Chuyên đề bài toán tương giao của hai đồ thị

CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị Phương pháp giải: Cho hàm số y = f ( x) y = g ( x) có đồ thị ( C ) ( C ′ ) :  Lập phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) ( C ′) f ( x) g ( x) ( ∗) =  Giải phương trình tìm x thay vào f ( x) g ( x) để suy y tọa độ giao điểm  Số nghiệm phương trình ( ∗) số giao điểm ( C ) ( C ′ ) Ví dụ 1: [Đề minh họa THPT QG năm 2017] Biết đường thẳng y = −2 x + cắt đồ thị hàm số y = x + x + điểm nhất; ký hiệu ( xo ; yo ) tọa độ điểm Tìm yo A yo = B yo = C yo = D yo = −1 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm là: −2 x + = x3 + x + ⇔ x3 + x = ⇔ x = ⇒ y = Vậy tọa độ giao điểm ( 0; ) Chọn C Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y =x − x + đường thẳng y = cắt hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) Tính x1 + x2 A x1 + x2 = B x1 + x2 = C x1 + x2 = 18 D x1 + x2 = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là:  x2 = −1 x = x = ⇒ x2 = ⇒ ⇒ x1 + x2 = x − 3x + = ⇔ x − 3x − = 0⇔ 4⇔ −2  x2 = −2  x = x = 4 Chọn B Ví dụ 3: Hỏi đồ thị hàm số y = x + x − x + đồ thị hàm số y = x − x + có tất điểm chung? A B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x3 + x − x + = x − x + ⇔ x3 + x − = ( ) ⇔ ( x − 1) x + x + = ⇔ x − = ⇔ x = Suy hai đồ thị có điểm chung Chọn C Ví dụ 4: Số giao điểm đồ thị hai hàm số y =x + x + y = x + x − A B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x + x + = x + x − ⇔ x − x − =  x2 = −1 x = ⇔ ⇒ x =4 ⇔  ⇒ đồ thị hàm số có giao điểm Chọn D  x =  x = −2 Ví dụ 5: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = A x2 − 2x + với đường thằng = y 3x − x −1 B C D Lời giải x2 − 2x + Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị ( C ) đường thẳng ( d ) = 3x − x −1 x −1 ≠ x ≠ x ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ( ∗)  2  x − x + = ( x − 1)(3 x − 6)  x − x + = 3x − x + 2 x − x + = Hệ phương trình ( ∗) có hai nghiệm phân biệt nên ( C ) cắt ( d ) hai điểm Chọn D Ví dụ 6: Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y =  x = −1 A  x = 2x −1 ( C ) đường thẳng d : y= x − x+2 x= 1+ C   x = − x = B   x = −3  x = −1 D   x = −3 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị ( C ) ( d )  x ≠ −2 2x −1 = x−2⇔  x+2 2 x − = x −  x ≠ −2  x ≠ −2  x = −1  ⇔ ⇔   x = −1 ⇔  Chọn A x = x − x − =    x =  Ví dụ 7: Biết đường thẳng = y x + cắt đồ thị hàm số y = 4x + hai điểm phân biệt có tung độ y1 x −1 y2 Tính y1 + y2 A y1 + y2 = 10 B y1 + y2 = 11 C y1 + y2 = D y1 + y2 = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị  x2 − x − =  x = −1 4x + = 3x + ⇔  ⇔ x −1 x = x ≠ −1  y1 =  x1 = ⇒ ⇒ y1 + y2 = 11 Chọn B Ta có:  = x = y 10   Ví dụ 8: Gọi A, B giao điểm hai đồ thị hàm số y = x −3 y = − x Diện tích tam giác OAB x −1 bằng: A 2 B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: Khi AB = Do SOAB = x ≠  x =−1 ⇒ y =2 x −3 =1 − x ⇔  ⇔ 2⇒ y = −1 x −1 x = x − x − = + = d ( O; AB ) = d ( O; d : x + y − = ) = 1 Chọn C d (O = ; AB ) AB = 2 2 Ví dụ 9: Đồ thị hàm số = y x − x đồ thị hàm số y= + cắt hai điểm A B Khi độ dài x AB A AB = B AB = 25 C AB = D AB = 10 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x − x = + x ≠ ⇔ x  x − x − 5x − =  x =3 ⇒ y =  A(3;6) ⇔ ⇒ ⇒ AB = Chọn C  x =−1 ⇒ y =2  B (−1; 2) Ví dụ 10: Gọi M, N giao điểm đường thẳng y= x + đường cong y = 2x + Khi hồnh độ x −1 trung điểm I đoạn thẳng MN A B − C D Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm x= 1+ 2x + = x + ⇔ x2 − 2x − = ⇔  x −1  x = −  xM = + ⇒ ⇒ xI = Chọn C  xN = − Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y = x − x + x − cắt đồ thị hàm số y = x − x + hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB A AB = B AB = 2 C AB = D AB = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x3 − x + x − = x − x + ⇔ x − x + x − = = x  A(1; −1) ⇔ ( x − 1) ( x − ) =0 ⇔  → ⇒ AB =1 Chọn D =  x  B(2; −1) Dạng 2: Sự tương giao đồ thị hàm số phân thức bậc bậc Phương pháp giải: Xét tương giao đồ thị ( C ) : y = ax + b đường thẳng d : = y kx +  cx + d d  ax + b x ≠ − Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) là: = kx +  ⇔  c ( ∗) cx + d  g ( x)= Ax + Bx + C=   Bài toán biện luận số giao điểm hai đồ thị  Trường hợp 1: Xét A= ⇒ Kết luận số giao điểm  Trường hợp 2: Xét A ≠ +) d cắt ( C ) hai điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = hai nghiệm phân biệt ∆= B − AC > −d  khác ⇔   −d  −d  −d  c +C ≠  g =  A   + B c  c    c  +) d cắt ( C ) điểm ⇔ g ( x ) có nghiệm kép khác −d g ( x ) có hai nghiệm phân c  ∆ g ( x ) =    g  −d  ≠    c  −d biệt có nghiệm= ⇔ x c  ∆ g ( x ) >    g  −d  =    c   ∆ g ( x) <  = ∆ −d +) d không cắt ( C ) ⇔ g ( x ) vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔   g ( x ) c   g  −d  =    c   Bài tốn liên quan đến tính chất giao điểm Phần này, ta xét toán mà có liên quan đến d cắt ( C ) hai điểm phân biệt Bước Tìm điều kiện để d cắt ( C ) hai điểm phân biệt ∆= B − AC > −d  ⇔ g ( x) = có hai nghiệm phân biệt khác ⇔   −d  (1) − −d d   c = + + ≠ g A B C      c  c    c  Bước Khi gọi A( x1 ; kx1 + ), B( x2 ; kx2 + ) tọa độ hai giao điểm B  −  x1 + x2 = A Với x1 , x2 hai nghiệm phương trình g ( x) = nên theo định lý Viet ta có  x x = C A  Bước Theo yêu cầu toán, ta tìm giá trị tham số ý đối chiếu với điều kiện (1) để chọn đáp án Chú ý: • x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 • ( x1 − x2 ) =( x1 + x2 ) − x1 x2 • AB = • S IAB = ( x A − xB ) + ( y A − y B ) 2 d ( I ; AB ) AB   • Tam giác IAB vuông I ⇔ IA.IB =  x + x A + xB y I + y A + y B  • Trọng tâm tam giác IAB G  I ;  3   cắt đồ thị hàm số Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng ( d ) : x − y + m = y= A x −3 hai điểm phân biệt x +1 3− 3+  B − < m < + m < − D   m > + Lời giải Ta có: d : y= x −3 x + m x m Phương trình hồnh độ giao điểm là: + = 2 x +1  x ≠ −1 ⇔  g ( x ) = x + (m − 1) x + m + = Để d cắt đồ thị hàm số y = x −3 điểm phân biệt g ( x) = phải có nghiệm phân biệt x +1 m > + ∆= (m − 1) − 4(m + 6) > khác −1 ⇔  Chọn D ⇔ m − 6m − 23 > ⇔   m < −  g (−1) = ≠ Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đường thẳng y= x + cắt đồ thị hàm số y= 2x + m hai điểm phân biệt có hồnh độ dương x −1 B m < −1 A −2 < m < −1 C m < D −2 < m < Lời giải Điều kiện: x ≠ Phương trình hồnh độ giao điểm x + = 2x + m ⇔ x − x − m − = ( ∗) x −1 Để cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ dương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt  ∆′ > 1 + m + > m > −2 S >   2 >  khác ⇔  ⇔ ⇔ m < −1 ⇔ −2 < m < −1 Chọn A > − − > P m   m ≠ −2  m ≠ −2 m ≠ −2 x +1 ( C ) đường thẳng d : y= x + m Gọi S tập hợp giá trị m để d x −1 Ví dụ 3: Cho hàm số y = cắt ( C ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 = Tổng phần tử tập hợp S là: A – B C D – Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d  x ≠ x +1 =x + m ⇔  (1) x −1  g ( x ) = x + (m − 2) x − m − = Để đồ thị ( C ) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x) = có nghiệm phân biệt khác ∆= (m − 2) + 4(m + 1) > ⇔ (*) Khi gọi x1; x2 nghiệm PT g ( x) =  g (1) =−2 ≠  x + x =2 − m Theo Viet ta có:   x1 x2 =−m − m = Ta có: x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = (2 − m) + 2(m + 1) = m − 2m + = ⇔  (thỏa mãn (*))  m = −1 Vậy S = {3; −1} ⇒ T = Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số: y = 2x −1 (C ) đường thẳng d : = y x + m Gọi S tập hợp giá trị m để x +1 d cắt ( C ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 = Tổng phần tử tập hợp S là: A B C 10 D -1 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm ( C ) d:  x ≠ −1 2x −1 = 2x + m ⇔  x +1 ) x + mx + m + 1=  g ( x= Để đồ thị ( C ) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x) = có nghiệm phân biệt khác -1 ∆ = m − 8(m + 1) > ⇔ (*) Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) =  g (−1) = ≠ −m   x1 + x2 = Theo Viet ta có:  x x = m +1  2 1 Khi x1 − x2 = ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4 m = m2 (t/m) ⇔ − 2(m + 1) = ⇔  4  m = −1 Vậy S = {9; −1} ⇒ T = Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số y = x +1 (C ) đường thẳng d : y= x + m Số giá trị tham số m để d cắt (C) x−2 điểm phân biệt A, B cho AB = A B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d: x ≠ x +1 (1) =x + m ⇔  x−2  g ( x) = x + (m − 3) x − 2m − = Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x) = có nghiệm phân biệt khác ∆= (m − 3) + 4(2m + 1) > ⇔ ( ∗) (2) g = − ≠  Khi gọi A( x1 ; x1 + m); B( x2 ; x2 + m) tọa độ giao điểm  x1 + x2 =3 − m Theo Viet ta có:  −2m −  x1 x2 = Ta có: AB = ( x1 − x2 ) + ( x1 − x2= )2  ( x1 − x2 )= ( x1 + x2 ) − x1 x2  m = = (3 − m) − 4(−2m − 1)  = 2(m + 2m + 13) =4 ⇔ m + 2m − =0 ⇔  (t / m)  m = −3 Vậy m = −3; m = giá trị cần tìm Chọn A 2x +1 (C ) đường thẳng d : = y x + m Số giá trị m để d cắt (C) x +1   điểm phân biệt A, B cho OA.OB = −10 O gốc tọa độ Ví dụ 6: Cho hàm số y = A B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d:  x ≠ −1 2x +1 = 2x + m ⇔  (1) x +1 ) x + mx + m − 1=  g ( x= Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x) = có nghiệm phân biệt khác -1 ∆ = m − 8(m − 1) > ⇔ ( ∗)  g (−1) =1 ≠ Khi gọi A( x1 ; x1 + m); B ( x2 ; x2 + m) tọa độ giao điểm −m  + = x x  Theo Viet ta có:  − m x x =    5m − Khi OA.OB = x1 x2 + 2m ( x1 + x2 ) + m = x1.x2 + (2 x1 + m)(2 x2 + m) = − m2 + m2 = −10 ⇔m= −3 ( t / m ) Vậy m = −3 giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số y = x −1 (C ) đường thẳng d : y =− x + m Gọi m giá trị để d cắt ( C ) điểm x−2 phân biệt A, B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x + y = Tính độ dài AB A AB = 2 B AB = 10 C AB = D AB = 10 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d: x ≠ x −1 =− x + m ⇔  (1) x−2  g ( x) = x − (m + 1) x + 2m − = Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x) = có nghiệm phân biệt khác ∆= ( m + 1)2 − ( 2m − 1) > ⇔ ( ∗) =− ≠ g (1)  Khi gọi A( x1 ; − x1 + m); B( x2 ; − x2 + m) tọa độ giao điểm x + x =m +1 Theo Viet ta có:  x2 2m −  x1= x1 + x2 + m +  =  xG =  m +1 m −1  3 Gọi G trọng tâm tam giác OAB ta có  ⇒ G ;  − + − + + x m x m − m 3    = = y  G 3 Do điểm G ∈ x + y = nên ta có: m +1 m −1 + =0 ⇔ m =0 ( t / m ) 3 Khi AB 2= ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2= ( m + 1) − ( 2m − 1)= 10 ⇒ AB= 10 Chọn D Ví dụ 8: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = 2mx + m − cắt đường x +1 2 thẳng d : y= x + hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có diện tích 3, với I (−1;1) Tính tổng tất phần tử S A B – 10 C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm 2mx + m −  f ( x ) = x − 2(m − 2) x + − m = = x+3⇔  x +1  x ≠ −1 ( m − )2 − ( − m ) > ∆′ > ⇔ Hai đồ thị có giao điểm  ( ∗) + − + − ≠ m m 2  f ( −1) ≠ ( )   x + x = 2(m − 2) Khi  A B ⇒ AB=  x A xB = − m = ( x A − x B )= 2 ( x A + xB ) − x A xB 8(m − 2) − 8(5 − m) Mặt khác d ( I ; d ) = −1 − + 12 + ( −1) = 1 1 8(m − 2) − 8(5 − m) ⇒ S ∆ABC = AB.d ( I ; d ) = 2 2 m = = (m − 2) − (5 − m) = m − 3m − =3 ⇔ m − 3m − 10 =0 ⇔   m = −2 Kết hợp điều kiện (*) suy m = Chọn D Ví dụ 9: Cho hàm số y = 2x +1 đường thằng d : = y x − m Gọi S tập hợp tất giá trị thực x −1 tham số m để d cắt ( C ) điểm phân biệt A, B cho SOAB = O gốc tọa độ Tính tổng tất phần tử S A B C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d: x ≠ 2x +1 (1) = 2x − m ⇔  x −1 ) x − (m + 4) x + m − 1=  g ( x= Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x) = có nghiệm phân biệt khác ∆= (m + 4) − ( m − 1) > ⇔ ( ∗)  g (1) =−3 ≠ Khi gọi A( x1 ; x1 − m); B( x2 ; x2 − m) tọa độ giao điểm m+4   x1 + x2 =2 Theo Viet ta có:  x x = m −1  2 Ta có: AB = d ( O; AB ) = ( x1 − x2 ) + (2 x1 − x2 ) = m Khi đó: = SOAB ( 5( x1 − x2 ) = m + 24 ( ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ) 1 AB.d ( O;= AB ) m m2 = + 24 4 )( ) 25 ⇔ m − m + 25 = 0⇔m= ⇔ m + 24m = ±1( t / m ) ⇒ S = {±1} Chọn B Ví dụ 10: Cho hàm số y = x +1 đường thằng y = −2 x + m Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số x −1 cho cắt điểm phân biệt A, B trung điểm AB có hồnh độ A B 11 C D 10 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) (d): x ≠ x +1 (*) =m − x ⇔  x −1 2 x − (m + 1) x + m + =0 Để đồ thị (C) cắt (d) điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm khác m > ⇔ (m + 1) − ( m + 1) > ⇔   m < −1 Khi gọi x A , xB hồnh độ hai giao điểm A, B suy x A + xB =5 = m +1 ⇒ m =9 ( t / m ) Chọn C Ví dụ 11: Tìm m để đường thẳng d : y =− x + m cắt đồ thị ( C ) hàm số y = x hai điểm phân biệt x −1 A B cho hai điểm A, B cách đường thẳng ∆ : x − y + = A m = B m = −5 C m = Lời giải D m = Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Tập hợp giá trị thực m để đường thẳng d : y =−m + cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) bốn điểm phân biệt cách  34  A  ;   25   34  B    25  7  C   4 D {1; 2} Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số, suy y =f ( x ) =x − x + t=x PT hoành độ giao điểm hai đồ thị x − x + 1= −m +  → t − 2t + m − 1= (*) Hai đồ thị có giao điểm PT (*) có hai nghiệm dương phân biệt ∆′(*) > 1 − m + > t + t =   ⇔1< m < ⇒  Suy ⇔ t1 + t2 > ⇔ 2 > t1.t2= m − t t > m − >   Giả sử t1 > t2 , nghiệm PT ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn − t1 ; − t2 ; t2 ; t1 t1 + t2 =  = ; t2  t1 = Theo đề ta có − t1 + t2 =−2 t2 ⇒ t1 =3 t2 ⇔ t1 =9t2 ⇒ t1.t2 =m − ⇒  5 t = 9t t1.t2= m − 1 ⇒ m − 1= 34 Chọn B ⇔ m= 25 25 Ví dụ 7: Cho hàm số y =x − 2(2m + 1) x + 4m ( C ) Các giá trị tham số thực m để đồ thị ( C ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x12 + x22 + x32 + x42 = A m ≥ − B m = − C m = D m = Lời giải t=x PT hoành độ giao điểm hai đồ thị x − 2(2m + 1) x + 4m = → t − 2(2m + 1)t + 4m =  ( *)  ∆′ >  Đồ thị cắt trục hoành điểm ⇔ (*) có nghiệm dương phân biệt t1 + t2 > t t > 1 (2m + 1) − 4m >  = t1 x= x22  m > − ⇔ 2(2m + 1) > ⇔ 4⇒ t1 x= x42  4m > m ≠ =  Khi x + x + x + x =2(t1 + t2 ) =4 ( 2m + 1) =6 ⇔ m = thỏa mãn 2 2  m > − Chọn D  m ≠ Ví dụ 8: Cho hàm số y =x − (4m + 2) x + 2m + 1( C ) Có giá trị m để ( C ) chia trục hoành thành đoạn phân biệt có độ dài A B C D Lời giải (1) Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) Ox x − (4m + 2) x + 2m + = Đặt = t x : (1) ⇒ t − (4m + 2)t + 2m 2= + ( 2) Để ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm phân biệt t1 > t2 > ∆ =′ ( 2m + 1) − 2m − >   2m + 4m > ⇔  S = ( 4m + ) > ⇔ ( *) + > m   = 2m + >  P t1 + t2 = 4m + Theo định lý Viet ta có:  2m + t= t Khi PT (1) có điểm A, B, C, D theo thứ tự hoành độ tăng dần là: − t1 ; − t2 ; t2 ; t1 Ta có: AB= CD= t1 − t2 ; BC= t2 ⇒ AB= BC= CD ⇔ t1 = t2 ⇔ t1= 9t2 t1 + t2 = 4m + 2m + 2m +  , t2 =  t1 9.= Giải hệ: = 1) 25 2m + ⇔ 5 ⇒ ( 2m + = t1 9t2   t 2m + 2m + 1 t= t t= ( ) m = giá trị cần tìm Chọn C m 2,= m ⇔ m − 18m + = ⇔  ( t / m(*) ) Vậy= m = 7  Dạng 4: Sự tương giao đồ thị hàm số bậc Phương pháp giải: Xét đồ thị ( C ) : y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) đường thẳng d : = y kx +  Hoành độ giao điểm y= x + m ( C ) nghiệm phương trình ax3 + bx + cx + d =kx +  ⇔ ax3 + bx + ( x − k ) x + d −  =0 → Số giao điểm d ( C ) nghiệm phương trình (1)  Trường hợp 1: Phương trình (1) có nghiệm đẹp x = xo (1)  x = xo Khi (1) thành ( x − xo ) Ax + Bx + C =0 ⇔   g ( x)= Ax + Bx + C= ( ) ∆ g ( x ) > - Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x) = có nghiệm phân biệt khác xo ⇔   g ( xo ) ≠ Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình g ( x) = tọa độ giao điểm d ( C ) là: −B   x1 + x2 = A ( Định lý Viet) A ( xo ; kxo +  ) , B ( x1 ; kx1 +  ) , C ( x2 ; kx2 +  )   x x = C  A - Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x) = có nghiệm kép khác xo g ( x) = có hai nghiệm phân biệt, nghiệm xo nghiệm lại khác xo - Phương trình (1) có nghiệm ⇔ g ( x) = vô nghiệm g ( x) = có nghiệm kép x = xo  Trường hợp 2: Phương trình (1) khơng có nghiệm đẹp x = xo cô lập tham số Khi ta biến đổi (1) thành ϕ ( x) = h(m) Từ số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = ϕ ( x) y = h(m) Lập bảng biến thiên cho hàm số= y ϕ ( x) ⇒ Kết luận Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 − x + 1( C ) Tìm giá trị tham số m để ( C ) cắt đường thẳng = y mx + điểm phân biệt  m > A  m ≠ −9  m > B  m ≠ −9 C m >  m > − D  m ≠ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x = x3 − x + = mx + ⇔ x − x − mx = ⇔   g ( x) = x − 3x − m = −9  ∆ g ( x ) =9 + 8m > m > ĐK cắt điểm phân biệt ⇔  ⇔ Chọn D −m ≠  g (0) = m ≠ Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y =( x − )  x − ( 2m + 1) x + m + m  cắt trục hoành ba điểm phân biệt A Không tồn m B m < m > C m ≠ 1, m ≠ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số ( C ) trục hoành D ∀m ∈  x = (1) ⇔ ( x − )  x − ( 2m + 1) x + m + m  =0 ⇔  2  f ( x) = x − ( 2m + 1) x + m + m = Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ f ( x) = có hai nghiệm phân biệt 1 > ( 2m + 1)2 − m + m > ∆ > m ≠  x≠2⇔ ⇔ ⇔ m ≠ ⇔  Chọn C  f (2) ≠ m ≠ 4 − ( 2m + 1) + m + m ≠ m ≠  ( ) Ví dụ 3: Số giá trị nguyên tham số m để m ∈ [ −10;10] đường thẳng = y x − cắt đồ thị hàm số y = x − (m + 2) x + 2m − ba điểm phân biệt A 10 B 11 C 12 D 13 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x3 − (m + 2) x + 2m − = x + ⇔ x3 − (m + 6) x + 2m + = 0(*) x = ( x − 2)( x + x − m − 2) = ⇔   f ( x) = x + x − m − = Hai đồ thị có giao điểm PT (*) có ba nghiệm phân biệt, PT f ( x) = có nghiệm  ∆′ > 1 + m + > m > −3 phân biệt x ≠ ⇔  ⇔ ⇔  f (2) ≠ 4 + − m − ≠ m ≠ m ∈ [ −10;10] Kết hợp  ⇒ có 12 giá trị m Chọn C m ∈  Ví dụ 4: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số ( C ) : y = ( x − ) ( x − 2mx + m ) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ dương 4 A m ∈ (1; +∞ ) \   3  4 4  B m ∈ ( −∞;0 ) ∪ 1;  ∪  ; +∞   3 3  C m ∈ (1; +∞ ) D m ∈ ( 0; +∞ ) Lời giải x = Phương trình hồnh độ giao điểm ( x − ) x − 2mx + m =0 ⇔   f ( x) = x − 2mx + m = ( ) ( C ) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔ PT f ( x) = có hai nghiệm x > 0, x ≠ m − m >  ∆′ >  m > x + x >   2m >  4 Suy  ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ (1; +∞ ) \   Chọn A m≠ 3  x1.x2 > m >   f (2) ≠ 4 − 4m + m ≠ Ví dụ 5: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x3 − x + (m + 2) x − m đồ thị hàm số = y x − có ba điểm chung phân biệt A m < B m < C m > D m > Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số ( ) x3 − x + (m + 2) x − m = x − ⇔ x3 − x + mx − m + = ⇔ ( x − 1) x − x + m − = ( *) Đồ thị hai hàm số có ba điểm chung phân biệt pt (*) có ba nghiệm phân biệt Khi x = ( x − 1) ( x − x + m − ) = ⇔   f ( x) = x − x + m − =  f (1) ≠ 1 − + m − ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇒ m < Chọn A Yêu cầu toán ⇒  ′ ∆ > − + > < m m f x ( )    Ví dụ 6: Cho hàm số y =( x − 1) ( x + mx + 1) ( C ) Số giá trị m thỏa mãn đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 =là 10 A B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) trục Ox là:  x3 = ( x − 1) ( x + mx + 1) = ⇔   f ( x) = x + mx + = (1) Đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ g( x) = có nghiệm phân ∆ m > = m2 − > ⇔ biệt nghiệm khác ⇔   g (1) ≠ m + ≠ −m x + x = Khi cho x3 = x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) = Theo định lý Viet ta có:   x1.x2 = Theo đề ta có: x12 + x22 + x32 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ m − = ⇔ m2 = 11 ⇔ m = ± 11 ( t / m ) Vậy m = ± 11 giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3 − mx + m − 1( C ) Gọi mo giá trị m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm