Bi5 3 ~1

§5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN  DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI Phương pháp giải Sử dụng phương pháp  Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn  Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn  Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau ìï y + x2 = 4x ìï 3x - 4y + = a) ïí b) ïí ïï 2x + y - = ïï xy = 3(x + y) - î î Lời giải ìï - 2x + x2 = 4x a) Hệ phương trình tương đương ïí ïï y = - 2x ỵ ïìï éx = ì ì ïìï x2 - 6x + = ï ê ïíï x = ïïí x = x = Û í Û ïí ê Û ë ïï y = - 2x ïï ê ïï y = ïï y = - ỵ ỵ î ïïî y = - 2x Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) ( 1;3) ( 5;- 5) ìï ïï x = 4y - ï b) Hệ phương trình tương đương í ïï 4y - 4y - y = 3( + y) - ïï ỵ 3 4y - ïìï x= ï ìï ìï ìï x = ïï ïï x = 4y - ïï x = 11 ïï ï y=3 Û í Û íé Û í í 3 ïï 4y2 - 22y + 30 = ïï ê ïï y = ïï y = ê ïỵ ïï ê ïỵ ïỵ y= ïïỵ ë ê ỉ11 ỉ 5ư ç3; ÷ ;3÷ ÷ ÷ Vậy hệ phương trình có nghim ( x;y ) l ỗ v ỗ ữ ữ ç3 ø ç ç 2ø è è Nhận xét: Từ cách giải hệ phương trình ta thấy hệ phương trình hai ẩn mà có phương trình bậc hai ẩn(hoặc biểu diễn ẩn qua ẩn kia) ta dùng phương pháp Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau ïìï x(x + y + 1) - = ìï x3 = xy + ï a) í b) ïí ïï 2x - y = ïï (x + y)2 - + = ỵ ïỵ x2 Lời giải ìï x3 = x ( 2x - 3) + a) Hệ phương trình tương đương với ïí ïï y = 2x - ỵ 116 http://dethithpt.com – Website chun tài liệu đề thi file word ïì ( x - 1) ( x2 - x + 2) = ïì x = Û ïí Û ïí ïï ïï y = - y = 2x - ỵ ỵ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) ( 1;- 1) b) ĐKXĐ: x ¹ ìï ïï x + y = - ï x Hệ phương trỡnh tng ng vi ùớ ổ ùù ỗ3 - 1ữ - +1= ữ ùù ỗ ữ ç ø x ïỵ èx ìï ìï ïï y = - x - ìï ïï x + y = - ï ï y = - x- x x Û ïí Û íï Û íï éx = x ïï ïï x2 - 3x + = ïï ê + 1- + = ïï ïỵ ïï êx = x ỵx x ê ïỵ ë ïìï x = ìï x = ï Û í ïí (thỏa mãn) ïï y = ïï y = - ợ ùợ ổ 3ử 2;- ữ ữ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) ( 1;1) v ỗ ỗ ữ ỗ 2ứ ố Bài tập luyện tập Bài 3.54: Giải hệ phương trình ìï 2x + y = ìï x3y = 16 ìï x3 - 8x = y3 + 2y ï ï a) í b) í c) ïí ïï 4x + y2 = 17 ïï 3x + y = ïï x - = 3(y2 + 1) ỵ î î ìï x + y = m Bài 3.55: Tìm m để hệ phương trình: ïí có nghiệm ïï 2x - 3y2 = ỵ  DẠNG TỐN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Phương pháp giải a) Hệ đối xứng loại Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng: ïì f (x, y) = (I) ïí với f ( x;y ) = f ( y;x ) g( x;y ) = g( y;x ) ïï g(x, y) = ỵ (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) không thay đổi) Cách giải  Đặt S = x + y, P = xy  Đưa hệ phương trình (I) hệ (I') với ẩn S P  Giải hệ (I') ta tìm S P  Tìm nghiệm ( x;y ) cách giải phương trình: X - SX + P = b) Hệ đối xứng loại ìï f (x, y) = Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng: (II) ïí ïï f (y, x) = ỵ (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) 117 (1) (2) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ïì f (x, y) - f (y, x) = (3)  Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: (II)  ïí ïï f (x, y) = ỵ éx = y  Biến đổi (3) phương trình tích: (3)  (x - y).g(x, y) =  ê êg(x, y) = ê ë éìï f (x, y) = êïí êï x = y ïỵ  Như (II)  ê êïì f (x, y) = êï êíï g(x, y) = ê ëỵï  Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm hệ (II) c) Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, có nghiệm ( x0;y0 ) ( y0;x0 ) nghiệm Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau ìï x + xy + y = + ìï x2y + xy2 = 30 ï a) í b) ïí ïï x + y2 = ïï x + y3 = 35 î î Lời giải a) Đặt S = x + y ; P = xy , ta có hệ: ìï S + P = + ïì S + 2S = 10 + ïì (S + 1)2 = (3 + 2)2 ï ï Û Û í í íï ïï S - 2P = ïï S + P = + ïï P = + - S ỵ ỵï îï ïìï éS = + ìï S = + ìï S = - - ïï ê ê ï ï Û í êS = - - Û í í ë ïï ïï P = 2 ïï P = + ỵï ỵï ïï P = + - S ïỵ  Với S = + ; P = 2 ta có x, y nghiệm phương trình: éX = 2 X - (2 + 2)X + 2 = Û ê êX = ê ë  Với S = - - ; P = + ta có x, y nghiệm phương trình: X + (4 + 2)X + + = ( vơ nghiệm) Vậy hệ có nghiệm ( x;y ) (2; 2) ( 2;2) b) Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: 30 ïìï ïï P = ïìï SP = 30 ïìï S = ïìï x + y = ïìï x = ïìï x = S Û Û Û Û Úí í í í í í 90ư ïï S(S - 3P ) = 35 ïï æ ïï P = ïï xy = ïï y = ùù y = 2 ữ ỗ S S = 35 ợ ợ ợ ợ ợ ữ ùù ỗ ữ ố Sứ ùợ ỗ Vớ d 2: Gii cỏc hệ phương trình sau ìï ïï 3x = x + ìï x3 + 2x = y ìï y2 = x3 - 3x2 + 2x ï y2 a) ïí b) ïí c) í 2 ïï y + 2y = x ïï x = y - 3y + 2y ïï y +2 ỵ ỵ ïï 3y = ïỵ x2 Lời giải 118 http://dethithpt.com – Website chun tài liệu đề thi file word a) Trừ vế với vế phương trình đầu phương trình thứ hai ta được: x3 - y3 + 3x - 3y = Û (x - y)(x2 + y2 + xy + 3) = Û x = y éỉ y ư2 3y2 ự 2 ỳ> ) ữ ỗ x + + + ÷ (Vì x + y + xy + = ỗ ờỗ ỳ ữ ố ø ê ú ë û x = y Thay vào phương trình đầu ta được: x + x = Û x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) = ( 0;0) b) Trừ vế với vế phương trình đầu phương trình thứ hai ta được: y2 - x2 = x3 - y3 - 3(x2 - y2) + 2(x - y) Û (x - y)(x2 + xy + y2 - 2x - 2y + 2) = Û (x - y) é x2 + y2 + (x + y - 2)2 ù ë û= Û x = y (vì x2 + y2 + (x + y - 2)2 > 0) Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x3 - 4x2 + 2x = Û x(x2 - 4x + 2) = éx = éx = ê Û ê2 Û ê êx = ± x x + = ê ê ë ë Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0;0);(2 + 2;2 + 2) (2 c) ĐKXĐ: x ¹ y ¹ 2;2 - 2) ïì x > Nhận xét từ hệ phương trình ta có phương trình có nghiệm ( x;y ) ïí ïï y > î ìï ïï 3x = x + ïì 3xy2 = x2 + (1) ï y ï Û í Ta có í ïï ïï 3yx2 = y2 + (2) y2 + ỵ ïï 3y = ïỵ x2 Trừ (1) (2) ta được: (x - y)(3xy + x + y) = Û x = y (vì 3xy + x + y > ) Với x = y : (1) Û 3x3 - x2 - = Û (x - 1)(3x2 + 2x + 2) = Û x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) = ( 1;1) ìï x2 + xy + y2 = m + m Ví dụ 3: Tìm để hệ phương trình ïí có nghiệm ïï 2x + xy + 2y = m ỵ Lời giải Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x0;y0 ) ( y0;x0 ) nghiệm hệ Vậy hệ có nghiệm suy ïìï 3x02 = m + Þ 3x02 = x02 + 4x0 + x0 = y0 suy í ïï x0 + 4x0 = m ợ ộx0 = - ị m = - Û 2x02 - 4x0 - = Û ê ê x = Þ m = 21 ê ë ìï x2 + xy + y2 = + Với m = - hệ trở thành ïí ïï 2(x + y) + xy = - î 119 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ïìï S = x + y ïìï S - P = , S ³ P Đặt í hệ phương trình trở thành í ïï P = xy ïï 2S + P = - î î ïìï éS = ì ì ïìï S + 2S = ï ê ïíï S = ïïí S = - S = Û í Û ïí ê Û ë ïï P = - 2S - ïï ê ïï P = - ïï P = ỵ ỵ ỵ ïïỵ P = - 2S - ïì S = ïì x + y = - 2 Khi ïí ta có ïí suy x, y nghiệm phương trình X - = Û ïï P = - ïï xy = ỵ ỵ Do hệ có nghiệm ( 3;- ) ( - ) éX = ê ê X =- ê ë 3; Suy m = - hệ phương trình khơng có nghiệm ìï x2 + xy + y2 = 27 ïìï (x + y)2 - xy = 27 ï Û + Với m = 21 hệ trở thành í í ïï 2x + xy + 2y = 21 ïï 2(x + y) + xy = 21 ỵ ỵ ìï S - P = 27 ïìï S = x + y , S ³ P Đặt í hệ phương trình trở thành ïí ïï P = xy ïï 2S + P = 21 ỵ ỵ éS = ïìï ê ì ì ïìï S + 2S - 48 = ïï ïíï S = ïïí S = - (loại) êS = - Û í Û í Û ê ë ïï P = - 2S + 21 ïï ïï P = ïï P = 37 ỵ î î ïïî P = - 2S + 21 ìï S = ìï x + y = Khi ïí ta có ïí suy x, y nghiệm phương trình X - 6X + = Û X = ïï P = ïï xy = ỵ ỵ Suy hệ có nghiệm ( x;y ) = ( 3;3) Vậy với m = 21 hệ có nghiệm ìï x + y = 2m - x ; y ) nghiệm hệ phương trình ïíï x2 + y2 = 2m2 + 2m - Tìm m để xy nhỏ Ví dụ 4: Cho ( ïỵ Lời giải Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S ³ 4P ìï S = 2m - Hệ phương trình trở thành ïí ïï S - 2P = 2m2 + 2m - ỵ ìï S = 2m - ìï S = 2m - ïí Û ïí Û ïï (2m - 1)2 - 2P = 2m2 + 2m - ïï P = m2 - 3m + ỵ ỵ Điều kiện S ³ 4P suy (2m - 1)2 ³ 4( m2 - 3m + 2) Û 8m ³ Û m ³ (*) æ 3ử 1 ữ ỗ Ta cú P = xy = m - 3m + = ỗm - ữ ữ ỗ ố 2ứ 4 Du bng xảy Û m = Vậy m = 120 (thỏa mãn (*)) xy đạt giá trị nhỏ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài tập luyện tập Bài 3.56: Giải hệ phương trình sau: ìï x + y + 2xy = a) ïí b) ïï x + y3 = ỵ ìï x + y + 3xy = c) ïí d) ïï 2x + 2y2 - 3xy = ỵ Bài 3.57: Giải hệ phương trình sau: ìï x3 + y3 = 19 ïí ïï ( x + y ) ( + xy ) = ỵ ìï x + y + xy = - ïí ïï x2 + y2 = ỵ ìï ïï ï b) í ïï ïï ïỵ ìï ïï ï d) í ïï ïï ïỵ = 2x + y x2 = 2y + x y2 = x2 + 2y2 ìï x3 = 2x - y x c) ïí 3 ïï y = 2y - x ỵ = 2x2 + y2 y ïìï x = y2 - y + m Bài 3.58: Tìm m để hệ phương trình í có nghiệm ïï y = x2 - x + m ỵ ìï x2 = 3x + 2y a) ïí ïï y = 3y + 2x ỵ  DẠNG TỐN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI Phương pháp giải ìï a1x2 + bxy + c1y2 = d1 ï Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai hệ phương trình có dạng: (I) í ïï a2x2 + bxy + c2y2 = d2 ỵ  Giải hệ x = (hoặc y = 0)  Khi x  0, đặt y = tx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k , từ tìm ( x; y ) Các ví dụ minh họa ìï x2 + 6y2 - 5xy = (1) Ví dụ 1:Giải hệ phương trình sau: ïí ïï 4x + 2xy + 6x = 27 (2) ỵ Lời giải Nếu x = thay vào ( 1) Þ y = 0, thay vào (2) thấy ( x;y ) = ( 0;0) nghiệm phương trình (2) nên khơng phải nghiệm hệ phương trình ìï x2 + 6t2y2 - 5tx2 = Nếu x ¹ , đặt y = tx , thay vào hệ ta ïí ïï 4x + 2tx2 + 6x = 27 ỵ 2 ìï x (1 + 6t - 5t) = ìï 6t - 5t + = (*) ïí Û ïí Û ïï 4x + 2tx2 + 6x = 27 ïï 4x2 + 2tx2 + 6x = 27 (**) î î 121 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word (*) Û t = 1 t = thay vào (**) ta 4x2 + x2 + 6x = 27 Û 5x2 + 6x - 27 = é êx = - Þ y = ê Û ê 9 êx = Þ y = ê ë 10 Với t = thay vào (**) ta 4x2 + x2 + 6x = 27 Û 14x2 + 18x - 81 = 3 é + 15 + 15 ê Þ y=êx = 14 14 Û ê ê 15 15 - ê Þ y= ê x= ë 14 14 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) æ + 15 æ9 15 - 15 - + 15 ỉ ổ9 ữ ữ ỗ ỗ 3ử ữ ữ ữ ữỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ - 3;- ữ,ỗ ; ữ,ỗ;, ; ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố 2ứ ố5 10ứ ố 14 14 14 14 ữố ữ ỗ ỗ ứ ø Với t = ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ìï x2 - xy + y2 = Ví dụ 2:Giải hệ phương trình ïí ïï 2x - 3xy + 4y2 = ỵ Lời giải Dễ thấy x = khơng thoả hệ ìï x2(t2 - t + 1) = (*) y = tx Với x ¹ , đặt , thay vào hệ ta ïí 2 ïï x (2t - 3t + 4) = ỵ 2 Suy 3(t - t + 1) = 2t - 3t + Þ t = ±1 Thay vào (*) é x = 1Þ y = Với t = , ta có x = Û ê êx = - Þ y = - ê ë é êx = Þ y = - ê 3 Với t = - ta có x = Û ê ê 3 Þ y= êx = ê ë 3 ỉ1 - 1ư ỉ- 1 ữ ữ ; ; ữ, ỗ ữ, ( - 1;- 1) ( 1;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) l ỗ ỗ ỗ ữố ữ ỗ 3ứ ỗ 3ứ ố ỡù x2 + 2xy + y2 = 11 m Ví dụ 3: Với giá trị hệ: ïí có nghiệm ïï x + 2xy + 3y2 = 17 + m ỵ Lời giải Dễ thấy x = không thoả hệ Với x ¹ , đặt y = tx , thay vào hệ ta 122 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ìï x2 ( + 2k + k2 ) = 11 ( * ) ïí ïï x2 ( + 2k + 3k2 ) = 17 + m ỵ 2 Suy ( 17 + m) ( + 2k + k ) = 11( + 2k + 3k ) Û ( m- 16) k2 + 2( m + 6) k + m + = ( * * ) Ta có: + 2k + k2 = ( k + 1) + > 0, " k Þ ( *) ln có nghiệm x với k hệ ban đầu có nghiệm phương trình (**) có nghiệm ẩn k Với m = 16 : Phương trình (**) trở thành 44k + 88 = Û k = - Vậy m = 16 