Thông tin tài liệu
25 câu ơn phần Tốn - Đánh giá tư ĐH Bách Khoa HN - Phần (Bản word có giải) II Phần (5đ) - Toán trắc nghiệm (câu hỏi 36 - 60) Câu 36 Hình vẽ đồ thị hàm số y ax b cx d ad bc 0 Mệnh đề sau đúng? A bd , ad B bd , ab C ad , ab D ab , ad Câu 37 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x với x Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x x m có điểm cực trị? A 18 B 16 C 17 D 15 Câu 38 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 1;3 Bảng biến thiên hàm số y f x x cho hình vẽ bên Hàm số y f x nghịch biến khoảng sau đây? 2 x f x –1 3 –1 A –4; –2 B 2;0 C 0; D 2; Câu 39 Năm 2020, doanh nghiệp X có tổng doanh thu 150 tỉ đồng Dự kiến 10 năm tiếp theo, tổng doanh thu năm tăng thêm 12% so với năm liền trước Theo dự kiến kể từ năm nào, tổng doanh thu doanh nghiệp X vượt 360 tỉ đồng? A 2026 B 2027 C 2028 D 2029 Câu 40 Biết tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình 3 x m 2 A T 5 x 1 có hai nghiệm phân biệt khoảng a; b Tính T 3a 8b B T 7 C T 2 D T 1 Câu 41 Cho a, b, c ba số thực dương, a thỏa mãn bc log bc log a b3c c 0 4 a Khi đó, giá trị biểu thức T a 3b 2c gần với giá sau đây? A B C D 10 Trang Câu 42 Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABC D với đáy hình thoi có cạnh 4a, AA 6a , BCD 120 Gọi M, N, K trung điểm AB , BC , BD Tính thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, M, N, K A 9a B 16a 3 C 9a 3 D 12a 3 Câu 43 Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bán kính đáy 2a Mặt phẳng P qua S cắt đường tròn đáy A B cho AB 2 3a Khoảng cách từ tâm đường trịn đáy hình nón đến P A a B a C 2a D a Câu 44 Cho tứ diện ABCD có cạnh Tính diện tích xung quanh hình trụ có đường trịn đáy đường tròn nội tiếp tam giác BCD có chiều cao chiều cao tứ diện ABCD A S xq 8 3 B S xq 8 2 16 C S xq 16 D S xq Câu 45 Một mặt cầu có tâm O nằm mặt phẳng đáy hình chóp tam giác S.ABC có tất cạnh nhau, điểm A, B, C thuộc mặt cầu Biết bán kính mặt cầu Tính tổng độ dài l giao tuyến mặt cầu với mặt bên hình chóp thỏa mãn A l 1; B l 2;3 C l 3; ;1 D l Câu 46 Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật, AB 2a , AD a ; tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc tạo hai mặt phẳng SCD ABCD có số đo A 90 B 30 C 60 D 45 Câu 47 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB a , SA vng góc với mặt phẳng đáy AB 3a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AC SM 39a 12 A 2a B 39a 13 C 2a D Câu 48 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x cos x 4sin x m có nghiệm thực? A B C D Câu 49 Một bình đựng cầu xanh, cầu đỏ cầu vàng Chọn ngẫu nhiên cầu Xác suất để chọn cầu khác màu A B C 11 D 14 Trang Câu 50 Từ 12 học sinh gồm học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập nhóm làm tập lớn khác nhau, nhóm học sinh Tính xác suất để nhóm có học sinh giỏi học sinh A 36 285 B 18 285 C 72 285 Câu 51 Cho dãy số un xác định công thức un D n 5n n 1 144 285 n 1, n Hỏi dãy số có * số hạng nhận giá trị nguyên? A B C Câu 52 Tổng n số hạng cấp số cộng S n D 10 3n 19n với n * Tìm số hạng u1 công sai d cấp số cộng cho A u1 2 ; d