Khóa luận một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo Th.s Phạm Thị Bích Hà Tơi xin phép gửi đến kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tận tâm cô thân suốt thời gian làm khóa luận q trình học tập Tơi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp K17 - ĐHSP Toán, trường Đại Học Hồng Đức tồn thể thầy khoa Khoa học Tự Nhiên, trường Đại Học Hồng Đức, người dạy cho kiến thức, đạo đức, quan tâm, động viên nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập trình thực đề tài Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến người thân, bạn bè quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập vừa qua i MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii Trang ii DANH MỤC VIẾT TẲT v PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN II: NỘI DUNG I Phương pháp biến đổi tương đương Bình phương vế phương trình 1.1 Phương pháp 1.2 Ví dụ 1.3 Bài tập áp dụng: Trục thức 2.1 Trục thức để thực nhân tử chung 2.1.1 Phương pháp 2.1.2 Ví dụ 2.1.3 Bài tập áp dụng 2.2 Đưa “hệ tạm” 2.2.1 Phương pháp 2.2.2 Ví dụ 2.2.3 Bài tập áp dụng 10 Biến đổi đưa phương trình tích 10 3.1 Phương pháp 10 3.2 Ví dụ 10 ii 3.3 Bài tập áp dụng 11 II Phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình chứa ẩn 12 2.1 Dạng 1: Phương trình dạng ax  bx  c  px  qx  r a b  12 p q 2.1.1 Ví dụ 12 2.1.2 Bài tập áp dụng 13 2.2 Dạng 2: Phương trình có dạng:  P( x)   Q( x)   P( x)Q( x)  14 2.2.1 Ví dụ 14 2.2.2 Bài tập áp dụng 16 2.3 Dạng 3: Phương trình dạng:   P ( x )  Q( x )      P( x)  Q( x)  2 P( x)Q( x)         16 2.3.1 Ví dụ 16 2.3.2 Bài tập áp dụng 18 2.4 Dạng 4: Phương trình dạng a  cx  b  cx  d  a  cx b  cx   n 18 2.4.1 Ví dụ 18 2.4.2 Bài tập áp dụng 20 III Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 21 3.1 Dạng 1: Phương trình có dạng: xn  a  b n bx  a 21 3.1.1 Ví dụ 21 3.1.2 Bài tâp áp dụng 23 3.2 Dạng 2: Phương trình có dạng: n a  f ( x)  m b  f ( x)  c 23 3.2.1 Ví dụ 23 3.2.2 Bài tập áp dụng 24 IV Phương pháp hàm số 25 4.1 Phương pháp 25 4.2 Ví dụ 25 4.3 Bài tập áp dụng 27 V Phương pháp đánh giá 28 iii 5.1 Phương pháp 28 5.2 Ví dụ 28 5.3 Bài tập áp dụng 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 iv DANH MỤC VIẾT TẲT THPT : Trung học phổ thông NXBGD : Nhà xuất giáo dục ĐHSP : Đại học sư phạm SGK : Sách giáo khoa v PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn học có ứng dụng hầu hết ngành khoa học tự nhiên lĩnh vực khác đời sống xã hội Vì vậy, Tốn học có vị trí đặc biệt việc phát triển nâng cao dân trí Tốn học khơng cung cấp cho học sinh kiến thức bản, kĩ tính tốn cần thiết mà điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ tư logic, số phương pháp giải tốn khoa học Hiện nay, chương trình Tốn THPT, mà cụ thể mơn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với dạng phương trình chứa ẩn dấu hay cịn gọi phương trình vơ tỉ cách giải số dạng toán phần Tuy nhiên thực tế, tốn phương trình vơ tỉ vô đa dạng phong phú, giáo viên dạy phương trình vơ tỉ khai thác phân tích đề bài, mở rộng toán mới, dẫn đến học sinh gặp tốn giải phương trình vơ tỉ lúng túng chưa biết cách giải giải chưa chặt chẽ mà cịn mắc nhiều sai lầm tìm tập xác định, nâng lên luỹ thừa, đưa biểu thức ngồi dấu giá trị tuyệt đối Vì phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc giải số dạng phương trình vơ tỉ cần thiết Chính vậy, khóa luận đưa đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ” tập ứng dụng giúp em rèn luyện cho khả giải phương trình vơ tỉ tốt Mục đích nghiên cứu - Một số dạng tốn phương trình vơ tỉ - Cách giải dạng tốn Đối tượng nghiên cứu - Các tài liệu phương trình vơ tỉ - SGK nâng cao Đại số 10 - Học sinh giáo viên trường THPT Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu - Phân loại tài liệu có lien quan để nghiên cứu sở lí luận đề tài - Phương pháp quan sát sư phạm Cấu trúc khóa luận Phần I: Phần mở đầu 1.Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phần II : Nội dung I Phương pháp biến đổi tương đương Bình phương vế phương trình Trục thức 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung 2.2 Đưa “ hệ tạm” Phương trình biến đổi phương trình tích II Phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình chứa ẩn III Phương pháp dặt ẩn phụ đưa hệ phương trình IV Phương pháp đánh giá V Phương pháp hàm số Tài liệu tham khảo PHẦN II: NỘI DUNG I Phương pháp biến đổi tương đương Bình phương vế phương trình 1.1 Phương pháp - Phương trình : - Phương trình: f ( x)  g ( x)  f ( x)  [g ( x)]2 n1 f ( x)  g ( x)  f ( x)  [g ( x)]2n  - Phương trình dạng A  B  C  D vế phương trình khơng âm nên ta bình phương vế phương trình - Phương trình dạng A  B  C (1) ta lập phương vế phương trình Khi (1) trở thành A  B  3 AB ( A  B )  C sử dụng phép (1) ta phương trình A  B  3 ABC  C 1.2 Ví dụ VD1: Giải phương trình: x   3x  (1) Giải: Ta có:  x     x0   3x    x    (1)    4 x   2 x   (3x  1) 9 x  x   x  0; x     Vậy nghiệm phương trình x  0; x  VD2: Giải phương trình: 4 x    x   x (2) Giải : Điều kiện: 4  x  (*) Khi đó: (2)  x    x   x  x    x  (1  x)(1  x)   x 1  2x     x  x   (1  x)(1  x)    2 (2 x  1)  (1  x )(1  x )   2 x  x  1   x   x   x(2 x  7)  Kết hợp với điều kiện (*) Ta thấy x  thỏa mãn điều kiện toán Vậy nghiệm phương trình cho x  VD3: Giải phương trình: x   3x   x  x  2(3) Giải: Điều kiện: x  (3)  x   x  x   3x   x   x  x  12 x  x   3x   x  x   x2  12 x  x  8x   x  12 x  x  8x   x2  x    2( x  1)2   x  Kết hợp với điều kiện ta x  Vậy nghiệm phương trình cho x  Chú ý: Nếu phương trình f ( x)  g ( x)  h( x)  k ( x) mà có f ( x)  h( x)  h( x)  g ( x) ta biến đổi phương trình dạng : f ( x)  h( x)  k( x)  g( x) sau bình phương vế kiểm tra nghiệm sau tìm xem nghiệm có thỏa mãn phương trình khơng? x3  VD4: Giải phương trình :  x   x  x   x  (4) x3 Giải: Điều kiện: x  1 (4)  x3   x   x2  x   x  x3 x3     x  x3   x  x   x   ( x  x  1)( x  1) x3  x 1 x3   x2  x   x2  x     x3  x   Kết hợp với điều kiện toán ta x   , x   Vậy nghiệm phương trình x   , x   Chú ý: Nếu phương trình f ( x)  g ( x)  h( x)  k ( x) mà f ( x)  h( x)  k( x)  g( x) sau f ( x).h( x)  k ( x).g ( x) ta biến đổi ta kiểm tra nghiệm xem có thỏa mãn phương trình khơng? 1.3 Bài tập áp dụng: Bài x  x   x  Bài x( x  1)  x( x  2)  x2 Bài 3 x   x   x  Trục thức 2.1 Trục thức để thực nhân tử chung 2.1.1 Phương pháp Khi gặp phương trình vơ tỉ mà ta nhẩm nghiệm x0 phương trình ln đưa dạng tích ( x  x0 ) A( x)  ta giải phương trình A( x)  chứng minh A( x)  vô nghiệm Để giải triệt để ta cần ý điều kiện nghiệm phương trình để đánh giá phương trình A( x)  xác 2.1.2 Ví dụ VD1: Giải phương trình: 3x  5x   x   3( x  x  1)  x  3x  (1) Giải : Nhận thấy: (3x2  5x  1)  (3x2  3x  3)  2( x  2); (x  2)  ( x2  3x  4)  3( x  2) Khi ta trục thức vế sau: (1)  3x2  x   3x  3x   x   x  3x   2( x  2) 3x  x   3x  3x  3( x  2)  x   x  3x     ( x  2)   0 2 2 x   x  3x    3x  x   3x  3x 