1 batphuongtrinh i (nhom3)

 Nhóm bất phương trình có mẫu số Đối với bất phương trình chứa mẫu số, hướng xử lý thường gặp là xét mẫu số và khử mẫu Nghĩa là mẫu dương bỏ mẫu làm cho bất phương trình khơng đổi dấu, cịn mẫu âm bất phương trình đổi dấu Cịn thật chưa biết dấu khơng thể bỏ mà cần phải chia hai trường hợp âm, dương và bỏ mẫu đưa bất phương trình dạng tích – thương và xét dấu Do đó, bỏ mẫu ta cần lý luận chứng minh mẫu ln dương hay âm Công cụ để đánh giá điều này thường là đưa các hằng đẳng thức với: ( ax b)2  c  c , c  ( ax  b)2  c , a  (bx  c) a sử dụng phương pháp phản chứng bất đẳng thức cổ điển cực trị hàm số,… Để làm rõ ý tưởng này, ta xét các ví dụ sau: Bài Giải bất phương trình:  x2  3x   x2  x  () 1  Lời giải Điều kiện: x  3x  0  x  x  Ta có:  x  x  1  (2 x  1)2  1   0, x   ()   x  3x    x2  x  1, (do :  x2  x   0)   x2  x   x2  x   x2  x   x2  x   x  x  x   x     13  x  x   x   x  x  0    x  x  x     x2  x   4x2   13   ;    Kết luận: Giao với điều kiện, tập nghiệm cần tìm là x      Bài Giải bất phương trình: x( x  2) ( x  1)3  1  x( x  2) 0; x 0   x 0, suy ra:  Lời giải Điều kiện: ( x  1) 0   ( x  1)  x 0 ()  x( x  2)  ( x  1)3  () x ( x  1)3  x  x  x( x  2) ( x  1)  x( x  1)  x  x3  x2  x   2( x  1) x( x  1) 0, (do : x 0  x   0)  ( x  1)( x2  x  1)  2( x  1) x( x  1) 0  ( x  1)( x  x   x  x ) 0    x  x   x  x 0  ( x  x )  x  x  0  ( x  x  1) 0  2 x  x  0  x  x  0  x   1  1 x   2 Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm x  5  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài 10 Giải bất phương trình: x x 1 1 () 2( x  x  1) (Đại học Khối A – 2010) Ta có: 2( x  x  1)  x  ( x  1)2   1, suy ra:  Điều kiện: x 0 Khi đó: ()  x  x 1  2( x  x  1)  2( x  x  1) (1)  Lời giải Do x 0 không là nghiệm (1), nên chia hai vế cho x 0: 1  1  x  t     x    0, (2) Đặt t  x  x x x x  1  tt0  1 (2)  tt  2(tt2  2)  0  2  1     tt  2t  0 (  1) 0 (1)  x t 1   t  1, suy ra: t  0 x x   x 5 3  x  2 Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm x  3  a  x 0  2( x  x  1) 2 x  2(1  x) 2 a  2b2  Lời giải Đặt:  b   x  a  b 0 a  b 0 (1)  2a  2b a  b     a b 2 2 a  2b ( a  b) ( a  b) 0 Suy ra: x 1  x  x 5 3  x  2 Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm x   Lời giải Đặt t  x 0 (1)   tt  tt 1tt0  2 (tt 2tt  2tt  tt t 5  2tt4  2tt2   x    0    2   1)2 (   1) 0  5 3  x  2 Bài 11 Giải bất phương trình: x ( x   x2 ) x x 1  x   Lời giải Điều kiện: ()      0     0 Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm x  Ta có: x x    1 2 3 x  x x x   x ( x   x2 ) x x   x2  x3 3 () 1 x x x   x  0, x   0;1 x  x3  x  x 1  x(1  x )  x  x 1  x(1  x2 )  x(1  x2 )  x  x  x   x 0  ( x )2  x  x2  (  x2 ) 0  ( x   x )2 0  x   x2  x  x  0 5   x : thỏa mãn điều kiện 0 x 1 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  Kết luận: Bất phương trình cho có nghiệm x  Bài 12 Giải bất phương trình: x x 5  1 () 2( x  x  1)   Lời giải Điều kiện: x 0, suy ra: 2( x  x  1)     0, nên: ()  x  x  x  12 x    x   x  12 x   x   Trường hợp Nếu x 0, (1)  (1)   nên x 0 là nghiệm (1)  Trường hợp Nếu x  0, chia hai