B u1 ; d C u1 ; d D u1 ; d 2 u5 u4 24 Câu 53 Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 cơng bội q số dương thỏa mãn u7 u5 144 Tổng 10 số hạng đầu cấp số nhân A 3060 B 30 C 3020 D 3069 Câu 54 Hình elip ứng dụng nhiều thực tiễn, đặc biệt kiến trúc xây dựng đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất, Xét Lavabo làm sứ đặc hình dạng nửa khối elip trịn xoay có thơng số kĩ thuật mặt Lavabo dài rộng 660 380 mm Biết Lavabo có độ dày 20 mm Thể tích chứa nước Lavabo gần với giá trị giá trị sau A 18,66 dm3 B 18,76 dm3 C 18,86 dm3 C 18,96 dm3 Câu 55 Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 t 2t (m/s) Đi 12 giây, người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a 12 m / s Tính quãng đường s m ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A s 168 m B s 166 m Câu 56 Cho số phức z a bi, z 0 thỏa mãn C s 144 m D s 152 m 1 i số thực z 3i z 2i 2 Đặt T a b z Mệnh đề sau đúng? Trang A T 4;8 B T 8;9 C T 11;14 D T 17; 20 z i 2 Câu 57 Có số phức z xi y, x, y thỏa mãn: ? z z i A 10 B C D Câu 58 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2;0 , C 2; 3; Tập hợp tất điểm M cách ba điểm A, B, C đường thẳng d Phương trình tham số đường thẳng d x 3t A y t z 15 7t x 3t B y t z 15 7t x 3t C y t z 15 7t x 3t D y t z 15 7t Câu 59 Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1;3; , B 0; 4;7 , C 5; 1; mặt phẳng P : x y z 0 Điểm M a; b; c thuộc mặt phẳng P cho biểu thức MA MB 3MC đạt giá trị nhỏ Khi tổng T a b c A 56 B 106 C 105 D 23 Câu 60 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I 2;3; , trực tâm H 3;0;1 Biết A 1; 2;0 , phương trình đường thẳng BC z A x y 7 29 44 B x y z 7 7 29 44 C x y 7 29 44 D x y 4 z 7 7 29 44 z III Phần (2,5đ) - Tốn tự luận Bài Tập đồn X có công ty A, B, C, D, E, F Trong năm 2020, tỷ lệ doanh thu công ty biểu thị biểu đồ (hình bên) Nếu doanh thu công ty D 650 tỷ đồng tổng doanh thu cơng ty B C tỷ đồng? Doanh thu công ty F nhiều doanh thu công ty D, C phần trăm? Nếu doanh thu công ty E tăng 15% vào năm 2021 doanh thu cơng ty khác khơng thay đổi tổng doanh thu tập đoàn X tăng phần trăm? Bài Chia 150 kẹo giống cho người cho có kẹo Tính xác suất để người có 10 kẹo (Làm tròn tới số thập phân thứ ba) Trang Đáp án 36 C 41 A 51 A 37 D 42 C 52 B 38 A 43 C 53 D 39 C 44 D 54 B 40 C 45 C 55 A 46 C 56 D 47 C 57 D 48 A 58 A 49 C 59 B 50 A 60 A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 36 Từ đồ thị suy đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm có hồnh độ dương Mặt khác, từ y ax b b suy đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm A ;0 Từ đồ thị hàm số suy cx d a b ab a Từ hàm số y ax b a d suy đồ thị có đường tiệm cận ngang đứng là: y ; x cx d c c a c Từ đồ thị hàm số suy d c ac adc ad dc Câu 37 x 0 Ta có: f x x 1 x x 0 x 1 x 2 2 Đặt g x f x x m Ta có: g x x 8 f x x m x 4 x 4 x x m 1 1 g x 0 x x m 0 f x x m 0 x x m 2 3 Để hàm số g x có điểm cực trị g x 0 có nghiệm đơn phân biệt 16 m 18 m phương trình ; 3 có nghiệm phân biệt khác m 16 m 16 0 m 18 0 Vì m ngun dương nên có 15 giá trị m thỏa mãn Câu 38 x x Ta có y f x y