BÀI GIÁ TRN LỚN NHẤT, GIÁ TRN NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Mục tiêu Kiến thức + Biết hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số + Biết phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng, đoạn + Nhận biết mối liên hệ hàm số y f x , y f u x , biết bảng biến thiên hàm số y f x , đồ thị hàm số y f x đồ thị hàm số y f x Kĩ + Biết lập, đọc bảng biến thiên hàm số để từ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ + Tính đạo hàm hàm số hợp, nhận biết mối liên hệ hàm số y f x , y f u x , biết bảng biến thiên hàm số y f x , đồ thị hàm số y f x đồ thị hàm số y f x + Biết chuyển tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều khảo sát hàm biến số + Tìm GTLN, GTNN hàm số y f x , y f u x , y f u x h x … biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y f x y f x TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hàm số y f x xác định tập D +) Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y f x tập D f x M với x D tồn x0 D cho f x0 M Kí hiệu: M max f x D +) Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y f x tập D f x m với x D tồn x0 D cho f x0 m Kí hiệu: m f x D SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y f x tập D f x M với x D tồn x0 D cho f x0 M Kí hiệu: M max f x D Cho hàm số y f x xác định tập D Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y f x tập D f x m với x D tồn x0 D cho f x0 m Kí hiệu: m f x D TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN hàm số y = f(x) khoảng Phương pháp giải Ta thực bước sau Ví dụ: Giá trị nhỏ hàm số y x3 x khoảng (0; 2) A B C D -1 Hướng dẫn giải Hàm số liên tục khoảng (0; 2) Ta có y x Bước Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng) Bước Tính y f x ; tìm điểm mà đạo hàm không không xác định x 1 y 3x x Vì ta xét hàm số khoảng (0; 2) nên ta loại giá trị x 1 Xét bảng biến thiên hàm số khoảng (0; 2) Bước Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy giá trị nhỏ hàm số y 1 đạt x 0; Bước Kết luận Chọn D Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải Bước Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x miền (a; b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE (MODE lập bảng giá trị) Bước Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn xuất max, giá trị nhỏ xuất - Ta thiết lập miền giá trị biến x Start a End b Step ba (có thể làm tròn để Step đẹp) 19 TOANMATH.com Trang Chú ý: Khi đề liên có yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính chế độ Radian Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số f x x x5 x x Khẳng định sau đúng? A max f x 17 30 B max f x C max f x 67 30 D Hàm số không tồn giá trị lớn 47 30 Hướng dẫn giải Tập xác định D Ta có f x 2 x5 x x x 1 x 1 Khi f x x 1 x 1 x Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f x 47 x 30 Chọn B Ví dụ Gọi a giá trị lớn hàm số f x Khi giá trị biểu thức P A 22 B 8x khoảng ; 1 x2 8a a2 13 C 58 65 D 74 101 Hướng dẫn giải Hàm số liên tục khoảng ; 1 Ta có f x x 12 x x TOANMATH.com 1 Trang x ; 1 Khi f x x 12 x x ; 1 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f x P ; 1 8a 58 a 1 65 Chọn C Ví dụ Cho hàm số y f x x2 x Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? x2 x 1 A f x B f x C f x D Hàm số khơng có giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Tập xác định D Ta có x x 1 x x 1 2x 2x2 y f x y 2 x x 1 x2 x 1 x x 1 Do y x x 1 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f x x Bài tập tự luyện dạng TOANMATH.com Trang Câu 1: Giá trị nhỏ hàm số y A y x2 (2; 6) x2 B y 2; C y 2; Câu 2: Giá trị nhỏ hàm số y A y 2; 2; x2 x khoảng 1; x 1 B y 1; D y C y 1; 1; Câu 3: Mệnh đề sau với hàm số y x 1 x2 D y 1; tập xác định nó? A Hàm số khơng có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ B Hàm số khơng có giá trị lớn có giá trị nhỏ C Hàm số có giá trị lớn có giá trị nhỏ D Hàm số có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ Câu 4: Giá trị nhỏ hàm số y x A không tồn 1 x khoảng 0; C 1 B -3 D ĐÁP ÁN 1-A 2-A TOANMATH.com 3-D 4-B Trang Dạng 2: Tìm GTLN GTNN hàm số đoạn Phương pháp giải Bước Tính f x Bước Tìm điểm xi a; b mà f xi f xi khơng xác định Bước Tính f a , f xi , f b Bước Tìm số lớn M số nhỏ m số Khi M max f x m f x a ; b a ; b Chú ý: max f x f b +) Hàm số y f x đồng biến đoạn [a; b] min f x f a max f x f a +) Hàm số y f x nghịch biến đoạn [a; b] min f x f b Bài toán Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y x3 x Gọi M, m giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số [0; 3] Giá trị M m TOANMATH.com Trang A B 10 C D Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục [0; 3] x 0; 3 Ta có y 3 x x x 0; 3 Khi y 2, y 6, y 3 Vậy M 6; m M m Chọn A Ví dụ Giá trị lớn hàm số y x 3x [-1; 2] A 29 B C D 13 D 89 Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục [-1; 2] x 1; 2 Ta có y 4 x x x x 3 y x 1; 2 x 1; 13 13 Vì y 1; y y ; y 3; y 1 nên max 1; Chọn D Ví dụ Cho hàm số y A 16 x2 Giá trị x 1 B 45 2 y max y 2; 3 2; 3 C 25 Hướng dẫn giải Ta có y 3 x 1 0, x , hàm số nghịch biến khoảng ; 1 ; 1; Hàm số nghịch biến [2; 3] Do y y 3 ; max y y 2; 3 2; 3 2 89 5 Vậy y max y 42 2; 2; 2 Chọn D TOANMATH.com Trang Ví dụ Giá trị lớn hàm số f x A 15 B x2 8x đoạn [1; 3] x 1 7 C 3 D 4 Hướng dẫn giải x2 8x liên tục [1; 3] x 1 Hàm số f x f x x 8 x 1 x x x x 2 x 1 x 1 x 1; 3 f x x2 2x x 4 1; 3 7 15 ; y 3 ; y 4 Ta thấy y 1 Vậy max f x 1; 3 7 Chọn B Ví dụ Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số y x x Giá trị biểu thức P M m A 1 B 1 C 1 D 1 Hướng dẫn giải Tập xác định D 2; 2 Ta có y x x2 x2 x x2 , x 2; x y x2 x x 2 2; y 2 2; y 0; y 2; y 2 2 Vậy M 2, m 2 P 2 1 Chọn A Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y x3 x m đoạn [0; 5] m A B 10 C D Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục D 0; 5 TOANMATH.com Trang x D Ta có y x x x 1 D f m; f 1 m 1; f 175 m Dễ thấy f f f 1 , m nên f x f 1 m 0; 5 Theo đề f x m m 0; 5 Chọn A Ví dụ Gọi A, B giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y giá trị thực tham số m để A B x m2 m đoạn [2; 3] Tất x 1 13 A m 1; m 2 B m 2 C m 2 D m 1; m Hướng dẫn giải Hàm số cho liên tục đoạn [2; 3] Ta có y m m 1 x 1 0, m A y 3 m2 m ; B y m2 m 2 Do A B m2 m 13 13 m2 m 2 m 3m m m 2 Chọn A Ví dụ Biết hàm số y x3 3mx 2m 1 x (với m tham số) đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn Các giá trị tham số m A m B m C m D m 1 Hướng dẫn giải Ta có y x 6mx 2m 1 x 2mx 2m 1 x 1 y x 2m Vì y 2 1; y theo max y nên giá trị lớn không đạt x 2; x Do 2; 0 giá trị lớn đạt y 1 y 1 2m Ta có y 1 3m 3, y 1 2m 1 2m m TOANMATH.com Trang 10 - Trường hợp 1: Xét 3m m 1 x 1 2; 0 Thử lại với m 1 , ta có y nên m 1 giá trị cần tìm x 2; 0 1 2m 2 m 1 2m 2 m - Trường hợp 2: Xét 1 2 2m m 2 Vì 1 m m 1 2m m nên (1) vô nghiệm 2 Chọn D Bài tốn Tìm GTLN – GTNN hàm số y = |f(x)| đoạn [a; b] Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y x x đoạn [-1; 1] a, b giá trị a b A B C D Hướng dẫn giải Xét hàm f x x x f x x f x 2x x Bước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x đoạn a; b , giả sử thứ tự M, Suy max y f 1 1; y f 1 3 1; 1 m 1; 1 Do giá trị lớn y 3 a x giá trị nhỏ y b x Bước +) Tìm max y max M ; m a ; b +) Tìm y a ; b - Trường hợp 1: M m y a ; b - Trường hợp 2: m y m a ; b - Trường hợp 3: M y M M a ; b Vậy giá trị a b Chọn B Bước Kết luận Ví dụ mẫu Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y x3 x 24 x 68 đoạn [-1; 4] TOANMATH.com Trang 11 A 48 B 52 C -102 D Hướng dẫn giải Bảng biến thiên hàm số y x3 x 24 x 68 1; 4 Suy bảng biến thiên hàm số y x3 x 24 x 68 đoạn 1; 4 Vậy giá trị nhỏ hàm số y x3 x 24 x 68 đoạn 1; 4 48 Chọn A Cách khác: Theo trường hợp M 48 y 48 Bài tốn Tìm tham số để GTLN hàm số y = |f(x)| đoạn [α, β] k Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y x mx m đoạn [1; 2] x 1 Số phần tử tập S A B C D Hướng dẫn giải Bước Tìm max f x max A ; B ; Xét hàm số y f x ; Ta có y TOANMATH.com x2 2x x 1 x mx m x 1 x 1; 2 0 x 2 1; 2 Trang 12 Mặt khác f 1 2m 3m ; f 2 2m 3m ; Do max y max 1; 2 - Trường hợp 1: Bước Xét trường hợp +) A k tìm m, thử lại giá trị m +) B k tìm m, thử lại giá trị m m 2m max y 2 1; 2 m +) Với m 3m 17 (loại) +) Với m 3m (thỏa mãn) - Trường hợp 2: m 3m max y 2 1; 2 m 10 +) Với m 2m (thỏa mãn) +) Với m 10 2m 17 (loại) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn Bước Kết luận Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ Gọi S tập giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số f x x 14 x 48 x m 30 đoạn [0; 2] không vượt 30 Tổng phần tử S A 108 B 120 C 210 D 136 Hướng dẫn giải Xét hàm số g x x 14 x 48 x m 30 đoạn [0; 2] x 6 0; 2 Ta có g x x 28 x 48 g x x 0; 2 x 0; 2 g 30 m 30 30 Để max g x 30 m 16 0; 2 m 14 30 g 30 m 0;1; 2; ; 15; 16 TOANMATH.com Trang 13 Tổng phần tử S 136 Chọn D Ví dụ Biết giá trị lớn hàm số y x2 x m 18 Mệnh đề sau đúng? A m B 10 m 15 C m 10 D 15 m 20 Hướng dẫn giải Xét hàm số g x x x Ta có g x x x2 liên tục tập xác định [-2; 2] g x x x2 0, x 2; x x2 x x 2; 2 4 x x g 2 ; g 1 24 Do max g x 2; 2 Theo ; g 2 5 x 2 , suy giá trị lớn hàm số m 2 m 18 m 15,5 Vậy 15 m 20 Chọn D Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN hàm số y = |f(x) + g(m)| đoạn [a; b] đạt GTNN Phương pháp giải Thực bước sau Ví dụ: Biết giá trị lớn hàm số y x x m đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị tham số m A B C D Hướng dẫn giải Đặt f x x x Bước Tìm max f x ; f x a ; b a ; b Ta có f x x 2; f x x 1 2; 1 f 2 0; f 1 3; f 1 1 Do max f x 3; f x 1 2; 1 TOANMATH.com 2; 1 Trang 14 Suy max y max m ; m 2; 1 Bước Gọi M giá trị lớn y f x g m m m 1 2 Dấu xảy M max g m ; g m m m 1 g m g m m m m (thỏa mãn) m m 1 g m g m Dấu xảy g m g m Áp dụng bất đẳng thức g m g m g m g m 2 Dấu xảy g m g m Bước Kết luận M g m Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Để giá trị lớn hàm số y A m B m x x 3m đạt giá trị nhỏ m C m D m Hướng dẫn giải Tập xác định D 0; 2 Đặt f x x x , x D Ta có f x 1 x 2x x2 f x x f 0; f 0; f 1 Suy P max y max 3m ; 3m D TOANMATH.com 3m 3m Trang 15 3m 3m 3m 3m Dấu xảy m (thỏa mãn) 3m 3m Suy giá trị lớn hàm số nhỏ m Chọn A Bài tốn Tìm tham số để GTNN hàm số y = |ax2 + bx + c| + mx đạt GTLN Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y f x, m x x mx đạt giá trị lớn A B C D Hướng dẫn giải Ta có f x, m f 0, m 5, m Xét m ta có f x, x x x x x x 5, x Dấu xảy x Suy f x, 5, x min f x, m 5, m Do max f x, m , đạt m min f x, 5, x Chọn B Tổng quát: y ax bx c mx Trường hợp 1: a.c max y c Đạt m b Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số f x, m x x mx đạt giá trị lớn A B -7 C D Hướng dẫn giải Phương trình x x ln có hai nghiệm trái dấu x1 x2 Trường hợp 1: Nếu m Ta có f x, m f x, m mx1 0, m Xét m ta có f x, x x 0, x Dấu xảy x x1, Suy f x, 0, x min f x, m 0, m Do max f x, m m min f x, 0, x Trường hợp 2: Nếu m Ta có f x, m f x2 , m mx2 0, m max f x, m TOANMATH.com Trang 16 So sánh hai trường hợp max f x, m m Chọn C Trường hợp 2: a.c max y Đạt m Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x x5 x x3 đoạn 1; 2 Khi M m có giá trị A -6 B 12 C -12 D x2 x 7 Câu 2: Trên đoạn ; hàm số f x đạt giá trị lớn x 1 3 A x0 B x0 C x0 D x0 Câu 3: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x x x 3; 6 Tổng M m có giá trị A -12 B -6 C 18 D -4 Câu 4: Giá trị nhỏ hàm số f x x x tập xác định A B -1 C D Câu 5: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x x cos x đoạn 0; 4 A max f x ; f x 1 0; 0; B max f x D max f x 4 C max f x 0; 4 ; f x 0; 4 0; 0; Câu 6: Với giá trị tham số m hàm số f x ; f x 0; 1 ; f x 0; 4 mx đạt giá trị lớn đoạn 1; 3 xm 2? A m B m 3 C m 7 D m Câu 7: Giá trị nhỏ hàm số f x x3 x m đoạn 1; 1 A m B m 12 C m Câu 8: Với giá trị tham số m hàm số f x 2;3 D m x 1 đạt giá trị lớn đoạn x m2 ? A m 2 TOANMATH.com B m C m 1 D m 2 Trang 17 Câu 9: Giá trị lớn hàm số f x x3 x 72 x 90 m đoạn [-5; 5] 2018 Trong khẳng định khẳng định đúng? A 1600 m 1700 B m 1600 C m 1500 D 1500 m 1600 Câu 10: Để giá trị lớn hàm số y f x x3 x 2m đoạn 0; 2 nhỏ giá trị m thuộc khoảng đây? A 0; 1 B 1; C 1; D 2; 1 Câu 11: Gọi M giá trị lớn hàm số y x3 x x m đoạn 2; 4 , m0 giá trị tham số m để M đạt giá trị nhỏ Mệnh đề đúng? A m0 B 7 m0 5 C 4 m0 D m0 8 Câu 12: Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y x 38 x 120 x 4m đoạn 0; 2 đạt giá trị nhỏ Khi giá trị tham số m A 26 B 13 C 14 D 27 Câu 13: Biết giá trị lớn hàm số y x 38 x 120 x 4m đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ Khi giá trị tham số m A -12 B -13 C -14 D -11 Câu 14: Xét hàm số y x ax b với a, b tham số Gọi M giá trị lớn hàm số đoạn 1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ a 2b A B -4 C D -3 Câu 15: Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y x3 x x m đoạn 2; 4 16 Số phần tử S A B C D Câu 16: Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y x x m đoạn [0; 2] Số phần tử S A B C D Câu 17: Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y x3 x m đoạn 2; 4 50 Tổng phần tử tập S A B 36 C 140 D Câu 18: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số 19 y x x 30 x m 20 đoạn 0; 2 không vượt 20 Tổng phần tử S A 210 B -195 C 105 D 300 Câu 19: Cho hàm số f x x x x a Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 0; 2 Có số nguyên a thuộc đoạn 3; 2 cho M 2m ? A TOANMATH.com B C D Trang 18 Câu 20: Giá trị nhỏ hàm số y f x, m x 2020 x 2019 mx đạt giá trị lớn tham số m A 2020 B 2019 C D 2018 Câu 21: Giá trị nhỏ hàm số y f x, m x x 10 mx đạt giá trị lớn A B -6 C D 10 ĐÁP ÁN 1-B 2-C 3-B 4-A 5-C 6-A 7-D 8-C 9-A 10-A 11-D 12-D 13-B 14-B 15-D 16-B 17-A 18-C 19-D 20-A 21-C TOANMATH.com Trang 19 Dạng 3: TÌM GTLN-GTNN cho đồ thị - bảng biến thiên Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình vẽ Giá trị lớn hàm số A max y B max y 1 C max y D max y Hướng dẫn giải Dựa vào bảng biên thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn x Chọn D Ví dụ Hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên hình bên Biết f 4 f , giá trị nhỏ hàm số cho A B f 4 C f D -4 Hướng dẫn giải Từ bảng biến thiên ta có f x f 4 , x ; 0 f x f , x 0; Mặt khác f 4 f suy x ; f x f Vậy f x f Chọn C TOANMATH.com Trang 20 Ví dụ Cho hàm số y f x xác định tập hợp D ; 1 1; sau 3 có bảng biến thiên Khẳng định A max f x ; không tồn f x D D B max f x ; f x D D C max f x ; f x 1 D D D f x ; không tồn max f x D D Hướng dẫn giải 3 Dựa vào bảng biến thiên max f x f 1 0; f x f D D 2 Chọn B Ví dụ Cho hàm số y f x có đồ thị khoảng 3; 3 hình bên Khẳng định A Giá trị lớn hàm số B Giá trị lớn hàm số C Giá trị nhỏ hàm số -3 D Hàm số khơng có giá trị lớn TOANMATH.com Trang 21 Hướng dẫn giải Từ đồ thị hàm số y f x ta thấy hàm số y f x xác định, liên tục f x , với x 3; 3 , nên hàm số khơng có giá trị lớn Chọn D Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên đoạn 0; 2 sau Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y f x đoạn 0; 2 A M m B M m C M m D M m Hướng dẫn giải Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy m y x M max y x 0; 2 0; 2 Chọn A Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên đoạn 2; 4 sau Giá trị lớn hàm số y f x đoạn 2; 4 A f 2 B f C f D f Hướng dẫn giải Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy max y 17 x 2; 4 Chọn D TOANMATH.com Trang 22 Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục đoạn 1; 3 có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số cho đoạn 1; 3 Giá trị M m A B C D Hướng dẫn giải Dựa vào đồ thị suy M f 3 3; m f 2 Vậy M m Chọn D Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục đoạn 1; 1 có đồ thị hình vẽ Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số cho đoạn 1; 1 Giá trị M m A B C D Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy M 1; m nên M m Chọn B Ví dụ Cho đồ thị hàm số y f x hình vẽ TOANMATH.com Trang 23 Hàm số y f x đạt giá trị lớn khoảng 1; 3 x0 Khi giá trị x02 x0 2019 bao nhiêu? A 2018 B 2019 C 2021 D 2022 Hướng dẫn giải Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có bảng biến thiên sau Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số y f x đạt giá trị lớn khoảng 1; 3 x0 Vậy x02 x0 2019 2019 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Biết giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số M, m Giá trị biểu thức P M m A P B P C D Câu 2: Cho hàm số y f x xác định liên tục khoảng 3; , TOANMATH.com Trang 24 lim f x 5, lim f x có bảng biến thiên sau x 3 x 2 Mệnh đề đúng? A Hàm số khơng có giá trị nhỏ khoảng 3; B Giá trị nhỏ hàm số -5 C Giá trị lớn hàm số D Giá trị lớn hàm số khoảng 3; Câu 3: Cho hàm số y f x có đồ thị khoảng 2; hình bên Khẳng định A Giá trị lớn hàm số B Giá trị lớn hàm số C Giá trị nhỏ hàm số -1 D Hàm số khơng có giá trị lớn Câu 4: Cho hàm số y f x liên tục 5;3 có bảng biến thiên sau TOANMATH.com Trang 25 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y f x khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn [-5; 3) B Hàm số y f x khơng có giá trị nhỏ có giá trị lớn [-5; 3) C Hàm số y f x có giá trị nhỏ có giá trị lớn [-5; 3) D Hàm số y f x có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn [-5; 3) Câu 5: Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên sau Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y f x khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn B Hàm số y f x khơng có giá trị nhỏ có giá trị lớn C Hàm số y f x có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn D Hàm số y f x có giá trị nhỏ có giá trị lớn Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên đoạn 6; 0 sau Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y f x đoạn 6; 0 A M m B M m C M m D M m Câu 7: Cho hàm số y f x liên tục đoạn 1; 4 có bảng biến thiên sau TOANMATH.com Trang 26 Mệnh đề sau sai A Hàm số y f x khơng có giá trị lớn khoảng 1; B Hàm số y f x khơng có giá trị lớn nửa khoảng 1; C Hàm số y f x khơng có giá trị nhỏ nửa khoảng 1; 4 D Hàm số y f x khơng có giá trị nhỏ đoạn 1; 4 1 Câu 8: Cho hàm số y f x liên tục \ có bảng biến thiên sau 2 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y f x khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn B Hàm số y f x khơng có giá trị nhỏ có giá trị lớn C Hàm số y f x có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn D Hàm số y f x có giá trị nhỏ có giá trị lớn Câu 9: Cho hàm số y f x liên tục 1; 3 có bảng biến thiên sau Giá trị nhỏ hàm số y f x đoạn 1; 1 TOANMATH.com Trang 27 A -4 B -1 C -3 D -2 Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục đoạn có đồ thị hình vẽ Giá trị nhỏ đoạn 1; 1 hàm số A y 1 B y C y D y 2 Câu 11: Cho đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Hàm số y f x đạt giá trị nhỏ đoạn [0; 2] x bao nhiêu? A x B x Câu 12: Cho hàm số y f x C x D x 1 ax b 1 xác định liên tục khoảng ; ; Đồ thị 2 cx b 2 hàm số y f x đường cong hình vẽ TOANMATH.com Trang 28 Tìm mệnh đề mệnh đề sau A max f x f B max f x f 3 C max f x f D max f x f 1; 0 3; 0 3; 4 1; 2 ĐÁP ÁN 1-B 2-A 11-C 12-B 3-A 4-D 5-D 6-A 7-D 8-B 9-D 10-A Dạng 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cách đặt ẩn phụ Bài tốn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác Phương pháp giải Ghi nhớ: Điều kiện Nn phụ Ví dụ: Giá trị lớn M giá trị nhỏ m t sin x 1 t - N ếu t cos x hàm số y 2sin x 2sin x t cos x - N ếu t 1 t cos x t sin x t 1 - N ếu t sin x - N ếu t sin x cos x 2.sni x 4 A M 1; m B M 3; m 1 C M 3; m 3 D M ; m 3 t Hướng dẫn giải Bước Đặt Nn phụ tìm điều kiện cho Nn phụ TOANMATH.com Đặt t sin x với t 1; 1 , ta Trang 29 y 2t 2t Bước Giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số theo Nn phụ Khi y 4t t 1 1; 1 y 1 1 Ta có y 1 y Bước Kết luận (Chọn đáp án) Do M 3; m Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y cos x 2sin x A M ; m 4 B M 4; m D M 4; m C M 0; m Hướng dẫn giải Ta có y cos x 2sin x 1 2sin x 2sin x 4sin x 2sin x Đặt t sin x, t 1; 1 , ta y 4t 2t Ta có y 8t t 1; 1 y 1 4 Vì y 1 nên M ; m 4 y Chọn A Ví dụ Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y A B C cos x cos x cos x D Hướng dẫn giải Đặt t cos x t , ta y f t TOANMATH.com t2 t 1 với t t 1 Trang 30 Vì f t t 2t t 1 0, t 0; 1 nên f t f 1; max f t f 1 0; 1 0; 1 Suy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho f t max f t 0; 1 0; 1 2 Chọn B Ví dụ Giá trị lớn M hàm số y cos x sin x A M C M B M D M Hướng dẫn giải Đặt t cos x t , ta y t 1 t với t 0; 1 Ta có y 2t t 0; 1 3 Vì y 3; y 3; y 1 nên M Chọn A Ví dụ Cho hàm số y sin x m 1 sin x 2m sin x (với m tham số thực) Giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ m A B C D Hướng dẫn giải Xét f x sin x sin x sin x Đặt t sin x 1 t , ta f t Ta có f t Vì f 1 Hay 2 t 4t t 2 t2 t với t 1; 1 t2 t 1; 1 t 4t t 1; 1 4 ; f 1 2; f 1 nên max f t 1 f t 2 1; 1 1; 1 sin x sin x 1, x sin x Mặt khác y sin x sin x m f x m , f x 1 sin x TOANMATH.com Trang 31 Do max y max f x m max m , m max m , m 2; 1 max y m m m m 1 m m Dấu đạt m m m 1 Chọn A Ví dụ Giá trị nhỏ biểu thức P cos x 2sin x A 1 B 1 D C Hướng dẫn giải Ta có P sin x cos x sin x cos x 4sin x cos x t2 1 Đặt t sin x cos x 2.sin x với t sin x cos x 4 4t 8t 2 Xét y P 4t 2t 2t 4t 1 1 ;t 2 1 1 t 2 t 1 1 ;t 8t t 2 y 1 1 8t t 2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, suy f t ; 1 P Chọn B TOANMATH.com Trang 32 Ví dụ Giá trị lớn hàm số f x sin x cos x đoạn 0; A max y 0; B max y C max y 0; 0; D max y 0; Hướng dẫn giải Đặt t sin x cos x 2sin x 2t , với x 0; t 0; 1 Ta f t 2t t với t 0; 1 Ta có f t 4t t 0; 1 1 Do f 1; f ; f 1 nên max f t 0; 4 Vậy giá trị lớn hàm số max y 0; Chọn D Bài toán Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khác Ví dụ mẫu 6x x Ví dụ Giá trị lớn hàm số y x 1 x 1 A B -5 C D Hướng dẫn giải Do x x Đặt t x x 1 x t x 1 1 Khi y 4t 6t với t ; 2 1 Vì y 12t 0, t nên hàm số đồng biến ; 2 1 Do max y y 1 2 ; 2 Chọn A Ví dụ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y x x A 2; B 4; C 4; D 4; 2 Hướng dẫn giải Tập xác định D 1; 9 TOANMATH.com Trang 33 Ta có y x 1 x x x x 1; Vì y 1 y 2; y nên max y 4; y 2 Chọn D Nhận xét: với hàm số y x a x b a x b; a b y y a b x a x b y a b y a b x a x b a b a b y a b dấu xảy Suy Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y x x A 5 B – x 1 x C – D Hướng dẫn giải Tập xác định hàm số D 1; 3 t2 Đặt t x x t x 1 x x 1 x 2 Do t x 1 x 4, x 1; 3 , từ suy 2 t Bài tốn quy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g t t2 t đoạn 2; 2 Ta có g t t t 1 2; Lại có g 2 2; g 2; g 1 Suy giá trị nhỏ 5 5 Chọn A Nhận xét: Với hàm số y x a x b a x b; a b y2 a b x a x b a b ab y ab Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y sin x 4sin x A M 2; m 5 TOANMATH.com B M 5; m C M 5; m 2 D M 2;m 5 Trang 34 Câu 2: Giá trị nhỏ m hàm số y cos3 x sin x cos x B m A m 113 27 C m 113 27 D m 3 Câu 3: Giá trị lớn hàm số y cos x 4sin x đoạn 0; 2 A M B M C M Câu 4: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y A ; 3 B ; C 4 B 2; C 3cos x 4sin x theo thứ tự 3sin x cos x 1 ; Câu 5: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y A 2; D M 2 D x 1 x theo thứ tự x 1 x 1 ; 2 ; D 4 ; 2 Câu 6: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y cos x cos x theo thứ tự A B C D 4 Câu 7: Giá trị lớn hàm số y f x x x A max y C max y B max y 2 1; 3 Câu 8: Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x A D max y 1; 3 1; 3 B C 1; 3 1 x 2 D Câu 9: Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x x 1 x đoạn 1; 1 Khi tỉ số A M m B 16 C D ĐÁP ÁN 1-B 2-B TOANMATH.com 3-D 4-A 5-B 6-D 7-C 8-B 9-C Trang 35 Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến Ví dụ mẫu Ví dụ Cho biểu thức P A x xy y với x y Giá trị nhỏ P x xy y B C D Hướng dẫn giải N ếu y P =1 (1) x x y y 1 2 x xy y N ếu y P 2 x xy y x x y y 1 Đặt t f (t ) x t2 t 1 , P f (t ) y t t 1 2t 2t t 1 (t t 1) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có P f (t ) (2) Từ (1) (2) suy P f (t ) 1 P 3 Chọn B Ví dụ Cho hai số thực x,y thỏa mãn x 0; y x y Giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P A x y y 1 x 1 B C D Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 36 Ta có P x y x( x 1) y ( y 1) ( x y ) xy xy y 1 x 1 ( x 1)( y 1) xy x y xy Đặt t xy ta P 2t 2t Vì x 0; y t Mặt khác x y xy xy 1 t 4 Khi đó, tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số g (t ) Xét hàm số g (t ) Ta có g (t ) 2t xác định liên tục 2t 2t 1 0; 2t 4 1 0; 6 1 với t 0; (2 t ) 4 1 hàm số g (t ) nghịch biến đoạn 0; 4 1 g (t ) g min 4 0; min P Do max g (t ) g (0) max P 0; 14 Chọn C Ví dụ Cho x, y số thực thỏa mãn ( x 3) ( y 1) Giá trị nhỏ biểu thức P y xy x y x y 1 A B C 114 11 D Hướng dẫn giải ( x 3) ( y 1) x y x y P (3 y xy x y 1) ( x y x y 5) x y 1 y xy x x y (2 y x) ( x y ) x y 1 x y 1 Đặt t x y (12 22 ) ( x 3) ( y 1) ( x 3) (2 y 2) ( x y 5) 25 x y 10 Ta P f (t ) t2 t 4 t , t 10 t 1 t 1 TOANMATH.com Trang 37 Xét f (t ) t (0;10) (t 1) (t 1) t 3 (0;10) Vì f (0) 4; f (10) 114 ; f (1) P t Chọn A 11 Ví dụ Gọi x0 , y0 , z0 ba số thực dương cho biểu thức P đạt giá trị nhỏ 2 2 x y yz 2( x y z ) xz x y z Tổng x0 y0 z0 A B C 3 D Hướng dẫn giải Ta có P 2 x y 2 yz y 2( x z ) x y z 2( x y z ) ( x y z ) x y z Đặt x y z t Khi P f (t ) Ta có f ' (t ) , (t 0) 2t t 3(t 1)(5t 3) t 1 2t (t 3) Bảng biến thiên x y z x z Suy P Dấu “=” xảy y z y x z y Do x0 y0 z0 1 Chọn B 4 x xy Ví dụ Cho x,y số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 x y 14 Tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức P x y xy x x TOANMATH.com Trang 38 A B C 12 D Hướng dẫn giải Với điều kiện toán x, y x xy y x2 3 x x x Lại có 3 9 x y 14 x x 14 x 14 x x 1; x 5 3 3 Từ P x x x x x3 x x x x x 9 9 9 Xét hàm số f ( x) x ; x 1; f ' ( x) 0; x 1; x x 5 5 9 Suy hàm số đồng biến 1; 5 9 f (1) f ( x) f 4 f ( x) max P P (4) Chọn B 5 Ví dụ Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn 1;9 x y, x z Giá trị nhỏ biểu thức P y 1 y z 10 y x y z z x A 11 18 B C D Hướng dẫn giải Với a, b dương thỏa mãn ab ta có bất đẳng thức Thật 1 a b ab a b 1 a b ab ab ab Dấu xảy a = b ab = 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức P x 2 z x x x 10 1 10 1 y y z y y Đặt x 1 t 1;3 Xét hàm số f (t ) đoạn 1;3 y 10 t t f ' (t ) 2t ; f ' (t ) t 2t 24t 2t 100 2 (10 t ) (1 t ) (t 2)(t 24t 50) t t 24t 50 0, t 1;3 Bảng biến thiên TOANMATH.com Trang 39 Suy Pmin x y z x y z x y x z y y Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn 3x xy y Giá trị nhỏ biểu thức P x xy y thuộc khoảng sau đây? A (4;7) B (-2;1) C (1;4) D (7;10) Câu 2: Cho x, y hai số thực không âm thỏa mãn x y Giá trị lớn biểu thức P x y xy x y xy A max P B max P C max P 1 D max P Câu 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y Giá trị nhỏ P x y A P B P C P D P Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2( x y ) xy biểu thức P 7( x y ) x y Gọi M, m theo thứ tự giá trị lớn giá trị nhỏ P Tổng M m A M m 260 33 B M m C M m 2344 825 Câu 5: Cho x, y số thực thỏa mãn x xy y biểu thức P D M m 232 25 x4 y4 Gọi M, m thứ tự x2 y2 giá trị lớn giá trị nhỏ P Tổng M 15m A 17 B 17 C 17 D 17 Câu 6: Cho số thực x, y dương thỏa mãn x 1, y 3( x y ) xy Gọi M, m thứ tự giá trị lớn 1 giá trị nhỏ P x3 y Tổng M m y x TOANMATH.com Trang 40 A M m 163 B M m 197 12 C M m 673 12 Câu 7: Cho số thực dương x, y, z Giá trị nhỏ biểu thức M A 16 25 B C 25 D M m 613 x y 16 z ( x y z )3 D 25 Câu 8: Cho a, b, c không âm phân biệt Giá trị nhỏ biểu thức 1 P (a b c ) 2 2 (a b) (b c) (c a ) A 11 5 B 10 5 C 11 D 13 Câu 9: Xét ba số thực a; b; c thay đổi thuộc đoạn 0;3 Giá trị lớn biểu thức T (a b)(b c)(c a ) (ab bc ca ) (a b c ) A B C 81 D 41 Câu 10: Cho x, y, z số thực thỏa mãn x y z x y z Giá trị nhỏ biểu thức P 1 2 xz y ( x y) ( y z ) A 217 B 218 C 219 Câu 11: Cho x, y, z số thực thỏa mãn x y D 216 z Giá trị lớn biểu thức 1 1 P ( x y z ) y z x A 297 B 320 C 219 D 412 11 Câu 12: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Giá trị lớn biểu thức P a b c 4abc A B 3 C D Câu 13: Cho x, y, z 1; 4 x y; x z Giá trị nhỏ biểu thức P x y z 2x y y z z x A 33 34 B 34 35 C 35 34 Câu 14: Cho x, y, z 1; 4 x y Giá trị nhỏ biểu thức P D 34 33 ( y 1) y z 40 y x yz z 2( x z ) TOANMATH.com Trang 41 A B C 1-C 2-B 3-C 4-C 11-A 12-A 13-D 14-A 5-A 2 D 6-A 7-A 8-A 9-C 10-D Dạng 6: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số liên quan đến hàm ẩn Bài tốn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y = f(x) Phương pháp giải Thực theo hai cách Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) liên tục tập có bảng biến thiên sau Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f ( x x) đoạn 7 ; Tìm khẳng định khẳng định sau Cách 1: Bước Đặt t = u(x) Đánh giá giá trị t khoảng K Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất M m A M m 10 B C M m D M m Hướng dẫn giải Đặt t x x 5 7 Ta có x ; x 2 2 đẳng thức để đánh giá giá trị t = u(x) ( x 1) 25 1 ( x 1) TOANMATH.com 21 21 t 1; 4 Trang 42 Bước Từ bảng biến thiên đồ thị 21 Xét hàm số y f (t ), t 1; 4 hàm số cho ta giá trị lớn giá trị nhỏ Từ bảng biến thiên suy hàm số y = f(t) m f (t ) f (1) 2; 21 1; 21 M max f (t ) f 21 4 1; M m Bước Kết luận Chọn B Cách 2: Ta có y ' (2 x 2) f ' ( x x) Bước Tính đạo hàm y ' u ' ( x) f ' (u ( x)) x 2 x x x x y' x2 x x 21 2 x x x 1 Bước Tìm nghiệm y ' u ' ( x) f ' (u ( x)) =0 Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f ( x), y f (u ( x)) , y f (u ( x)) h( x ) Vẽ bảng biến thiên kết luận M 5; m M m Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên sau Hàm số y f ( x 1) có giá trị nhỏ đoạn 0; 2 A f (2) B f (2) C f (1) D f (0) Hướng dẫn giải Đặt t x , x 0; 2 t 0;1 TOANMATH.com Trang 43 Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y f (t ) có giá trị nhỏ f (t ) f (0) 0;1 Chọn D Ví dụ Cho hàm số y f ( x) có đồ thị hình vẽ Khi hàm số y f (2 x ) đạt giá trị nhỏ 0; A f (2) B f (2) C f (1) D f (0) Hướng dẫn giải Đặt t x Từ x 0; x x t 0; 2 Dựa vào đồ thị, hàm số y f (t ) có giá trị nhỏ f (t ) f (2) 0;2 Chọn B Ví dụ Cho hàm số y f ( x) ax bx c xác định liên tục có bảng biến thiên sau Giá trị nhỏ hàm số y f ( x 3) đoạn 0; 2 A 64 B 65 C 66 D 67 Hướng dẫn giải Hàm số có dạng f ( x) ax bx c Từ bảng biến thiên ta có f (0) c c f (1) a b c b 2 f ( x) x x f ' (1) 4a 2b a Đặt t x 3, x 0; 2 t 3;5 Dựa vào đồ thị, hàm số y f (t ) đồng biến đoạn 3;5 Do f ( x 3) f (t ) f (3) 66 0;2 3;5 Chọn C TOANMATH.com Trang 44 Bài toán Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f u x , y f u x h x Khi biết đồ thị hàm số y f ' (x) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục Biết đồ thị hàm số y f ' ( x) Lập hàm số g ( x) f ( x) x x Mệnh đề sau đúng? A g (1) g (1) B g (1) g (1) C g (1) g (2) D g (1) g (2) Hướng dẫn giải Ta có g ' ( x) f ' ( x) x Từ đồ thị hàm số y f ' ( x) đường thẳng y x ta có g ' ( x) x 1 f ( x) x x x ' Bảng biến thiên TOANMATH.com Trang 45 Ta cần so sánh đoạn 1; 2 Đường thẳng y x đường thẳng qua điểm A(1; 1) , B(1;3) , C (2;5) nên đồ thị hàm số y f ' ( x) đường thẳng y x cắt điểm Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y f ( x) liên tục có bảng biến thiên sau Gọi M giá trị lớn hàm số y g ( x) f (3 x) 0;3 Mệnh đề sau đúng? A M f (0) B M f (3) C M f (1) D M f (2) Câu 2: Cho hàm số y f ( x) có đồ thị hình vẽ Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x f 2 đoạn 0; 2 Khi M m A B C D Câu 3: Cho hàm số y f ( x) liên tục có bảng biến thiên sau TOANMATH.com Trang 46 Hàm số y f (2sin x) đạt giá trị lớn nhỏ M m Mệnh đề A m 2 M B M 2m C M m D M m Câu 4: Cho hàm số y f ( x) liên tục 2; 4 có bảng biến thiên sau Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g x f cos x 4sin x 3 Giá trị M m A B – C D Câu 5: Cho hàm số y f ( x) liên tục có đồ thị hình vẽ Khi giá trị lớn hàm số y f x2 nửa khoảng 2; A B – C D Không tồn Câu 6: Cho hàm số y f ( x) liên tục có đồ thị hình vẽ TOANMATH.com Trang 47 2x Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g x f ; Tổng x 1 M m A B C D 12 Câu 7: Cho hàm số y f ( x) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Gọi M, m theo thứ tự giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x đoạn 1;5 Tổng M m A B C D Câu 8: Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x x đoạn 1;3 M, m Tổng M m A 13 B C f (2) D Câu 9: Cho hàm số y f ( x) liên tục (; ) có đồ thị hình vẽ TOANMATH.com Trang 48 Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x3 x đoạn 2; 0 Tổng M m A M m 2 B M m C M m 11 D M m Câu 10: Cho hàm số y f ( x) , biết hàm số y f ' ( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số y f ( x) đạt giá trị nhỏ đoạn 1 3 ; điểm sau đây? A x C x B x D x Câu 11: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f ' ( x) Hàm số y f ' ( x) liên tục có đồ thị hình vẽ Biết f (1) 13 , f (2) Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g ( x) f ( x) f ( x) 1; 2 A 1573 64 B 198 C 37 D 14245 64 Câu 12: Cho hàm số y f ( x) liên tục Đồ thị hàm số y f ' ( x) hình vẽ Đặt g ( x) f ( x) ( x 1) Mệnh đề đúng? A g ( x) g (1) 3;3 TOANMATH.com B max g ( x) g (1) 3;3 Trang 49 D Không tồn giá trị nhỏ g ( x) 3;3 C max g ( x) g (3) 3;3 Câu 13: Cho hàm số y f ( x) có đồ thị y f ' ( x) hình vẽ 3 Xét hàm số g ( x) f ( x) x3 x x 2018 Mệnh đề đúng? A g ( x) g (1) B g ( x) g (1) 3;1 C g ( x) g (3) 3;1 3;1 D g ( x) 3;1 g (3) g (1) Câu 14: Cho hàm số y f ( x) ,hàm số f ' ( x) có đồ thị hình vẽ Giá trị nhỏ hàm số g ( x) A 11 f (1) 19 B 11 f (2 x 1) (2 x 1) x khoảng 19 14 f (4) 19 C f (0) 5 0; D 70 f (2) 19 Câu 15: Cho hàm số y f ( x) Biết hàm số y f ' ( x) có đồ thị hình vẽ Trên đoạn 4;3 ,hàm số g ( x) f ( x) (1 x) đạt giá trị nhỏ điểm A x0 3 B x0 4 C x0 1 D x0 TOANMATH.com Trang 50 1-D 2-A 3-A 4-A 5-A 6-C 11-A 12-B 13-A 14-D 15-C 7-C 8-B 9-B 10-C Dạng Ứng dụng giá trị lớn nhỏ tốn thực tế Ví dụ mẫu Ví dụ Một chất điểm chuyển động theo quy luật s 3t t Thời điểm t (giây) mà vận tốc v m / s chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn A t = 2s B t = 5s C t = 1s D t =3s Hướng dẫn giải Ta có v t s t 6t 3t v t 3 t 1 3, t Giá trị lớn v t t Chọn C Ví dụ Một vật chuyển động theo quy luật s t 6t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 180 (m/s) B 36 (m/s) C 144 (m/s) D 24 (m/s) Hướng dẫn giải Ta có v t s t t 12t v t 2t 12 t Vì v 36; v 0; v 35 nên vận tốc lớn đạt 36 (m/s) Chọn B Ví dụ Một loại thuốc dùng cho bệnh nhân nồng độ thuốc máu bệnh nhân giám sát bác sĩ Biết nồng độ thuốc máu bệnh nhân sau tiêm vào thể t t cho công thức c t mg / L Sau tiêm thuốc nồng độ thuốc t 1 máu bệnh nhân cao nhất? A B C D Hướng dẫn giải Xét hàm số c t c t 1 t2 t 1 t t 0 t 1 t 0; 0 t 1 0; Bảng TOANMATH.com biến thiên Trang 51 Với t = (giờ) nồng độ thuốc máu bệnh nhân cao Chọn B Ví dụ N gười ta xây bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 500 m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây bể 600.000 đồng / m Hãy xác định kích thước bể cho chi phí th nhân cơng thấp Chi phí A 75 triệu đồng B 85 triệu đồng C 90 triệu đồng D 95 triệu đồng Hướng dẫn giải Gọi x m chiều rộng đáy bể, chiều dài đáy bể 2x m h m chiều cao bể Bể tích x h 500 250 h 3x Diện tích cần xây S xh xh x x Xét hàm f x 250 500 2x2 x2 3x x 500 500 2x2 , x 0 ; f x 4x f x x x x Bảng biến thiên Do f x f 150 0; Chi phí th nhân cơng thấp diện tích xây dựng nhỏ S 150 Vậy giá thuê nhân công thấp 150.600000 = 90.000.000 đồng Chọn C Ví dụ Bác Hồng có thép mỏng hình trịn, tâm O, bán kính dm Bác định cắt hình quạt trịn tâm O, quấn hàn ghép hai mép hình quạt tròn lại để tạo thành đồ vật dạng mặt nón TOANMATH.com Trang 52 trịn xoay (tham khảo hình vẽ) Dung tích lớn đồ vật mà bác Hoàng tạo bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn độ dày thép) A 128 3 dm 27 B 128 3 dm 81 C 16 3 dm 27 D 64 3 dm 27 Hướng dẫn giải Khi hàn hai mép hình quạt trịn, độ dài đường sinh hình nón bán kính hình quạt trịn, tức OA 4dm 1 Thể tích hình nón V r h 16 h h với h 3 Ta có V h 16 3h V h h 3 Dựa vào bảng biến thiên, suy thể tích lớn hình nón 128 3 dm Chọn A 27 Ví dụ N gười ta làm thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu 2 m3 Hỏi bán kính đáy R chiều cao h thùng phi để làm tiết kiệm vật liệu A R m; h 8m B R 1m; h 2m C R 2m; h m D R 4m; h m Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có V R h 2 h R2 Diện tích tồn phần thùng phi TOANMATH.com Trang 53 2 Stp 2 Rh 2 R 2 R R Xét hàm số f R R với R 0; R 2 R 1 Ta có f R R R R2 f R R Bảng biến thiên Suy diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ R h Vậy để tiết kiệm vật liệu làm thùng phi R 1m; h 2m Chọn B Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến hịn đảo C hình vẽ Khoảng cách từ C đến B km Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách 4km Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện biển 40 triệu đồng, đất liền 20 triệu đồng Tính tổng chi phí nhỏ để hồn thành cơng việc (làm trịn đến hai chữ số sau dấu phNy) A 120 triệu đồng B 164,92 triệu đồng C 114,64 triệu đồng D 106,25 triệu đồng Hướng dẫn giải Gọi M điểm đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện biển nối với điểm C Đặt AM x BM x CM x 17 x x , x 0; 4 Khi tổng chi phí lắp đặt y x.20 40 x x 17 (đơn vị: triệu đồng) y 20 40 x4 x x 17 TOANMATH.com 20 x x 17 x x x 17 Trang 54 y x x 17 x x 12 3 12 Ta có y 80 20 114, 64; y 40 17 164,92; y 120 Do chi phí nhỏ để hồn thành cơng việc 114,64 triệu đồng Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một vật chuyển động theo quy luật s t 9t với t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 216 (m/s) B 30 (m/s) C 400 (m/s) D 54 (m/s) Câu 2: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ nhà ga Quãng đường s (mét) đoàn tàu hàm số thời gian t (giây), hàm số s t 6t Thời điểm t (giây) mà vận tốc v(m/s) chuyển động đạt giá trị lớn A t = 2s B t = 6s C t = 8s D t = 4s Câu 3: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động s t 6t 17t , với t (s) khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động s (m) quãng đường vật khoảng thời gian Trong khoảng thời gian giây đầu tiên, vận tốc v (m/s) chất điểm đạt giá trị lớn A 29 m/s B 26 m/s C 17 m/s D 36 m/s Câu 4: Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G x 0, 035 x 15 x , x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x tính miligam) Liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều A x = B x = 10 C x = 15 D x = Câu 5: Để thiết kế bể cá khơng có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 60cm, thể tích 96.000cm3 , người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng / m loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng / m2 Chi phí thấp để làm bể cá A 28.300 đồng B 38.200 đồng C 83.200 đồng D 83.200 đồng Câu 6: Một hộp có dạng hình hộp chữ nhật tích 48 m3 chiều dài gấp đôi chiều rộng Chất liệu làm đáy bốn mặt bên hộp có giá thành gấp ba lần giá thành chất liệu làm nắp hộp m Gọi h chiều cao hộp để giá thành làm hộp thấp biết h với m, n số nguyên n dương nguyên tố Tổng m + n A 12 B 13 C 11 D 10 Câu 7: Một người thợ xây, muốn xây bồn chứa thóc hình trụ trịn với thể tích 150m3 (như hình vẽ) Đáy làm bê tông, thành làm tôn nắp bể làm nhôm Biết giá thành vật liệu sau: bê tơng 100 nghìn đồng m , tơn 90 nghìn m nhơm 120 nghìn đồng m Chi phí thấp để làm bồn chứa thóc (làm trịn đến hàng nghìn) TOANMATH.com Trang 55 A 15038000 đồng B 15037000 đồng C 15039000 đồng D 15040000 đồng Câu 8: Một công ty dự kiến chi tỉ đồng để sản xuất thùng đựng sơn hình trụ có dung tích lít Biết chi phí để làm mặt xung quanh thùng 100.000 đồng / m , chi phí để làm mặt đáy 120.000 đồng / m Số thùng sơn tối đa mà công ty sản xuất (giả sử chi phí cho mối nối không đáng kể) A 58135 thùng B 18209 thùng C 12525 thùng D 57582 thùng Câu 9: Một cốc hình trụ có bán kính đáy 2cm, chiều cao 20cm Trong cốc có nước, khoảng cách đáy cốc mặt nước 12cm (hình vẽ) Một quạ muốn uống nước cốc mặt nước phải cách miệng cốc khơng q 6cm Con quạ thơng minh mổ viên đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào cốc để mực nước dâng lên Để uống nước quạ cần thả vào cốc viên đá? A 30 B 27 C 28 D 29 Câu 10: Một người cần từ khách sạn A bên bờ biển đến đảo C Biết khoảng cách từ đảo C đến bờ biển 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B bờ gần đảo C 40km N gười đường thủy đường đường thủy (như hình vẽ bên) Biết kinh phí đường thủy USD/km, đường USD/km Hỏi người phải đường khoảng để kinh phí nhỏ nhất? TOANMATH.com Trang 56 A 15 km B 10km C 65 km D 40km Câu 11 Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ biển khoảng AB = (km) Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7(km) N gười canh hải đăng chèo đị từ A đến vị trí M bờ biển với vận tốc (km/h) từ M đến C với vận tốc (km/h) Vị trí điểm M cách B khoảng gần với giá trị sau để người đến kho nhanh nhất? A 1, 0km B 7, 0km C 4,5km D 2,1km Câu 12 Thầy Toản có gỗ dài 3,2 m Thầy Toản dự định dùng gỗ để thiết kế hình tam giác giống làm kệ trang trí phịng đọc sách, tam