vế (1) cho x  0, ta được: 1  1  x  t    x    12   0, (2) Đặt: t  x  x x x x  4  t  4  t 0 t   (2)  2tt2  16       2t  16 0 tt   t   ( x )2  x    x  17   x  33  17      x    x   x  (1)  x  Kết luận: Hợp các trường hợp, tập nghiệm BPT là x   0; 33  37   1;   Lưu ý Ta giải (1) theo phương pháp lũy thừa Bài 13 Giải bất phương trình:  () x 2( x  x  1)  x  Lời giải Điều kiện: x 1  Trường hợp Nếu x   0;1 2( x  x  1)  x  x2  ( x  1)2   x  và x   nên () Suy ra: x   0;1 là tập nghiệm ()  2( x  x  1)  x  x2  ( x  1)2   x   Trường hợp Nếu x      x   ()  x   2( x  x  1)  x  x   2( x  1)  x  x 0 1  1  x  t  2  x     0, (1) Đặt t  x  x x x x   tt 0   (1)  tt 2tt2   0  2       tt  2t  0 (  1) 0  x  t 1   x x 1  ( x )2  x  0  x 1 3  x  2    Kết luận: Hợp trường hợp, tập nghiệm BPT là x   0;1      Nhận xét Ở lời giải trên, xác định lượng chưa xác định nên chia trường hợp 2( x  x  1)  x  0, x   và x  x   để giải http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word x2 Bài 14 Giải bất phương trình:  Lời giải Ta có:  2( x  x  1)  1 x ()  1 3 2( x  x  1)    x2        2   2( x  x  1)  x  Trường hợp Nếu x    x  Điều kiện: x 1 Khi đó: ()  x   (1)  ( x  2)( x  1)  2( x  x  1)   (1) 2( x  x  1) x  x   x  x  0  x2  x  0    2  x  2x  x  x  0 2( x  x  1) ( x  x  1)  x  x  0  x  x  0 1    x : thỏa mãn điều kiện  2 ( x  x  1) 0  x  x  0  Trường hợp Nếu x    x    x   (1)  ( x  2)( x  1)  2( x  x  1)     x    x           ( x  x  1)2 0      Kết luận: Hợp hai trường hợp, suy tập nghiệm là x    ;1      2( x  x  1)   0, cịn x  Nhận xét Ở lời giải trên, xác định lượng chưa xác định nên chia hai trường hợp x   và x   để giải Bài 15 Giải bất phương trình: (2 x  1) x x  (2  x )  x   x 1 ()  Lời giải Điều kiện: x 1 Ta có: x  (2  x )  x   x 2 x   x  x  x  (  x ) 2( x   x )   x ( x   x ) ( x   x )(2   x )  0, x   0;1 ()  (2 x  1)  x ( x   x ) (2   x )   ( x )2  (  x )2   x ( x   x ) (2   x )   ( x  x ) ( x   x )  x ( x   x ) (2   x ) ( x  x ) x 2   x , : x   x  0, x   0;1  x   x(1  x) 2   x  x    x (1  x) : x   0;1 Kết luận: Tập nghiệm cần tìm bất phương trình là x   0;1 Bài 16 Giải bất phương trình: x2  x   x  x3 6( x  5x  2) 2( x2  10) 0 ()  Lời giải Giả sử: x   2( x  10)  ( x  3)2  2( x  10)  x  x  11   ( x  3)2   0, x  , suy ra: x   2( x  10)  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  x  x  0   x 3 Do x   Điều kiện:  x 0  x  x  0  ()  x2  x   x   2( x  10)  nên: 6( x  5x  2) 0 x  x   x  6( x2  x  2) Do vế không âm nên lũy thừa:  x  x   49 x  14 x( x  x  6) 6( x  5x  2)  14 x( x  3)( x  2) 5 x  18 x  (i )  14 ( x  x)( x  2) 5( x  x)  3( x  2) (1) Do với x 3  x   nên chia hai vế (1) cho x   0, ta được: (1)  14   x2  3x x  3x x  3x x2  3x 5    5  14   0 x2 x2 x2 x2 x  3x  3 Do x2 x2  3x 0 nên ta xét x2 x2  3x 3 x2 x  3x 9  x  12 x  18 0   x 6  x2 Kết luận: Giao với điều kiện, tập nghiệm BPT là x   3;   Bình luận: Trong ví dụ trên, tơi dùng phương pháp phản chứng để chứng minh  mẫu số x   2( x  10)  0, cịn các ví dụ trước dùng phương pháp biến đổi đẳng thức đưa dạng ( ax b)2  c  c dạng c  ( ax  b)2  c để chứng minh mẫu số dương âm