C1 lyt~1

http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 1/65 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Tốn học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống Đến với chương này, tìm hiểu “Ứng dụng Đạo Hàm” khơng Tốn học mà cịn ngành khoa học kỹ thuật khác; lẽ Đạo hàm khơng dành riêng cho nhà Tốn học, mà đạo hàm ứng dụng nhiều sống ngành khoa học khác, ví dụ kể đến như: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa định đầu tư đắn phải làm ? Một nhà hoạch định chiến lược muốn có thơng tin liên quan đến tốc độ phát triển gia tăng dân số vùng miền phải dựa vào đâu ? Một nhà hóa học muốn xác định tốc độ phản ứng hóa học hay nhà Vật lí cần làm để muốn tính tốn vận tốc, gia tốc chuyển động ? Và nữa, thực tiễn đời sống ln có nhiều tốn liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao phải tính toán thể để làm cho chi phí sản xuất thấp mà lợi nhuận đạt cao ?, Chúng ta tìm hiểu, khám phá mở mang thêm cho hiểu biết ứng dụng đạo hàm thơng qua bố cục trình bày chương sau:  Phần 1.1: Tóm tắt lí thuyết kiến thức liên quan đến đạo hàm  Phần 1.2: Các toán thực tế ứng dụng đạo hàm  Phần 1.3: Các toán trắc nghiệm khách quan  Phần 1.4: Đáp án hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 2/63 http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 3/65 PHẦN 1.1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Để tìm hiểu ứng dụng đạo hàm, trước tiên ta cần hiểu cách thấu đáo khái niệm đạo hàm Bài toán nguồn gốc nảy sinh khái niệm đạo hàm, thuộc lĩnh vực Hình học đến từ Vật lí ● Đối với tốn hình học: xác định tiếp tuyến đường cong Nếu trước đây, nhiều toán Đại Số giải nhờ vào cơng cụ phương pháp Hình học, kể từ kỉ XVI, với hệ thống kí hiệu Viète (1540-1603) đề nghị vào năm 1591, Đại số tách khỏi Hình học, phát triển cách độc lập với phương pháp có sức mạnh lớn lao Nhận thấy sức mạnh ấy, Descartes (1596-1650) Fermat (1601-1665) khai thác vào nghiên cứu Hình học việc xây dựng nên Hình học giải tích Sự đời Hình học giải tích khiến cho vấn đề nghiên cứu nhiều đường cong đặt Tuy nhiên toán nhà tốn học thời kì trước giải số đường đặc biệt (đường tròn, đường Conic, ) cơng cụ hình học cổ điển với hàng loạt đường cong xuất hiện, toán xác định tiếp tuyến tuyến đường cong đòi hỏi phương pháp tổng quát Khái niệm tiếp tuyến lúc hiểu theo quan niệm vị trí “tới hạn” cát tuyến hay đường thẳng trùng với phần vô nhỏ với đường cong tiếp điểm Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” mà hệ số góc k tiếp tuyến với đường cong y  f  x  định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày nay) biểu thức k lim f  x  h  f  x h h  f '  x ● Đối với toán vật lí: tìm vận tốc tức thời Thừa nhận xem vận tốc tức thời vtt vật thể có phương trình chuyển động s S  t  giới hạn vận tốc trung bình khoảng thời gian  t ;tt   t  , Newton (1643 – 1727) đến biểu thức xác định vtt (có chất với biểu thức hệ số góc tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ ngày ta viết là: vtt  lim t  S  tt S t t   S' t http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 4/63 Ngoài ra, ta bắt gặp số khái niệm khác đạo hàm “đạo hàm - tốc độ biến thiên hàm số” hay “đạo hàm – công cụ xấp xỉ hàm số” Từ ta đưa định nghĩa đạo hàm: 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b  , xo   a; b  , xo  x   a; b  Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) lim f  xo  x   f  xo  gọi đạo x x  hàm f  x  điểm xo , kí hiệu f '  xo  hay y'  xo  f '  xo   lim f  xo  x   