f 2 2 Trang Xét y 1 x x f f (dựa vào BBT) 2 2 x 3 4 x 2 x Dựa vào đáp án nên hàm số y f x nghịch biến khoảng 4; 2 Câu 39 Ta có tổng doanh thu doanh nghiệp X năm thứ n là: n T 150 0,12 150.1,12n Để tổng doanh thu vượt 360 tỉ đồng 360 150.1,12n 360 n log1,12 n 7, 725 150 Do n nguyên nên n 8 Vậy kể từ năm 2028 doanh thu doanh nghiệp X vượt 360 tỉ đồng Câu 40 Nhận xét: x 3 x x 1 Đặt t , t x t 2 Khi phương trình trở thành t m 1 t m t m t t m f t t Bài tốn tương đương: Tìm m để phương trình m f t có hai nghiệm dương phân biệt Ta có f t t t f t 2t ; t f t 0 t + f t Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm m f t – 1 Vậy m 0; từ ta có a 0 , b T 3a 8b 2 4 Câu 41 Áp dụng bất đẳng thức x y 4 xy , ta 2 3 bc 3 bc 4 b c b c log a b c 4 log a bc 4 4 Trang Do với a 1, b, c bc log bc log a b 3c c log 2a bc 4log a bc c 4 a 2 bc log bc log a b3c3 c log a bc c 0 4 a 3 bc b c log a bc Dấu “=” xảy c 9 a b c a b c 3 Khi T a 3b 2c 7,91 Vậy giá trị T gần Câu 42 Gọi V thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D Gọi A1 , B1 , C1 giao điểm AA , BB , CC mặt phẳng MNK Thể tích khối lăng trụ ABC A1 B1C1 là: 1 VABC A1B1C1 VABCD ABC D V 4 Gọi V1 , V2 , V3 thể tích khối tứ diện A A1MK , B.B1MN , C.C1 NK Ta có 1 +) V1 VA A1MK SA1MK AA1 S A1B1C1 AA1 3 1 1 VABC A1B1C1 V 12 12 48 1 +) V2 VB B1MN SB1MN BB1 S B1 A1C1 BB1 3 1 1 VABC A1B1C1 V 12 12 48 1 +) V3 VC C1NK S C1NK CC1 S C1B1 A1 CC1 3 1 1 VABC A1B1C1 V 12 12 48 +) V S ABCD AA 2S BCD AA 2 4a 4a sin120 6a 48a Trang Do đó, thể tích khối đa diện lồi ABCMNK VABCMNK VABCD AB C D V1 V2 V3 1 3 V V V 48a 3 9a 3 48 16 16 Vậy VABCMNK 9a 3 Câu 43 Ta có P SAB Gọi O tâm đường tròn đáy, I trung điểm AB Kẻ OH SI OH SAB d O, SAB OH Xét tam giác vng OIA có: AB 2 OI r 4a 3a a Xét SOI vuông O, OH đường cao ta có: 1 SO.OI 2a.a 2a 2 OH 2 2 2 OH OI SO OI SO 4a a T.a.i.l.i.e.u.c.h.u.a.n.v.n Câu 44 Gọi I trọng tâm tam giác BCD Tam giác BCD cạnh nên I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD BM 2 BI BM 3 r IM 1 BM 3 Vì AI đường cao tứ diện ABCD nên AI AB IB 16 Vậy diện tích xung quanh hình trụ S xq 2 rh Câu 45. Bán kính mặt cầu OC R 1 Đặt AB a Ta có OA OB OC 1 Mà ABC OA OB OC a nên suy a Trang Từ giả thiết ta có S.ABC tứ diện CP SP (P trung điểm AB) 1 OP CP Ta có SOP vng O có đường cao OH OH SP SO.PO SO SC OC , SO.PO 2 d OH SP Vì SO SAB S đường trịn bán kính r R d Xét tam giác vuông SOP có: HP OP SO , SH SP SP Xét tam giác vng HPA có: HB HA Giao tuyến S với mặt bên SAB cung IJ cos AHB HA2 HB AB 13 HA.HB 14 AHB 2, 76 rad sđ AB Góc ngồi đường tròn sđ AB sđ I J ASB sđ AB 2 2, 76 2 độ dài cung IJ: l 2, 76 2 sđ IJ 3 tổng độ dài l giao tuyến mặt cầu với mặt bên hình chóp là: l 3l1 0,38 1, 77 3 Cách Gọi D trung điểm AB Kẻ OI vng góc SD Khi OI SAB Suy I tâm đường tròn giao tuyến mặt cầu cho SAB Gọi M, N giao điểm đường trịn giao tuyến với SB, SA Gọi K trung điểm MB IK SB Đặt AB a Ta có OA OB OC 1 Trang Mà OA OB OC a nên suy a 3 1 Ta dễ dàng tính SD CD , OD , SO , OI , ID SI Gọi r bán kính 2 3 đường trịn giao tuyến Khi r OI Tam giác SIK vuông K ISK 30 , suy IK IS Tam giác MIK có cos I