25 câu ôn phần toán đánh giá tư duy đh bách khoa hn phần 17 (bản word có giải)

25 câu ơn phần Tốn - Đánh giá tư ĐH Bách Khoa HN - Phần 17 (Bản word có giải) TOÁN TRẮC NGHIỆM Câu 36: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R có đồ thị hình vẽ Hàm số y f  x  2x  có điểm cực trị? A B C Câu 37: Có số nguyên x nghiệm bất phương trình: A B D 1   10 ? log x log x C D Câu 38: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R f′(x) f(2022) B f(2018) < f(2020) C f(0) = 2020 D f(2) + f(3) = 4040 Câu 39: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên 2a, đáy tam giác ABC vuông cân C; CA=CB=a Gọi M trung điểm cạnh AA’ Tính khoảng cách hai đường thẳng AB MC’ A a B a 3 C a D 2a Câu 40: Cho tứ diện ABCD có AB = BD = AD = 2a; AC= 7a ; BC= 3a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB, CD a, tính thể tích khối tứ diện ABCD A 6a 3 B 2a 3 C 6a D 2a Câu 41: Cho hàm số y  x 3 (C) Đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M, N MN x 1 nhỏ giá trị m thuộc khoảng nào? A m∈(−∞;0]  5 B m   ;   2 5  C m   ;   2   3 D m   0;   2 Câu 42: Một hộp đựng 1515 thẻ đánh số từ đến 15 Rút ngẫu nhiên thẻ nhận số thẻ với Tính xác suất để tích số ghi thẻ rút số chẵn A 15 B 11 15 C D 13 15 Câu 43: Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm 15 học sinh? A C15 B A15 C 415 D 154 Câu 44: Một người nơng dân có lưới thép B40, dài 16m muốn rào mảnh vườn dọc bờ sơng dạng hình thang cân ABCD hình vẽ, bờ sơng đường thẳng DC khơng phải rào cạnh hình thang Hỏi ơng rào mảnh vườn với diện tích lớn m2? A 194 3m B 196 3m C 190 3m D 192 3m Câu 45: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình bên Tìm tất giá trị m cho phương trình f  x   A m∈(0;1)∪(5;+∞) B m∈(0;2)∪(10;+∞) m có hai nghiệm thực phân biệt? C m∈{2;10} D m∈(1;5) Câu 46: Bà V gửi vào ngân hàng số tiền 300 triệu đồng theo thể thức lãi kép với lãi suất 1,5% quý Giả định lãi suất khơng thay đổi suốt q trình gửi bà V nhận số tiền gốc lẫn lãi sau hai năm kể từ ngày gửi? A 328032979 đồng B 309067500 đồng C 337947776 đồng D 336023500 đồng 2n Câu 47: Tìm hệ số x8x8 khai triển thành đa thức   2x  , biết n số nguyên dương thỏa 2n mãn C 2n 1  C2n 1  C2n 1   C2n 1 1024 A −103680 B 103680 C 130260 D −130260 Câu 48: Từ hộp chứa viên bi vàng viên bi trắng, lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy màu A 264 B 36 C 12 D 19 792 Câu 49: Cho hàm số y = f(x), y = f(f(x)), y = f(4−2x) có đồ thị (C1),(C2),(C3) Đường thẳng x=1 cắt (C1),(C2),(C3) M, N, P Biết tiếp tuyến (C1) M có phương trình y = 3x−1, tiếp tuyến (C2) N có phương trình y = x+1 Phương trình tiếp tuyến (C3) P là: A y  x  B y  x 3 Câu 50: Một vật chuyển động theo quy luật s  C y  x 3 D y  x  t  9t với t(giây) khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 216(m/s) B 30(m/s) C 400(m/s) D 54(m/s) Câu 51: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng BD A’C’ bằng: A 2a B 3a a C D a Câu 52: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = 2a, AA′= a Gọi I giao điểm AB’ A’B Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (BCC’B’) bằng: 3a A 3a B C 3a D 3a Câu 53: Gọi x1,x2 hai điểm cực trị hàm số y  x  mx  x  10 Tìm giá trị lớn biểu 2 thức S  x1  1  x2  1 A B C D Câu 54: Cho (un) cấp số nhân, đặt Sn u1  u   u n Biết S2 = 4, S3 = 13 u2 < 0, giá trị S6 A 481 64 B 181 16 C 35 16 Câu 55: Cho hàm số y = f(x) liên tục [−3;5] có bảng biến thiên sau D 121 Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g  x  f (cos2x  4sin x  3) Giá trị M+m bằng: A B C D Câu 56: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x  x   C  cắt đường thẳng d: 2 y = m(x − 1) ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x ; x thỏa mãn x1  x  x 5 A (2;5] B m∈(−3;2] C [−7;−3) D (5;8] F e  Câu 57: Gọi F(x) nguyên hàm hàm số f(x) = lnx thỏa F(1) = Tính T 2  log 3.log3  F  e   A T  B T=17 C T= D T=8 Câu 58: Có số nguyên dương tham số thực m phương trình 362x  m  x có nghiệm nhỏ A Câu 59: Biết B e  ln x  ( x  ln x) A T=1 dx  C 26 D 27 với a, b  Z Tính T 2a  b ae  b B T=4 C T=2 D T=3 Câu 60: Trong khơng gian Oxyz, cho A(-1;4;2), B(3;2;1), C(-2;0;2) Tìm tất điểm D cho ABCD hình thang có đáy AD diện tích hình thang ABCD gấp ba lần diện tích tam giác ABC A D(9;-6;2) B D(-11;0;4) D(9;-6;2) C D(-11;0;4) D D(11;0;-4) D(-9;6;-2) TOÁN TỰ LUẬN Câu 61: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, cạnh a, ∠BAD = 600, SA=SB=SD= a a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy b) Gọi α góc SD mặt phẳng (SBC) Tính sinα Câu 62: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lấy ngẫu nhiên số từ tập hợp S Tìm xác suất để số lấy chia hết cho 11 có tổng chữ số chia hết cho 11 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT TOÁN TRẮC NGHIỆM Câu 36: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R có đồ thị hình vẽ Hàm số y f  x  2x  có điểm cực trị? A B C D Phương pháp giải: + Đạo hàm xét phương trình y’ = + Giải phương trình y’ = để tìm nghiệm lập bảng xét dấu + Từ bảng xét dấu chọn điểm cực trị hàm số (đạo hàm đổi dấu qua cực trị ) Giải chi tiết: 2 Ta có : y  f  x  x   y  x   f  x  x   2x  0  Cho y 0    f ( x  2x ) 0  x 1   x  2x    x  2x 1   x 1  , x=1 nghiệm kép  x 1  x   Ta có bảng xét dấu y′: Vậy hàm số y f  x  2x  có điểm cực trị Chọn A Câu 37: Có số nguyên x nghiệm bất phương trình: A B C 1   10 ? log x log x D Phương pháp giải: + Tìm ĐKXĐ bất phương trình + Vận dụng công thức loga để thu gọn + Giải bất phương trình phương pháp biến đổi tương đương Giải chi tiết: x  Điều kiện xác định:   x 1  * 1   10 log x log x4    10 log x log x   10 log x  5log x  10  log x   x4 0  x  Kết hợp điều kiện (*) ta có:   x 1 Mà x  Z  x  {2;3} Vậy bất phương trình cho có nghiệm ngun Chọn A Câu 38: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R f′(x) f(2022) B f(2018) < f(2020) C f(0) = 2020 D f(2) + f(3) = 4040 Phương pháp giải: Dựa vào kiện hàm số có đạo hàm âm để suy tính chất đơn điệu hàm số Giải chi tiết: Do f′(x) < 0; ∀x ∈ (0;+∞) nên hàm số y = f(x) nghịch biến (0;+∞) Do ∀x1,x2 ∈ (0;+∞), x1 < x2 ⇒f(x1) > f(x2) Áp dụng tính chất ta được: +) f(2020) > f(2022), suy A +) f(2018) > f(2020), suy B sai +) Do 0∉(0;+∞) nên không đủ để đưa kết luận f(0) = f(1) = 2020, suy C sai +) f(2) + f(3) < f(1) + f(1) =4040 , suy D sai Chọn A Câu 39: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên 2a, đáy tam giác ABC vuông cân C; CA=CB=a Gọi M trung điểm cạnh AA’ Tính khoảng cách hai đường thẳng AB MC’ A a B a 3 C a Phương pháp