do tọa độ M , N nghiệm hệ sau  y1 = f(x1)   y2 = f(x2) Giải hệ tìm tọa độ M , N  x1 + x2 = 2xI  y + y = 2y  I Đặc biệt: Nếu M , N hai điểm đối xứng với qua gốc tọa độ O , M ( x0;y0 ) N(−x0;y0) suy (x0;y0) nghiệm hệ  y0 = f(x0) Giải hệ tìm tọa độ M , N  − y0 = f(−x0) Công thức tọa độ phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a;b) Gọi SI phép đối xứng tâm I Ta có M '(x';y') ảnh M(x;y) qua SI x' = 2a − x x = 2a − x' ⇔   y' = 2b − y  y = 2b − y' Đường (C) : y = f(x) có ảnh qua đối xứng tâm SI (C) : 2b − y = f(2a − x) ⇔ y = −f(2a − x) + 2b Các ví dụ 252 Ví dụ : Cho hàm số y = −x3 + 3x + có đồ thị ( C ) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm M ( –1; 3) 2x − có đồ thị ( C ) Tìm ( C ) hai điểm đối xứng x+ qua đường thẳng MN biết M ( –3; 0) N ( –1;–1) Cho hàm số y= Lời giải Gọi A ( x0;y0 ) , B điểm đối xứng với A qua điểm M(−1;3) ⇒ B( −2 − x0;6 − y0 )  y = −x3 + 3x + 0 A ,B ∈ (C) ⇔  6 − y0 = −(−2 − x0) + 3(−2 − x0) + ⇒ = − x03 + 3x0 + − ( −2 − x0 ) + 3( −2 − x0 ) + ⇔ 6x02 + 12x0 + = ⇔ x0 = −1⇒ y0 = Vậy điểm cần tìm là: ( −1;0) ( −1;6) uuuu r MN = (2; −1) ⇒ phương trình MN : x + 2y + = Phương trình đường thẳng ( d) ⊥ MN có dạng: y = 2x + m Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) ( d ) : ⇔ 2x2 + mx + m + = (x ≠ −1) ( 1) ( d) 2x − = 2x + m x+1 cắt ( C ) hai điểm phân biệt A ,B ⇔ ∆ = m2 – 8m – 32 > ( 2) Khi A(x1;2x1 + m), B(x2;2x2 + m) với x1, x2 nghiệm ( 1) x +x   m m Trung điểm AB I  ;x1 + x2 + m ÷ ≡ I  − ; ÷ (theo định lý Vi-et)  2   A ,B đối xứng qua MN ⇔ I ∈ M N ⇔ m = −4 Suy ( 1) ⇔ 2x2 − 4x = ⇔ x = 0,x = ⇒ A ( 0; – 4) , B( 2; 0) Ví dụ : Cho hàm số y = x3 + mx2 + 9x + Xác định m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O Lời giải Giả sử M ( x0;y0 ) ,N ( −x0; − y0 ) x0 ≠ cặp điểm đối xứng qua O, nên ta có :  y = x3 + mx2 + 9x + ( 1)  0 0  − y0 = − x0 + mx0 − 9x0 + ( 2) 253 Lấy ( 1) cộng với ( 2) vế với vế ,ta có : mx02 + = Để ( 3) có nghiệm m < ( 3) Vậy, với m < đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O có hồnh độ x0 = − m Ví dụ : Tìm đồ thị ( C ) : y = x− hai điểm M ,N đối xứng qua I(1; −2) x+ 2x − có đồ thị ( C ) Tìm đồ thị hai điểm A , B x+ cho A B đối xứng qua điểm M ( 1; −2) Cho hàm số y = Lời giải Gọi (C') ảnh (C) qua phép đối xứng tâm I (2× 1− x) − −5x + 15 ⇔ y= Ta có phương trình (C') là: 2× (−2) − y = (2× 1− x) + x− Phương trình hồnh độ giao điểm (C') (C)  x = −1 x − −5x + 15 = ⇔ x2 − 2x − = ⇔  x+ x− x = Hai điểm M ,N cần tìm M(−1; −4) N(3;0) Hàm số cho xác định liên tục khoảng ( −∞; −3) ∪ ( −3; +∞ ) Cách 1: Gọi tọa độ hai điểm thuộc đồ thị cần tìm  2a − 1  2b − 1 A  a; ÷, B b; ÷ ( a,b ≠ −3)  a+   b+  Vì A , B đối xứng qua M ( 1; −2) nên M trung điểm AB a + b = 2.1 a + b = a + b = a = ⇒ b = −2   ⇔  2a − 2a − ⇔ ⇔  2a − 2b − + = 2.