Chuong 03a

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CHỦ ĐỀ 1: KỸ THUẬT SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VỚI BÀI TỐN CỰC TRỊ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Giả sử K khoảng, nửa khoảng, đoạn Hàm số xác định D gọi là: + Đồng biến K với x1, x2 Ỵ K , x1 < x2 Þ f (x1) < f (x2 ) + Nghịch biến K với x1, x2 Ỵ K , x1 < x2 Þ f (x1) > f (x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm K + Nếu hàm số y = f (x) đồng biến K f '(x) ³ với x thuộc K + Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến K f '(x) £ với x thuộc K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Định lý Giả sử K khoảng, nửa khoảng, đoạn Hàm số y = f (x) liên tục K có đạo hàm điểm K(tức điểm thuộc K đầu mút K) Khi + Nếu f '(x) > 0, " x Ỵ K hàm số y = f (x) đồng biến K + Nếu f '(x) < 0, " x Ỵ K hàm số y = f (x) nghịch biến K + Nếu f '(x) = 0, " x Ỵ K hàm số y = f (x) không đổi K Chú ý Nếu hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm f '(x) > 0( f '(x) < 0) với x thuộc khoảng (a;b) hàm số y = f (x) đồng biến(nghịch biến) đoạn [a;b] Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định K + Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f (x) K ïìï f (x) £ M , " x Ỵ K ùùợ $x0 ẻ K | f (x0 ) = M + Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f (x) K ïìï f (x) ³ m, " x ẻ K ùùợ $x0 ẻ K | f (x0 ) = m B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 1) Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (x) D ta tính y’ tìm điểm tới hạn(các điểm mà y’ triệt tiêu không tồn tại) lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy max, Chú ý Nếu hàm số y = f (x) tăng giảm đoạn [a;b] ymax = max { f (a); f (b)} ; ymin = { f (a); f (b)} + Nếu hàm số y = f (x) liên tục đoạn [ a;b] tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn ta tìm max, đơn giản sau: Bước Tính đạo hàm y’, tìm điểm tới hạn hàm số giả sử x1, x2, , xn http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bước Tính giá trị f (x1 ), f (x2 ), , f (xn ) Bước Kết luận ymax = max { f (x1), f (x2 ), , f (xn )} ; ymin = { f (x1), f (x2 ), , f (xn )} Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x6 + 4( 1- x2 ) đoạn [- 1;1] Lời giải Xét hàm số y = x + 4( 1- x ) liên tục đoạn [- 1;1] Ta có ( y' = 6x5 - 24x( 1- x2 ) ; y' = Û 6x x4 - 4( 1- x2 ) ) =0 éx = é ê x=0 ê éx = ê ê2 ê Û ê4 Û êx = 2( 1- x ) Û ê x=± ê 2 ê x = 4( 1- x ) ê ê ê2 ë ê êx = - 2( 1- x2 ) ê ë ëx = ± ỉ 2ư ÷= ; y(1) = ỗ ữ Suy y(0) = 4; yỗ ữ ỗ ữ ỗ 3ứ ố ổ 2ữ ỗ ữ= ; y = y(0) = Vỡ vy ymin = yỗ ữ max ỗ ỗ ố 3ữ ứ Vớ d Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = 1+ x2015 + 1+( 1- x) 2015 với x Ỵ [ 0;1] Lời giải Ta có y' = 2015x2014 1+ x2015 - 2015( 1- x) 2014 1+( 1- x) 2015 ; Suy 2015 y' = Û x2014 1+( 1- x) Xét hàm số f (t) = 2015 = ( 1- x) 2014 1+ x2015 Û 1+( 1- x) 1+ x2015 = 2014 2014 x ( 1- x) (1) 2013t2015 + 4028 1+ t2015 f '(t) = ta có n n n 1+ n + n 1- n < n n Lời giải x = n Ỵ ( 0;1, ) " nỴ N * BĐT cần chứng minh trở thành n n1+ x +n1- x < 2, " x Ỵ ( 0;1) Xét hàm số f (x) = n1+ x + n1- x liên tục x Ỵ [ 0;1) có n Đặt http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ổ ỗ ỗ f '(x) = 1ỗỗỗ nỗỗn ỗ ố 1 n (1- x)nn (1+ x) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷< 0, ÷ 1ø÷ ÷ " x Î ( 0;1) Vậy f(x) nghịch biến [0; 1) nên f(x) < f(0) = 2, " x Ỵ ( 0;1) (đpcm) Ví dụ Cho hàm số f xác định tập số thực, lấy giá trị R thỏa mãn điều kiện f ( cot x) = sin2x + cos2x, " x Ỵ ( 0;p) 2 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g( x) = f ( sin x) f ( cos x) R Lời giải Ta có f ( cot x) = sin2x + cos2x, " x Ỵ ( 0;p) Û f ( cot x) = 2cot x cot2 x - cot2 x + 2cot x - + = , " x Ỵ ( 0; p) cot x +1 cot2 x +1 cot2 x +1 Từ với ý với t Ỵ R tồn x Ỵ ( 0;p) cho cot x = t ta f ( t) = t + 2t - , "t Ỵ R t2 +1 Suy g( x) = f ( sin2 x) f ( cos2 x) = sin4 2x + 32sin2 2x - 32 , " x Ỵ R (1) sin4 2x - 8sin2 2x + 32 Đặt u = sin2 2x ta có u thuộc đoạn é 1ù ê0; ú ê ë 4ú û Vì từ (1) ta g(x) = h(u) é ù ê0; ú ê 4û ú ë xỴ R h( u) = Ta có h¢( u) = max g(x) = max h(u) xỴ R é 1ù ê0; ú ê 4û ú ë u2 + 8u- u2 - 2u + 2( - 5u2 + 4u + 6) ( u2 - 2u + 2) é 1ù Dễ dàng chứng minh c hÂ( u) > 0, " u ẻ ờ0; ú ê 4û ú ë é 1ù Do hàm h(u) đồng biến ê0; ú ê ë 4ú û é 1ù ỉ1ư ÷ = ÷ Vì ê0; úta có h( u) = h( 0) = - v max h( u) = hỗ ỗ ữ ỗ ỳ ố ứ 25 4ỷ Vậy g( x) = - 1, đạt chẳng hạn x = max g( x) = hạn x = , đạt chẳng 25 p 3) Kỹ thuật sử khảo sát trực tiếp Trong số tốn phải đạo hàm nhiều lần liên tiếp chí phải khảo sát thêm hàm số phụ Ta thường sử dụng  f(x) đồng biến [a; b] f(x) > f(a) với x > a  f(x) nghịch biến [a; b] f(x) > f(b) với x < b http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Chú ý Lập bảng biến thiên cần thiết sử dụng tính chất điểm cực đại, cực tiểu x- x < sinx < x Ví dụ Chứng minh với x > ta có Lời giải f (x) =- x + x + sinx Xét hàm số nửa khoảng [ 0;+¥ ) Ta có x2 - 1+ cos x f ¢¢(x) = x - sinx f ¢¢¢(x) = 1- cos x f ¢(x) = Ta có f ¢¢¢(x) = 1- cos x ³ 0, " x ẻ [ 0;+Ơ ) ị f ÂÂ(x) f ÂÂ(0) = , nên f’(x) đồng biến [ 0;+¥ ) Suy f ¢(x) ³ ff¢(0) = Þ x( ) đồng biến [ 0;+¥ ) Do f (x) ³ f (0) = 0, " x ³ f (x) > f (0) = 0, " x > Tức x3 x + sin x > Û x- x < sin x với x > Lưu ý f ¢¢(x) > f ¢¢(0) = với x > ta có sinx < x (1) (2) Từ (1) (2) ta có đpcm Ví dụ Chứng minh với x dương n số nguyên dương ta có ex > 1+ x + x2 x3 xn + + 2! 3! n! Lời giải æ x x3 xn x ÷ ÷ + x + + + ỗ Xột hm s fn (x) = e - ỗ ữtrờn khong ( 0;+Ơ ) ta cú ç ÷ 2! 3! n!ø è ỉ x2 x3 xn- ữ ữ ỗ f 'n (x) = ex - ỗ + x + + + + ữ ỗ ữ ỗ 2! 3! ( n- 1) !ø è (n) x (n- 1) (n- 1) Từ suy f n (x) = e - 1> 0, " x > Þ f n (x) > f n (0) = Sử dụng liên tiếp ta có f 'n (x) > ff'n (0) = Þ xn ( ) f> n (0) = (đpcm) Chú ý Số thực dương a để bất đẳng thức sau với số thực x e ax ³ 1+ x + x2 xn + + , " x ẻ Ă ;n ẻ Ơ * n! Thật vậy, Bất đẳng thức cho tương đương với: ỉ x2 xn ÷ x ln a ³ lnỗ ỗ1+ x + + + ữ ữ ữ ç n! ø è nư ỉ ïìï ç1+ x + x + + x ữ ữ lnỗ ùù ữ ữ ỗ n!ứ ố ùù ,x>0 ùù ln a ³ x ï Û í ïï ỉ x2 xn ùù ữ lnỗ ỗ1+ x + + + ữ ữ ữ ỗ ùù n!ứ ố ln a £ ,x , nên f(x) đồng biến ( 0;+¥ ) Suy f(x) > f(0) (đpcm) Ví dụ Cho a, bỴ [ 0;1] Chứng minh x b a + + +( 1- x) ( 1- a) ( 1- b) £ 1, " x Î [ 0;1] a + b+1 x + a +1 x + b+1 Lời giải Xét hàm số f ( x) = x b a + + +( 1- x) ( 1- a) ( 1- b) liên tục a + b+1 x + a+1 x + b+1 đoạn [0;1] ta có b a - ( 1- a) ( 1- b) a + b+1 ( x + a +1) ( x + b+1) f ¢( x) = f ¢¢( x) = 2b ( x + a +1) + 2a ( x + b+1) ³ 0, " Ỵ [ 0;1] Nên hàm số f’(x) đồng biến [0; 1], suy phương trình f’(x) = có nhiều nghiệm (0; 1)  Nếu phương trình f’(x) = vơ nghiệm f(x) đơn điệu [0; 1], f ( x) £ max f ( x) = max{ ff( 0) ; ( 1) } [ 0;1] Ta có f ( 0) = f ( 1) = b a a2b2 + a + b+1 ab+ a +b+1 + +( 1- a) ( 1- b) = £ =1; a +1 b+1 ( a+1) ( b+1) ( a+1) ( b+1) a b a b + + £ + + = a + b+1 b+ a + a+ b+1 b+ a+1 a+ b+1 ax f ( x) = max{ ff( 0) ; ( 1) } £ Suy f ( x) £ m [ 0;1]  Nếu phương trình f’(x) = có nghiệm x = x0 Khi f’(x) đồng biến [0; 1], nên f ¢( x) < 0, " x Î [ 0; x0 ] f ¢( x) > 0, " x Ỵ [ x0 ;1] Do x0 điểm cực tiểu hàm số, mà f(x) liên tục [0; 1] nên f ( x) £ max f ( x) = max{ ff( 0) ; ( 1) } £ [ 0;1] Từ hai trường hợp ta có điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word11 Ví dụ Cho tam giác ABC có A > B > C Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x - sin A x - sin B + x - sinC x - sinC Lời giải Điều kiện xác định: D = ( - ¥ ;sinC ] U[ sin A;+¥ ) x - sin A x - sin B liên tục D ta có + x - sinC x - sinC Xét hàm số f (x) = f '(x) = x - sinC sin A - sinC x - sinC sin B - sinC + > 0, " xD x - sin A ( x - sinC ) 2 x - sin B ( x - sinC ) Do f(x) đồng biến D có lim f (x) = 2; f (sin A) = xđ- Ơ Vậy giá trị nhỏ P sin A - sin B hàm số f : ( 0, +Ơ ) đ ( 0, +Ơ ) xỏc nh bi 1/ x x x xử ổ ỗa1 + a2 + + an ữ ữ f (x) =ỗ ữ ỗ ữ ỗ n ố ứ Chng minh f hàm tăng tính giới hạn f (x) x đ +Ơ Li gii t Xột hm s g: ( 0, +Ơ ) đ ( 0, +¥ ) xác định g(x) = x hàm lồi Xét t = y > tức x < y ta có x y x ỉ æ a1x + a2x + + anx ö a1x + a2x + + anx ÷ ÷ ữ ữ gỗ =ỗ Ê ( g( a1x ) + g( a2x ) + + g( anx ) ) ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç n n n è ø è ø = y ( a1 + a2y + + any ) n Bất đẳng thức tương đương với http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word13 1/ x 1/ y æ æ a1x + a2x + + anx ö a1y + a2y + + any ö ữ ữ ỗ ỗ ữ Êỗ ữ ị f (x) Ê f ( y) ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ n n ố ứ ố ứ Vy f hàm tăng Ta có điều phải chứng minh ỉ pư 0; ÷ ÷ Ví dụ 10 (IMC 2006) So sánh sin( tan x) tan( sin x) với x ẻ ỗ ỗ ữ ỗ ố 2ứ Li gii ỉ pư 0; ÷ ÷ Xét hàm số f (x) = tan( sin x) - sin( tan x) trờn ỗ ç ÷ ç è 2ø Ta có f '(x) = cos( tan x) cos3x - cos( tan x) cos2 ( sin x) cos x = cos2 ( sin x) cos2 x cos2 x cos2 ( sin x) Nếu < x < arctan p Þ cos( tan x) > sử dụng bất đẳng thức cô si ta ộ ổtan x + 2sin xửự3 ữ ờcosỗ ữỳ < cos x , ỗ ữ ỗ ỳ è ø ë û ỉ pư 0; ÷ ÷ cosx hàm lõm tan x + 2sin x > 3x, " x ẻ ỗ ỗ ữ ỗ è 2ø écos(tan x) + 2cos(sin x) ù ú£ cos( tan x) cos2 ( sin x) £ ê ê ú ë û ỉ pư ÷ 0;arctan ÷ Do f '(x) > hay f (x) hàm tng trờn ỗ ỗ ữ ỗ ố 2ứ Vỡ vy f (x) > f (0) = Þ tan( sin x) > sin( tan x) p ỉ æ æ æ p öö p/ p p öö ữ ữ ữ= tan ữ tanỗ sinỗ arctan ữ > tan > 1> sinỗ tanỗ arctan ữ ữ ữ ỗ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ è ø è ø 1+ p / Nếu x = arctan ỉ p pư arc tan ; ÷ ữ Nu x ẻ ỗ ỗ ữị tan( sin x) > 1> sin x( tan x) ỗ ố 2ø ỉ pư 0; ÷ ÷ Vậy với x ẻ ỗ ỗ ữthỡ tan( sin x) > sin( tan x) ỗ ố 2ứ 4) Vn dng kt hp bất đẳng thức khác AM – GM ; C –S Trước khảo sát tính đơn điệu hàm số ta sử dụng đánh giá thông qua bất đẳng thức AM – GM ; C – S đưa chứng minh bất đẳng thức thuận lợi cho việc khảo sát hàm số Ví dụ Chứng minh £ x < p ta có 2sinx + 2tanx ³ 2x+1 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM –GM ta có 2sinx + 2tanx ³ 2sinx.2tanx Ta chứng minh 2sinx.2tanx ³ 2x+1 Û 2sinx+tanx ³ 22x Û sinx + tanx ³ 2x é pù Xét hàm số f (x) = sinx + tanx - 2x liên tục ê0; ú, có ê ë 2ú û é pù 1 f ¢(x) = cosx + - > cos2 x + - ³ 0, " x Ỵ ê0; ú ê cos x cos x ë 2ú û é pù (vì với x Ỵ ê0; ú cos x > cos2 x theo BĐT AM-GM ta có cos x + ³ ) ê ú c os x ë û http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word14