Ngoài ra, phép biến đổi (i) sang (1) và giải là quen thuộc giải phương trình đẳng cấp dạng:  f ( x)  .g( x)  f ( x).g( x) Tương tự, bất phương trình:  f ( x)  .g( x)   f ( x).g( x) ta giải sau: Xét g(x) = giải tìm nghiệm Với g(x) > 0, chia hai vế cho g(x), ta được: f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)               Đây là bất phương trình bậc hai g( x ) g( x ) g( x) g( x) với ẩn f ( x)  mà biết cách giải Thơng thường tích f(x).g(x) chưa g( x) phân tích sẵn và  ,  ta tìm bằng phương pháp đồng (xem lại phương pháp  giải phương trình đẳng cấp dạng  f ( x)  .g( x)  f ( x).g( x) Bài 17 Giải bất phương trình:  Lời giải Điều kiện: x  Xét hàm số f ( x) x  x  5x2   x  x  x2  và x   2x  x  1 ()  x  x  0  3  x  x  đoạn  0;  có:  2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word f ( x) 2 x   2x   3  0, x   0;   Do hàm số f ( x) đồng biến đoạn x  2  3  0;  , suy ra: f ( x) x     x  x   f (0) 2  ()  x4  5x   x  x  x    2x  x  2 (1)  g( x) x  x   x  0  3 Xét hàm số g( x) x  x2   x  xác định và liên tục  0;  có:  2 g( x) 4 x3  12 x   2x  3  0, x   0;    2x  2 4 x( x2  3)   3 Do hàm số g( x) nghịch biến đoạn  0;  và có g( x) g(1) 0  x 1  2 Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x   0;1 BÀI TẬP RÈN LUYỆN BT Giải bất phương trình: ( x  x) x  3x  0 ( x  ) ()  Lời giải  x  x  0  ()   2 x  3x       x  x 0   x   x 2   x    x      x   x 4   x 2    x   x 4   1 Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình là x    ;     2   4;    2  BT Giải bất phương trình:  Lời giải   x  x  0   x  x   ()      x  0   ( x  4)(2 x  5)  x  x2  x  x2  2x  x4  x   x 3  2x3        x      x   ( x  ) ()  x 3     x  Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình là x    2;  1   3  BT Giải bất phương trình: x  10 x  16  x  x  () ( x  )  Lời giải Điều kiện: x 1  x   x  0 x  10 x  16 x   x     x  x   2( x  3) x  0  x   x  0  x   x  0   2 ( x  x  9)  2( x  3) x   ( x  1) 0 ( x   x  1) 0 ()  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  x   x  0    x   x  0  x   x  0  x   x  0    x 3   x  x  10 0  x  x    x   x  0   x 5  x 5 Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm x 5 BT Giải bất phương trình: 3x    x 3x    x 3  Khi đó:  Lời giải Điều kiện:   x 0 ()  3 x  x () ( x  ) 3x    x  ( 3x    x )2 ( 3x   x   (3x  3)(3  x) 4     4x x  x )( 3x    x ) x  Nếu x    1;  bất phương trình  x   (3x  3)(3  x) 16   3x2  x  5  x  x  16 x  16 0  ( x  2) 0 :  Nếu x   0;  bất phương trình  x   (3 x  3)(3  x) 16   3x2  x  5  x  x2  16 x  16 0  ( x  2) 0  x 2 Kết luận: Tập nghiệm cần tìm bất phương trình là x    1;    2  BT Giải bất phương trình: x  24  x x  24  x  27(12  x  x  24 x ) 8(12  x  x  24 x ) ()  Lời giải Điều kiện: x 0 ()   x  24  x x  24  x x  24  x x  24  x  27 24  x  x(24  x)  x  24  x  x(24  x)  x  27 ( 24  x  x )2  8( 24  x  x )3  27( 24  x  ( 24  x  x )2  2( 24  x  x )  3( 24  x  x )3 x )  x  24  x  x  Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x   0;1 BT Giải bất phương trình: x 1  x  x x2 x () ( x  )  Lời giải Điều kiện: x 1 Do vế dương nên bình phương thì:    ()  x   x    x     x  x  x   x6   x   x2 x x2   2 x x x  x  0 2  x 0 x  2  x     3 2  x   x  (2  x )  x   x   x 1    x 3   3  x  4 x 5 5 x   x   4   Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x   ;      http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word BT Giải bất phương trình: x  3x   x  x   x2  x  ()  Lời giải Điều kiện: x  x  ()  ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  5)  ( x  1)(2 x  7)  Nếu x  (1) nên x  là nghiệm (1)  Nếu x   1, suy ra: x   0, x   0, x   0, x   (1)  (1) x   x   x   ( x  2)( x  5) 0  x   x    : vô nghiệm ( x  2)( x  5) 0  x   Nếu x  5, suy ra: x   0, x   0, x  0, x   (1)   x    x    2x   ( x  2)( x  5) 0  x   x     x  ( x  2)( x  5)    x  Kết luận: Bất phương trình có nghiệm là x  1, x  BT () Giải bất phương trình: x   x  x 2  x 0 ( x  )  Lời giải Điều kiện:  x  ()  x (3  x )  x  x   x  (  x )2  (1  x )     (  x )3  (1  x )   x  x 0  (  x )3  x 2  x  (  x  x) 0   x  (  x )2  x   (  x2  x) 0     x2 (  x2  x) (  x2  x)  (  x  x) 0  (  x  x)   x (  x  x)  1 0    (  x  x) (3  x  x  x ) 0    x  x 0, :  x  x  x  0, x    2;      x 0  x 0  x x     x 1 2  x   x 1 2  x x  Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x   1;   BT Giải bất phương trình: ( x  2)2 ( 3x    Lời giải Điều kiện: x   Suy ra: ()  x  () ( x  ) 3x   x   ( x  2)2 ( 3x   x  1) x   ( x  2)2 4  x 0   2 x  15 x  17 0 x  1)2 x2  x  4  x 1 x 2   x 1   x 1  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1  Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x   ;1  2  BT 10  Lời giải Điều kiện: x 1 Suy ra: () x  1) (1  x  x  3) 4 Giải bất phương trình: ( x   x   x   ()  (1  x  x  3) x3  x 4   x  x   x   x    x  x   x  x  x   x   ( x  3)( x  1)  x  0  x  x 2 Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x   2;    Giải bất phương trình: ( x   BT 11  x  0   Lời giải Điều kiện:   x  x  0 ()  (1  x  3x  4) 2 x  1)(1  x  3x  4) 5  x   Suy   x 1 () x2   x2   5   x  3x   x   x  x 4  x   x  3x2   x4  x2  2 x2   x  3x   x4  x2  0  x2 2  x  x  Kết luận: So điều kiện, tập cần tìm là x   ;     2;    BT 12 Giải bất phương trình: x   x   x  17  Lời giải Điều kiện: x  Khi đó: ()   x  16 x  17  x   x ()  x  17  ( x  ) 2x  x  17  x  4 x  ( x  17  x  1)2 16 x  (2 x  17)(2 x  1) 6 x  6 x  0 (2 x  17)(2 x  1) 0 17   x    x 4 x   2 x  x     Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x   0;   BT 13 Giải bất phương trình:  3x  x  x  3x  2 x  5x  2 x  x  0    Lời giải Điều kiện:  x 0  3 x  x  5x  0 ()   x  x2  5x  3x  x  5x   3x  2x2  5x    1  x 3x  1 x x () ( x  )  x    (i )  x    x 0; x 1 x  5x   x x  x2  5x  0  0 x x.(3x  x  x  2) (1) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  Nếu 3x  x  5x  0   x 0 x  5x   3x   7 x  5x  0 2 : thỏa điều kiện (i ) và thỏa (1) nên nhận x   7  Nếu 3x  x  x  0  x  , thì:  x  (3 x  x  5x  2)2 (1)  x.(3x  2 0  (3x  22x  x  2) 0 x.(7 x  x  2) x  5x  2) (3 x  x  5x  2)  x   2 Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình là x    ;      ;     0;1   7 Do (3 x  x  x  2)2  nên x.(7 x  x  2)   x   http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word