( −2) + = −4 ab = −8 a = −2 ⇒ b =    a+ b+  a+ b+ Vậy điểm cần tìm A ( 4;1) , B( −2; −5) A ( −2; −5) , B( 4;1) Cách 2:  2a − 1 Gọi A  a; ÷ Phép đối xứng tâm M ( 1; −2) biến A thành điểm B có tọa  a+  xB = 2xM − xA  2a − 1 độ thỏa mãn:  nên B − a; −4 − ÷ y = 2y − y a+   B  M A Mà B ∈ ( C ) ⇒ −4 − 2a − 2a( − a) − = ⇔ a2 − 2a − = ⇔ a = −2 a = a+ 2− a + 254 Vậy, điểm cần tìm A ( 4;1) , B( −2; −5) A ( −2; −5) , B( 4;1) x3 − (m + 2)x2 + 2mx + 1có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng 9x – 6y – = Lời giải Ví dụ Tìm m để (Cm) : y = y' = x2 − (m + 2)x + 2m ⇒ y' = ⇔ x = ∨ x = m Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ Phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m≠ Khi hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho   1  m3 A  2; 2m − ÷, B m; − + m2 + 1÷ ÷ 3    A B đối xứng với qua đường thẳng (d) ⇔ AB ⊥ (d) trung điểm I đoạn AB thuộc (d) r Một vectơ phương (d) a = (2;3) uuu r  m3 4 AB =  m − 2; − + m2 − 2m + ÷  3÷   uuu rr m3 AB vng góc với (d) ⇔ AB.a = ⇔ 2m − − + 3m2 − 6m + = m = m3 ⇔ − 3m2 + 4m = ⇔  ⇔ m = ∨ m = ∨ m = (loại)  m − 6m + =  1 Với m = A  2; − ÷ , B(0;1) suy trung điểm AB 3  Thay tọa độ I vào phương trình (d) ,ta = ,suy = thỏa mãn yêu cầu toán  23  19  Với m = A  2; ÷, B 4; ÷ suy I(3;7)  3  3  1 I  1; ÷  3 I ∈ (d) m Thay tọa độ I vào phương trình (d) ta 27 – 42 -7 = (sai) ⇒ I ∉ (d) Vậy m = khơng thỏa mãn u câu tốn Vậy, m = thỏa mãn tốn Ví dụ Cho hàm số y = x−1 , có đồ thị ( C ) Gọi A ,B giao điểm x+ 1 x với đồ thị ( C ) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường phân giác góc phần tư thứ cho MA + MB có giá trị nhỏ Lời giải đường thẳng ∆: y = 255   1  A  2; ÷  y = x   3 ⇒ Tọa độ A ,B nghiệm hệ phương trình:   B 3;  y = x −   ÷  x+1  A ,B nằm phía đường phân giác d : x − y = Gọi A'( a;b )   1 ( a − 2) 1+  b − ÷.1 = 3   điểm đối xứng A qua d nên có:  a + b + 3=0  −  2  r   uuuu a = ⇔ ⇒ A ' ;2÷ ⇒ A 'B = ( 16; −9) 3  b =  x = + 16t  Phương trình tham số A'B :  ( t∈ R)  y = − 9t  Khi M giao điểm A'B d Tọa độ M nghiệm hệ  x − y =   7  7 x = + 16t ⇒ M  ; ÷ Vậy M  ; ÷ tọa độ cần tìm  5  5   y = − 9t  Ví dụ Cho hàm số y = −x3 + 3x + có đồ thị ( C ) Tìm đồ thị hai điểm A , B cho A , B đối xứng qua ( ∆ ) : y = 2x + Lời giải Vì A , B thuộc đồ thị ( C ) nên ( ) ( ) A a; −a3 + 3a + , B b; −b3 + 3b + ( a ≠ b)  a + b −a3 + 3a + − b3 + 3b +  ; ÷ Gọi I trung điểm AB ⇒ I  ÷   uuu r 2 Ta có AB = ( b − a) 1;3 − a − ab − b ( ) Do A , B đối xứng qua ( ∆ ) : y = 2x + nên:  uuu r ur AB.u∆ = a + ab + b = ⇔  I ∈ ∆ ( a + b) a − ab + b2 − =   ( ) 256  2 7 a + ab + b = Với  ⇒ a = −b = ± a + b =    19  2 a + b2 = a + b = ± a + ab + b =   4⇔ 2 ⇔ Với   5 2 a − ab + b − = ab = ab =    4  19  19 Vì  ± < ⇒ hệ vơ nghiệm ÷ =  ÷     14 14  14 14  ;2 + ;2 − ÷, A  − ÷ Vậy tọa độ cần tìm A  − ÷   ÷    Ví dụ Cho hàm số y = x3 = 3x + có đồ thị ( C ) Tìm đồ thị hai điểm A , B cho A , B song song với trục hoành AB = Lời giải uuu r r Vì AB song song với trục hoành nên AB = ki = k ( 1;0) véc tơ phương đơn vị trục hoành Do AB = nên k = ⇔ k = ±3 uuu r r uuu r r Với k = −3 ⇒ AB = −3i ⇒ BA = 3i khơng quan tâm tới thứ uuu r tự A , B nên cần xét AB = ( 3;0) uuu r u r Vì AB = ( 3;0) nên B ảnh điểm A qua phép tịnh tiến Tvur với v = ( 3;0) tọa độ điểm B giao điểm đồ thị ( C ) đồ thị ( C') ảnh ( C) qua phép tịnh tiến Tvur Phương trình ( C') qua phép tịnh tiến Tvur y = ( x − 3) − 3( x − 3) + = x3 − 9x2 + 24x − 15  y = x3 − 3x +  x = 1⇒ y = ⇔ Tọa độ điểm B nghiệm hệ   y = x − 9x + 24x − 15  x = ⇒ y = uuu r Với B( 1;1) từ AB = ( 3;0) ⇒ A ( −2;1) uuu r Với B( 2;5) từ AB = ( 3;0) ⇒ A ( −1;5) Vậy, cặp điểm cần tìm A ( −2;1) , B( 1;1) A ( −1;5) , B( 2;5) ngược lại 257 16 Ví dụ Cho hàm số y = − x3 + x2 có đồ thị ( C ) Gọi B ( xB > 1) , D 3 giao điểm ( C ) đường thẳng d : 4x + 3y − 16 = Xác định tọa độ trọng tâm G ∆A BC Biết A thuộc trục hồnh, ∆ABC vng A , C ∈ d đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có bán kính Lời giải 16 16 − 4x Tọa độ giao điểm B,C nghiệm phương trình: − x3 + x2 = 3 ( ) ⇔ −x2 ( x − 4) = − x ⇔ 1− x2 ( x − 4) = ⇒ x = 4, x = ±1 ( xB > 1)  20  ⇒ B( 4;0) ,D  −1; ÷ D ( 1;4) 3  16 Cách 1: d : y = − x + Nhận thấy, d tạo với Ox góc α mà 3 4 AC 4 · tan α = − ⇒ tanABC = hay = ⇒ AC = a với AB = a > 3 AB 3 16 Do r = 1nên p = S ⇔ a + a + a2 + a2 = a a ⇔ a( a − 3) = ⇒ a = 3 Với a = ⇒ A ( 1;0) A ( 7;0)  4 A ( 1;0) ,C ( 1;4) ⇒ G  2; ÷ , trường hợp C ≡ D hay C thuộc đồ thị ( C )  3  4 A ( 7;0) ,C ( 7; −4) ⇒ G  6; − ÷ Do tốn khơng u cầu C ≠ D nên 3  trường hợp thỏa mãn Cách 2:  16 − 4a  Vì A ∈ Ox ⇒ A ( a;0) C ∈ d ⇒ C  a; ÷ nên AB = a − ,   AC = 16 − 4a AB + BC + CA ,BC = a − p = nửa chu vi 3 ∆A BC vuông A ⇒ SABC = 1 16 − 4a AB.AC = a − 2  16 − 4a  16 − 4a a− =  a− + + a − ÷ r = 2 3  ⇔ a − = ⇔ a = a = Với SA BC = pr ⇔  4 ∗ Với a = 1⇒ A ( 1;0) ,C ( 1;4) ⇒ G  2; ÷  3 258  4 ∗ Với a = ⇒ A ( 7;0) ,C ( 7; −4) ⇒ G  6; − ÷ 3   4  4 Vậy, G  2; ÷ G  6; − ÷ tọa độ cần tìm 3  3  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x2 + x + có đồ thị ( C ) Tìm điểm đồ thị hàm số x−1  5 cho chúng đối xứng qua điểm I  0; ÷   Cho hàm số y = Cho hàm số y = x3 + x2 + 3x − có đồ thị ( C ) Tìm điểm đồ thị hàm  7 số cho chúng đối xứng qua điểm E  − ; − ÷  6 − 2x Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Tìm điểm đồ thị hàm số x cho chúng đối xứng qua điểm E ( −1; − 1) Cho hàm số y = x3 + 3x − có đồ thị ( C ) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm I ( 2;18) 3x2 + 3x + có đồ thị ( C ) Tìm điểm đồ thị hàm