IK IM suy I arccos , suy MIN 2 SIM 2 3 Khi đó, chiều dài cung MN l1 2 l 3l1 2 1, 77 3 3 Câu 46 +) Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB nên SH AB Mà SAB ABCD nên SH ABCD +) Gọi I trung điểm CD Ta có: SCD ; ABCD SIH +) Trong đó: SH đường cao tam giác 2a nên SH a , HI AD a SH +) Khi tan tan SIH HI suy 60 Câu 47 Gọi N trung điểm AB Kẻ AH SN Vì MN / / AC , MN SMN nên AC / / SMN d SM ; AC d AC ; SMN d A; SMN MN AB MN SAB MN AH Ta có MN SA Từ suy AH SMN d SM ; AC AH Lại có 1 13 39a 2 AH 2 AH AS AN 3a 13 Câu 48 Trang 10 Đặt t sin x cos x sin x 0; 4 t 1 sin x sin x 1 t 2 Phương trình cho trở thành t t m 4t t m * Phương trình cho có nghiệm thực Phương trình * có nghiệm thực 0; Xét hàm số f t 4t t 0; Ta có f t 8t f t 0 8t t Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có u cầu tốn m 65 16 Do m m 2; 1;0;1; 2;3; 4 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Cảm ơn bạn sử dụng dịch vụ tai-lieu-chuan-vn Câu 49 Không gian mẫu : “Chọn ngẫu nhiên cầu bình.” Số cách chọn là: n C12 220 Gọi A biến cố: “Chọn cầu khác màu” Khi đó, loại chọn Số cách chọn là: n A C51.C41 C31 60 Xác suất để chọn cầu khác màu là: P A n A 60 n 220 11 Câu 50 3 3 Ta có số phần tử không gian mẫu là: n C12C9 C6 C3 Để nhóm có học sinh giỏi học sinh thì: - Chọn học sinh giỏi xếp vào nhóm: C5 C4 - Xếp học sinh giỏi lại vào nhóm cịn lại: 3! - Xếp học sinh vào nhóm: 4! - Xếp học sinh trung bình: 3! Trang 11 n A C52 C41 3!.4!.3! P A 36 385 Câu 51 Ta có un n 5n 2n n 1 n 1 Do un nguyên n 1 n 2 Suy n 3 n 6 nguyên hay n ước n 1 n 0 l n 1 n 2 n 5 Vậy số hạng nguyên dãy số u1 ; u2 ; u5 nên dãy số có số hạng nhận giá trị nguyên Câu 52 3n 19n Ta có: S n n2 n 19 d d 19 nu1 d n2 n n u1 n n n 4 2 4 d u d 19 u d Câu 53 u5 u4 24 Ta có u u 144 u1q u1q3 24 u1q u1q 144 u1q q 1 24 u1q q 1 144 1 2 Vì q 1 nên lấy chia 1 ta u1q q 1 144 q q 1 6 q q 0 u1q q 1 24 Vì q dương nên q 2 u1 q 2 q 24 3 q q 1 Khi tổng 10 số hạng cấp số nhân S10 u1 q10 3069 1 q Câu 54 Rìa Lavabo elip có bán trục lớn a a 660 20 310mm 3,1dm , bán trục nhỏ 380 20 170mm 1, 7dm Trang 12 Áp dụng công thức tính nhanh thể tích qua elip quanh trục lớn, ta có V ab 18, 76dm Câu 55 12 Quãng đường xe 12 s đầu là: s1 2tdt 144m Sau 12 s ô tô đạt vận tốc v 24m / s , sau vận tốc tơ có phương trình v 24 12t Xe dừng hẳn sau 2s kể từ phanh Quãng đường ô tô từ đạp phanh đến dừng hẳn là: s2 24 12t dt 24m Vậy tổng quãng đường ô tô s s1 s2 144 24 168m Câu 56 +) Vì 1 i số thực với z a bi nên tồn số thực k ( k 0 ) cho: z a k z k i a bi k ki a b b k +) z 3i z 2i 2 a b 3 a 3 1 2 b 2 2 Thế 1 vào ta được: b b 3 b 3 2 b 2 b b 2 b 3 b 2 2b 6b 4 2b 10b 13 2b2 10b 13 4b 4 2b 10b 13 b 0 2 b 2b 10b 13 b 2 b 6b 0 b 2 b 3 a 3 b 3 T 32 32 18 Câu 57 Ta có: z z i z z z i z i z i z i z i z i z i 2 z i 2 * Mặt khác z z i z i z i z i 2 ** z 2 Xét z i 2 có tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền ngồi hình trịn (kể biên) C1 có I1 1;1 , R1 2 Trang 13 Xét z i 2 có tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền hình trịn (kể biên) C2 có I 0; 1 , R2 2 Tất điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ** miền tơ đậm hình vẽ Do có 10 điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn ** là: 2; 1 , 1;0 , 1; 1 , 1; , 0; 1 , 0; , 0; 3 , 1; 1 , 1; , 2; 1 Thử lại vào điều kiện * ta điểm thoả mãn là: 1;0 , 1; 1 , 0; 1 , 0; , 1; 1 Vậy có tất số phức z thỏa mãn đề Câu 58 Ta có AB 2;1; 1 ; BC 3; 5; Ta thấy AB BC không phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng M cách hai điểm A, B nên điểm M nằm mặt phẳng trung trực AB M cách hai điểm B, C nên điểm M nằm mặt phẳng trung trực BC Do tập hợp tất điểm M cách ba điểm A, B, C giao tuyến hai mặt phẳng trung trực AB BC Gọi (P), (Q) mặt phẳng trung trực AB BC 1 1 Ta có: K 0; ; trung điểm AB; N ; ;1 trung điểm BC 2 2 3 1 +) P qua K nhận AB 2;1; 1 làm vectơ pháp tuyến nên P : x y z 0 2 2 hay P : x y z 0 +) Q qua N nhận BC 3; 5; làm vectơ pháp tuyến nên Q : 1 1 x y z 1 0 hay Q : 3x y z 0 2 2 Trang 14 Ta có d P Q d có vectơ phương u AB, BC 3;1;7 Chọn y 0 ta tìm x , z 15 nên 8;0;15 d x 3t Vậy y t z 15 7t Câu 59 Gọi I x I ; y I ; z I điểm thỏa mãn IA 2IB 3IC 0 1 xI xI xI 0 Suy 3 yI yI yI 0 z I z I z I 0 xI 8 y I I 8; 4; z I Khi MA 2MB 3MC MI IA MI IB MI IC MI IA IB 3IC 2MI 2 MI Biểu thức MA MB 3MC đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ Vậy M(a; b; c) hình chiếu I mặt phẳng P Mặt khác, mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n 1;1;1 x 8 t Gọi đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng P , suy : y t z t Khi M P , tọa độ M nghiệm hệ sau x 8 t y t z t x y z 0 x 9 y M 9; 3; z a 9 2 Vậy b T a b c 106 c Câu 60 Ta có AI 1;5; , AH 2; 2;1 nên AI , AH 13; 9; véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ABC suy AI , AH có giá vng góc với đường thẳng BC Mà AH có giá vng góc với BC nên véc tơ phương đường thẳng BC Trang 15 u AH , AI , AH 7; 29; 44 Gọi A điểm đối xứng A qua I A 3;8; Ta có ACA vng C AC AC ; H trọng tâm ABC BH AC BH / /A 'C Tương tự CH//A’B 7 BHCA hình bình hành BC qua trung điểm M 3; 4; AH 2 Do BC có phương trình là: x y 7 29 44 z PHẦN TỰ LUẬN Bài 1 Tổng doanh thu công ty B C là: 650 26 12 247 (tỷ đồng) 100 Doanh thu công ty F nhiều doanh thu công ty D là: Doanh thu công ty F nhiều doanh thu công ty C là: 16 10 0, 60% 10 16 12 33,3% 12 3 Gọi doanh thu cơng ty E năm 2020 x Khi tổng doanh thu tập đoàn X năm 2020 là: Tổng doanh thu tập đoàn X năm 2021 là: Tổng doanh thu tập đoàn X 100 x 50 x 14 50 x 15 x 1021x 100 140 năm 2021 tăng so với năm 2020 là: 1021x 50 x 50 x 0, 021 2,1% : 140 Bài Không gian mẫu: Chia 150 kẹo giống cho người cho có kẹo Trang 16 Xếp 150 kẹo thành hàng ngang 150 kẹo tạo 149 khoảng trống Đặt vào vách ngăn chia số kẹo thành phần cho phần có kẹo Do đó, số phần tử khơng gian mẫu là: n C149 Gọi A biến cố “mỗi người có 10 kẹo.” Chia trước cho người kẹo, lại 105 Bài toán ban đầu trở thành toán chia 105 kẹo cho người cho có kẹo Xếp 105 kẹo thành hàng ngang 105 kẹo tạo 104 khoảng trống Đặt vào vách ngăn chia số kẹo thành phần cho phần có kẹo Do số kết thuận lợi biến cố A là: n A C104 n A C104 0, 233 Xác suất biến cố A là: P A n C149 Trang 17
Ngày đăng: 07/08/2023, 13:37
Xem thêm:
