ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trinh, hệ phương trinh . . .

ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình Phần 1: đặt vấn đề I. Lý do chọn đề tài: Nh ta đã biết, chuyên đề về phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệ bất phơng trình (PT, BPT, HPT, HBPT) chiếm một lợng khá lớn trong chơng trình phổ thông. Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lợng lớn bài tập mà ta không thể giải đợc bằng phơng pháp thông thờng (trong phân phối chơng trình) hoặc có thể giải đợc nhng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp. Giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ. Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhng ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "ứng dụng đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệ bất phơng trình". II. Mục đích nghiên cứu: - Trang bị cho học sinh về một phơng pháp giải PT, BPT, HPT, HBPT mang lại hiệu quả rõ nét. - Bồi dỡng cho học sinh về phơng pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng t duy, sáng tạo. III. Đối tợng nghiên cứu: - Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT nằm trong chơng trình toán phổ thông . - Phân loại các dạng toán thờng gặp và phơng pháp giải mỗi dạng. IV. Phơng pháp nghiên cứu: Phơng pháp chung của dạng bài tập này - Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải. - Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về một vế, đa phơng trình, bất phơng trình về dạng: f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x) m; hoặc f(x) m ). Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải. Phần 2: Nội dung I. Dạng 1: ứng dụng hàm số để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệ bất phơng trình. Tính chất 1: Cho phơng trình: f(x) = g(x) xác định trên D. Nếu một trong hai hàm số f(x) hoặc g(x) là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng hoặc đơn điệu ngợc với hàm kia thì phơng trình nếu có nghiệm thì Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh 1 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình nghiệm đó là duy nhất. Tính chất 2: Cho phơng trình f(x) = m xác định trên D. Điều kiện cần và đủ để phơng trình có nghiệm là m thuộc miền giá trị của hàm số f(x). Tính chất 3: Cho phơng trình f(x) = m xác định trên D Nếu f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phơng trình trên có không quá một nghiệm. Tính chất 4: Cho bất phơng trình: f(x) > m (hay f(x) < m ) i) Nếu f(x) là hàm đơn điệu tăng trên D và tồn tại x 0 D sao có f(x 0 ) = m thì tập nghiệm của bất PT là: T = D (x 0 ; + ) ( T = D (- ; x 0 )) . ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x 0 D sao có f(x 0 ) = m thì tập nghiệm của bất PT là: T = D (- ; x 0 ) (T = D (x 0 ; + ) ). Tính chất 5: Cho hàm số f(x) xác định trên D 1. f(x) m , x D m )x(f min D 2. f(x) m , x D m )x(f max D 3. f(x) m có nghiệm x D m )x(f max D 4. f(x) m có nghiệm x D m )x(f min D 5. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu tăng trên D và tồn tại u, v D. Khi đó: ( ) ( )f u f v> u > v , f(u) = f(v) u = v 6. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu giảm trên D và tồn tại u, v D. Khi đó: ( ) ( )f u f v> u < v , f(u) = f(v) u = v 1. ứng dụng hàm số để giải phơng trình Phơng pháp : Dạng 1: Phơng trình đã cho biến đổi đợc về dạng ( ) ( )f x g x= (hoặc ( ) ( )f u g u= ) trong đó ( )u u x= . Bớc 1: Biến đổi phơng trình đã cho về dạng ( ) ( )f x g x= (hoặc ( ) ( )f u g u= ) Bớc 2: Xét hai hàm số ( ); ( )y f x y g x= = trên D Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh 2 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình * Tính ' 1 y , xét dấu ' 1 y , kết luận tính đơn điệu của hàm số 1 ( )y f x= trên D * Tính ' 2 y , xét dấu ' 2 y ,kết luận tính đơn điệu của hàm số 2 ( )y g x= trên D * Kết luận hai hàm số ( ); ( )y f x y g x= = đơn điệu ngợc nhau, hoặc một trong hai hàm số là hàm số hằng. * Tìm 0 x sao cho 0 0 ( ) ( )f x g x= (hoặc tìm 0 u sao cho 0 0 ( ) ( )f u g u= ) Bớc 3: Kết luận: * Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 0 x x= (hoặc 0 u u= rồi giải phơng trình 0 u u= ) * Kết luận nghiệm của phơng trình đã cho Dạng 2: PT đã cho biến đổi đợc về dạng ( ) ( )f u f v= trong đó ( )u u x= , ( )v v x= Bớc 1: Biến đổi phơng trình về dạng ( ) ( )f u f v= Bớc 2: Xét hàm số ( )y f x= trên D * Tính 'y , xét dấu y' * Kết luận hàm số ( )y f x= là hàm số đơn điệu trên D. Bớc 3: Kết luận: * Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u v= , giải PT : u v= * Kết luận nghiệm của phơng trình đã cho 2. ứng dụng hàm số để giải bất phơng trình Phơng pháp : Dạng 1: BPT biến đổi về dạng ( ) ( )f x g x> (hoặc ( ) ( )f u g u> ) trong đó ( )u u x= . Bớc 1: Biến đổi BPT đã cho về dạng ( ) ( )f x g x> (hoặc ( ) ( )f u g u> ) Bớc 2: Xét hai hàm số 1 2 ( ); ( )y f x y g x= = trên D * Tính ' 1 y , xét dấu ' 1 y , kết luận tính đơn điệu của hàm số 1 ( )y f x= trên D * Tính ' 2 y ,xét dấu ' 2 y , kết luận tính đơn điệu của hàm số 2 ( )y g x= trên D * Tìm 0 x sao cho 0 0 ( ) ( )f x g x= (hoặc tìm 0 u sao cho 0 0 ( ) ( )f u g u= ) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh 3 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình * Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc là hàm hằng) thì 0 ( ) ( ) ,f x g x x x x D> > (hoặc 0 ( ) ( ) ,f u g u u u x D> > ) Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc là hàm hằng) thì 0 ( ) ( ) ,f x g x x x x D> < (hoặc 0 ( ) ( ) ,f u g u u u x D> < ) Bớc 3: Kết luận nghiệm của bất phơng trình đã cho Dạng 2: BPT biến đổi đợc về dạng ( ) ( )f u f v> trong đó ( )u u x= , ( )v v x= Bớc 1: Biến đổi bất phơng trình về dạng ( ) ( )f u f v> Bớc 2: Xét hàm số ( )y f x= trên D * Tính 'y , xét dấu y'. Kết luận hàm số ( )y f x= đơn điệu trên D. * Nếu f(x) đơn điệu tăng thì: ( ) ( ) ,f u f v u v x D> > Nếu f(x) đơn điệu giảm thì: ( ) ( ) ,f u f v u v x D> < Bớc 3: Kết luận nghiệm của bất phơng trình đã cho Bài 1: Giải các phơng trình sau: a. 62x6x1x =++++ b. 2 5 1 1 1 2 5 1 x x e e x x = c. 8log 2 (x 2 - x + 5) = 3(x 2 - x + 5) d. 21xxx )1x(22 2 =+ Trớc hết, ta nhận thấy các phơng trình trên không giải đợc bằng các phơng pháp thông thờng hoặc có giải đợc thì cũng rất khó khăn. Ta sẽ tìm cách để sử dụng hàm số giải các phơng trình này. Giải: a. 62x6x1x =++++ TXĐ: [ ) 2 ; + D = Xét hàm số: ( ) 1 6 2f x x x x= + + + + + TXĐ : [ ) 2 ; + D = Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh 4 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình + Đạo hàm : 1 1 1 '( ) 0, 2 2 1 2 6 2 2 f x x x x x = + + > > + + Do đó hàm số ( )f x đồng biến trên D, vậy phơng trình trên nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Mặt khác ta có: f(3) = 6. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3. b. 2 5 1 1 1 2 5 1 x x e e x x = Điều kiện: 2 5 0 5 / 2 1 0 1 x x x x Viết lại phơng trình dới dạng : 2 5 1 1 1 2 5 1 x x e e x x = (1) Xét hàm số 1 ( ) t f t e t = với t > 0 + Đạo hàm : 2 1 0 0 t f '(t) e , t t = + > > Hàm số f (t) luôn đồng biến trên khoảng (0; )+ . Khi đó: phơng trình (1) ( 2 5 ) ( 1)f x f x = 2 5 1x x = 2 5 1 4 2 5 1 2 x x x x x x = = = + = Vậy phơng trình có hai nghiệm x=2 và x=4. c. 8log 2 (x 2 - x + 5) = 3(x 2 - x + 5) (1) Với phơng trình này ta cha thể có hàm số giống nh hai câu trên mà ta phải biến đổi để tìm đợc hàm số mà ta muốn xét. TXĐ: D = Ă Trên D (1) 2 2 2 log ( 5) 3 5 8 x x x x + = + ( do 5xx 2 + > e > 0 ) Đặt t = 2 5x x + với t > e, thì phơng trình trên trở thành: 2 log 3 8 t t = (2) Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh 5 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình Xét hàm số: 2 log ( ) t f t t = với t > e Ta có 2 1 ln '( ) ln 2 t f t t = < 0 t > e Từ đó, vế trái của phơng trình (2) là hàm nghịch biến t > e; vế phải là hằng số Do đó phơng trình (2) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Mặt khác 3 (8) 8 f = Phơng trình (2) có nghiệm duy nhất t = 8 Với t = 8 ta có 2 5 8x x + = x = 2 131+ ; x = 2 131 Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x = 2 131+ ; x = 2 131 d. 21xxx )1x(22 2 =+ (1) Tơng tự nh câu c) đối với phơng trình này ta cũng cần biến đổi để xuất hiện hàm số cần xét. TXĐ: D = Ă Trên D; (1) 1x2x22 21xxx 2 +=+ xx21x2 2xx1x 2 +=+ Xét hàm số ( ) 2 t f t t= + với t Ă t ( ) 2 .ln2 1 0 f t = + > t Ă f(t) là hàm số đồng biến trên Ă Mặt khác (1) f(x - 1) = f(x 2 - x) x - 1 = x 2 - x x 2 - 2x + 1 = 0 x = 1 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 Bài 2: Giải các bất phơng trình sau: a. 3x42x6x >++ b. 2 3 2 4 2 1 ( 1) 6 15 14x x x x x x + > + c. 2 3 log 1 log 9 1x x+ + + > d. 2( 1) 1 2 3 3 4 3 x x x x + + Giải: a. 3x42x6x >++ TXĐ: D = [ ] 4;2 Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh 6 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình Xét hàm số: f(x) = 6 2 4x x x+ + với x D Ta cũng nhận thấy f(x) là hàm số đồng biến trên D (vì f(x) > 0 x (2;4)) Lại có: f(3) = 3; do đó, bất phơng trình có nghiệm x thì (3; )x + . Vậy tập nghiệm là: T = [ ] 4;2 ( 3 ; + ) = ( ] 4;3 b. 2 3 2 4 2 1 ( 1) 6 15 14x x x x x x + > + (1) TXĐ: D = Ă , BPT (1) 2 3 2 1 (2 1) 3 ( 2) 3 6x x x x + > + 3 3 2 1 3 2 1 ( 2) 3( 2)x x x x + > + (2) Xét hàm số : 3 ( ) 3f x x x= + là hàm số đồng biến trên Ă . Khi đó : (2) ( 2 1) ( 2) 2 1 2f x f x x x > > 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x > > < + < Ă Vậy bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x Ă . c. 2 3 log 1 log 9 1x x+ + + > (1) Điều kiện : x>-1, các hàm số 1 2 ( ) log 1f x x= + và 2 3 ( ) log 9f x x= + là các hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; ) + , nên hàm số 2 3 ( ) log 1 log 9f x x x= + + + là hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; ) + . Mặt khác (0) 1f = vậy (1) ( ) (0) 0f x f x > > . Vậy nghiệm của bất phơng trình là x > 0. d. 2( 1) 1 2 3 3 4 3 x x x x + + (1) Điều kiện: 1 0 1x x . Vậy TXĐ: D = [ ) 1; + (1) 2( 1) 1 2 3 2( 1) 3 2 1 x x x x x + + + + 2( 1) 1 ( 1) 1 2 3 2( 1) 3 ( 1) x x x x + + + + (2) Xét hàm số 1 2 ( ) 3 t f t t + = + , thấy ngay hàm số đồng biến trên D. Vậy trên D; (2) ( 2( 1)) ( 1) 2( 1) 1f x f x x x 2 2( 1) ( 1) ,( 1)x x do x 2 4 3 0x x + x = 1 hoặc x 3. Vậy nghiệm của bất phơng trình là x = 1 và x 3. Bài 3: Giải các hệ phơng trình và hệ bất phơng trình sau: Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh 7 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình a) 2 2 3 2 3 3 2 3 x x y y y x + + = + + + = + b) 2 2 2 2 3 2 log log 0 3 5 9 0 3 x x x x x < + + > Giải: a. Điều kiện 0, 0x y . Hệ đã cho trở thành: 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 (1) 3 3 2 x x y x x y y x y y + + = + + + + = + + + + = + + Xét hàm số 2 ( ) 3 3 3f t t t= + + + + TXĐ: [ ) 0;D = + + Đạo hàm 2 3 0 0 2 3 t f '(t) , t t t = + > > + suy ra hàm số đồng biến trên D. Vậy trên D, phơng trình (1) đợc viết dới dạng ( ) ( )f x f y x y= = . Khi đó hệ đã cho trở thành 2 2 3 2 3 3 3 (2) x x y x x x y x y + + = + + = = = Giải (2): Ta đoán đợc x=1 là một nghiệm của (2), mặt khác dễ nhận thấy phơng trình (2) có vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến. Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT (2), Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=y=1. Nhận xét: Đối với hệ phơng trình, hệ bất phơng trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi làm xuất hiện các phơng trình giải đợc bằng phơng pháp hàm số để đa về mối quan hệ giữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trờng hợp tìm ra cách giải tiếp. b. 2 2 2 2 3 2 log log 0 (1) 3 5 9 0 (2) 3 x x x x x < + + > Giải (1): (1) 2 2 2 2 0 0 0 1 4 0 log 2 1 4 log 2log 0 x x x x x x x x > > > < < < < < < < Giải (2): xét hàm số 3 2 ( ) 3 5 9 3 x f x x x= + + trên (1;4) Có 2 '( ) 6 5f x x x= + , '( ) 0 1; 5f x x x= = = '( ) 0, (1;4)f x x < Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh 8 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình Mặt khác 7 (4) 3 f = , vậy 7 ( ) (4) 0 ( ) 0, (1;4) 3 f x f f x> = > > Vậy nghiệm của hệ là 1 < x < 4. Nhận xét: Đối với giải hệ phơng trình, hệ bất phơng trình có 1 ẩn số ta có thể dùng phơng pháp hàm số để giải từng phơng trình hay bất phơng trình của hệ rồi kết hợp các tập nghiệm tìm đợc để đa ra kết luận về nghiệm cho hệ bất phơng trình. II. Dạng 2: Sử dụng hàm số để biện luận phơng trình Bài 4: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình sau: a) m 2 x 3x4x 2 +=+ b) 2 2 3 2 1 ( 2 2) 3 4 2mx m x mx x x x+ + + = + c) 2 6 4 3 2 2 2 (4 ) 3 6 m x x m m x m + + = + d) 2 2 2 1 2 log 3 2 log ( ) 3 2x x x m x x + + + + - x + m = 0 Giải: a) m 2 x 3x4x 2 +=+ (1) Nhận xét: Bài tập này ta có thể giải bằng phơng pháp thông thờng. Tuy nhiên, nếu giải bằng phơng pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện của ẩn số rất phức tạp. Ta sẽ giải bài này bằng cách sử dụng hàm số Giải: TXĐ: D = ( ] [ ) + ;31; Trên D; (1) m 2 x 3x4x 2 =+ Xét hàm số f(x) = 2 x 3x4x 2 + với x D Ta có: f(x) = 2 1 3x4x 2x 2 + Trên D ta có: f(x) > 0 2 1 3x4x 2x 2 + > 0 x > 3; f(x) < 0 2 1 3x4x 2x 2 + < 0 x < 1 Từ đó, ta có bảng biến thiên: x - 1 3 + Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh 9 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình f(x) - + f(x) Số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đờng thẳng y = m. Dựa vào bảng biến thiên ta có kết quả biện luận sau: - Nếu m < 2 3 , đờng thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = f(x), do đó ph- ơng trình (1) vô nghiệm. - Nếu 2 3 m < 2 1 , đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 1 điểm, do đó phơng trình (1) có 1 nghiệm. - Nếu m 2 1 , đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm, do đó phơng trình (1) có 2 nghiệm. b) 2 2 3 2 1 ( 2 2) 3 4 2mx m x mx x x x+ + + = + Viết lại phơng trình dới dạng 2 3 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1)mx mx x x+ + + = + 3 3 1 1 ( 1) ( 1)mx mx x x + + + = + (2) Xét hàm số 3 ( )f t t t= + là hàm số đồng biến trên Ă Vậy (2) ( 1) ( 1) 1 1f mx f x mx x + = + = 1 1 ( ) 1 1 ( 1) 2 (3) 1 1 (4) ( ) 1 1 ( 1) 0 x x I mx x m x x x II mx x m x + = = + = + + = + Giải và biện luận (I) - Với m=1 thì (3) vô nghiệm nên (I) vô nghiệm - Với m 1 thì (3) có nghiệm 2 1 x m = , Sáng kiến kinh nghiệm Trần Trờng Sinh 10 2 1 + + 2 3 [...] .. . Trờng Sinh 15 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình Từ đó ta có: Hệ (I) có nghiệm m > 0 ; Hệ (II) có nghiệm m < 28 27 m > 0 Vậy hệ đã cho có nghiệm m < 28 27 Nhận xét: Trong một số bài tập giải bằng phơng pháp đặt ẩn phụ, ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ Tuy nhiên, việc tìm điều kiện đó gặp không ít khó khăn Nếu ta sử dụng hàm số thì việc .. . ta phải sử dụng phơng pháp hàm số nhiều lần trong giải một PT V Một số bài tập tự giải: Bài 13: Giải các phơng trình sau: a 2 log ( x +3) = x b 2log3(tgx) = log2(sinx) 5 c 2 1= x 2 x2 2 1 2 x x2 = Sáng kiến kinh nghiệm 1 1 2 x x d 2x = 3 2 + 1 Trần Trờng Sinh 21 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình e 3 x = cos x Bài 14: Tìm m để bất phơng .. . kiến kinh nghiệm x 3 2 x 2x + 1 2x 5 = m (2) Trần Trờng Sinh 12 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn x 3 ở bài này ta có thể sử dụng phơng pháp tam thức bậc hai để giải Tuy nhiên ta sẽ sử dụng hàm số để giải bài này 2 Xét phơng trình (2) : Đặt f(x) = x 2x + 1 2x 5 Ta có :.. . ] 2 Trần Trờng Sinh 13 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình Do đó ta có bảng biến thiên: t - 1 2 1 f(t) 2 - + + 7 + f(t) + + + Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phơng trình (4) có nghiệm hệ (I) có - nghiệm hoặc hệ (II) có nghiệm 13 m 2 m 7 Vậy bất phơng trình (3) có nghiệm 13 m 2 m 7 Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm .. . 22 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình đồng khoa học nhà trờng Trung học phổ thông Phan Đình Giót, Hội đồng khoa học Sở GD & ĐT Điện Biên Xin chân thành cảm ơn ! II - kiến nghị: - Nh trên đã trình bày thì PT, HPT, BPT, HBPT có mối liện hệ mật thiết với hàm số Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm. .. 14 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình - t f(t) -1 0 0 - 1 2 + 3 + 59 f(t) 19 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có: f(t) 12m2 - 24m t [ 1;1 ] min f ( t ) 12m2 - 24m 12m2 - 24m 0 [ -1;1] 0 m 2 Vậy với m [ 0 ; 2 ] thì bất phơng trình (5) nghiệm đúng với mọi x Ă 3x 2 + 2 x 1 < 0 3 x + 3mx + 1 < 0 Bài 8: Tìm m để hệ sau có nghiệm: Giải: .. . Trờng Sinh 18 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình + + 2 f(t) 0 0 Từ bảng biến thiên ta suy ra: phơng trình (2) có nghiệm 2m 0 m 0 Vậy phơng trình (1) có nghiệm m0 IV Dạng 4: Sử dụng hàm số để đoán và vét hết tất cả các nghiệm của phơng trình: Dạng này thờng đợc sử dụng khi ta nhận thấy 2 vế của phơng trình là các hàm đồng biến hoặc nghịch .. . 2.3 t - 1 Khi đó ta có phơng trình: log5( 2.3 t - 1) = t 2.3 t - 1 = 5t 2.3 t - 5t - 1 = 0 Xét hàm số: f(t) = 2.3 t - 5t - 1 với t Ă Ta có: f(t) = 2.3 t.ln3 - 5tln5 f(t) = 0 2.3 t.ln3 - 5tln5 = 0 t = log 3 (log 9 5) 5 f(t) > 0 t < log 3 (log 9 5) ; 5 f(t) < 0 t > log 3 (log 9 5) 5 Ta có bảng biến thiên: t f(t) Sáng kiến kinh nghiệm log 3 (log 9 5) - + 5 + 0 Trần Trờng Sinh 20 ứng dụng của đạo hàm trong. .. Trờng Sinh 16 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình với t [1; 2] Xét hàm số: g(t) = -t2 - 2t + 3 g(t) = 0 t = -1 g(t) = -2t - 2 Từ đó ta có bảng biến thiên: - x y(x) 1 + 2 - y(x) 0 -5 Dựa vào bảng biến thiên ta có: phơng trình (2) có nghiệm t [1; 2] 3 Vậy phơng trình (1) có nghiệm x 0 ; m [ 5 ; 0] m [ 5 ; 0] 2 Bài 10: Cho bất phơng .. . nghiệm Trần Trờng Sinh 17 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình f(x) 1 2 1 2 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có: a Bất phơng trình có nghiệm m max f ( x ) D m 1+ 3 4 b Bất phơng trình nghiệm đúng x [ 3 ; 7 ] m min f ( x ) m [ 3; 7 ] 1 2 Bài 11: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 + 2sin2x = m(1 + cosx)2 (1) Giải: Trớc hết ta nhận thấy: . ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình Phần 1: đặt vấn đề I. Lý do chọn đề tài: Nh ta đã biết, chuyên đề về phơng trình, bất phơng trình,. Sinh 4 ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình + Đạo hàm : 1 1 1 '( ) 0, 2 2 1 2 6 2 2 f x x x x x = + + > > + + Do đó hàm số. Sinh 15 0 19 59 + + + + 0 + - ứng dụng của đạo hàm trong giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình Từ đó ta có: Hệ (I) có nghiệm m > 0 ; Hệ (II) có nghiệm m < 28 27 Vậy hệ đã