thỏa mãn Với m ¹ 16: Phương trình (**) có nghiệm Û D 'k ³ ( m + 6) 16) ( m + 6) ³ Û 22( m + 6) ³ Û m ³ - Vậy hệ phương trình có nghiệm m ³ - Bài tập luyện tập ìï 3x2 + 5xy - 4y2 = 38 Bài 3.59: Giải hệ phương trình sau: ïí ïï 5x - 9xy - 3y2 = 15 ỵ ìï 3x2 + 2xy + y2 = 11 Bài 3.60: Giải hệ phương trình : ïí ïï x + 2xy + 3y2 = 17 ỵ ìï x2 - 4xy + y2 = m Bài 3.61: Cho hệ phương trình : ïí ïï y - 3xy = ỵ a) Giải hệ phương trình với m 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Û - ( m-  DẠNG TỐN 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Phương pháp giải  Đưa phương trình tích: Việc phân tích thành tích có từ phương trình hệ qua phép biến đổi đại số(phép thế, cộng đại số) ta thu phương trình tích  Đặt ẩn phụ: Điều quan trọng ta cần phát ẩn phụ Thường cần biến đổi đại số(cộng trừ nhân, chia với mộ số, biểu thức) xuất ẩn phụ Các ví dụ minh họa Loại 1: Hệ phương trình đưa phương trình tích Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau ìï ïï x + 5xy = 2( y + 1) ìï 4x2 + = y2 - 4x ì 2xy + 3x + 4y = - ï x2 + y2 a) ïí b) ïí c) ïí 2 ïï x + xy + y = ïï x + 4y + 4x + 12y = ïï ỵ ỵ ïïỵ ( x - 1) = y ( - 5y ) Lời giải ìï ( x + 2) ( 2y + 3) = a) Hệ phương trình tương đương với ïí ïï x + 4y2 + 4x + 12y = ỵ 123 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x +2= 2y + = ïì ïì Û ïí (1) ïí (2) ïï x + 4y + 4x + 12y = ïï x + 4y2 + 4x + 12y = î î x =- x =- ïì ïì Û ïí Ta có ( 1) Û ïí (Vô nghiệm) ïï x - y + 2x - 4y = ïï y + 4y + = ỵ ỵ ìï ìï ïï x = - ïï x = 3 ïìï ïìï y = y = ïí Û ïí Û íï ( 2) Û ïíï 2 ï ï ï 2 ïï x - y + 2x - 4y = ïï 4x + 8x - = ïï y = ïï y = - ỵ ỵ ïỵ ïỵ 2 ỉ 3ư ỉ 3÷ - ;- ÷ ;- ÷ ÷ Vậy hệ phng trỡnh cú nghim l ỗ v ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố 2ứ ố2 2ứ ỡù 2x + = y2 ì ) ï ( ïíï y = ±( 2x + 1) Û b) Hệ phương trình tương đương với í ïï x + xy + y2 = ïï x2 + xy + y2 = ỵ ïỵ ìï y = 2x + y = 2x + ïìï ï Û Xét hệ í í 2 ïï x + xy + y = ïï x + x ( 2x + 1) + ( 2x + 1) = ỵ ïỵ é ìï x = ê ïí ïìï y = 2x + êï y = ê ïỵ ïï é ìï y = 2x + ê x=0 ï ï Û í Û í ê Û êìïï x = - ïï 7x + 5x = ïï ê êïï ỵ ïï êx = êí ê êïï ïỵ ë êïï y = ëỵ ìï y = - 2x - y = - 2x - ïìï Û Xét hệ ïí í ïï x + xy + y2 = ïï x2 - x ( 2x + 1) + ( 2x + 1) = ỵ ïỵ éìï x = êïí ïìï y = - 2x - êï y = - ìï y = - 2x - ï ỵï x=0 Û ê Û ïí Û ïí é êïì x = - ïï 3x + 3x = ïï ê êï êx = - ỵ ïïỵ ë êíï y = ê ê ởợù ổ 3ử - ;- ữ ữ Vy h phương trình có nghiệm ( x;y ) ( 0;1) ,ỗ ỗ ữ,( 0;- 1) v ( - 1;1) ç 7ø è c) ĐKXĐ: x ¹ y ¹ Phương trình thứ hệ phương trình tương đương với 5xy 5xy x+ = 2( y + 1) Û x - 2y + - 2= x +y x + y2 ( x - 2y ) ( y - 2x ) 5xy - 2x2 - 2y2 Û x - 2y + = Û x y + =0 x2 + y2 x2 + y2 é x = 2y Û ( x - 2y ) ( x2 + y2 - 2x + y ) = Û ê êx2 + y2 - 2x + y = ê ë Suy hệ phương trình tương đương với 124 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x = 2y ïìï (3) í ïï ( x - 1) = y ( - 5y ) ïỵ ìï x2 + y2 - 2x + y = ï (4) í ïï ( x - 1) = y ( - 5y ) ïỵ ìï x = 2y ïìï x = 2y Û ïí Û Ta có ( 3) Û í ïï ( 2y - 1) = y ( - 5y ) ïï 9y - 7y + = ỵ ïỵ ìï ìï ïï x = + 13 ïï x = - 13 ï ï 9 Û í í (thõa mãn) ïï ïï + 13 - 13 ïï y = ïï y = ïỵ ïỵ 18 18 ìï x = 2y ï ïí ïï y = ± 13 ïỵ 18 ìï x2 - 2x = - y2 - y ï ïìï x2 - 2x = - y2 - y ïìï x2 - 2x = - y2 - y ( 4) Û íï 1- y2 - y = y - 5y Û íï 4y2 - 4y + = Û íïï ( ) ỵï y= ïỵ ïï ỵ ìï ìï ìï ïï x - 2x + = ïï x = ïï x = ï ï ïí (thỏa mãn) Û í Û í ïï ïï ïï 1 y= ïï ïï y = ïï y = ỵ î î æ7 + 13 + 13 ÷ ỉ7 - 13 - 13 ỉ1 1ử ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ; , ; , ; ữ ỗ ữv Vy h phng trỡnh cú nghim ( x;y ) l ỗ ỗ ữ ữ ỗ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç 18 ứ ố 18 ứ ố2 2ứ ố ổ3 1ử ỗ ; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố2 2ứ Vớ d 2: Giải hệ phương trình sau ìï ỉ ữ ùù ỗ 2ữ ỗ ỡù x3 + 2y3 + 2y2 = 2xy ( x + 1) ÷ y =2 ỗ ù 2x + y ứ ố ù ù b) c) ổ ùù ùù ỗ 3xy = 2( x2 - y ) ữ ợ 2+ ữ ùù ỗ ữ x =2 ỗ 2x + y ø ïỵ è ìï x2 + = xy ï a) í ïï y + 5x2 = 4xy + ỵ Lời giải ìï xy - x2 = ï a) Hệ phương trình tương đương với í ïï y + 5x2 = 4xy + ( xy - x2 ) ỵ ìï ì xy - x = xy - x2 = ïíï Û ïí Û ïï 6x - 5xy + y2 = ïï ( 2x - y ) ( 3x - y ) = ỵ ỵ ìï xy - x2 = ìï xy - x2 = Û ïí (1) ïí (2) ïï 2x - y = ïï 3x - y = ỵ ỵ ìï x = - ïìï x = ïì x = ± ïìï x2 = ï Û íï Û í Giải hệ (1): ( 1) Û í í ïï y = 2x ïï y = 2x ïï y = ïï y = - ỵ ỵ ïỵ ïỵ ìï ìï ìï ïï x = ïï x = - ïx=± ïìï 2x2 = ïí Û ïí Û ïí Giải hệ (2): ( 2) Û í ïï y = 3x ïï ïï ïï 6 ỵ ïỵ y = 3x ïï y = ïï y = ïỵ ïỵ 2 ỉ 6ư ỉ 6ư ÷ ữ ỗ ữ ữ 3;2 , - 3;- , ỗ ; ;ỗ ỗ Vy h phng trỡnh cú nghim l v ữ ữ ỗ ỗ ữ ç ÷ ç ø è2 ø è ( 125 ) ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word + Đối với hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn mà phương trình khơng thể phân tích thành tích(như 2 câu b) ta sau: ta tìm số thực a cho x + 2xy - 7x - 5y + + a ( x + xy + y ) = 3a ( + a ) x2 + ( 2y + ay - 7) x + ay2 - 5y + - 3a = phân tích thành nhân tử Điều có D x = ( 2y + ay - 7) - 4( + a ) ( ay2 - 5y + - 3a ) = ( - 3a ) y2 + ( 6a - 8) y + 12a - 24a + 13 Û số phương hay D 'y = ( 3a - 4) - ( 4- 3a ) ( 12a - 24a + 13) = 36a - 72a + 72a - 36 = Û a = a = - Từ ta có lời giải trên(ngồi ta trừ vế với vế) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau ìï ìï y x ïï ïï + 6y + x - 2y = x + = +2 y a) í x x b) í y ïï ïï ïïỵ 2y - 2y + = 3xy ïỵï x ( - 8y ) = x + 2y Lời giải a) Điều kiện xác định: x > 0, y ¹ Phương trình thứ hệ tương đương với y x = + Û y x + y2 = 2x x + 2xy Û y2 + y( x - 2x) - 2x x = x y x Xem phương trình bậc hai theo biến y, ta có D x = ( x - 2x)2 + 8x x = x + 4x x + 4x2 = ( x + 2x)2 > Do đó, phương trình có hai nghiệm + x) + ( x + 2x) = 2x ìï y = - x ìï y = 2x ï Suy hệ phương trình tương đương với í (3) ïí (4) ïï 2y - 2y + = 3xy ïï 2y - 2y + = 3xy ỵ ỵ ìï y = - x ï Ta có ( 3) Û ïí (vơ nghiệm y2 + ( y - 1) > 0, - 3x x < 0) ïï y + ( y - 1) = - 3x x ïỵ ïìï y = 2x ìï y = 2x ìï y = 2x ï ï ï Û í Û í ( 4) Û íï ï ïï x = ± 2 x x + = 2 x 2 x + = x x ( ) ( ) ( ) ïỵ ïỵï ïỵ ì ïìï ï 2+ ïï x = - ïx= Û í Û í (thỏa mãn điều kiện) 2 ïï ïï ïïỵ y = + ïïỵ y = - ỉ2 + ổ2 - ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ ;2 + ;2 ç Vậy h phng trỡnh cú nghim ( x;y ) l ỗ v ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ç è ø è ø ìï x ³ 2y b) KX: ùớ ùù y ợ Phng trỡnh thứ hệ tương đương với 6y2 + y x - 2y - ( x - 2y ) = Û 3y - x - 2y 2y + x - 2y = y= (2x - x) - ( x + 2x) =2 x y = ( 128 (2x - )( ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word é3y - x - 2y = (1) Û ê ê 2y + x - 2y = (2) ê ë  TH1: Với 3y - x - 2y = Û 3y = x - 2y : Dễ thấy y < phương trình vơ nghiệm Ta xét y ³ ta có ( 1) Û 9y2 = x - 2y kết hợp với phương trình thứ hai hệ ïìï 9y2 = x - 2y ïìï 9y2 = x - 2y Û í Û í ïï x ( - 8y ) = x2 + 2y ïï x + 8xy = 9y2 ỵ ỵ ìï 9y2 = x - 2y ìï 9y2 = x - 2y ï Û í (1') ïí (1'') ïï x - y = ïï x + 9y = ỵ ỵ ì 9y2 = x - 2y ïíï ïï ( x - y ) ( x + 9y ) = ỵ ïìï ïï ïìï 9y = - y ï Û Hệ phương trình (1') tương đương í í ïï x - y = ïï ỵ ïï ïỵ éy = ê ê êy = - Û ê ë x=y ìï x = y = ïï í ïï x = y = - ïỵ ìï é y = ïï ê ì ì ïìï 9y2 = - 9y - 2y ïí êy = - 11 Û ïïí x = ïïí x = 99 Û Hệ phương trình (1") tương đương í ê ïï ïë ïy=0 ïï y = - 11 x = - 9y ỵï î î ïïîï x = - 9y Kết hợp điều kiện suy trường hợp hệ phương trình vô nghiệm  TH2: Với 2y + x - 2y = Û - 2y = x - 2y : Dễ thấy y > phương trình vơ nghiệm Ta xét y £ ta có ( 2) Û 4y2 = x - 2y kết hợp với phương trình thứ hai hệ ïìï 4y2 = x - 2y ïìï 4y2 = x - 2y ïìï 4y2 = x - 2y Û í Û í í ïï x ( - 8y ) = x2 + 2y ïï x + 8xy = 4y2 ïï x = - 4y ± 5y ỵ ỵ ỵ ìï 4y2 = x - 2y ìï 4y2 = x - 2y Û ïí (2') Û ïí (2'') ïï x = - + y ïï x = - - y ỵ ỵ ïìï é y = ïï ê ìï 4y2 = - + y ê ï - 3+ Û íï ê Hệ phương trình (2') tương đương với í y= ê ïï x = - + y ïï ë ïỵ ïï ïỵ x = - + y ìï x = 11- 5 ïï Û x = y = í ïï y = - + ïïỵ ïìï é y = ïï ê ìï 4y2 = - - y ê ï 3+ Û íï ê Hệ phương trình (2") tương đương với í y=ê ïï x = - - y ïï ë ïỵ ïï ïỵ x = - - y ìï x = 11 + 5 ïï Û x = y = í ïï y = - + ïïỵ ( ) ( ) ( ( ( 129 ( ) ) ) ( ) ( ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ỉ ỉ + 5ử ữ ỗ11 - 5; - + ữ ỗ ữ ữ 11 + 5; ỗ Kt hợp điều kiện suy trường hợp hệ phng trỡnh ỗ v ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç 2 ø è ø ç è ỉ ổ + 5ử ữ ỗ11 - 5; - + ữ ỗ ữ ữ 11 + 5; ỗ Vy h phng trỡnh cú nghim ( x;y ) l ỗ v ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç 2 ø è ø ç è ïìï x3 + 2xy2 = 2x2y + Ví dụ 5: Giải hệ phương trình í ïï x + 2y2 = xy + x + 2y ỵ Lời giải Nhân phương trình thứ hai với - cộng vế với vế với phương trình đầu ta ( x3 + 2xy2 ) - 2( x2 + 2y2 ) = ( 2x2y + 4) - 2( xy + x + 2y ) Û Û Û Û ( x3 - 2x2 ) + ( 2xy2 - 4y2 ) = ( 2x2y - 2xy - 4y ) + ( - 2x ) x2 ( x - 2) + 2y2 ( x - 2) = y ( x - 2) ( 2x + 2) - 2( x - 2) ( x - 2) ( x2 - 2xy + 2y2 - 2y + 2) = 2 ( x - 2) éêë( x - y ) + ( y - 1) + 1ùúû= 2 Û x = (vì ( x - y ) + ( y - 1) + > ) Thay x = vào phương trình thứ hai ta có + 2y2 = 2y + + 2y Û 2y2 - 4y + = Û y = Vậy phương trình có nghiệm ( x;y ) = ( 2;1) Nhận xét: Việc nhân vào với - "mò mẫm" sau: Nhận thấy biến y thấy có tương đồng bậc hai phương trình có hệ ta nhân với phương trình hai số thực a khác không cộng vế với vế với phương trình đầu ta ( x3 + 2xy2 ) + a ( x2 + 2y2 ) = ( 2x2y + 4) + a ( xy + x + 2y ) Û ( 2x + 2a ) y2 - ( 2x2 + ax + 2a ) y + x3 + ax2 - ax - = Ta chọn a cho với y , suy 2x + 2a = 2x2 + ax + 2a = x3 + ax2 - ax - = (*) Ta có 2x2 + ax + 2a = Û 2x ( x + a ) - ax + 2a = Þ - ax + 2a = Þ x = Þ a = - Dễ thấy x = 2, a = - thỏa mãn (*) ta có lời giải Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau ìï 2x2 + 3y = y2 + x + ìï x3 = 8y3 + 3y ï a) í b) ïí ïï 2y + = x2 + x + 7y ïï x + y = 4y2 + x î î Lời giải a) Cộng vế với vế hai phương trình ta có 2x2 + 3y + 2y2 + = y2 + x + + x2 + x + 7y Û x2 - 2x + y2 - 4y + = Û ( x - 1) 2 + ( y - 2) = ïì x = Û x - = y - = Û ïí ïï y = î Thay x = 1; y = vào hệ thấy thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) = ( 1;2) b) Phương trình thứ hai nhân với - cộng vế với vế với phương trình thứ ta 130 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x3 - 3( x2 + y ) = 8y3 + 3y - 3( 4y2 + x ) Û x3 - 3x2 + 3x - = 8y2 - 12y2 + 3y - Û ( x - 1) 3 = ( 2y - 1) Û x = 2y Thay vào phương trình thứ hai ta ( 2y ) + y = 4y2 + 2y Û y = Þ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) = ( 0;0) Nhận xét: Các biến x, y phương trình độc lập với ta chọn a cách lấy phương trình thứ nhất(hoặc phương trình thứ hai) nhân với a cộng với phương trình thứ hai cho đưa dạng phương n n trình ( ax + b) = ±( a 'y + b') Loại 2: Hệ phương trình giải cách đặt ẩn phụ Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau: ìï ìï 2x2 - y2 - 4( x - y ) = 3x2 + y = y2 ï ï a) í b) í 2 ïï x ( x - 2) + = ( xy - 2y ) ( xy - 4x ) ïï x ( x + 45) = y ( y3 - 15) ỵ ïỵ Lời giải ìï 2( x2 - 2x ) - ( y2 - 4y ) = ï a) Hệ phương trình tương đương với í ïï ( x - 2x ) - ( x2 - 2x ) ( y2 - 4y ) + = ïỵ ìï a = x - 2x ìï 2a - b = ïí Đặt ïí hệ trở thành ïï b = y2 - 4y ïï a2 - ab + = ỵ ỵ ìï b = 2a - ïï ìï ìï b = 2a - b = a a=- Û ïí Û ïí Û ïí é ïï a - a ( 2a - 1) + = ïï a - a - = ïï ê êa = î î ïîï ë ê ïì a = - ïì a = Û ïí ïí ïï b = - ïï b = ỵ ỵ ïìï x = ïìï - = x2 - 2x ïìï x2 - 2x + = ïìï a = - ï y=1 Û í Û ïí é Với í ta có í ïï b = - ïï - = y - 4y ïï y - 4y + = ïï ê ê î î î ïïî ë êy = ìï x = ± ìï = x2 - 2x ïìï x2 - 2x - = ïìï a = ï ï Û Û Với í ta có í í í ïï b = ïï = y2 - 4y ïï y - 4y - = ïï y = ± ỵ ỵ î ïî Vậy hệ có nghiệm ( x;y ) ( 1;1) ,( 1;3) , + 3;2 + , + 3;2 - , - 3;2 + ( ( 1- 3;2 - )( )( ) ) ìï y2 - 3x2 = y ïìï 3x2 + y = y2 Û íï b) Hệ phương trình tương đương với í (*) ïï y - x4 = 15( 3x2 + y ) ïï y - x4 = 15y2 ỵ ỵ  Với y = từ hệ suy x = 131 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ìï ïï y ï  Với y ¹ ta có hệ phương trình (*) tương đương với ïí ïï ïï y ïỵ ì ï y - 3z = x = z , hệ trở thành ïí Đặt ïï y - z2 = 15 y ỵ y = 3z + ïìï Û í Û ïï ( 3z + 1) - z2 = 15 ïỵ ì ïíï ïï ỵ 3x2 =1 y x4 = 15 y2 ìï y = 3z + ïï y = 3z + ï é Û ïí ê z = ïï ê 8z + 6z - 14 = ïï êz = ê ïỵ ë ìï ïï y = - 17 ï í ïï ïï z = ỵ ìï y = ìï y = ìï y = ìï y = ïï Û ïí Û ïí Với ïí suy í x2 ïï z = ïï = ïïỵ x = ïïỵ x = ±2 ỵ ïïỵ y ìï ì ìï ì ïï y = - 17 ïï y = - 17 ïïï y = - 17 ïï y = - 17 ï ï Û íï 4 suy ïí Û íï Với í x ïï ïï ïï 119 ïï 119 =ïï z = ïï ïx = ïx=± ïỵ ỵ 16 ỵïï ỵï y ỉ 119 17 ổ ữ ỗ ỗ ữ ; ỗVy h phương trình có nghiệm ( x;y ) ( 2;4) ,( - 2;4) , ỗ v ữ ỗ ữ ỗ ỗ 4ứ ỗ ố ố Vớ d 8: Gii hệ phương trình sau: ìï ìï 3x - y = x + y ïï x + y2 + + = ï x2 y2 a) ïí b) í ïï ïï 3x + y = x - y 2 ïỵ ïïỵ ( xy - 1) = x - y + Lời giải ïì x ¹ a) ĐKXĐ: ïí ïï y ¹ ỵ ìï ïï x + y2 + + = x2 y2 Hệ phương trình tương đương với í ïï 2 2 ïïỵ x y - 1- x + y = 2xy ìï ỉ ư2 ỉ 1ư2 1 ïìï 2 ïï çx + ÷ + çy - ÷ = x + y + + = ữ ỗ ữ ùù 2 ùỗ ỗ ỗ x y xữ yữ ứ è ø Û ïí Û íï è ïï ïï ỉ 1ưỉ x y + =2 x+ ÷ y- ữ ữỗ ữ= ùù xy ùù ỗ ỗ ç ç ÷ ç ÷ xy y x x øè ỳ ïỵ ïỵ è ïì y = Û ïí ïï z = ỵ 132 119 17 ÷ ÷ ; ÷ ÷ 4ø http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ìï ïï a = x + ìï a2 + b2 = x ï ï Đặt í , hệ phương trình trở thành íïï ab = ïï ỵ ïï b = y y ïỵ ìï a + b = ±3 ïìï ( a + b) - 2ab = ïìï ( a + b) = Û í Û í Û ïí ïï ïï ïï ab = ab = ab = ỵ ỵï îï ïì a + b = Với hệ phương trình ïí a,b nghiệm phương trình X - 3X + = Û ïï ab = ỵ Do hệ có nghiệm ( a;b) ( 2;1) ( 1;2) éX = ê êX = ê ë ïì a + b = - Với hệ phương trình ïí a,b nghiệm phương trình X + 3X + = Û ïï ab = ỵ Do hệ có nghiệm ( a;b) ( - 2;- 1) ( - 1;- 2) éX = - ê êX = - ê ë 1 = x + ³ nên hai trường hợp sau x x ïìï ìï x =1 ï 2= x+ ï ïì x2 - 2x + = ï x ï ï Û í Û í TH1: ( a;b) = ( 2;1) ta có í ïï ïï y - y - = ïï y = ± ỵ = y ïï ïỵ y ïỵ ỉ + 5ư ỉ 1- ữ ữ ỗ1; ỗ ữ ữ 1; ỗ Do hệ phương trình ban đầu có nghiệm ( x;y ) l ỗ v ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ứ ố ứ ố ỡù ìï ïï - = x + x=- ï ïì x2 + 2x + = x ï ï ï Û í Û í TH2: ( a;b) = ( - 2;- 1) ta có í ïï ïï y + y - = ïï y = - ± ỵ = y ïï ïỵ y ïỵ ỉ - 1+ 5ử ổ - 1- ữ ữ ỗ- 1; ç ÷ ÷ - 1; ç Do hệ phương trỡnh ban u cú nghim ( x;y ) l ỗ v ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 2 è ø è ø ỉ + 5ư ỉ 1- ỉ - 1+ 5ư ÷ ÷ ÷ ç1; ç ç ÷ ÷ ÷ ; - 1; ç ç Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm ( x;y ) l ỗ , , ữ ữ ữ ç ç ç ÷ ÷ ÷và ç ç ç øè ø è è ø ìï x + y = a ï , a ³ 0, b ³ 2a2 + b2 = 3x + y, a2 + 2b2 = 3x - y b) Đặt í ïï x - y = b ïỵ ìï a2 + 2b2 = 3a (1) Hệ phương trình trở thành ïí ïï 2a + b2 = 3b (2) ỵ Trừ vế với vế hai phương trình (1) (2) ta é a =b b2 - a2 = 3( a - b) Û ( a - b) ( + a + b) = Û ê êa = - b - ê ë éa = Þ b = Với a = b thay vào phương trình (1) suy 3a = 3a Û ê êa = Þ b = ê ë Vì a = x + 133 ỉ - 1- ữ ỗ ữ - 1; ỗ ữ ỗ ữ ỗ è ø http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Với a = - b - thay vào phương trình (1) suy ( - b - 3) + b2 = 3b Û 2b2 - 3b + = (vơ nghiệm) ìï x + y = ìï x = ïìï x + y = Û ïí Û ïí TH1: a = b = ta có í ïï x - y = ïï x - y = ïï y = ỵ ỵ ïỵ ìï x + y = ìï x = ïìï x + y = Û ïí Û ïí TH2: a = b = ta có í ïï x - y = ïï x - y = ïï y = ỵ ỵ ïỵ Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm ( x;y ) ( 0;0) ( 1;0) Ví dụ 9: Giải hệ phương trình ìï 5( x2 + y2 ) = 6xy + ìï 5( x2 + y2 ) = y - 2x ï ï a) í b) í ïï 2x + 3x = 2y2 + y + ïï 3( x2 + y2 ) + 2x = y + 8xy ỵ ỵ Lời giải 2 ìï ( x + y ) + éë2( x - y ) ùû = ï a) Hệ phương trình tương đương với í ïï ( x + y ) + 2( x - y ) + ( x + y ) 2( x - y ) = ïỵ ìï a + b - 2ab = ïìï a = x + y ïìï a2 + b2 = ) ï( Û í Đặt í , hệ phương trình trở thành í (*) ïï b = 2( x - y ) ïï a + b + ab = ïï a + b + ab = ỵ ỵ ïỵ ìï S - 2P = ìï a + b = S , S ³ 4P hệ phương trình (*) trở thành ïí Đặt ïí ïï ab = P ïï S + P = ỵ ỵ ìï é S = ïï ê ïìï S - 2( - S ) = ïìï S + 2S - = ï S =- Û í Û í Û í ê ë ïï ïï ïï ê P = 3- S P = 3- S ỵ ỵ ïïỵ P = - S ïì S = ïì S = - Û ïí (thỏa mãn) ïí (loại) ïï P = ïï P = î î ïì S = ïì a + b = Với ïí ta có ïí suy a,b nghiệm phương trình X - 2X + = Û X = ïï P = ïï ab = ỵ ỵ Do hệ phương trình (*) có nghiệm ( a;b) = ( 1;1) ìï ïï x = ïìï = x + y Û íï Suy í ïï = 2( x - y ) ïï ỵ ïï y = ợ ổ3 1ử ; ữ ữ Vy hệ phương trình ban đầu có nghiệm ( x;y ) = ỗ ỗ ữ ỗ ố4 4ứ ỡù (3x + y)2 + (x - 3y)2 + (3x + y) + (x - 3y) = b) Hệ phương trình tương đương với ïí ïï 2(3x + y)(x - 3y) + (3x + y) + (x - 3y) = î ìï a2 + b2 + a + b = ìï 3x + y = a ï Đặt í , hệ phương trình trở thành ïí ïï x - 3y = b ïï 2ab + ( a + b) = ỵ ỵ 134 http://dethithpt.com – Website chun tài liệu đề thi file word ïìï a = b a =b ïïì ïíï éa = Û í ïï 2a + 2a = 0ïï ê ỵ a =1 ïïỵ ê ê ë ìï 3x + y = ìï x = Û ïí Với a = b = ta có ïí ïï x - 3y = ïï y = ỵ ỵ ìï ìï ïï 3x + y = ïï x = ï Û ïí Với a = b = ta có í ïï x - 3y = ïï ïï ïï y = ỵ ỵ ỉ2 ;Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) ( 0;0) ç ç ç è5 Bài tập luyện tập Bài 3.62: Giải hệ phương trình sau ìï a + b - 2ab = ) ï( Û í Û ïï 2ab + ( a + b) = ïỵ ìï ï a) í ïï ïỵ x +y = x +y x- y = x - y - 12 éa = b = ê êa = b = ê ë 1ư ÷ ÷ ÷ 5ø  13 8( x  y )  xy   ( x  y)2 b)  2 x  1  xy  Bài 3.63: Giải hệ phương trình ìï x y ïï ìï x2 + y2 + 2xy = ìï x2 + y2 + 2xy = + = +1 ï ï ï y x a) í b) í c) í xy ïï ïï x + y = ïï x + y = ïỵ ïỵ ïïỵ x xy + y xy = 78 Bài 3.64: Giải hệ phương trình: ìï x y + y x = 30 ìï 2(x + y) = 3( x2y + xy2 ) ìï x + y + x - y = ï ï ï a) í b) í c) í ïï x + y = 128 ïï x x + y y = 35 ïï x + y = ỵ ïỵ ïỵ ìï x + + y - = a ï a Bài 3.65: Xác định giá trị cho hệ sau có nghiệm nhất: í ïï x + y = 2a + ỵ Bài 3.66: Giải hệ phương trình ìï ïï x y + xy2 + x2 + y + xy = - ìï x2 - xy + y2 = 3( x - y ) ï ï a) í b) í 2 ïï x + xy + y = 7( x - y ) ïï 2 ïỵ ïï x + 2x y + y + xy = ỵ Bài 3.67: Giải hệ phương trình sau ìï xy + x + = 7y ìï y(1 + 2x3y) = 3x6 ìï x2 - 2xy + x + y = ï ï a) í 2 b) í c) ïí ïï x y + xy + = 13y2 ïï + 4x6y2 = 5x6 ïï x - 4x2y + 3x2 + y2 = ỵ ỵ ỵ Bài 3.68: Giải hệ phương trình : ìï x3 + 3xy2 = 6xy - 3x - 49 ìï x3 - y3 = 35 ï a) í b) ïí ïï x - 8xy + y2 = 10y - 25x - ïï 2x + 3y2 = 4x - 9y ỵ ỵ 135 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word