Bài giảng LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ (TS. Cung Thành Long)

 Vi phân có hướng của một hàm số tại một điểm theo một hướng bất kì thì bằng tích vô ướng giữa gradient của hàm số với véc tơ đơn vị trên hướng đó... Độ tản div của một trường véc tơ f

LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

Biên soạn: TS Cung Thành Long

Bộ môn Kỹ thuật Đo và Tin học công nghiệp Viện Điện

Trường đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài giảng

(2 đơn vị học trình)

Tài liệu tham khảo

1 – Cơ sở Lý thuyết Trường điện từ, Nguyễn Bình Thành, NXB Đại học và

trung học chuyên nghiệp

2 – Electromagnetic Fields and Waves, Magdy F Iskander, Prentice Hall

4 – Electromagnetic field theory for physicists and engineers:

Fundamentals and Applications, R Goméz Martin

5 – Electromagnetic Field Theory, Bo Thidé

3 – Electromagnetics, John D Kraus, McGraw-Hill Inc

Nội dung chính

1 – Mở đầu về Lý thuyết Trường điện từ

2 – Nhắc lại về Giải tích véc tơ

3 – Điện trường tĩnh

5 – Từ trường tĩnh

4 – Dòng điện một chiều

1 – Mở đầu

1.1 Giới thiệu

- Lý thuyết trường điện từ : môn học cơ sở chuyên ngành rất quan trọng

Trường là gì? Thế nào là trường vô hướng và trường vec tơ? Thế nào là trường liên tục và trường xoáy? Bản chất của trường là gì? Từ trường sinh ra bởi cuộn dây mang dòng điện như thế nào? …

- Nghiên cứu Lý thuyết trường điện từ : hiểu các hiện tượng xảy ra trong kỹ thuật điện

1.1 Giới thiệu

Bảng 1.1 Các đơn vị dẫn xuất của một số đại lượng điện từ trường

Ký hiệu Đại lượng Đơn vị Biểu diễn

Tần số góc radian/giây rad/s

Mật độ điện tích Cu-lông/mét khối C/m 3

Điện dẫn suất siemen/mét S/m

1.1 Giới thiệu

Bảng 1.2 Danh sách các đại lượng trường cơ bản

véc tơ từ thế véc tơ Wb/m mật độ từ thông véc tơ Wb/m 2 (T) mật độ thông lượng điện véc tơ C/m 2

cường độ điện trường véc tơ V/m

mật độ dòng điện véc tơ A/m 2 điện tích tự do vô hướng C véc tơ Poynting véc tơ W/m 2 vận tốc của điện tích tự do véc tơ m/s

A B D E F

I

J

q

S u

1.1 Giới thiệu

Bảng 1.3 Quan hệ giữa các đại lượng trường

Hằng số điện môi ( )

Hệ số từ thẩm ( ) Điện dẫn suất ( ), luật Ohm Phương trình lực Lorentz Luật Gauss (phương trình Maxwell)

Luật Gauss (phương trình Maxwell)

Phương trình liên tục

Luật Faraday (phương trình Maxwell)

Luật Ampere (phương trình Maxwell)

1.2 Khái niệm trường

- Định nghĩa các thể hiện của một đại lượng trong một miền cho trước bởi

một tập các giá trị mà mỗi giá trị tương ứng với một điểm của miền đã

1.3 Giải tích véc tơ

- Một công cụ sử dụng nghiên cứu điện từ trường

+ Đơn giản, dễ nhớ + Không phụ thuộc hệ trục tọa độ

 Thống nhất hóa, đơn giản hóa việc biểu diễn các phương trình trường

- Ví dụ:

 

Giải tích véc tơ Dạng vô hướng, trong hệ tọa độ Đề-các

1.4 Các công thức tích phân và vi phân

- Tại sao biểu diễn cùng một khái niệm nào đó dưới hai dạng vi phân và

 J s   Ý nghĩa: giá trị của dòng điện xuyên

qua khỏi bề mặt của một miền nào đó chính bằng tốc độ giảm điện tích trong miền đó theo thời gian

1.5 Trường tĩnh

- Điện trường tĩnh:

+ tất cả các điện tích cố định trong không gian + tất cả các mật độ điện tích là hằng số theo thời gian + điện tích là nguồn của điện trường

Luật Gauss hoặc

Bảo toàn véc tơ điện trường hoặc

R

Q R

dv R

0

V

1 2

+ Năng lượng dự trữ trong từ trường

1.5 Trường tĩnh

- Từ trường tĩnh:

Các phương trình từ trường tĩnh

Phương trình lực hoặc Luật Biot-Savart

Luật Ampe hoặc

Luật Gauss hoặc

Véc tơ từ thế hoặc

Từ thông hoặc

Năng lượng từ Phương trình Poisson

r

Idl d

1.6 Các trường biến thiên theo thời gian

- Định luật cảm ứng của Faraday: một trong 4 phương trình Maxwell

- Định luật Ampe sửa đổi: một trong 4 phương trình Maxwell

- Hai định luật Gauss (cho điện trường và từ trường biến thiên theo

thời gian): 2 trong 4 phương trình Maxwell

 Hệ 4 phương trình Maxwell

- Phương trình lực Lorentz

- Phương trình về tính liên tục của dòng điện

Giải thích tất cả các hiệu ứng điện từ trường

1.7 Ứng dụng của trường biến thiên theo thời gian

 Các quá trình phát, thu và lan truyền năng lượng

+ Ống dẫn sóng: điện trường ngang và từ trường ngang, băng tần hẹp

+ Các đường dây truyền tải: điện trường ngang, từ trường ngang và điện

từ trường ngang

+ An-ten: bức xạ sóng điện từ qua các nguồn biến thiên theo thời gian với kích thước hữu hạn

2.1 Các đại lượng vô hướng và véc tơ

+ Vô hướng: đại lượng vật lý có thể hoàn toàn biểu diễn bằng độ lớn của nó

+ Véc tơ: đại lượng vật lý có cả độ lớn và hướng

Các mũi tên song song cùng

độ dài và cùng hướng biểu diễn cùng một véc tơ

 Véc tơ không,

 Hai véc tơ bằng nhau,

 So sánh hai đại lượng véc tơ

k 

1

k 1

k 

- Tích vô hướng của hai véc tơ khác véc tơ không mà bằng không: hai véc tơ trực giao

a a  c 

os sin 0 sin os 0

x y

2.5 Tích phân đường, mặt, khối

lim

i

n

i i l

i c

2.5 Tích phân đường, mặt, khối

b) Theo đường từ (0,0,0) tới (1,0,0) rồi tới (1,1,0) và cuối cùng (1,1,1)

c) Theo đường thẳng nối từ P tới Q

13 14 8 3.833

c

2.5 Tích phân đường, mặt, khối

2.5.2 Tích phân mặt

Tính tích phân mặt của một trường vô hướng f hoặc một trường véc tơ : F

1 0

i

n

i i n

2.5 Tích phân đường, mặt, khối

2.5 Tích phân đường, mặt, khối

2.5.2 Tích phân mặt

Ví dụ 2

Tính tích phân qua mặt kín của khối lập phương như minh

họa trong hình bên, trong đó là véc tơ vị trí của một điểm bất kỳ

trên mặt khối lập phương?



s

s d

r 

2.5 Tích phân đường, mặt, khối

2.5.3 Tích phân khối

Tích phân khối vô hướng:

1 0

lim

i

n

i i n

Tổng số điện tích bên trong khối cầu

Vì vậy tổng điện tích trong khối cầu là:

16000 1, 6 10 2,56 10

2.6 Gradient của một hàm vô hướng

Gọi f(x,y,z) là hàm khả vi giá trị thực của x, y, z như minh họa

trong hình bên Vi phân của f từ P tới Q được xác định bằng:

dl  dxa dya dza

Vi phân chiều dài từ P tới Q:

2.6 Gradient của một hàm vô hướng

Tính chất của gradient của một hàm vô hướng tại một điểm:

 Vuông góc với bề mặt mà trên đó hàm số đã cho là hằng số

 Chỉ ra hướng mà theo đó hàm số thay đổi nhanh nhất từ điểm đã cho

 Độ lớn của nó thể hiện tốc độ thay đổi lớn nhất của hàm số đã cho trên một đơn vị khoảng cách

 Vi phân có hướng của một hàm số tại một điểm theo một hướng bất kì thì bằng tích vô ướng giữa gradient của hàm số với véc tơ đơn vị trên hướng đó

2.7 Độ tản (div) của một trường véc tơ

f   F gọi là độ tản của trường véc tơ F

 Nếu trường véc tơ đã cho là liên tục (chẳng hạn như dòng chảy của một chất lỏng

không nén được qua một ống dẫn, hay các đường sức từ của trường bao quanh một

 Định lý: với một trường véc tơ khả vi liên tục thì thông lượng thực hướng ra ngoài

một mặt kín sẽ bằng tích phân độ tản của trường véc tơ này trên miền không gian bao

2.7 Độ tản (div) của một trường véc tơ

2.7 Độ tản (div) của một trường véc tơ

2.7 Độ tản (div) của một trường véc tơ

s

D ds 

0

z  ds5    d d a z

5

3 /2 5

2.8 Lưu số (curl / rot) của một trường véc tơ

Tích phân trên một đường khép kín của một trường véc tơ được gọi là sự lưu

thông của và curl (hay rot) của là số đo của nó

F

F

F

Xét một bề mặt nhỏ bao bởi đường kín  thành phần lưu số song song với

véc tơ đơn vị vuông góc với bề mặt đã cho, trong giới hạn , là:

s a

.

1 lim

y x

2.8 Lưu số (curl / rot) của một trường véc tơ

2.8 Lưu số (curl / rot) của một trường véc tơ

Trong hệ tọa độ Đề-các:

+ Tính thành phần z của F

curl

Trong giới hạn và sử dụng khai

triển chuỗi Taylor và loại bỏ các thành phần bậc

y z x

F a

x

F z

F a

z

F y

a x a curl

2.8 Lưu số (curl / rot) của một trường véc tơ

Công thức dễ nhớ trong các hệ trục tọa độ:

+ Hệ tọa độ Đề-các:

z y

x

z y

x

F F

F

z y

x

a a

F

z

a a

rF F

r

a r

a r a

2.8 Lưu số (curl / rot) của một trường véc tơ

Ý nghĩa vật lý:

 Biểu diễn sự lưu thông qua một đơn vị diện tích của trường véc tơ đã cho

trên một diện tích nhỏ có hình dạng bất kì

 Có hướng vuông góc với các vi phân mặt phẳng của bề mặt đã cho

 Nếu lưu số của trường véc tơ khác không, ta nói rằng trường véc tơ có

tính chất xoay tròn hay xoáy (rotational)

 Nếu lưu số của một trường véc tơ bằng không, thì trường véc tơ được

gọi là không có tính chất xoay tròn (tính xoáy) hay trường có tính chất bảo

toàn (conservative)

l d

Tích phân của thành phân vuông góc của lưu

số của một trường véc tơ trên một bề mặt bằng tích phân đường của trường véc tơ đó lấy dọc theo đường bao bề mặt đã cho

2.11 Phân loại trường

2.11 Phân loại trường

+ Trường loại ba:

2.11 Phân loại trường

3.1 Giới thiệu

 Nghiên cứu về điện trường tĩnh gây bởi các điện tích đứng yên

 Các dạng phân bố điện tích có giá trị không đổi theo thời gian

 Định luật Coulomb về lực tĩnh điện giữa hai điện tích điểm đứng yên trong không gian

 Định nghĩa cường độ điện trường, điện thế, mật độ điện tích, …

 Một vài phương pháp (luật Gauss, phương trình Laplace, phương trình

Poisson, phương pháp soi ảnh) giải các bài toán điện trường tĩnh

 Khái niệm điện dung và qua đó xây dựng phương trình năng lượng

tích trữ bên trong một tụ điện

3.2 Định luật Coulomb (Cu-lông)

Charles Augustin de Coulomb, từ thực nghiệm, nhận định rằng lực điện giữa hai điện tích điểm:

 Tỉ lệ thuận với tich hai điện tích đó

 Tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng

 Hướng dọc theo đường nối giữa hai điện tích

 Đẩy nhau (hút nhau) nếu hai điện tích cùng (khác) dấu

3.2 Định luật Coulomb (Cu-lông)

Cho hai điện tích điểm q 1 = 0,49 µC đặt tại điểm (0,0,0); q 2 = 0,7 mC đặt tại điểm (2,3,6)

trong không gian Tính lực tác dụng lên điện tích q 2 ?

