Luận văn dáng điệu ổn định của các hệ thu được bằng cách hạ chỉ số (tt)

1 MỞ ĐẦU Trong thực tiễn có nhiều vấn đề, nhiều tốn, chẳng hạn mơ tả động lực, mô tả hệ thống mạng điện, vấn đề lý thuyết điều khiển, đòi hỏi phải quan tâm giải hệ phương trình vi phân đại số dạng Ax0 + Bx = A, B ma trận với hệ số thực ma trận hàm liên tục cấp m detA = Bởi vậy, nghiên cứu phương trình vi phân đại số hướng nghiên cứư mở, quan tâm nghiên cứu nhiều năm gần Ngay từ cuối năm 70 đầu năm 80 kỉ XX có nhiều nhà tốn học giới nghiên cứu phương trình vi phân đại số Hiện nay, có nhiều nhóm nhà tốn học quan tâm nghiên cứu phương trình vi phân đại số, số nhà tốn học thuộc đại học Humbodt Berlin, nhóm nhà toán học Nga, Mỹ, Ba Lan số nước khác Ở nước ta, vào năm 90 kỉ XX có số nhà toán học thuộc đại học khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đại học sư phạm Hà Nội Viện Toán học quan tâm nghiên cứu phương trình vi phân đại số Một cách phân lớp phương trình vi phân đại số dựa vào số chúng phương trình vi phân thường (detA 6= 0) đặc trưng số Phương trình vi phân đại số đặc trưng số 1,2, Phương trình vi phân đại số “chuyển được” có số lớp phương trình vi phân đại số đơn giản nhất, phương trình cách sử dụng số phép chiếu ta phân rã chúng hệ phương trình vi phân thường phương trình đại số 2 Để nghiên cứu phương trình vi phân đại số có số cao, ta dùng phương pháp hạ số để quy phương trình vi phân đại số có số thấp hơn, hướng nghiên cứu phương trình vi phân đại số chủ yếu nghiên cứu phương trình vi phân đại số có số 2, dạng A(t)x0 + B(t)x0, t ∈ [t0 , +∞) (1.1) với ma trận hệ số A(t) suy biến với t ∈ [t0 , +∞) Trong thời gian qua có nhiều kết thu phương trình vi phân đại số, chẳng hạn kết tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ phương trình vi phân đại số có số thấp (có số 1, 2), tính ổn định hệ có nhiễu nhỏ, Điều đáng ý hệ phương trình vi phân đại số quy có số với điều kiện định hệ tính ổn định tiệm cận hay ổn định tiệm cận mũ nghiệm hệ lại hoàn toàn tương ứng với tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận mũ hệ phương trình vi phân thường tương ứng hệ Đã có nhiều nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận mũ nghiệm phương trình vi phân đại số có số Tuy nhiên luận văn này, muốn tập trung nghiên cứu sâu thêm tính ổn định hệ thu cách hạ số, chọn đề tài “Dáng điệu ổn định hệ thu cách hạ số” Nội dung nghiên cứu luận văn này, chủ yếu sâu nghiên cứu hệ phương trình thu cách hạ số dáng điệu ổn định hệ thu cách hạ số Luận văn cấu trúc sau: - Mở đầu - Chương I: Phương trình vi phân đại số - Chương II: Dáng điệu ổn định hệ thu cách hạ số - Kết luận - Tài liệu tham khảo 4 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Chỉ số ma