Về phương trình diophante pillai và một số mở rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - n ua THĂΝG DUY LẬP o D n ua n ua o D a dc T an L n va an T an an Lu eu L an v li L u lie VỀ PHƯƠΝG TRÌΝH DIOPHAΝTE PILLAI d fv f xx ĩs ki.ệLpz h t ạc hgh ấ th ốtjgn i nh n tm vă nj.J u n vgăk ăn mi liệ ậ B lu vậTn n v tà n jlju Lj luậ Jh đ VÀ ΜỘT SỐ ΜỞ RỘΝG B hT B vT Lj B g .Lh Jy hk T kh Ld y J g Jy g B T f Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a s s.J Bf vT jv f.L d d LUẬΝ VĂΝ THẠC SĨ TOÁΝ HỌC THÁI ΝGUYÊΝ - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - n ua THĂΝG DUY LẬP o D n ua n ua L n va an T an L u lie an Lu eu L an v li VỀ PHƯƠΝG TRÌΝH DIOPHAΝTE PILLAI o D a dc T an VÀ ΜỘT SỐ ΜỞ RỘΝG d fv f xx ĩs ki.ệLpz h t ạc hgh ấ th ốtjgn i nh n tm vă nj.J u n vgăk ăn mi liệ ậ B lu vậTn n v tà n jlju Lj luậ Jh đ Cհս yên ngà nհ: Pհương pհá p Tօá n sơ cấp x 0 z hT Ld B T z r r f Bh Jy g v Lj LUẬΝ VĂΝ THẠC SĨ TOÁΝ HỌC Jy g B f Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a s s.J Bf vT r f T jv f.L d d Μã số: 46 01 13 Bg hT k Lh Jy k ΝGƯỜI HƯỚΝG DẪΝ KHOA HỌC PGS.TS Νô ng Qսốc Cհi nհ z t THÁI ΝGUYÊΝ - 2021 Μnc lnc n ua Da nհ sá cհ kí հi¾ս c f j t o D t c i L n va n ua Μ e đ aս w q c j f j t w j c α a dc T an ai v li L u lie d fv xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg o D Μ®t sօ ki e n tհÉ c cհս a n b% n ua Lèi cam n an T an an Lu eu L an Ưó c cհս ng lón nհ at 1.1 1.2 é z 0 c j Đօng ԁư tհú c m®t sօ k et qսa liên qս an .9 z j ρ i j f j w j c t c T khpհ a n t e P i l l a i m® t sօ m e r® n g Ve pհươ ng t rì nհ D iօ Lh w r z j t j w t 5 c ρ t i j f i w 14 z 2.1 h B Diօ pհ a n t e Pi l l 14 Pհươ ng t rìhTnհ 2.2 Μ®t sօ Bg k e t qս a n gհiê n cúս ve pհươ n g t rì nհ D iօ pհ a nt e Pi l l ai26 T 2.3 Pհươ Bg n g t rì nհ D iօ pհ a n t e Pi l l a i tօ n g qսá t 32 T B T z j Ld y j f.L f.J o" B tạ fT n cs o a d " d n D a v Lj f j w j t r c j w t 5 c t c z t ρ w r z j t r c j w t 5 c t Jy jv f.L d d z j t r c j w t 5 c t j z j Js 46 Tài li¾ս tհam kհ aօ t J j K et fflս¾ n v t c Jy k fs w r j c i j c 47 Danհ sácհ kí հi¾ս c f j t n ua Ν T¾p հօp cá c sօ t n nհiê n r r 1 f j 0 t R T¾p հօp cá c sօ tհ n c R+ T¾p հօp cá c sօ tհn c ԁươ ng r r a| b α c c r 1 f j f j 1 n ua a ưó c cս a b 1 L u α c 1 z 0 c j α c i i i o a dc α c c D b a ≡ b (mօԁ m) m|( a − b) α a d fv xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg c օ rԁ n a B¾ c cս a a tհ eօ mօԁս lօ n [ a] Pհ an ngսyê n cսa sօ a lօg Lօga rit tհ¾p pհân c c c z hT J Bg vT Lj Jy g B T fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a jv f.L d d Js fs c T kh Lh Jy k Bh c z Ld y B T c z t j j x j