3.2 Định luật Coulomb (Cu-lông)

+ Đinh luật Coulomb thỏa mãn nguyên lý xếp chồng :

Cho ba điện tích điểm q 1 = q 2 = q 3 = 200 µC đặt tại các điểm (2,0,0), (0,2,0), (0,0,0) trong chân

không Tính lực tác dụng lên điện tích q đặt tại điểm (2,2,0)?

3.3 Cường độ điện trường

+ Định luật Coulomb chỉ ra rằng: một điện tích luôn tác động một lực lên điện tích khác ngay cả

khi chúng cách xa nhau (tác động từ xa)

 Khi các điện tích đứng yên: quan niệm tác động từ xa thỏa mãn mọi yêu cầu

 Khi một điện tích chuyển động lại gần một điện tích khác: lực tương tác phải thay đổi lập tức (theo luật Coulomb)  trái với thuyết tương đối

 Thực tế: năng lượng và mô men của hệ thống các điện tích sẽ mất cân bằng tạm

thời

 Phù hợp thuyết tương đối: với các đối tượng tương tác thì mô men và năng lượng

không được bảo toàn bởi chính các đối tượng này

• Phải tồn tại một thực thể khác, dưới dạng một sự biến động trong môi trường chứa các

vật thể tương tác, để giải thích cho sự tổn hao năng lượng và mô men của các đối tượng

• Thực thể đặc biệt ấy được gọi là trường

 tồn tại một điện trường hay một cường độ điện trường tại mọi điểm

trong không gian bao quanh điện tích

 Khi một điện tích khác được đặt trong điện trường: sẽ có một lực tác động

lên nó (tác động qua tiếp xúc)

3.3 Cường độ điện trường

+ Cường độ điện trường: lực trên một đơn vị điện tích

t

F E

+ Nếu là cường độ điện trường tại điểm P trong không gian thì lực tác động

lên một điện tích q đặt tại điểm đó là:

p

s p

R

q r

r

r r

3.3 Cường độ điện trường

+ Cường độ điện trường gây bởi n điện tích điểm

r r

r r q

q l

q s

3.3 Cường độ điện trường

 Cường độ điện trường gây bởi phân bố điện tích đường:

  '

3 ,

r

r r

r

r r

3.3 Cường độ điện trường

 Cường độ điện trường gây bởi phân bố điện tích khối:

  ,

3 ,

r

r r

3.3 Cường độ điện trường

Ví dụ

Giải

Điên tích phân bố đều dưới dạng một vòng tròn có bán kính b như mô tả trong hình vẽ phía

dưới Xác định cường độ điện trường tại một điểm bất kì trên trục của vòng tròn này?

- Phần tử vi phân chiều dài theo hướng phân bố điên tích trong tọa độ

3.3 Cường độ điện trường

3.3 Cường độ điện trường

4

b s

z a

z z

3.3 Cường độ điện trường







3.4 Điện thông và mật độ điện thông

+ Giả sử đặt một điện tích thử tại một điểm trong điên trường và cho phép nó dịch chuyển 

nó di chuyển dọc theo một đường nào đó dưới tác dụng của lực điện Đường này gọi là một

đường lực (đường sức) hay một đường thông lượng

+ Số lượng các đường sức gây bởi một điện tích bằng với độ lớn của điện tích theo đơn vị

Cu-lông Các đường (trường) này biểu diễn thông lượng điện hay điện thông

một khái niệm hữu ích cho việc biểu diễn, quan sát và mô tả các điện trường

+ Cường độ điện trường tại một điểm bất kì luôn có phương tiếp tuyến với đường điện thông

đi qua điểm đó

3.4 Điện thông và mật độ điện thông

+ Các tính chất của điện thông:

- Độc lập với môi trường

- Độ lớn phụ thuộc duy nhất vào điện tích tạo ra nó

- Nếu một điện tích điểm được bao bởi một hình cầu giả tưởng với bán kính R, thì điện

thông xuyên qua mặt cầu theo phương vuông góc và có giá trị như nhau tại mọi điểm

- Mật độ điện thông, tức thông lượng trên một đơn vị diện tích, tỉ lệ nghịch với R2

 Mật độ điện thông có thể định nghĩa theo cường độ điện trường D E

3.4 Điện thông và mật độ điện thông

Biết mật độ điện thông D10ar 5a 3a mC/m 2

Xác định điện thông xuyên qua bề mặt của miền xét xác định bởi z  0 2 2 2

3.4 Điện thông và mật độ điện thông

d



d 



 Định luật Gauss có thể được dùng để xác định tổng điện tích bị giới hạn trong một

mặt kín nếu biết cường độ điện trường hoặc mật độ điện thông tại mọi điểm trên mặt đó

3.4 Điện thông và mật độ điện thông

 D (dạng điểm hay dạng vi phân của định luật Gauss)

 Các đường điện thông phát ra từ bất kì điểm nào trong không gian mà tại đó

tồn tại một mật độ điện tích dương

 Mật độ điện thông là một số đo của các điện tích tự do có mặt trong một miền

xét

3.4 Điện thông và mật độ điện thông

3.4.2 Định luật Gauss

Ví dụ

Một điện tích phân bố đều trên măt cầu có bán kính a như minh họa trong hình vẽ dưới

Xác định cường độ điện trường tại mọi điểm trong không gian?

Giải

Chọn một mặt cầu Gauss bán kính r sao cho trên đó

cường độ điện trường là hằng số

+ Khi r < a : cường độ điện trường bằng không

+ Khi r > a : tổng điện tích bị giới hạn trong mặt cầu là

a Q

Dưới tác dụng của lực này, điện tích dịch chuyển một đoạn dl

 Công thực hiện bởi trường bằng E

e

dW  F dl  q dl E

+ Nếu một điện tích thử chuyển động ngược với hướng của véc tơ cường độ điện

trường dưới tác dụng của ngoại lực thì công thực hiện bởi ngoại lực bằng

.

ext

dW   F dl

+ Giả thiết rằng ngoại lực cân bằng với lực điện, Toàn bộ công do ngoại lực thực

hiện để dịch chuyển điện tích thử từ b tới a là:

.

a ab

b

W   q  E dl

 Trường ở điều kiện tĩnh thì không xoáy hay có tính bảo toàn E   E 0

+ Khi rot bằng không, có thể biểu diễn điện trường theo một trường vô hướng V như

a

b

V a

3.5 Điện thế

 Công để dịch chuyển một điện tích dương ngược hướng tác dụng của điện trường thì bằng độ tăng thế năng của điện tích

điện tích này tiến tới không

0

a ab

+Xét trường hợp điện tích điểm q đặt tại gốc tọa độ:

- Cường độ điện trường tại một điểm cách điện tích q một khoảng r

2 0

q r

a

q V

R





3.5 Điện thế

Điện thế tại một điểm bất kì do các dạng phân bố điện tích gây nên

 ' ' ' 0

14

v v

14

s s

1 4

cos4

p a

+ Khi đó, điện thế tại P có thể viết

2 0

cos4

- Với điện tích riêng lẻ: điện thế tại một điểm bất kì tỉ lên nghịch với

khoảng cách từ điểm xét tới điện tích

3.6 Lưỡng cực điện

+ Cường độ điện trường

5 0

3 4

r r





E

 tỉ lệ nghịch với lập phương khoảng cách từ điểm xét tới lưỡng cực

 các đường sức điện trường nằm trực tiếp trên trục z trong mặt phẳng chia đôi

lưỡng cực

/ 2,

   a   az.

3 0

4 r

  p

E

Các đường đẳng thế

Các đường E  Khái niệm lưỡng cực điện rất hữu ích khi giải

thích thể hiện của một vật liệu cách điện (điện môi) khi đặt nó trong điện trường