trận 1.2 Phương trình vi phân đại số tuyến tính Xét phương trình vi phân tuyến tính A (t) x0 + B(t)x = f (t), t ∈ [t0 , ∞) (1.1) với ma trận hệ số A, B ∈ C (R+ , L (Rm )) ; f (t) ∈ C(R+ , L(Rm )) Mars đưa khái niệm số mềm dựa việc xây dựng dãy xích ma trận sau P0 (t) := P(t), Q0 := Q(t) A0 (t) := A(t), B0 := B(t) − A(t)P0 (t) A1 (t) := A0 (t) + B0 (t) Q (t) , B1 := B0 (t) P (t) A2 (t) := A1 (t) + B1 (t) Q1 (t) Ai (t) := Ai−1 (t) + Bi−1 (t)Qi−1 (t), Bi (t) := Bi−1 (t)Pi−1 (t) − Ai (t)(PP1 , , Pi−1 )0 (t)(PP1 , , Pi−1 )(t), (i = 1, 2, ) Qi (t) phép chiếu lên ker Ai (t); Pi (t) = I − Qi (t) đẳng thức Q j (t)Qi (t) = với t ∈ R+ , j > i Định nghĩa 1.2.7 Phương trình (1.1) gọi Chuyển có số R+ N(t) trơn ma trận G (t) = A (t) + B (t) Q (t) , (A1 = A + B0 Q) có nghịch đảo đoạn [0, T ] ⊆ R+ , Q (t) ∈ C1 (R+ , L (Rm )) phép chiếu lên N(t) 5 Chuyển số A1 (t) suy biến A2 (t) không suy biến với ∀t ∈ [0; 1] Nhận xét - Định nghĩa độc lập với lựa chọn ánh xạ chiếu Q, Q1 phương trình (1.1) chuyển số 2, Q1 chọn cho Q1 Q = - Tính khả nghịch ma trận G(t)(A1 ) không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu Q = I − P Trường hợp ma trận G(t)(A1 ) khả nghịch R+ , tính liên tục G(t), A(t), B(t), ma trận G−1 (t) (A−1 ) liên tục R+ nên G−1 (t) (A−1 ) bị chặn đoạn [0, T ] ⊆ R+ Tính bị chặn ma trận G−1 (t) (A−1 ) R+ không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu giới nội Q(t) 1.3 Tính ổn định phương trình vi phân đại số Xét phương trình tuyến tính A (t) x0 + B(t)x = 0, t ∈ [t0 , ∞) (1.2) với hệ số A(t), B(t) ma trận hàm liên tục Định nghĩa 1.3.1 Giả sử x ∈ CN1 nghiệm toán giá trị đầu f (x0 (t), x(t),t) = 0, x(0) − x0 ∈ N(0), [0; +∞) U không gian Rm Khi có nghiệm x gọi ổn định U (theo Lyapunov) có số τ > với ε > tồn δ = δ (ε) > cho Mỗi toán giá trị đầu f (x0 (t), x(t),t) = 0, x(0) − x0 ∈ N(0), với z − x0 τ z ∈ U, có nghiệm xác định [0, ∞) 0 z − x δ z ∈ U kéo theo x(t, 0, x ) − x(t, 0, z) ε, với ∀t > Nghiệm x gọi ổn định tiệm cận Lyapunov U x ổn định U có số σ ∈ (0, τ) cho
lim x t, 0, x0 − x (t, 0, z) = t→∞ với z ∈ U mà z − x0 σ 1.4 Nghịch đảo suy rộng Định nghĩa 1.4.1 Giả sử k = ind(A) AD xác định sau AD y = x với y ∈ im(Ak ) mà y = Ax AD y = với y ∈ ker(Ak ) Khi AD gọi nghịch đảo Drazin A Sau số tính chất nghịch đảo Drazin Định lý 1.4.2 Giả sử k = ind(A) PA phép chiếu lên im(Ak ) dọc theo ker(Ak ) Khi PA = AD A = AAD Hơn AD AAD = AD Al+1 AD = Al với l > k Hệ 1.4.3 Với ind(A) = ta có AD = A−1 với ind(A) = AAD A = A, nghĩa AD nghịch đảo mở rộng A−1 A Định lý 1.4.4 Nếu ind(A) = k, rank(Ak ) = r, im(Ak ) = span(s1 , s2 , , sr ), ker(Ak ) = span(sr+1 , , sm ) S ma trận (s1 , , sm ), A = S.diag(M, N)S−1 N l 6= với l < k Với nghịch đảo Drazin ta có AD = S.diag(M −1 , 0)S−1 Cùng với nghịch đảo Drazin AD ta bổ sung thêm khái niệm nghịch đảo Moore-Penrose A+ A, dựa khai triển Rm = ker A ⊕ [ker A]⊥ = imA ⊕ [imA]⊥ = ker(A) ⊕ im(AT ) = im(A) ⊕ ker(AT ) ý [ker(A)]⊥ = im(AT ), [im(A)]⊥ = ker(AT ) Định nghĩa 1.4.5 Ma trận A+ ∈ L(Rm ) xác định A+ y = x ∈ im(AT ) với y ∈ im(A) mà Ax = y A+ y = với y ∈ ker(AT ) gọi nghịch đảo Moore-Penrose A Định lý 1.4.6 AA+ phép chiếu vng góc lên im(A) dọc theo ker(AT ) A+ A phép chiếu vng góc lên im(AT ) dọc theo ker(A) Định lý 1.4.7 Nếu m × n - ma trận G = (g1 , , gr ) H = (h1 , , hr ) thành lập từ vécto độc lập tuyến tính gi ∈ Rm hi ∈ Rm , chúng biểu diễn span[ker(A)]⊥ im(A) tương ứng, A+ A = G(GT G)−1 GT AA+ = H(H T H)−1 H T Với ma trận vuông A cấp n, ta khai triển   Dr×r  , A = LDU, D = 0 (1.4) L,U ma trận vng cấp m khả nghịch, ta chéo hóa ma trận sau  D = L−1 AU −1 =  Dr×r 0   Bây ta định nghĩa ma trận D− tạo thành bởi nghịch đảo thành phần khác D dạng chéo hóa:  D− =  Dr×r 0   Nếu DD− = Ir×r ta nói D− nghịch đảo D, nhiên      −  Dr×r   D r×r   Ir×r  − DD =   =  0 0 0 Thêm vào đó, ta ý  DD− D =  I      Dr×r   Dr×r   =  = D 0 0 Như D− nghịch đảo suy rộng D Chú ý D− nghịch đảo suy rộng, nghịch đảo suy rộng, vế phải (1.4) không 9 CHƯƠNG DÁNG ĐIỆU ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ THU ĐƯỢC BẰNG CÁCH HẠ CHỈ SỐ Phương trình vi phân đại số có số thấp biết ta dễ dàng tính tốn Đó lí xuất phương pháp giảm số, để đưa phương trình có số (và số 2) Các phương pháp giảm số biết đến với việc xuất ràng buộc vi phân, cách thay đạo hàm cho kết thu đượcc phương trình vi phân đại số có số Tuy nhiên, phương trình “khơng ổn định” đem lại kết Bởi vậy, ý tưởng Baumgarte sử dụng “ổn định hóa” thay cho ràng buộc “không ổn định” Theo thứ tự , để giảm số từ xuống 2, [5] Gear cộng giới thiệu bội số Lagrange cho phương trình chuyển động học Cách tiếp cận thường gọi “sự ổn định hóa” giống ổn định hóa Baumgarte (xem [2]) Tuy nhiên chưa thể rõ ràng tính ổn định tiệm cận bị tác động thay đổi phương pháp giảm số mũ Rõ ràng câu hỏi kịp thời, kể lĩnh vực kỹ thuật học Mục đích nghiên cứu đưa lời giải cho toán Chương bố cục thành phần sau Mục giới thiệu bội số bổ sung để trì dáng điệu ổn định Trong mục 2, nói dáng điệu ổn định cách tiếp cận Baumgarte 10 2.1 Về nghiệm dừng ổn định phương trình vi phân đại số autonomous Xét phương trình vi phân đại số Ax0 (t) + g(x(t)) = (2.3) đó, ma trận hệ số đầu A ∈ L(Rm ) suy biến g : D ⊆ Rm → Rm C2 -hàm Sau số kết có liên quan đến phép chiếu tính ổn định tốn có số Định lý 2.1.2 ([8]) Giả sử x∗ ∈ D vị trí cân (2.3), nghĩa g(x∗ ) = Giả sử cặp ma trận {A, B}, với B := g0 (x∗ ) cặp ma trận qui số 2, giả sử tất giá trị riêng có phần thực âm Giả sử R ∈ L(Rm ) ký