f  xo  x  x  lim f  x   f  xo  x  xo x xo 2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm bảng công thức đạo hàm thường gặp Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử u u  x  , v v  x  , w w  x  hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: ●  u  v  w  ' u' v' w' ●  uv  ' u' v  v' u ●  uvw  ' u' vw  v'uw  w'uv u ●  '  v   u' v  v' u v v  x  0 v2   1 ●  ku  '  ku' (với k số) ●  '  v     v' v  v  x  0 v2   Bảng công thức đạo hàm thường gặp Đạo hàm f  x  với x biến số  k  ' 0  kx  ' k (với k số)  x  ' nx n n Đạo hàm f  u  với u hàm số (với k số)  ku ' k.u' (với k số)  u  ' nu  u ' n n     x    x 0  x   x ' , x  0 x    u'  u   u  x  0 u   u' u ' , u x  u  sin x  ' cos x  cos x  '  sin x  sinu ' cosu  u  '  cosu  '  sinu  u  '  u '  tanu '  cos u   tan u   u  '     tan x  '  cos1 x 1  tan     x   k , k        x   2     u  x    k , k     http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 5/65   u '  cotu '  sin u    cot u  u  '  cot x  '  sin x    cot x  2 2  x  k , k    a  ' a  e  ' e x x x x  u  x  k , k    a  ' a ln a  u ' ,   a 1  e  ' e  u  ' lna,   a 1 u u u u  log x  '  x ln1 a ,  x     a 1  log u  '  uu'  u  x    ,   a 1 ln a  ln x  '  1x  x    lnu '  u'u  u  x    a a Đạo hàm số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp Hàm số Đạo hàm hàm số ax  b y cx  d y y'  a1 x  b1 x  c1 y'  a2 x  b2 x  c2 ad  bc  cx  d  a1 a2  a b c d  cx  d  b1 a x 2 b2 a2 c1 b x c2 b2 a x  2  b2 x  c c1    c2 2.1.2 Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa: Gọi K khoảng  a;b  đoạn  a;b  nửa khoảng  a;b  ,  a;b  hàm số f  x  xác định K Hàm số y  f  x đồng biến (tăng) K x1 ,x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số y  f  x  nghịch biến(giảm) K : x1 ,x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K Các định lí:  Định lí 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  a;b   Nếu f  x   ,x   a;b  hàm số f  x  đồng biến  a;b   Nếu f  x   ,x   a;b  hàm số f  x  nghịch biến  a;b   Định lí 2: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  a;b   Hàm số f  x  đồng biến  a;b   f  x  0 , x   a;b  phương trình f  x  0 có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b  http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 6/63  Hàm số f  x  nghịch biến  a;b   f  x  0 ,x   a;b  phương trình f  x  0 có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b   Định lí 3: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K)  Nếu hàm f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a; b  f  x  liên tục nửa đoạn  a;b  f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  a;b   Nếu hàm f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b  f  x  liên tục nửa đoạn  a;b f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  a;b  Nếu hàm f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b  f  x  liên tục đoạn  a;b  f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn  a;b  2.1.3 Cực trị hàm số Định nghĩa: Giả sử hàm số y  f  x  xác định tập hợp D,  D    xo  D  x0 gọi điểm cực đại hàm số f  x  tồn khoảng  a; b  chứa x0 cho  a,b   D f  x   f  x0  với x   a; b  x x0 Khi f  x0  gọi giá trị cực đại hàm số f  x   x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f  x  tồn khoảng (a;b) chứa x0 cho (a,b)  D f (x)  f (x0 )  với x  (a; b)\ x0  Khi f (x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f  x  Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị Các định lý:  Định lý (điều kiện cần): Giả sử hàm số f  x  đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f '(x0 ) 0 Lưu ý: Điều ngược lại định lý không Đạo hàm f ' điểm x0 hàm số f khơng đạt cực trị điểm x0 ví dụ hàm y  x hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm ví dụ hàm y  x http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 7/65  Định lý (Quy tắc - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f liên tục khoảng  a; b  chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0 ) (x0 ;b) Khi  Nếu f '(x) đổi dấu từ    sang    x0 f đạt cực đại x0 x a xo b f '  x   Giá trị cực đại f  x  Nếu f '(x) đổi dấu từ    sang    x0 f đạt cực tiểu x0 Do f đạt cực trị x0  f '  x  đổi dấu x0 x a xo b  f '  x  f  x Giá trị cực tiểu Chú ý: f '  x o  tồn khơng tồn  Định lý (Quy tắc - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng  a; b  chứa điểm x0 f có đạo hàm cấp khác điểm x0  Nếu f '(x0 ) 0 f ''(x0 )  hàm số đạt cực đại điểm x0  Nếu f '(x0 ) 0 f ''(x0 )  hàm số đạt cực tiểu điểm x0 2.1.4 Giá trị lớn nhỏ hàm số Định nghĩa:  Số M gọi giá trị lớn (GTLN) f  x  miền xác định D:  f  x  M, x  D M max f  x    xD xo  D : f  xo  M  Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) f  x  miền xác định D: http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 8/63  f  x  m, x  D m min f  x    xD xo  D : f  xo  m Định lý tồn GTLN – GTNN: “ Nếu hàm số liên tục đoạn  a; b  đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn “ Một số lưu ý:  Khi nói đến GTLN , GTNN hàm số f mà khơng rõ GTLN , GTNN tập ta hiểu GTLN , GTNN tập xác định f   f  x   f  a   x a ;b Nếu hàm số f đồng biến  a; b    f  x   fb   max  x a ;b   f  x   fb   x a ;b Nếu hàm số f nghịch biến  a; b    f  x  f  a  max  x a ;b  Phương pháp GTLN – GTNN y  f  x  đạo hàm đoạn D  a; b  Bước 1: Tính đạo hàm f '  x  Bước 2: Tìm điểm tới hạn (nếu có) xi   a; b  , i 1, n cho f '  x  0 (hoặc khơng có đạo hàm)  f '  xi  ?  Bước 3: Tính  f  a  ?   fb  ? Bước 4: So sánh kết luận   max f  x  max f  x1  ; f  x2  ; ; f  xn  ; f  a  ; fb  D  f  x  min f  x1  ; f  x2  ; ; f  xn  ; f  a  ; fb  D    Lưu ý:  Trường hợp tập D  a; b  (hoặc D  a; b  ; D  a; b  ) ta làm tương tự bước bước Đến bước ta “lập bảng biến thiên” để từ đưa kết luận  Ngồi cách sử dụng đạo hàm trình bày trên, đơi để giải nhanh tốn ta sử dụng thêm kiến thức cực trị hàm số bậc hai hay bất đẳng thức học kể đến như: ► Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM - GM) http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 9/65 a ,  a   an n  a1 a2 an Cho n số không âm: a1 , a2 , ,an Khi ta có: n Dấu “=” xảy a1 a2  an ► Bất đẳng thức Bunyakovsky Cho hai n số: a1 ,a2 , ,an ;b1 ,b2 , ,bn ta có bất đẳng thức:  a1 b1  a2 b2   an bn  a    a12  a22   an2 b12  b22   bn2 a  a Dấu “=” xảy b1  b2   bn với quy ước số n bi (i 1,n) tương ứng ► Bất đẳng thức tam giác Với ba điểm A, B, C ta ln có: AB  AC BC Dấu xảy A nằm B C ( Tổng độ dài hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba) AB  AC BC Dấu xảy A nằm đường thẳng BC nằm đoạn BC (Hiệu độ dài hai cạnh tam giác ln nhỏ cạnh thứ ba) Tổng quát: tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ ►Bất đẳng thức lũy thừa bậc hai Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng : A 0 hay  A 0  f A  m m  f m  A 0  f  A  M M  max f M  A 0 Do với m số, ta có:  ►Dựa vào cực trị hàm số bậc 2: y ax  bx  c  a 0  Nếu a   y  b   4ac  b x   2a 4a 4a Nếu a   y max  b   4ac  b x   2a 4a 4a http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 10/63