số 2x + 1  cho chúng đối xứng qua điểm I  ;1÷ 2  Bài 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị ( C ) Tìm điểm đồ thị hàm số x−1 cho chúng đối xứng qua đường thẳng ( d ) : y = x − 1 Cho hàm số y = Cho hàm số y = ( C ) hai điểm ( d') : y = x + cho chúng đối xứng qua đường thẳng Cho hàm số y = ( Cm ) x2 − 2x + có đồ thị ( C ) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt x−1 x2 + ( m − 2) x + m + x+ có đồ thị ( C m ) Tìm m để đồ thị có hai điểm nằm đường thẳng ( d ) 5x − y + = , đồng thời chúng đối xứng qua đường thẳng ( d') : x + 5y + = 259 x2 + x + có đồ thị ( C ) Tìm cặp điểm ( C ) đối x+1 xứng qua đường thẳng ∆ :16x + 17y + 33 = Cho hàm số y = Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị ( C ) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua đường thẳng x = 2x + có đồ thị ( C ) Tìm điểm đồ thị hàm số x+ cho chúng đối xứng qua đường thẳng x – 3y + = Cho hàm số y = x2 − x + có đồ thị ( C ) Tìm điểm đồ thị hàm số x−1 cho chúng đối xứng qua đường thẳng y = − x + 3 Bài 3: 1 Cho hàm số y = x3 − mx2 + m3 có đồ thị ( C m ) Tìm m để đồ thị ( C m ) 2 có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng ( d ) : y = x Cho hàm số y = x2 + mx + 2m − có đồ thị ( C m ) Chứng minh hàm số x+ ln có cực đại ,cực tiểu với m Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : x + 2y + = Bài 4: Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − có đồ thị (C) Trên đồ thị (C) có Cho hàm số y = bốn điểm A ,B,C,D cho tứ giác ABCD hình vng tâm I(1; −1) Trên mp(Oxy) cho đồ thị (C): y = x3 − 2x Chứng minh hình bình hành có tất đỉnh nằm (C) tâm hình bình hành gốc tọa độ O Bài 5: Chứng minh với điểm A ,B,C phân biệt thuộc đồ thị (C) : y = − x tam giác ABC có trực tâm H thuộc đồ thị (C) x+ Chứng minh A ,B,C thuộc (C) : y = trực tâm H tam giác x− ABC thuộc (C) Bài 6: Cho hàm số y = 2x2 − 3x + có đồ thị ( P ) đường thẳng ( ∆ ) : y = x − Tìm điểm M ∈ ( P ) ,N ∈ ( ∆ ) cho MN nhỏ 260 Tìm điểm M đồ thị ( C ) : y = x4 + 2x2 − cho tiếp tuyến ( C)  17  M vng góc với đường thẳng IM , với I  0; ÷  8 Tìm đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x2 + 1, điểm M , N cho MN = tiếp tuyến song song với Bài 7: Tìm tọa độ điểm B, C thuộc nhánh khác đồ thị y = x cho tam giác ABC vuông cân A ( 1; −2) Tìm điểm thuộc nhánh khác ( C ) : y = 2x + cho x+1 khoảng cách điểm ngắn Bài 8: Tìm tọa độ điểm B, D cho ABCD hình vng, biết D điểm nằm đường thẳng d : x + y − = ; I ( 1;9) trung điểm AC ; A C điểm nằm đồ thị y = 7 x − x − x+ 3 Bài 9: x2 + 4x + có đồ thị ( C ) Tìm đồ thị ( C ) x+ điểm M có khoảng cách đến đường thẳng 3x + y + = nhỏ Cho hàm số y = Tìm đồ thị ( C ) : y = −x3 + 3x có bốn điểm A ,B,C,D cho tứ giác ABCD hình vng tâm O ( 0;0) 2x − lấy điểm A có hồnh độ −3 Tìm