hiệu phép chiếu lên im(A), giả sử (I − R) {g(y) − g(Py)} ∈ im((I − R)BQ), y ∈ B(x∗ , ζ ) (2.4) Khi đó, có số τ > số δ (ε) > 0, với ε > cho (i) tất toán giá trị đầu Ax0 (t) + g(x(t)) = 0, PP1 (x(t0 ) − x0 ) = 0, |PP1 (x0 − x∗ )| τ (2.5) có nghiệm thuộc lớp C1 liên tục [t0 , ∞], (ii) |PP1 (x0 − x∗ )| δ (ε) kéo theo |x(t, x0 ,t0 )| ε, với t > t0 , (iii) x(t, x0 ,t0 ) → x∗ (t → ∞) Chú ý Điều kiện (2.4) đảm bảo phương trình (2.3) phương trình vi phân giải có số lân cận mở x∗ Chú ý rằng, thuộc tính số {A, B} khơng suy điều 11 Định lý 2.1.4 ([8]) Giả sử x∗ ∈ D vị trí cân (2.3), nghĩa g(x∗ ) = Giả sử {A, B}, B = g0 (x∗ ) cặp ma trận qui có số 3, giả sử tất giá trị riêng có phần thực âm Giả sử điều kiện Q2 A−1 {g(y) − g(PP1 y)} = 0, y ∈ B(x∗ , ζ ) (Q1 + PP1 )P2 A−1 {g(y) − g(Py)} = 0, y ∈ B(x∗ , ζ ) (2.6) (2.7) thỏa mãn Khi đó, có số τ > δ (ε) > với ε > cho (i) tất toán giá trị đầu Ax0 (t) + g(x(t)) = 0, PP1 P2 (x(t0 ) − x0 ) = 0, |PP1 P2 (x0 − x∗ )| τ (2.8) có ngiệm thuộc lớp C1 , liên tục [t0 , ∞], (ii) PP1 P2 (x0 − x∗ ) ≤δ (ε) kéo theo x(t; x0 ,t0 ) − x∗ ε với t > t0 , (iii) x(t, x0 ,t0 ) → x∗ (t → ∞) Chú ý 10 Nếu Q2 A−1 g thuộc lớp C , nghiệm (2.8) thuộc lớp C 20 (2.6) tương đương với (I − R){g(y) − g(PP1 y)} ∈ im((I − R)B(Q + PQ1 )), y ∈ B(x∗ , ζ ) 2.2 (2.9) Sự tương đương dáng điệu ổn định hệ cơng thức Lagrangian Xét phương trình Lagrangian rút gọn loại  u0 − v =    v0 + f (u, v) + h0 (u)T z =    h(u) = (2.10) (2.11) (2.12) Phương trình biểu diễn chuyển động hệ đa vật thể với vị trí u, vận tốc v tọa độ thuộc Rn thỏa mãn ràng buộc hôlônôm (2.12) Mặc 12 dù, sử dụng ma trận khối lượng ma trận đơn vị, nhiên nghiên cứu ma trận khối lượng tổng quát Các véc tơ w ∈ Rr , r n biểu diễn cho lực ràng buộc nhân tử Lagrangian Giả sử rằng, h0 (u) có hạng đầy đủ r, hệ (2.10) - (2.12) trở thành phương trình vi phân đại số có số [6] Vì phương trình có số thường gặp phải khó khăn việc tính tốn [3], Gear cộng [5] đề xuất cách giải, thay cho (2.10) - (2.12) hệ mở rộng  u0 − v + h0 (u)T z =        v0 + f (u, v) + h0 (u)T w =        (2.13) (2.14) h(u) = (2.15) h0 (u)v = (2.16) Hệ thu cách giới thiệu thêm giả bội số Lagrangian z giống ràng buộc mức tốc độ (2.16) Trước hết, ta viết hệ vào dạng Ax0 (t) + g(x(t)) = Chính xác hơn, ta xác định    I 0 −v       A :=  I  , g(x) :=  f (u, v) + h0 (u)T w    h(u) 0     u     x :=  v    w   ,  (2.10) - (2.12) tương tự ta có    I 0 −v        I 0   f (u, v) + h0 (u)T w   ˜ A :=  ˜ :=   , g(x)   0 0   h(u)    0 0 h0 (u)v   u         v   , x˜ :=        w     z (2.13) - (2.16) Giả sử x∗ = (uT∗ , vT∗ , wT∗ )T nghiệm dừng (2.10) - (2.12), nghĩa 13 v∗ = 0, h(u∗ ) = 0, f (u∗ , v∗ ) + h0 (u∗ )T w∗ = (2.17) Rõ ràng, x˜∗ = (uT∗ , vT∗ , wT∗ , zT∗ )T với z∗ = nghiệm dừng (2.13) - (2.16) Tương tự trường hợp phương trình vi phân dạng tường minh qui, tính ổn định nghiên cứu việc phân tích phương trình tuyến tính hóa x∗ x˜∗ tương ứng Đó lí ta xem xét kỹ chùm ma ˜ B}, ˜ trận {A, B} {A,    B := g0 (x∗ ) =  F  H  −1 G H 0      HT −1    F G HT 0 B := B˜ := g (x˜∗ ) =    H 0  H 0         đó, H := h0 (u∗ ), F := f 0u (u∗ , v∗ ) + h00 (u∗ )T w∗ , G := f 0v (u∗ , v∗ ) Bổ đề 2.2.1 Giả sử H có hạng đầy đủ ˜ B} ˜ (i) Khi {A, B} cặp ma trận qui có số 3, {A, qui có số ˜ B} ˜ (với bội số) Nếu (ii) Cặp ma trận {A, B} có giá trị riêng với {A, x véc tơ riêng (véctơ riêng tổng quát) {A, B}, x˜ = (xT , zT )T với ˜ B} ˜ z = trở thành véctơ riêng (véctơ riêng tổng quát) {A, Chú ý Chú ý  ˜ = 2rankQH = 2r deg {det(λ A + B)} = deg det(λ A˜ + B) 14 Nếu xét (2.11) với ma trận khối lượng tổng quát M = M T > ta có Mv0 + f (u, v) + h0 (u)T w = (2.21) Bằng cách nhân vào bên trái (2.21) với M −1 sử dụng phép chiếu PH = M −1 H T (HM −1 H T )−1 H ta thu ma trận giống B, B˜ với hàng khối thứ nhân phía trước với M −1 Từ đó, thấy phép chứng minh kết Bổ đề 2.2.1 hồn tồn có giá trị Một điều tương tự nói kết ổn định mục Định lý 2.2.2 Giả sử f hàm thuộc lớp C2 , h hàm thuộc lớp C3 Giả sử u∗ , v∗ , w∗ nghiệm dừng (2.10) - (2.12), nghĩa (2.18) thỏa mãn Giả sử h0 (u) có hạng đầy đủ, có khơng gian khơng tất u thuộc lân cận u∗ Khi đó, nghiệm dừng u∗ , v∗ , w∗ (2.10) - (2.12) ổn định tiệm cận u∗ , v∗ , w∗ = nghiệm ổn định tiệm cận (2.13) - (2.16) Chú ý Trong trường hợp đặc biệt, giả sử tất giá trị riêng {A, B} có phần thực âm, toán giá trị đầu (2.10) - (2.12) (2.13) (2.16) tương ứng với điều kiện đầu QH (u(0) − u0 ) = 0, QH (v(0) − v0 ) = |QH (u0 − u∗ )|, |QH (v0 − v∗ )| đủ nhỏ, giải C1 [0, ∞) Với cách giải vậy, ta có u(t) → u∗ , v(t) → v∗ , w(t) → w∗ (t → ∞), (2.22) 15 z(t) ≡ Các giá trị đầu nghiệm toán giá trị đầu (2.10) - (2.12) (2.22) thỏa mãn điều kiện h(u(0)) = 0, PH v = 0, PH f (u(0), v(0) + h0 (u(0))T w(0) = (2.23) nghĩa là, với số cho trước u0 , v0 , hệ (2.22), (2.23) hoàn toàn xác định giá trị đầu u(0), v(0), w(0) Bằng cách lấy vi phân (2.12) ba lần thay đạo hàm, ta tìm (2.10) - (2.12) biểu diễn véc tơ   u =v      0 T     v = − f (u, v) − h (u) w, ∂ 00 0 T −1  w = (h (u)h (u) ) (h (u)vv − h (u) f (u, v)   ∂ u       ∂  T T 00 0 0  −h (u)h (u) w)v + h (u)vv − h (u) f (u, v))(− f (u, v) − h (u) w ∂v đa tạp M := {(uT , vT , wT )T : h(u) = 0, h0 (u)v = 0, hn (u)vv − h0 (u)( f (u, v) + h0 (u)T w = 0} ⊆ Rm Đa tạp liên quan đến (2.13) - (2.16) n o T T T T T T T T M˜ := (u , v , w , z ) : (u , v , w ) ∈ M, z = miền véc tơ có ba thành phần đầu tiên, thành phần thứ tư thỏa mãn z0 = Điều kiện đầu (2.22) cho phép giải nghiệm lân cận nghiệm