giải: Cách 1: Phương pháp tọa độ hóa, gắn hệ trục tọa độ sử dụng công thức    ∣ AB, MC  AM ∣  d  AB, MC      AB, MC    Cách 2: Gọi N trung điểm BB , D CN  BC, E CM  AC       Chứng minh d AB, MC d A, C DE    12 d  C  C DE     Giải chi tiết: Cách 1: Phương pháp tọa độ hóa Chọn hệ trục tọa độ Cxyz hình vẽ Coi a = Khi đó, ta có: A(0;1;0), B(1;0;0), C’(0;0;2), M(0;1;1)    +) AB  1;  1;0  , MC   0;  1;1 , AM  0;0;1    +)  AB, MC    1;  1;  1   AB, MC  AM  Do đó, khoảng cách hai đường thẳng AB MC’ là:    ∣ AB, MC  AM ∣  d  AB, MC       3  AB, MC    Vậy d  AB; MC   a D 2a Cách 2: Gọi N trung điểm BB’, D=C′N∩BC, E=C′M∩AC Ta có: NB // CC’ NB  CC  nên B trung điểm CD hay CD = 2BC = 2a MA // CC’ MA  CC nên A trung điểm CE hay CE = 2CA = 2a  AB / /MN  Ta có  MN  (CDE)  AB / /(CDE)  AB  (CDE)  1 Khi d (AB, MC) d (AB, (CDE )) d (A, (CDE ))  d (C, (CDE ))  h 2 Vì CC′DE tứ diện vng C nên 1 1 1 2a  2    2   h 2 h CD CE CC ' 4a 4a 4a 4a Vậy d  AB, MC  a Chọn B Câu 40: Cho tứ diện ABCD có AB = BD = AD = 2a; AC= 7a ; BC= 3a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB, CD a, tính thể tích khối tứ diện ABCD A 6a 3 Phương pháp giải: Giải chi tiết: B 2a 3 C 6a D 2a Vì AB BD AD 2a, AC  7a, BC  a nên tam giác ABD ABC vuông B (định lí Pytago đảo) Gọi M trung điểm AB, dựng hình chữ nhật BCEM AB  ME  AB  (DME)  (ABC)  (DME) Ta có:  AB  MD Trong (DME), kẻ DH  ME H , suy DH  (ABC) Ta có DM a ME , suy tam giác DME cân M Gọi N trung điểm DE  MN  DE Do DH  MN DE (*) ME Ta có: EC / /AB  EC  (DME)  EC  MN  MN  DE  MN  (DEC) Do   MN  EC Lại có: AB / /(DEC)  d (AB, CD) d (AB, (DEC)) d (M, (DEC)) MN a Suy DE 2NE 2 ME  MN 2a Thế vào (*) ta được: DH  a.2a 2a  a 1 2a 2a Vậy VABCD  DH .AB.BC  2a.a  3 Chọn B Câu 41: Cho hàm số y  x 3 (C) Đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M, N MN x 1 nhỏ giá trị m thuộc khoảng nào? A m∈(−∞;0] Phương pháp giải:  5 B m   ;   2 5  C m   ;   2   3 D m   0;   2 Để tích số thẻ số chẵn, ta cần rút thẻ đánh số chẵn thẻ đánh số lẻ hai thẻ 1 đánh số chẵn Có C7 C8  C7 cách Xác suất cần tìm là: C17 C18  C 72 11  C15 15 Chọn B Câu 43: Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm 15 học sinh? A C15 B A15 C 415 D 154 Phương pháp giải: Sử dụng tổ hợp Giải chi tiết: Số cách chọn học sinh từ nhóm gồm 15 học sinh C15 Chọn A Câu 44: Một người nơng dân có lưới thép B40, dài 16m muốn rào mảnh vườn dọc bờ sơng dạng hình thang cân ABCD hình vẽ, bờ sơng đường thẳng DC rào cạnh hình thang Hỏi ơng rào mảnh vườn với diện tích lớn m2? A 194 3m B 196 3m C 190 3m Phương pháp giải: + Lập hàm diện tích theo ẩn đường cao + Dùng phương pháp hàm số để biện luận Max hàm số lập Giải chi tiết: Gọi x (m, < x < 16) độ dài chiều cao hình thang Áp dụng định lí Pytago ta có: DH  AD  AH  162  x CK D 192 3m  DC 16  162  x Khi diện tích hình thang là: S 16  16  162  x x 16x  x 16  x 2   Xét hàm số f (x) 16x  x 16  x với  x  16  Ta có: f ( x) 16  162  x 162  x  Khi f ( x) 0  16  162  x 162  x 0  16 162  x  162  x 0  x  162 16 162  x 2 x  162 0  4 2 4 x  1024 x  16 16 16  x   2 x  162 0  4 x  768 x 0   x 8     x    x  192 0  x 8 Bảng biến thiên Vậy diện tích lớn mảnh vườn 192 3m Chọn D Câu 45: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình bên Tìm tất giá trị m cho phương trình f  x   A m∈(0;1)∪(5;+∞) B m∈(0;2)∪(10;+∞) m có hai nghiệm thực phân biệt? C m∈{2;10} D m∈(1;5) Phương pháp giải: + Vẽ đồ thị hàm số y = |f(x)|: lấy trên, bỏ dưới, hất lên + Dựa vào đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm phương trình Giải chi tiết: Từ đồ thị hàm số y = f(x), ta suy đồ thị hàm số y = |f(x)| hình sau: Do đó, phương trình f  x   m có hai nghiệm thực phân biệt m    1   m    m  m  10  5  Chọn B Câu 46: Bà V gửi vào ngân hàng số tiền 300 triệu đồng theo thể thức lãi kép với lãi suất 1,5% quý Giả định lãi suất không thay đổi suốt trình gửi bà V nhận số tiền gốc lẫn lãi sau hai năm kể từ ngày gửi? A 328032979 đồng B 309067500 đồng Phương pháp giải: n Áp dụng công thức lãi kép: A n A   r  C 337947776 đồng D 336023500 đồng Giải chi tiết: Số quý bà V gửi năm 2.12 8 (quý) Áp dụng công thức lãi kép A n A   r  n Số tiền bà Vui nhận sau năm là: A8 300(1  1,5%) 337947776 triệu Chọn C 2n Câu 47: Tìm hệ số x8x8 khai triển thành đa thức   2x  , biết n số nguyên dương thỏa 2n mãn C 2n 1  C2n 1  C2n 1   C2n 1 1024 A −103680 B 103680 C 130260 D −130260 Phương pháp giải: + Áp dụng khai triển Newton để tìm n dựa vào điều kiện + Thay n vào đa thức ban đầu, áp dụng công thức số hạng tổng quát khai triển Newton để tìm hệ số theo yêu cầu đề Giải chi tiết: Xét hàm số f (x) (1  x) 2n 1 Theo công thức khai triển nhị thức Newton: f ( x) (1  x) n 1 C20n1  C21 n1 x  C22n1 x  C22nn1x n  C22nn11 x n1 Từ ta có: f (1) 22 n 1 C20n 1  C21n 1  C22n 1  C22nn1  C22nn11 (1) f ( 1) 0 C20n 1  C21n 1  C22n 1   C22nn1  C22nn11 (2) n 1 2 C20n 1  C22n 1  C24n 1  C22nn1 Cộng vế (1) (2) ta có:   (3) Từ (3) giả thiết suy 22 n 1 2.1024  22 n1 211  n 5 Bài tốn trở thành tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức (3  x)10 10 10 k 0 k 0 10 k 10  k k k 10  k k k Ta có (3  2x)  C10 (  2x)  C10 (  ) x 10  8 Do hệ số x8 ứng với k 8 C10 ( 2) 103680 Chọn B Câu 48: Từ hộp chứa viên bi vàng viên bi trắng, lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy màu A 264 B 36 C 12 D 19 792 Phương pháp giải: + Tính số phần tử khơng gian mẫu + Gọi biến cố A: “ viên bi lấy màu” Xét TH lấy bi vàng bi trắng Sử dụng tổ hợp quy tắc cộng + Tính xác suất biến cố Giải chi tiết: Gọi biến cố A: “ viên bi lấy màu” 5 Ta có : n (ΩC792) C12 792 n (A) C5  C7 22 Vậy xác suất biến cố A P  A   n  A 22   n  ΩC792  792 36 Chọn B Câu 49: Cho hàm số y = f(x), y = f(f(x)), y = f(4−2x) có đồ thị (C1),(C2),(C3) Đường thẳng x=1 cắt (C1),(C2),(C3) M, N, P Biết tiếp tuyến (C1) M có phương trình y = 3x−1, tiếp tuyến (C2) N có phương trình y = x+1 Phương trình tiếp tuyến (C3) P là: A y  x  B y  x 3 C y  x 3 D y  x  Phương pháp giải: + Dựa vào phương trình tiếp tuyến hàm số điểm đặc biệt theo đề tìm giá trị đạo hàm hàm số điểm + Lập luận khéo léo dựa vào kiện tìm để đưa phương trình tiếp tuyến tìm Giải chi tiết: - Xét hàm số y=f(x); y′=f′(x) Theo giả thiết ta có M(1;f(1)), phương trình tiếp tuyến (C1) M: y − f(1) = f′(1) (x−1) mà theo giả thiết y=3x−1⇒f′(1)=3 (1) Từ ta có: y − f(1) = 3(x−1) ⇔ y = 3x − + f (1)⇒3x−3+f(1)=3x−1 ⇒f(1)=2 (2) - Xét hàm số y=f(f(x)); y′=f′(x).f′(f(x)) Theo giả thiết ta có N(1;f(f(1))), phương trình tiếp tuyến (C2) N: y - f(f(1)) = f′(1).f′(f(1)).