x+ điểm tọa độ điểm B thuộc ( C ) cho tam giác OAB vuông A ( O gốc tọa độ ) 1− 2x Bài 11: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Tìm đồ thị ( C ) hai 1+ x điểm A B cho A B đối xứng qua đường thẳng ( d ) : Bài 10: Trên đồ thị ( C) : y= 8x − 4y − 21 = Bài 12: Cho hàm số y = x2 có đồ thị ( P ) điểm A ( −1;1) ,B( 3;9) thuộc ( P ) Tìm điểm M cung ABsao cho diện tích ∆AMB lớn x+ 2 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Tìm điểm M đồ thị ( C ) x−1 cho khoảng cách từ M : a Đến đường thẳng ( d ) : 2x + y − = 261 b Đến Oy gấp đôi khoảng cách từ M đến Ox Bài 13: Tìm tọa độ điểm B, C thuộc nhánh khác đồ thị y = cho tam giác ABC vuông cân A ( 2;1) 3x − x−1 2x có đồ thị ( C ) Tìm hai điểm B,C thuộc hai nhánh x− ( C ) cho tam giác ABC vuông cân A ( 2;0) Cho hàm số y = Với O ( 0;0) A ( 2;2) điểm thuộc đồ thị y = x3 − 3x , tìm điểm M nằm cung OA đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến OA lớn Tìm điểm M thuộc đường thẳng y = 3x − tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị hàm số y = x3 − 3x2 + nhỏ Tìm điểm M thuộc đồ thị y = x4 + 2x2 − cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất, với A ( 0; −16) , B( −1; −8) Tìm điểm M thuộc đồ thị y = −x3 + 3x2 − 3x + cho khoảng cách từ điểm đến điểm A ( −3;3) nhỏ Bài 14: Cho hàm số y = x3 − 5x2 + 10x − , có đồ thị ( C ) Gọi A điểm thuộc ( C ) , C điểm thuộc đường thẳng d : x − 7y + 25 =  7 I  − ; ÷ trung điểm AC Tìm tọa độ điểm B có hồnh độ âm cho  2 tam giác OAB vuông cân A Gọi E,F theo thứ tự giao điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OABC với trục hồnh, trục tung ( E,F khác O ) Tìm tọa độ điểm M đường tròn cho tam giác MEF có diện tích lớn 41 Bài 15: Tìm đồ thị ( C ) : y = x3 − x có điểm A , 12 B, C, D cho tứ giác ABCD hình vng tâm O Bài 16: Tìm tất điểm ( C ) có tọa độ số nguyên y = 3( x + 1) x− Bài 17: y = 3x2 + 5x + 14 6x + x2 − 3x + có đồ thị ( C ) Tìm đồ thị x− 1  cặp điểm đối xứng qua điểm I  ;1÷ 2  Cho hàm số y = ( C) tất 262 x2 + x + có đồ thị ( C ) Tìm cặp điểm đồ x+1 thị ( C ) đối xứng qua đường thẳng ( d ) : 16x + 17y + 33 = Cho hàm số y = Dạng 2: Điểm cố định thuộc đường cong, điểm mà họ đường cong không qua Phương pháp Ta thường gặp tốn sau Bài tốn : Tìm tất điểm M thuộc đồ thị (C) : y = f(x) , biết M thỏa mãn tính chất T cho trước Phương pháp : M ∈ (C) ⇒ M(m;f(m)) Dựa vào tính chất T M ta tìm m Điểm cố định họ đường cong Điểm A(x0;y0) gọi điểm cố định họ đường cong (C m ) : y = F(x,m) F(x0 ,m) = y0 ∀m (1) Để giải (1) ta thường biến đổi (1) dạng f(x0 ,y0).m2 + g(x0 ,y0).m + h(x0 ,y0) = ∀m ∈ ¡ ⇔ f(x0 ,y0) = g(x0 ,y0) = h(x0 ,y0) = Từ ta tìm A Điểm mà họ đường cong không qua Điểm A(x0;y0) gọi điểm khơng có đường cong họ đường cong (C m ) : y = F(x,m) qua F(x0 ,m) ≠ y0 ∀m ∈ ¡ Hay phương trình F(x0 ,m) = y0 vô nghiệm với m a = Chú ý : Phương trình ax + b = vô nghiệm ⇔  b ≠ Các ví dụ Ví dụ Cho hàm số y = (m + 2)x3 − 3(m − 2)x + m + có đồ thị ( Cm ) Chứng minh họ đường cong (C m ) qua ba điểm cố định ba điểm nằm đường thẳng Lời giải Gọi A(x0;y0) điểm cố định họ đường cong (C m ) ⇒ y0 = (m + 2)x03 − 3(m − 2)x0 + m + ∀m ∈ ¡ ⇔ m(x03 − 3x0 + 1) + 2x03 + 6x0 + − y0 = ∀m ∈ ¡ x3 − 3x + = x − 3x0 + = 0 ⇔ ⇔  y0 = 2x0 + 6x0 +  y0 = 2(3x0 − 1) + 6x0 + = 12x0 + Vì phương trình x3 − 3x + = ln có ba nghiệm phân biệt nên ta suy họ đường cong (C m ) qua ba điểm cố định 263 Từ phương trình y0 = 12x0 + ⇒ ba điểm cố định nằm đường thẳng y = 12x + Ví dụ Chứng minh họ ( C m ) : y = (m + 1)x + m tiếp xúc với x+ m đường thẳng cố định Lời giải Cách 1: Giả sử ( C m ) tiếp xúc với đường thẳng y = ax + b Khi hệ phương trình sau có nghiệm với m:   (m + 1)x + m m2 = ax + b m + 1− = a(x + m) − am + b  x+ m x+ m   ⇔   2  m  m =a =a  (x + m)2  (x + m)2   2m2 = am + m + 1− b  (am + m + 1− b)2 x+ m ⇔ ⇒ = a ∀m ∈ ¡ 2 4m  m =a  (x + m)2  a = ⇔ (a − 1)2 m2 + 2(1− b)(a + 1)m + (1− b)2 = ∀m ⇔  b = Vậy ( C m ) tiếp xúc với đường thẳng y = x + Cách 2: Ta dễ dàng tìm điểm cố định ( C m ) A(0;1) Hệ số góc tiếp tuyến A : y'(0) = nên tiếp tuyến A có phương trình: y = x + Vậy ( C m ) tiếp xúc với đường thẳng y = x + Cách 3: Giả sử M(x0;y0) điểm mà khơng có đường họ ( C m ) qua (m + 1)x0 + m ⇒ y0 = ⇔ (x0 + 1− y0)m = x0y0 − x0 (m ≠ −x0) vô nghiệm với x0 + m m  x0 + 1− y0 =   y0 = x0 +   ⇔  x0y0 − x0 ≠ ⇔  x0 ≠ ⇔ y0 = x0 + Ta dễ dàng chứng (x + 1− y )(−x ) = x y − x x = 0 0 0   minh ( C m ) tiếp xúc với đường thẳng y = x + Vậy, ( C m ) tiếp xúc với đường thẳng y = x + Chú ý: Để chứng minh họ đường cong (C m ) : y = F(x,m) tiếp xúc với đường cong cố định ta có cách sau 264 Cách Sử dụng hệ để xét điều kiện tiếp xúc: Giả sử họ (Cm) tiếp xúc với đường cố định (C): y = g(x) Khi hệ F(x,m) = g(x) phương trình sau có nghiệm với m:  Từ ta xác định F'(x,m) = g'(x) g(x) Ta thường áp dụng cách y = g(x) Parabol đường thẳng Cách Phương pháp tiếp tuyến cố định : (Áp dụng đường cố định đường thẳng) Tìm điểm cố định viết phương trình tiếp tuyến (Cm) điểm cố định đường thẳng cố định tiếp tuyến đường thẳng cần tìm Cách Phương pháp tìm đường biên hình lồi: * Tìm điểm mà khơng có đường (Cm) qua, chẳng hạn ta quỹ tích điểm bao lồi có đường biên (C): y = g(x) * Ta chứng minh (Cm) tiếp xúc với đường (C) : y = g(x) Ví dụ Chứng minh tiệm cận xiên họ đồ thị ( C m ) : (m + 1)x2 − m2 (m ≠ 0) tiếp xúc với Parabol cố định x− m Lời giải y= m3 ⇒ tiệm cận xiên ( C m ) đường x− m thẳng d có phương trình: y = (m + 1)x + m(m + 1) Cách 1: Giả sử d tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình : y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi hệ phương trình sau có nghiệm với m : ax2 + bx + c = (m + 1)x + m(m + 1) (1)  (2) 2ax + b = m + m + 1− b Từ (2) suy x = thay vào (1) ta có được: 2a Ta có y = (m + 1)x + m(m + 1) + (m + 1− b)2 b(m + 1− b) (m + 1)(m + 1− b) + + c= + m(m + 1) 4a 2a 2a ⇔ (1+ 4a)m2 + 2[(1− b) + 2a]m + (1− b)2 − 4ac = (*) Vì hệ có nghiệm với m nên (*) với m  a = − 1+ 4a =   1 1  ⇔ (1− b) + 2a = ⇔  b = ⇒ (P) : y = − x2 + x − 4   (1− b) − 4ac =  c = −  265 1 Vậy d tiếp xúc với Parabol (P) : y = − x2 + x − 4 Cách 2: Giả sử M(x0;y0) điểm mà d không qua, phương trình y0 = (m + 1)x0 + m2 + m ⇔ m2 + (x0 + 1)m + x0 − y0 = vô nghiệm ∀m 1 ⇔ ∆ = (x0 + 1)2 − 4x0 + 4y0 < ⇔ y0 < − x02 + x0 − 4 Ta dễ dàng chứng minh d tiếp xúc với Parabol 1 (P) : y = − x2 + x − 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y = x3 − (2m + 1)x2 + mx + 3m − có đồ thị ( C m ) Tìm ( C1) cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Tìm m để tồn cặp điểm đối xứng qua trục tung Tìm tất điểm cố định họ đường cong ( C m ) ln qua 4.Tìm điểm cố định mà khơng có đồ thị họ ( C m ) qua mx + có đồ thị ( C m ) 2x + m Tìm điểm cố định mà họ đồ thị ( C m ) qua Bài 2: Cho hàm số y = Tìm tập hợp điểm mà khơng có đường cong họ ( C m ) qua Bài 3: 2x2 + (1− m)x + 1+ m Gọi ( C m ) đồ thị hàm số y = , m tham số x+ m Chứng minh với m ≠ −1 ( C m ) tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định , m tham số x−1 khác Chứng minh với m ≠ đường tiệm cận xiên ( C m ) tiếp xúc với parabol cố định (m − 1)x + m Cho họ đồ thị ( C m ) : y = , m tham số khác Chứng minh x− m họ ( C m ) tiếp xúc với điểm cố định Gọi ( C m ) đồ thị hàm số y = 2mx − m2 + + Chứng minh với tham số m khác 0, đồ thị ( Hm) : (m − 2)x + 3m − tiếp xúc với điểm cố định x + 1− m Bài 4: y= 266 Cho họ đồ thị (Cm) : y = mx4 − (4m − 1)x2 + 3m + Tìm điểm đường thẳng (d): y = x+1 mà khơng có đồ thị (Cm) qua dù m lấy giá trị Cho họ đồ thị (Cm): y = (m + 3)x3 − (3m + 7)x + m + Chứng minh (Cm) qua ba điểm cố định thẳng hàng Cho họ đồ thị (Cm) : y = mx4 + (m2 + 2m)x2 + m3 Chứng minh với điểm A cho trước mặt phẳng tọa độ , ta ln tìm giá trị m thích hợp để (Cm) qua A 267 ... + 3b +  ; ÷ Gọi I trung điểm AB ⇒ I  ÷   uuu r 2 Ta có AB = ( b − a) 1;3 − a − ab − b ( ) Do A , B đối xứng qua ( ∆ ) : y = 2x + nên:  uuu r ur AB.u∆ = a + ab + b = ⇔  I ∈ ∆ ( a +... giải uuu r r Vì AB song song với trục hoành nên AB = ki = k ( 1;0) véc tơ phương đơn vị trục hoành Do AB = nên k = ⇔ k = ±3 uuu r r uuu r r Với k = −3 ⇒ AB = −3i ⇒ BA = 3i không quan tâm tới thứ... thấy, d tạo với Ox góc α mà 3 4 AC 4 · tan α = − ⇒ tanABC = hay = ⇒ AC = a với AB = a > 3 AB 3 16 Do r = 1nên p = S ⇔ a + a + a2 + a2 = a a ⇔ a( a − 3) = ⇒ a = 3 Với a = ⇒ A ( 1;0) A ( 7;0)  4