giác có cạnh có độ dài 24 cm (coi mNu cắt bỏ khơng đáng kể) Tổng diện tích tam giác có giá trị lớn A 40 119cm B 16 119cm C 480cm2 D 960cm Câu 13 Một kĩ sư công ty xăng dầu thuê thiết kế mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng hình vẽ bên, kích thước r, h thay đổi cho nguyên vật liệu làm bồn xăng N gười kĩ sư phải thiết kế kích thước h để đảm bảo yêu cầu mà công ty xăng dầu đưa ra? A h B h C h V D h 1-D 2-A 3-A 11-C 12-D 13-A V V 4-B 5-C 6-C 7-A 8-A 9-C 10-C Dạng Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ việc giải phương trình Bài tốn Tìm m để F x; m có nghiệm tập D Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 57 Thực theo bước sau Ví dụ: Có giá trị nguyên tham số m đoạn 100;100 để phương trình x x m có nghiệm thực? Bước Cô lập tham số m đưa dạng f x g m A 100 B.101 C 102 D 103 Hướng dẫn giải Điều kiện x 1 t0 Đặt t x x t 1 Ta phương trình Bước Khảo sát biến thiên hàm số f x D 2t t m m t 2t Xét hàm số f t t 2t 1, t f t 2t t Bảng biến thiên Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A m cho đường thẳng y g m cắt đồ thị hàm số y f x Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm m 100 m Bước Kết luận Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn Chú ý: Chọn D +)N ếu hàm số y f x liên tục có giá trị lớn giá trị nhỏ D phương trình f x g m có nghiệm f x g m max f x D D +)N ếu tốn u cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện cho đường thẳng y g m nằm ngang cắt đồ thị hàm TOANMATH.com Trang 58 số y f x k điểm phân biệt Ví dụ mẫu Ví dụ Cho phương trình m x x x x ( m tham số) Biết tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;1 2 đoạn a; b Giá trị biểu thức T a 2b A T B T C T D T Hướng dẫn giải Đặt t x x Xét hàm số t x x x đoạn 0;1 2 t x x 1 x 2x 2 t x Vì t 2; t 1 1; t 2 nên t 1;3 Yêu cầu toán tương đương với phương trình m t 1 t có nghiệm thuộc đoạn 1;3 m t2 có nghiệm thuộc đoạn 1;3 (1) t 1 Xét hàm số f t f t t 2t t 1 t2 đoạn 1;3 t 1 0, t 1;3 hàm số đồng biến đoạn 1;3 Để phương trình (1) cho có nghiệm f t m max f t 1;3 1;3 f 1 m f 3 m Vậy a ; b T Chọn A x y Ví dụ Giá trị nhỏ tham số m để hệ phương trình 4 x y m x, y có nghiệm m0 Mệnh đề đúng? A m0 20; 15 B m0 12; 8 3 C m0 ;0 1 9 D m0 ; 2 4 Hướng dẫn giải x y 1 Ta có 4 x y m 2 TOANMATH.com Trang 59 Từ (1) suy y x thay vào (2) ta (2) x x m (3) Xét hàm số f x x x có tập xác định D f x x3 x f x x3 x x x x 3 Bảng biến thiên Hệ cho có nghiệm thực phương trình (3) có nghiệm thực 1 9 Dựa vào bảng biến thiên ta m m0 ; Chọn D 2 4 Bài tốn Tìm m để bất phương trình F x; m 0; F x; m 0; F x, m 0; F x; m có nghiệm tập D Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Các giá trị tham số m để bất phương trình x m có nghiệm khoảng x 1 ;1 A m B m 3 C m D m Bước Cô lập tham số m đưa dạng Hướng dẫn giải g m f x g m f x Bất phương trình cho tương đương với g m f x g m f x x m x 1 Xét hàm số y x Bước Khảo sát biến thiên hàm số f x D TOANMATH.com khoảng ;1 x 1 x 1 y 2 x 1 x 1 x ;1 y x 1 ;1 Trang 60 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, để bất phương trình Bước Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị tham số m x m có nghiệm khoảng ;1 x 1 m 3 Chọn B Bước Kết luận Chú ý: N ếu hàm số y f x liên tục có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ D +) Bất phương trình g m f x có nghiệm D g m max f x D +) Bất phương trình g m f x nghiệm x D g m f x D +) Bất phương trình g m f x có nghiệm D g m f x D +) Bất phương trình g m f x nghiệm x D g m max f x D Ví dụ mẫu Ví dụ Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m 0; 2019 để bất phương trình x2 m 1 x A nghiệm với x 1;1 Số phần tử tập S B 2020 C 2019 D Hướng dẫn giải Đặt t x , với x 1;1 t 0;1 Bất phương trình cho trở thành t t m m t t (1) TOANMATH.com Trang 61 Yêu cầu tốn tương đương với bất phương trình (1) nghiệm với t 0;1 Xét hàm số f t t t f t 3t 2t t 0;1 f t t 0;1 23 Vì f f 1 1; f nên max f t 0;1 27 Do bất phương trình (1) nghiệm với t 0;1 m Mặt khác m số nguyên thuộc 0; 2019 nên m 1; 2;3; ; 2019 Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn tốn Chọn C Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục 1;3 có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f x x 1 x m có nghiệm thuộc 1;3 A m B m C m 2 D m 2 Hướng dẫn giải Xét hàm số P x x đoạn 1;3 Ta có P x 1 x x 1 x 16 P Dấu xảy x Suy max P x (1) 1;3 Mặt khác dựa vào đồ thị f x ta có max f x x 1;3 (2) Từ (1) (2) suy max f x x x x 1;3 Vậy bất phương trình f x x x m có nghiệm thuộc 1;3 m max f x x x m Chọn A 1;3 Bài tập tự luyện dạng TOANMATH.com Trang 62 Câu 1: Gọi S tập tất giá trị nguyên âm tham số m để phương trình x x m có nghiệm Tập S có số phần tử A 10 B C D Câu 2: Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình nghiệm thực phân biệt ? A B Câu 3: Cho phương trình C x m x có hai D x 2mx x (m tham số) Gọi p, q giá trị m nguyên nhỏ giá trị lớn thuộc 10;10 để phương trình có nghiệm Khi giá trị T p 2q A 10 B 19 C 20 D Câu 4: Biết tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình x x x x m có nghiệm thực S a; b Tổng a b A a b 31 B a b 49 C a b 10 Câu 5: Có tất số tự nhiên m để bất phương trình A B D a b x x m có nghiệm? C D Câu 6: Tất giá trị tham số m để bất phương trình x x 8 x x m nghiệm với x 2;8 A m 16 B m 15 C m D 2 m 16 Câu 7: Có số nguyên m 2018; 2018 để bất phương trình x x 2m x x nghiệm với x 0;1 A 2017 B 2018 C 2019 D 2020 Câu 8: Tổng giá trị nguyên m 20; 20 để bất phương trình x2 x x m A 195 x x có nghiệm B 175 C 165 D 162 2 x x Câu 9: Có giá trị tham số m 0; 2018 để hệ phương trình x, y có x 4x m nghiệm A B C 2014 D 2015 x y m 1 Câu 10: Cho hệ phương trình Có giá trị nguyên tham số m 0; 2019 xy y để hệ phương trình có nghiệm? A 2018 1-C B 2019 2-B TOANMATH.com 3-B C 2017 4-A 5-D 6-B D 2016 7-A 8-D 9-A 10-A Trang 63