dừng (chúng tất năm đa tạp M), mà cách sử dụngđa tạp M cách tường minh Để áp dụng kết liên quan miền véc tơ đa tạp, ta có yêu cầu thêm tính trơn f h, f ∈ C2 , h ∈ C3 đưa đến miền véc tơ mà có tính liên tục 16 2.3 Giảm số theo vi phân cách tiếp cận Baumgarte Lấy vi phân (2.12) thay đạo hàm để phương trình vi phân đại số có số          u0 − v = (2.24) v0 + f (u, v) + h0 (u)T w = n o T 00 0 h (u)vv − h (u) f (u, v) + h (u) w = (2.25) (2.26) Cặp ma trận thích hợp dáng điệu ổn định Lyapunov nghiệm vị trí cân u∗ , v∗ , w∗ (xem (2.17)) tính tuyến tính hóa phần 2.2 (2.24) - (2.26) tạo thành     I 00 −I         T  B0 =  F  A0 =  I G H         T 000 −HF − HG − HH (2.27) với ý sử dụng mục 2.2 Ta nhắc lại rằng, {A, B} cặp ma trận qui có số Thay (2.26) Baumgarte [2] đề xuất sử dụng số hạng d2 d h(u) + 2α h(u) + β h(u) = dt dt (2.28) h00 (u)vv − h0 (u){ f (u, v) + h0 (u)T w} + 2αh0 (u)v + β h(u) = (2.29) với tham số dương chọn cách thích hợp α, β Theo điều kiện ban đầu h0 (u(0))v(0) = 0, h(u(0)) = (2.30) nên biểu thức (2.29) tương đương với h(u) = Baumgarte rằng, phương trình gốc d /dt h˜ = 0, h˜ := h(u) không 17 ổn định tập hợp 2α(d/dt)h˜ + β h˜ phương trình (2.28) đóng vai trị số hạng điều khiển tính ổn định phương trình vi phân (2.28) Như ưa thích thơng thường chọn β =α >0 biểu diễn cho chuyển động tắt dần có giới hạn [xem [2]] Tuy nhiên, điều không cần thiết theo nghĩa hệ đầy đủ (2.24), (2.25), (2.29) ổn định HIện tại, hệ biết đến phương trình vi phân đại số qui có số Ký hiệu cặp ma trận chứa thơng tin tính ổn định nghiệm cân u∗ , v∗ , w∗ {A(α, β ), B(α, β )},     I 0 −I         T   A(α, β ) :=  I  , B(α, β ) :=  F G H      T H(β I − F) H(2αI − G) −HH 0 (2.31) Giống cặp ma trận có số 1, {A(α, β ), B(α, β )} có 2n giá trị riêng,  deg det λ (A(α, β ), B(α, β )) = rank(A(α, β )) = 2n Mệnh đề 2.3.1 Giả sử H có hạng đầy đủ Khi đó, giá trị riêng {A, B} giá trị riêng {A(α, β ), B(α, β )} với cấu trúc đại số {A(α, β ), B(α, β )} có giá trị riêng bổ sung λ1,2 = −α ± p α2 − β λ1,2 có khối Jordan riêng chúng làm dài thêm chuỗi véc tơ tồn Chú ý Trong trường hợp α = β = 0, Mệnh đề 2.3.1 trường hợp đặc biệt Mrzigio [9] Trường hợp xấu xảy hai giá trị riêng bổ sung kéo dài thêm chuỗi hành Rất khó để phát trước trường 18 hợp Ta mô tả trường hợp thông qua hai ví dụ đơn giản sau: Ví dụ Xét phương trình có số u01 − v1 = u02 − v2 = v01 + w = v02 + w = u1 + u2 = Ví dụ Xét u01 − v1 = u02 − v2 = v01 + u2 + v2 + w = v02 − u1 − v1 + w = u1 + u2 = 19 KẾT LUẬN Trên sở kết [13] sau thời gian tìm tịi, nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn, tơi hồn thành luận văn thạc sĩ với kết sau: Nghiên cứu ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân đại số autonomous tương đương dáng điệu ổn định hệ công thức Lagrangian Nghiên cứu giảm số theo vi phân cách tiếp cận Baumgarte phương trình vi phân đại số có số cao nghiên cứu dáng điệu ổn định chúng Từ việc nghiên cứu luận văn này, mở cho nhiều hướng để tiếp tục nghiên cứu, nghiên cứu dáng điệu ổn định phương trình vi phân đại số có nhiễu, nhiễu bậc cao, nghiên cứu tương đương tiệm cận phương trình vi phân có nhiễu khơng có nhiễu, Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, kính mong thầy bạn góp ý để luận văn hồn thiện 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] U Ascher and L Petzold, Stability of computational methods for constrained dynamic systems, SIAM J Sci Comput 14 95-120, 1993 [2] J Baumgarte, Stabilization of constraints and integrals of motions in dynamical systems, Comput Methods Appl Mech Engng 1-16, 1972 [3] K E Brenan, S L Campbell and L R Petzold, Numerical Solution of Initial-value Problems in Differential-Algebraic Equations NorthHolland, New York, 1989 [4] V F Cistyakov, On methods of solution of singular systems of ordinary differential equations, in: Ju E Boyarincev, Ed., Singular Systems of Ordinary Differential Equations Nauka, Novosibirsk, 37-65, 1982 [5] C.W Gear, G.K Gupta and B Leimkuhler, Automatic integration of Euler - Lagrange equations with constraints, J Comput Appl Math 12 & 13 77-90, 1985 [6] P Lotstedt and L Petzold, Numerical solution of non-linear differential equations with algebraic constraints I: Convergence results for backward differentiation formulas, Math Comp 46 1986 491-516 [7] R Marz, On quasilinear index differential-algebraic equations, Preprint 269, Fachb Math., Humboldt Univ., Berlin, 1991 [8] R Marz, Practical Lyapunov stability criteria for differential-algebraic equations, Preprint 91 - 28, Fachb Math., Humboldt Univ., Berlin, 1991 21 [9] Th Mrziglod, Zur Theorie und numerischen Realisierung von Losungsmethoden bei Differentialgleichungen mit angekoppelten algebraischen Gleichungen, Master’s thesis, Math Inst., Univ Koln, 1987 [10] P.C Muller, On stability of linear mechanical systems with holonomic constraints, Appl Mech Rev [11] B Simeon, C Fuhrer and P Rentrop, Differential-algebraic equations in vehicle systems dynamics, Surveys Math Indust 1991 [12] C Tischendorf, On stability of solutions of autonomous index-1tractable and quasilinear index-2-tractable dae’s, Preprint 91-25, Fachb Math., Humboldt Univ., Berlin, 1991 [13] R Lamour, R Marz and R.M.M Mattheij, On the stability behavior of systems obtained by index-reduction, J Comput Appl Math 56 305319, 1994 [14] E Griepentrog and R Marz , Differential-algebraic equations and their numerical treatment, Teubner Texte Math 88 Leipzig, 1986