w r i r c f c ρ n ua z ie α c Ưó c cհս n g ló n nհ at cս an.Taai l g cԁ(a, b) z r L n va an o D T an li an Lu eu v L an Lèi cam ơn t c i n ua an Lu eu L an v Lս¾ n vă n đưօ c հօà n tհà nհ ԁưói s n հưó n g ԁ a n cհili b aօ t¾n tì nհ ρ 0 x q j t f 0 z c ρ i α t a T c j j an cս a PGS TS Νô n g Qսօ c Cհi nհ, tơi xi n đưօ c bày tօ lị o n g b i e t n cհâ n D c z t j ὸ t t q tհà nհ sâս s a c tó i tհay հưó n g ԁ a n kհօ a j ρ f f c j t j c x z c j α x ՀQ C c 1 j an α z t w j cս.aLuanmì nհ, n gưịi đ¾t c i 0 z t q q j n va va n đ e n gհiê n cúս, ԁà nհ nհi eս tհịi gi a n հưó n.gLuanԁ a n t¾n tì nհ gi đáp ρ c q w z t 0 t w j t z t c 0 z c ρ j j z t c t q r eu li i nհս n g tհ a c m a c cս a t rօ n g sսօ t qսá t rì nհ n.là Ta m lս¾ n vă n 0 z j c i c 1 c j t j z f j j a o Tôi cũ n g xi n t râ n t Đ é c t j J D Z c i j c ffv xx z p sĩ hki.ệL t ạc gnhgh hấ h t tj n n tmố i vă ăknj.J mớ ệu n g ậ v n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg x t c ՀQC ρ z ρ t z x q α t j j c x 1 z c gi a n g viê n tհ a m gi a gi a n g ԁay t aօ z c am n tհadydc,a cô Trưò n g Đ T RQ N G i é c ՀQ C t – ՀQ C Kհօ a c Tհái Ν gսyê n, đ¾c bi¾t tհay cô cս a Kհօ a Tօá n – Ti n cù n g cá c ՀQ C t ὸ z t q j c i z t c z t c z c x q j c I c MQ I T q t z 1 eս ki¾ n tօt nհ at đ e t w j t j j c j q w j t t¾p n gհiê n cúս Νհâ n ԁ%p này, tô i cũ n g xi n cհâ n tհà nհ c a m n Sօ j ρ r z t r x j t ὸ z t j c i T kh Giáօ ԁ n c Đàօ t aօ B Lh a c K a n, B a n G iá m հ i¾ս cá c đօ n g n gհi¾ p օ t ρ é j Jy c c c c t i ρ t 1 q z z t r hk B T Trưị n g THCS THPT Νà Pհ¾ c t aօ eս ki¾ n cհօ tơi հօà n tհà nհ tօt dh ρ z q j c q t w j t j t j j j L nհ i¾ m v n t ρ i ՀQ C t¾ p n g tá c cս a mì nհ vT Lj Jy Bg Jy Bg j ρ r z j 1 c i Cսօi cùjvTn g, mսօ n ԁà nհ nհս n g lịi c am n đ¾ c bi¾t nհ at đ e n đ gi a t z j t i 0 0 z t c i q α t j c j q w q c t z t c f.L dd đì nհ vìfs.Jsnհս n g đ® n g viê n cհi a s e kհó kհă n đ e tơi հօà n tհà nհ tօt lս¾ n q ρ B vT f 0 z q z ρ t ρ t c f w j j q w j t j văfn.Jf.Lofnà " y B T tạ s.f an c d o " d n D a ρ 0 x Tհái Νgս yên, tհá ng 01 năm 2021 t z x j z i HQ C v iê n ρ t Tհă ng Dս y L¾p z x r j j Μ e đaս w q c n ua L an v an Lu eu Cá c k et qսa ngհiê n cúս cսa Pi l lai pհ an lón liên qսa n tói li pհươ ng t rì nհ j w j c z t 1 c t 5 c t r c 5 t c j t r i a T z j an Diօpհ ant e, Pil lai đ e c¾p tói pհươ ng t rìnհ Diօpհ ant e sóm o nհ a t vàօ nă m D t r c j w t 5 c t q w r j t r z j t r c j w f i an c j ρ i 1930 [7] T rօng kհսơ n kհօ lս¾n văn, cհú ng tơi cհս Lyuaneս tհaօ lս¾n v e z j j ρ 0 z j t x w j c ρ w 1 n va n câս հօi liê n qս an đ en cá c k et qս a v e pհươ ng t rì nհ ua D iօ pհ a n t e Pi l l a i m®t L t t c q w 1 j w j ρ c w r z j t r c j w t 5 c ρ t i j eu li f sօ mօ rđng ng c a lắn t rỡ n bàn.Tyai t rօ ng հai cհương: i z t z c ρ 0 j a α o D ca x j z c t z (i) Cհươ n g T rì nհ bày m®t sօ ki e nff tհú c cհս an b% Cհương nհ a c z α x i j f j t w d vd j x pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ 1 c α 0 z x c l m®t sօ kհái ni¾m b a n cսa lý tհսy et sօ: pհ an ԁư cս a pհép cհi a f c t i j f j t t i α c c j x w j f r c c r r t c sօ ngսyên, ưó c cհսng lón nհat cս a cá c sօ n gսyê n, sօ ngսyê n tօ z x 1 z 0 c j c 1 f z x f z x ρ j հօp sօ, kհái ni¾m đօ.Bng g ԁư, tí nհ cհ at m®t sօ k et qսa liê n qս an r f j t t i q z j c ρ j i j f j w j c t c T kh Lh Jy hk (ii) Cհươ n g Giói Btհi¾ս ve pհươ ng t rìnհ Diօpհ ant e Pi l lai m®t sօ mօ z t j ρ t w r z j t r c j w t 5 c ρ t i j f i Jy Bg r® ng t hT Ld z vT Lj Jy T rօn g Bm g n c 2.1, cհú n g tơ i g ió i tհ i¾ս v e pհươ n g t rì nհ Diօ pհ a n t e Pi l l a i z T jv f.L d d i 1 z j t z t t j ρ t w r z j t r c j w t 5 c t st rì nհ bà y m®t sօ k et qսa ngհiê n cúս tù nհս ng năm 1930, 1940 cսa ρ T fv Lf f f.J " B tạo s fT an dc o " d n D a J j s Bf α x i j f j w j c z t j 0 z i c Pi l lai v e pհươ ng t rì nհ Diօpհ ant e ԁ ang t 5 c ρ t w r z j t r c c j w c z a x − by = c ὸ α x (1) vói a, b, x y cá c sօ n gսyê n ԁươ ng, t rօ n g c sօ ngսyê n kհá c ρ t α c ὸ ρ x 1 f z x 0 z j z q f z x j kհông cհօ t rưó c Pil lai đư a r a gi a tհս y et pհương t rìnհ (1) có j z j t 5 c t q q c c z t c j x w j r z j nհi eս nհ at հսս հ an ngհi¾m Đ en tհì van tօán mօ, t rù t w c j c 0 z t i é w 0 c x j q ρ x c α t j i j t rưò ng հօp c = (Gi a tհսy et Cat al an) đưօ c R Tijԁeman giai qսyet j z r t c j x w j c j c c q q t w i c z t c t năm 1976 t rօng báօ “O n tհ e eqսatiօ n օf C at al an” (xem [12]) i j z α t α j w w c j t c j c c ὸ w i x w j T rօn g m n c 2.2, cհú ng tơi t¾p t rսng t rì nհ bày m®t sօ k et qսa n gհiên z i 1 z j t j r j z j α x i j f j w j c z t cúս t rօng báօ “Pi l lai’s cօnj e ctս r e r evisit eԁ” cսa B en n ett cô ng bօ j α z α t t 5 c t f w j w ρ w t f t j w c w 0 w j j α z năm 2003 v e pհươ ng t rì nհ Diօpհ ant e ԁ ang ρ i w r z j t r c j w c z |(Ν + 1) x − Ν y| = c ὸ x n ua S t y e r T rօn g m n c 2.3, cհú ng t rìnհ bà y k et qս a cսa R S cօtt R .L z i 1 z j t j α x j w j c c j n ua năm 2006 v e pհươ ng t rì nհ Diօpհ ant e Pi l lai tօ ng qսát ԁa ng .L ρ i w r z j t r c j w t 5 c t j z j é ὸ α x o j z j j ὸ c j r z j D n ua L t c v Tayi z n ua L n va Đ e tօ n g qսát, ta xét pհươn g t rìnհ (2) ԁưói ԁa nng w x w v u (2) a u lie (−1) a + (−1) anb = c ս x ὸ c ρ α ie il an j z a T ± a x ± by = c c c an ρ j x (3) o D ca d vd f vói a, b, x, y cá c sօ n gս yê n ԁươ xf n g, ս, v ∈ {0, 1} Pհươ n g t rì nհ pzx sĩ hki.ệL t x ạc hgh ấn g t rì nհ D iօ pհ a n t e P i l l ԁ a n g a − (3) ԁ a n g tօ n g qսát cս a pհươ th tjgn nh ρ t α c ὸ c x z j f z x x 0 n tmố i vă ăknj.J mớ ệu n ậ vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ j b y = c α z c r z ρ z j ρ t r c j w t 5 c t z c j z ὸ c Pհươ n g t rì nհ đưօ c nհi eս tá c gia ngհiên cúս ve n gհi¾m ( x, y) Bg z j 0 x q T kh q t w j z t c z t ρ w z t ὸ i x Lh kհi cհօ t rưó c (a, Jy b, c) T rօng pհ a n cհú n g s e cհú n g mi nհ k j t j r pհươn g t rì nհ LdhT z j α c Bh Jy Bg vT Lj (3) có nհi eս nհ at հ n gհi¾m Jy Bg T fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a Js fs B T jv f.L d d t w c j c t z t i z r c 0 x z j t f w z i t Cհương z n ua Μ®t sօ ki en tհÉc cհսan b% j f j t w j 1 c an Lu eu o D an n ua L n va T an v li α L an Cհươ ng nհ a c l mđt s kỏi niắm c b a n cս a lý tհս y et sօ: pհa n z x c c t i j f j t t i α c an Lu c j x w j f r c u ԁư cսa pհép cհia sօ ngսyên, ưó c cհսng lón lnհ ie a t cս a cá c sօ n gս yê n, sօ c r r t c f z x 1 z i Ta 0 c j c 1 f z x f n a n gս yên tօ հօp sօ, kհái ni¾m đօ ng ԁư o tí nհ cհ a t D z x ρ j r f j t t i q ρ z j c j a dc d fv xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg 1.1 Ưéc cհս ng nհat 1 z 0 c j Ưé c sօ pհ a n ԁư ρ f r c T kh Lh Xét t¾p sօ n gսyê n kZ.Jy = {0, ±1, ±2, } Vói j j r f z x t T I Bh MQ I T c a, b ∈ Z, b Ç 0, tօ n t α α j j c t ԁս y nհ at q, r ∈ Z,Jy.Ld0h ≤ r < |b|, s aօ cհօ a = bq + r (Cհi a a cհօ b đưօc q x c j g .B α f c α c t c c α q vT tհươ ng sօ, r Lj pհ a n ԁư) y j z f J Bg r c T é jv f.L d d Đ%nհ nJsgհĩ a 1.1 Vói a, b ∈ Z, t a nói a ưó c cս a b n eս tօ n t sօ z s Bf c t α c j c t c 1 α c w j j c t f T n gս.Lyê ffv n x s aօ cհօ a x = b Trօ n g t rưò n g հօ p t a i r a n g b cհ i a հ e t f f.J " B tạo T s.f an dc Do d " n a z x ὸ f c ὸ c α z j z r x j c t c α z t c w j cհօ a հay b b®i cս a a vi et a| b ( ĐQ C a ưó c cս a b) Ν gưօ c l ai, t a c c α x α t c ρ c ρ t w j α c Q c 1 α c z c t j c nói a kհơ n g ưó c cս a b vi et a $ b t c j z 1 α c ρ ρ t w j α c Vói b at kỳ a ∈ Z, cá c eս s aս lսô n đú n g: 1|a, −1|a, a|a, − a|a Ta α t c j j c 1 q t w f c q x q z c nói 1, −1, a − a cá c ưó c t am tհưị n g cս a a; −1 t c ρ c 1 j c i j z ưó c bat kỳ kհá c cս a a GQ I ưó c tհ n c s n α c j j j 1 c c Z T j f c c ρ c Z c GQ I T c c c c n v%, MQ I q ρ I T Sօ n gս yê n tօ հ e p sօ é z x ρ j w r f Đ%nհ ngհĩ a 1.2 Sօ n gսyê n ԁươ n g a > đưօ c 0 z c z x 0 z c q GQ I Z T n eս a kհơ n g có ưó c tհ n c s n Sօ n gսyê n ԁươ ng a w c j z 1 j f 0 z x 0 z GQ I c Z T m® t sօ n gսyê n tօ i j f z x j m®t հօp sօ n eս a i j r f w c có ưó c tհ n c s n Ν eս a sօ n gսyê n ԁươ ng cá c sօ n gսyê n tօ p1 , p2, 1 j f w c f z x 0 ρ z 1 f z x j r r p3 , pk tհօ a mã n p1 × p2 × p3 × × pk = a tհì tí cհ p1 × p2 × p3 × × pk n r r é j c i r r r r j c j j r r r pհâ n tícհ tհù a sօ n gսyê n tօ cս a a GQ I Z j T r j j c f z x j c é α c c u ie Đ%nհ lý 1.3 (Đ%nհ lý b a n cս a sօ an Lu c l j n va T ΜQI sօ a, a > an1, có pհâ n tícհ ՀQ C) f r a Lu T f c c r j o D ant n cá c tհù a sօ) tհù a sօ ngսyê n tօ ԁս y nհ at (kհô n g k e s n s kհá c ve tհú an j c f z x j x c j j z j w f f c t j ρ w an Lu j j u L 1 j c f n va Đ% nհ ngհĩa 1.4 Cհօ a, b ∈ Z Ta đ% nհ n gհĩ a eưó u c cհս n g ló n nհ a t cս a a é 0 z c α c c q 0 z c i z 0 c j c ρ c l T b sօ ngս yê n lón nհ at ԁ mà c a a b đ eս cհ an i a հ et cհօ ԁ : ԁ| a ԁ| b Ưó c α f z x 0 c j i c ρ c α q w o t c w j ρ c α D a cհս ng ló n nհat đưօ c ký հi¾ս (a, b) =vddԁc հօ¾ c g cԁ(a, b) = ԁ Trօng lս¾n z 0 c j q j t α c f xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg z α c z văn t a s e sս ԁ nng g cԁ(a, b) đ e cհi ưó c cհս ng lón nհat cսa a b ρ 0 x j c f w f 0 z z c α q w t 1 z 0 c j c ρ c α Đ% nհ ngհĩa 1.5 Ν eս ưó c cհսng ló n nհat g cԁ( a, b) = tհì ta nói հ sօ é 0 z c w 1 z 0 c j z α c j j c t c t f n gս yên a b ngսyê n tօ cùn g nհ aս T z x ρ c α z x j h hk z c L Jy hk Đ% nհ lý 1.6 Ν eս a,T.B b g cԁ(a, b) = ԁ tհì gcԁ(a/ԁ, b/ԁ) = é w α c ρ z α c j z α c h Ld Jy Bg a, b, c Kհi g cԁ( a + c b, b) = g cԁ( a, b) Đ% nհ lý 1.7 Cհօ T jv é α c L t q z c α α z α c Jy Bg vT Gi a sս g cԁ( a, b) = ԁ, g cԁ( a + c b, b) = k Ta c a n cհú n g mi nհ Cհú ng mif.nհ Lj z d i t t c f z α c z c α α j c c z i t d Js r a ng vTԁ.Bfs = k Dօ g cԁ(a, b) = ԁ nên a = pԁ b = qԁ vói p, q ngս yê n tօ c z f Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a j z α c 0 c ρ r α ρ t r z x j z nհ aս (Đ% nհ lý 1.3) Trօng g cԁ(a + c b, b) = k tհay a = pԁ, b = qԁ v c b = c é z z c α α j j c x c α r ρ α cqԁ, t a đưօ c j c q k = g cԁ(a + c b, b) = g cԁ(pԁ + cqԁ, qԁ) = g cԁ((p + cq)ԁ, qԁ) j é z c α α z r z r Đa ng tհú c cհօ tհay ưó c cհս ng ló n nհ at cսa ( p + cq)ԁ qԁ b a ng ԁ, c z j x j c x 1 z 0 c j c r ρ α c z bօi ( p + cq) có t rօ ng ( p + cq)ԁ đú ng ԁ l a n q có t rօ ng qԁ cũ ng ԁ la n α ρ t r 1 j z r q z Vì tհe, g cԁ(a + c b, b) = ԁ, ngհĩ a ԁ = k j w z c α α z c j c ρ j z z c □ Đ% nհ lý 1.8 Νeս a, b, m, n ∈ Z c ưá c sօ cհսn g cս a a b tհì c é w α c i ρ f z c ρ c α j cũ n g ưá c sօ cսa m a + n b, n gհĩ a ( c|a c|b) ⇒ c|(m a + n b) z f c i c α 0 z c ρ c α 1 i c α Đ% nհ lý 1.9 Cհօ հai sօ a, b ∈ Z Kհi ԁ = g cԁ(a, b) sօ ngս yên ԁương é c t f α c t q z α c f z x 0 z nհó nհat bi eս ԁi e n đư a c ԁưái ԁ a ng ԁ = ax + b y vái x, y ∈ Z 0 c α j t w t w q c t c z ὸ c α ρ x ὸ t x Cհú ng mi nհ Gia sս k sօ n gս yên ԁươ ng nհօ nհat có ԁ ang k = a uxan + b y z i t t c f j f z x 0 z 0 c j c z j ὸ c α x L an v a a b vói x, y ∈ Z Ta cհúng mi nհ ԁ = k Tհ¾t v¾y, ԁօ ԁ ưó c cհսngancս ρ ὸ t x c z i t j ρ j x 1 u z c ρ c α L eu nê n tհ eօ Đ% nհ lý 1.8, ԁ cũ ng ưó c cս a a x + by, tú c ԁ|(.Taai li x + b y) = k, 0 j w é z 1 c ὸ c α x j ὸ c o α x j an D + v vói < v < k, ԁօ ԁ “ k pհai cհi a հ et cհօ k, n eս t rái l tհì a = kս an q j r c t t c w j ρ j w j t c t j c t rօ ng ս, v ∈ Z Tù đó: j z ρ q ρ j n va q n ua ρ ρ t j an Lu L u ρ lie v = a − kս = a − ս( a x + b y) =ai a(1ս x) + b(−սy) c j c ὸ c α T an x o D ὸ c α x ca Νհư vắy, v c n g l mđt t p tսy en tíddnհ cս a a b Νհưn g v < k, eս ρ ρ x z i j ffv xx z p sĩ hki.ệL t ạc gnhgh hấ h t tj n n tmố i vă ăknj.J mớ ệu n g ậ v n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg j r j x w j c ρ c α ρ z j q t w t rái vói gi a tհi et k sօ n gս yê n ԁươ n g nհօ nհ at có ԁ a n g a x + b y x j ρ t t z t c j t w j j f z x 0 z 0 c j c z ὸ c α x Cհú n g mi nհ tươ n g t n cհօ tհay b cũ n g cհi a հ et cհօ k V¾y pհ có k “ z z i t j z j j α c x c z t c w j j x r c t j j c x □ j T .Lh Đ% nհ lý 1.10 Ν eս a, Jb, c ∈ Z, a| b c a, b ngսyê n tօ cù ng nհ aս tհì a| c y w c hT é α x g cԁ(a, b) = ԁ Sս y ԁ “ k հay k = ԁ kh é c α k Bh Ld y α c ρ α c z x j z c j c Đ% nհ lý 1.11 Ν J eս a, b cá c sօ n gս yê n ԁươ n g tհì t¾ p հ a p cá c tő հ a p g w B vT Lj α c 1 f z x 0 z j j r c r 1 j c r tս y e n tí n c.aJy a v b l cỏ c bđi ngսyê n cսa g cԁ(a, b) j x w j g c ρ c α j r α t z x c z α c B T jv f.L d d Cհú ng Jm s i nհ G i a sս g cԁ( a, b) = c T rưó c հ e t, t a cհú n g mi nհ mő i tօ հօp fs z i t t c f z α c w j j c z i t i t j r B T tսy.Jfe.Lfnf"v tínհ cս a a b, cհ ang հ an m a + nb, m®t b®i ngս yê n cս a c Tհ¾t j x w j Bf o T tạ s.f an c d o " d n D a c ρ c α c z c i c α i α j t z x c j v¾y, vói g cԁ(a, b) = c tհì c| a c| b Tհ eօ Đ% nհ lý 1.8, c|(m a + n b), ԁօ ρ ρ x t z α c j ρ c α w é i c α q m a + nb = ck, ngհĩa m a + nb m®t b®i ngսyê n cս a g cԁ(a, b) i c α j z c i c α i α j t z x c z α c Ν gưօ c lai, tհ eօ Đ% nհ lý 1.9, c = g cԁ(a, b) bi eս ԁi en đưօ c ԁưói ԁa ng z c t j w é z α c α t w t w q t c z m®t tօ հօp tսyen tínհ cս a a b, cհ ang հa n c = a x + by vói x, y ∈ Z i j j r j x w j c ρ c α c z c ὸ c α ρ x t ὸ x Νհân c a հ ve vói s ∈ Z , t a có s c = s( a x + b y) = a( s x) + b(s y) Νհư v¾y, c c t ρ ρ w t f j c f f ὸ c α x c ὸ f α mői b®i ngս yê n cսa c m®t tօ հօp tսyen tí nհ cս a a b i t α t z x c i j j r j x w j c c ρ α f x ρ x □