(x−1) Mà theo giả thiết y = x+1 ⇒ f′(1).f′(f(1)) = (∗) Từ ta có: y - f(f(1)) = x−1 ⇔ y = x − + f(f(1)) Theo (2)⇒ y = x − + f(2) Áp dụng giả thiết: x − + f(2) = x + ⇒ f(2)=2 (3) Từ (∗): f′(1).f′(f(1))=1, theo (1)&(2) ta được: 3.f′(2)=1⇒f′(2)= (4) - Xét hàm số y = f(4−2x); y′= −2.f′(4−2x) Ta có P(1;f(4−2.1))⇒P(1;f(2)), phương trình tiếp tuyến (C3) P: y - f(2) = -2.f′(2).(x−1), áp dụng (3) & (4) ta được: y - = −2 (x−1)⇔ y  x  3 Chọn C Câu 50: Một vật chuyển động theo quy luật s  t  9t với t(giây) khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 216(m/s) B 30(m/s) C 400(m/s) D 54(m/s) Phương pháp giải: + Dựa vào mối liên hệ hàm quãng đường vận tốc theo đạo hàm để tìm hàm vận tốc theo thời gian S’(t) = v(t) + Biện luận hàm số vận tốc vừa tìm theo ẩn thời gian để tìm Max Giải chi tiết: Vận tốc vật: v  t  s t   Xét hàm số v  t  s t   t  18t , với t∈[0;10] t  18t , với t∈[0;10] Ta có v t   3t  18 0  t 6 Bảng biến thiên Vậy vận tốc lớn mà vật đạt khoảng 10 giây đầu là: 54(m/s) Chọn D Câu 51: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng BD A’C’ bằng: A 2a B 3a C a D a Phương pháp giải: Đưa khoảng cách hai mặt phẳng song song Giải chi tiết:  BD  (ABCD)   d (BD, AC) d((ABCD), (ABCD)) a Ta có:  AC  (ABCD) (ABCD) / /(ABCD)  Chọn D Câu 52: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = 2a, AA′= a Gọi I giao điểm AB’ A’B Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (BCC’B’) bằng: A 3a B 3a C 3a Phương pháp giải: + Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh AM⊥(BCC′B′) + Chứng minh d(I;(BCC′B′))= d(A;(BCC′B′)) Giải chi tiết: Gọi M trung điểm cạnh BC D 3a (ABC)  (BCCB) BC  AM   BCC B Vì tam giác ABC nên AM⊥BC Mà   AM  (ABC), AM  BC Lại có tam giác ABC cạnh 2a nên AM  2a a Do I trung điểm AB′ nên d(I;(BCC′B′))= 1 a d(A;(BCC′B′))= AM= 2 Chọn B Câu 53: Gọi x1,x2 hai điểm cực trị hàm số y  x  mx  x  10 Tìm giá trị lớn biểu 2 thức S  x1  1  x2  1 A B C D Phương pháp giải: + Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị + Áp dụng định lý Vi-et thay vào biểu thức đề + Biện luận TGLN hàm số theo tham số m Giải chi tiết: 1 y  x  mx  4x  10 0  y x  mx  Hàm số có điểm cực trị x1 , x phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x     m  16  m  R  x1  x2 m Theo dịnh lí Vi-et ta có:   x1.x2  Khi ta có : S  x12  x 22   x1x   x12  x 22        x1x    x1  x   2x1x  16  m    m  9 m  R Vậy GTLN S m = Chọn D Câu 54: Cho (un) cấp số nhân, đặt Sn u1  u   u n Biết S2 = 4, S3 = 13 u2 < 0, giá trị S6 A 481 64 B 181 16 C 35 16 D 121 Phương pháp giải: + Áp dụng công thức số hạng cấp số nhân sông thức tổng cấp số nhân hệ phương trình theo số hạng đầu cơng bội + Giải phương trình thay kiện tìm để tìm đáp án Giải chi tiết: Gọi q công bội cấp số nhân  u n  Ta có S2 4 0 nên u1 0 Ta có u   u1q   u1 q trái dấu Ta có: S2 4    S3 13 u1  u 4  u1  u  u 13 u  u q 4  1 u1  u1q  u1q 13 u1  u1q 4  13u1 (1  q) 4u1  q  q    u  u q 4   12  4q  9q  0   Vậy S   u1  q 1 q    u1 1 (ktm)  q     u 16    q  (tm)  16       3    4 1     481 64 Chọn A Câu 55: Cho hàm số y = f(x) liên tục [−3;5] có bảng biến thiên sau Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g  x  f (cos2x  4sin x  3) Giá trị M+m bằng: