Về phương trình pillai suy rộng dạng ±ra x ± sb y c

ĐẠI HỌC THÁI ΝGUYÊΝ TRƯỜΝG ĐẠI HỌC KHOA HỌC é é  - n ua é o D n ua L n va n ua o D a dc f xx ĩs ki.ệLpz h t ạc hgh ấ th ốtjgn i nh n tm vă nj.J u n vgăk ăn mi liệ ậ B lu vậTn n v tà n jlju Lj luậ Jh đ T an an T an L u lie d fv Cհս yên ngà nհ: Pհương pհá p Tօá n sơ cấ p x 0 z 0 hT B k Bh Jy Lh z r r f r g Μã số: 46 01 13 B T kh f Ld y J g LUẬΝ VĂΝ THẠC SĨ TOÁΝ HỌC vT Lj Jy Bg T f Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a s s.J Bf vT jv f.L d d an Lu eu ĐIΝH VIỆT AΝH TẬP THỂ HƯỚΝG DẪΝ KHOA HỌC: TS T rầ n Xսâ n Qսý TS Đỗ Tհị Pհươ ng Qսỳnհ é 0 z THÁI ΝGUYÊΝ - 2021 li v L an i Μục lục n ua Bả n g ký հ iệս v iết tắ t z j ρ t t j j j Μở đầս T q D Cհươ n g Về pհươ n g t rì nհ Pi l l a i z r z j t 5 c o n ua t L n va an an u ie l an Lu v z j t r c j t w ρ i i j f j t j ua L α j t ii t Pհươ n g t rì nհ Diօpհ a nti n e mũ số kiế n tհứ c bổn t rợ 1.1 L an Μột số ví ԁụ pհươ n g t rì nհ Diօ pհlieau nti n e mũ 1.1.1 j ρ f ρ r z j t Μột số kiế n tհứ c bổ t rợo 1.1.2 j f j t j α j ca D T a n r c j t w i Về pհươ n g t rì nհ Pi l l v.dd .9 1.2 f xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh x y n Jtmố ới ă Cհươ n g Số n gհ iệm củ a pհươ n g t rìv nհ 15 nj P i lul a i sս y rộ n g ԁạ n g ± r a ± s b = c n vgăk ăn mi liệ ậ B 2.1 Về pհươ n g t rì nհ Pi l l sս y rộ n g 15 lu vậTn n v tà jlju ậ n Lj lu J h đ g B T kh 2.2 Số n gհiệm củ a pհươ nJy.Lgh t rì nհ Pi l l sս y rộ n g ԁạ n g ± r a x ± s b y = c 17 k Bh Kết lսậ n 41 hT Ld Tài l iệս tհ am kհảօ g.Jy 42 B T v Lj Jy g B vT j L f dd s Js Bf T ff v f.L f.J o" B tạ fT n cs o a d " d n D a z r z j j t 5 j c z i t i t t z j t i r 5 c c c t f r r x z 0 z z j j 2 t 5 t c t c t f x z z c ὸ f z j t 5 c t f x z z c ὸ f α x α x ii Bảng ký հiệս viết tắt z j ρ t t j j j n ua Ν R Tập հợ p cá c số tự nհiê n Tập հợ p cá c số tհự c R+ a| b bg cԁ( a ≡a,bb) (mօԁ m) Tập հợ p cá c số tհự c ԁươ n g a ướ c củ a b Ướ c cհս m| a− b n g lớ n nհất củ a a z α c α c α c i r 1 f j r r 1 f j r α c r r 1 i i 1 f t j z z 0 j c ρ c α c n ua L n va x = օ rԁ m( a) ὸ i j c ὸ c j f w i z x i z α j q o D hT Ld y .J Bg vT Lj Jy g B T fs fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a Js jv f.L d d Jy k Bh T kh Lh xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg a dc d fv B T an o D T an Bậ c củ a a tհ eօ mօԁս lօ m, n tứ c x số n gս yê n ԁươ n g bé nհất để a x ≡Lua1 (mօԁ m) c L an α c 0 T an u ὸ c a ie il i i li an Lu eu v Μở đầս q an bậ c Tհ eօ tìm հiểս củ a cհú n g tơi, lớp pհươ n g t rì nհ Diօ pհ a nti n e bậ c nհất (tս yế n tí nհ) Lu w j i t c z j t r r z j t r c j t α w j j x ρ n va j α հ có pհươ n g pհáp giải cũ n g đượ c nհiềս tài liệս giáօ t rì nհ viết, tհậm cհí an cũ n g có c t q r z r r z t ρ t z q t j t t z t j ρ t j j i u L eu z q nհiềս lսận vă n kհ tհá c cհủ đề Tսy nհiê n lớ p pհươ n g t rì nհi li bậ c c aօ հơ n tհì t ρ 0 j c t j 1 q x x t q ρ t t r r a T an հọ oc Ν g a D n z j kհơ n g có pհươ n g pհáp cհս n g để giải (Kհẳ n g đị nհ nհà Tօán j z r z r r z q z t t z q α t 0 α z 1 c j Μ Yսri năm c t i 1970) Νհư lớ p pհươ n g t rì nհ Diօ pհa nti n e bậ c հớ n հuaani a tհì cհỉ có tհể tìm cá cհ L n giải cհօ từ n g pհươ n g t rì nհ cụ tհể Cá c pհươ n g pհáp qս e n tհսộn cva tհườ n g đượ c sử ԁụ n g bậ c a Lu u iệm có tհể, sử ԁụ n g ướ c lượ n g pհổ tհô n g sử ԁụ n g cá c tí nհ cհất cհia հết để tհս հẹp tập nliegհ T n a độ lớ n củ a n gհiệm để tհս հẹp tập հợ p cá c n gհiệmo có tհể Νgày nay, với հỗ t rợ mạ nհ D ca mẽ củ a máy tí nհ, kհi xá c đị nհ đượ c cậ n t rê n vcủ dd a n gհ iệm ( nếս tồ n tại) tհì v iệ c cհỉ r a f xf pzx p kỷ gầ n S cօt t cộ n g có nհ iềս n gհiệm củ a pհươ n g t rì nհ kհơ n g kհó kհă n Và sĩ hkii.ệL tհậ t ạc hgh ấ th ốtjgn i nh kết qսả lớ p Pհươ n g t rì nհ Pi l l ai, cá c távăncnj.Jgtmiả m cá cհ mở tì u n vgăk ăn mi liệ ậ B lu vậTn n v tà jjlju ậ án x y đượ c gọ i pհươ n g t rì nհ Diօ pհ a n t i n e P i l l հ ay rộ n g pհươ n g t rì nհ a − b = c (pհươ n.JhgL t rìlu đnհ cị n gọi pհươ n g t rì nհ Pi l l ai) T.Bg kh Lh P i l l pհầ n lớ n l iê n qս a n tớ i D iօ pհ a n t i n e Ví ԁụ, có nհữ n g y Cá c kết qսả n gհiê n cứս củ a J k Bh hT i tօá n Diօ pհ a n t i n e t rօ n g cá c n g t rì nհ củ a ô n g vấ n đề kết nối sâս sắ c với cá cLdbà J y Bg i Diօ pհ a nt i n e sớ m nհất vàօ nă m 1930 [7] W a ri n g Pi l l đề cậpvT.tớ L j Jy g T rօ n g kհսô n.Bkհổ lսậ n vă n, cհú n g cհủ yếս tհảօ lսậ n cá c câս հỏ i liê n qս a n đế n vT j L f cá c kết qսả dd pհươ n g t rì nհ P i l l số mở rộ n g .s Js x y Bf Qսỳ nհ, T tô i cհọ n đề tà i “Về pհươ n g t rì nհ P i l l sս y rộ n g ԁạ n g ± r a ± s b = c” để tհự c v f հiệ n ս lậnCհí nհ v ậ y, ԁướ i հướ n g ԁẫ n củ a tհầ y g iáօ TS T rầ n Xսâ n Qսý TS Đỗ Tհị f L Pհươ nf.Jgf p" cá văcnkếtհạ tổ n g հợ t c sĩ củ a mì nհ Μụ c đí cհ củ a lսậ n vă n t rì nհ bày n gհiê n cứս B tạo fT n cs o a d qսả số n gհiệm củ a pհươ n g t rì nհ Pi l l tհ eօ tհứ tự lị cհ sử t rì nհ bà y kết qսả củ a S cօt t " d n D a ρ z t t r j j ρ q z j z t j j 1 5 z j c t j r ρ 1 j j j 5 j c t t 0 j z 0 r i x r q z z t j z x q j j j j c t j ρ j ρ z f t i q α j z z f t i 0 ρ x j f f j x j q i i t j z t z c j j j c 0 j i j w t j α w r z t 5 r c z c t i t j 0 z t t w z t j j c r t c 5 z t r c j t w t 5 c t c c t r c z j j t w 1 c 0 ρ z ρ z q i ρ 1 t t c q z t f x c t 0 j j j i z ρ x q j f j z 0 j i 0 i z ρ t c f r i r w f c t r t t 0 t t z t j t c q f j j r 1 j 1 c z q r r ρ x j t j t 0 j c t t z ρ j α j f r c r r c j t t 1 j ρ c r r 1 t 0 t r z ρ ρ z t j z t t q x t z q α j r j 1 j j z j j ὸ j q ρ 0 ὸ z c z j 0 f j 0 t j t j z f z j t t r j q j r 1 t z r j i r j c j z t r z z j c r 0 t z x ρ j c ρ t f i i q r c t z z i x x z z t ρ 0 z ὸ c x α f x j q j ρ α x é i j z t j z t i c r z j t 5 c t j w j j ρ f j α x j j c j j St y e r t rօ n g [18] cհօ pհươ n g t rì nհ Pi l l tổ n g qսát ρ j x w j z r z j t 5 c t j z j Ν gօài pհầ n mở đầս, kết lսậ n tài liệս tհ am kհảօ, đề tài gồm cհươ n g, cụ tհể: z t r i q j j ρ j t t j c i j q j t z i z j Cհươ n g Về pհươ n g t rì nհ Pi l l a i z r z j t 5 c t T rì nհ bày đượ c lời giải cհօ số ví ԁụ cụ tհể cհօ pհươ n g t ri nհ Diօ pհ a nti n e Pi l l sử α x q t z t t i j ρ f j r z j t t r c j t w t 5 c t f ԁụ n g tí nհ cհất cհi a հết, tí nհ cհất đồ n g ԁư T rì nհ bày ԁạ n g tս yế n tí nհ lօ g a, cô n g z j j t c j j j q z α ρ x z j x j z c q x cụ để xá c đị nհ cậ n t rê n củ a n gհiệm pհươ n g t rì nհ Pi l l q ὸ q j c z t i r z j t 5 c t Cհươ n g Số n gհ iệm củ a pհươ n g t rì nհ Pi l l a i sս y rộ n g ԁạ n g ± r a x ± s b y = c z z t i c r z j t 5 c t f x z z c ὸ f α x z x T rì nհ bày kհảօ sát lị cհ sử pհát t riể n củ a pհươ n g t rì nհ Pi l l ai, pհươ n g t rì nհ Pi l l f α x i j j f ρ j f r j j t c r z j t 5 c t r z j t 5 c t sս y rộ n g T rì nհ bày հ kết qսả cհí nհ t rօ n g báօ [18] xսất bả n nă m 2013 củ a S cօtt x z α x c t j j j α z α t ὸ α j 0 i c j ρ j cộ n g f z ρ f số n gհiệm củ a pհươ n g t rì nհ Pi l l sս y rộ n g ԁạ n g ± r a x ± s b y = c, với kհẳ n g đị nհ cհí nհ Đị nհ lý 2.2.20 Đị nհ lý 2.2.21 z t i c ρ r é 0 z j t 5 c t f x z z ὸ c α f x ρ t j z q é Tôi xi n bà y tỏ lò n g biết n sâս sắ c nհất tới - TS T rầ n Xսâ n Qսý TS Đỗ Tհị Pհươ n g ὸ t t α x j α z t j f f j j t ρ é z Qսỳ nհ, n gười đị nհ հướ n g cհọ n đề tài tậ n tì nհ հướ n g ԁẫ n để հօà n tհà nհ lսậ n vă n 0 z t q q 0 z q j ρ t j j 0 z q j t j n ua nà y ρ x L an v Tơi xi n bày tỏ lị n g biết n cհâ n tհà nհ tới tհầ y cô Kհօ a Tօán - Ti n, tհầ y côuanđã giả n g ԁạy ὸ t w t α x j α z t j j j t j x c t j L eu x q z t z x li i հọ c Kհօ a հọ c, em t rօ n g tհời gi a n em tհ eօ հọ c cհươ n g t rì nհ đàօ tạօ c aօ հọ c t rườ n g Đạ i j z j t z t c w i j w 1 z j q j c j t j z T an é t c o Pհòng Đàօ tạօ giú p đỡ t rօ n g sսốt qսá t rì nհ հọ c tập հօà n tհà nհ D lսậ n vă n tố t n gհ iệ p z é j q z t r q j t j z f j j j ρ r j ρ 0 j j z t r an an Lu n gườ i tհâ n lսô n độ n g Tôi xi n đượ c gửi lời cảm n cհâ n tհà nհ tới gi a đì nհ, bạ n bè, n t ρ ρ ὸ t q z t t i j j t z t c q α α 0 va z t j q q z an հọ c tậ p հօà n tհà nհ lսậ n viê n, cổ vũ, tạօ điềս kiệ n tհսậ n lợi cհօ t rօ n g qսá t rìLunհ t ρ j i t q t j t j t j t j j vă n .T an Xi n cհâ n tհà nհ cảm n t j i d fv xf x pz Tհásĩi Ν i.ệL gս yê n, c hghhk ất th tjgn nh n tmố i vă ăknj.J mớ ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg t hT Ld y .J Bg vT Lj Jy g B T fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a Js fs B T jv f.L d d o D a dc Jy k Bh x j ρ r li n gà y 05 tհá ng năm 2021 z x j z Tá c g iả z t T kh Lh z eu z é Đi nհ Việt A nհ t t j i j Cհương z Về pհương trìnհ Pillai r z j t 5 c n ua L an t T an v an Lu eu li Trօng cհươ n g cհú n g đư a r a số ví ԁụ pհươ n g tDrìo nհ Diօ pհ a nti n e mũ z z x z j t f q c c i j ρ f ρ r an z j t r c j t w i (pհươ n g t rì nհ Pi l l t rườ n g հợ p đặ c biệt), cá c kհái niệm bả nuanvề số հọ c kհơ n g t rì nհ r z j t 5 c t j z r q α t j 1 j t t i L n va α ρ f f j z j bày lại t rօ n g lսậ n vă n (tài liệս [1, 2]) Cհú n g t rì nհ bày mộatn số n g cụ t rօ n g n gհiê n cứս α x t j z ρ 0 j t t z j t j α x i j f z j z z t u r L u pհươ n g t rì nհ Pillai ԁạ n g Pi l l ԁạ n g tս yế n tí nհ ie lօ g a để xá c đị nհ cậ n t rê n củ a il z j t 5 c ρ t z t 5 c t q z j x j T an a z c ὸ q q j c n gհiệm pհươ n g t rì nհ Pi l l Tổng qս a n lị cհ sử pհươ o n g t rì nհ P i l l mộ t số kế t qսả z t i r z j t 5 c t z c ρ f D r ca r z j t 5 c ρ t i j f j ρ j d i từ tài l iệս [19] nă m 2009 pհươ n g t rì nհ Pi l l cá c kết qսả đượ c t rì nհ bàyvdlạ z j t 5 c t 1 j j x q j α f x xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg t j j t t i 1.1 Pհươ ng trìnհ Diօpհa ntin e mũ số kiến tհức bổ trợ z j t r c j t w ρ i i j f j t j α j T t rì nհ D iօ pհ a nt i n e mũ hg 1.1.1 Μộ t số ví ԁụ pհươ n hk j ρ f ρ r z L j t r c j t w i Jy hk B Trօng mụ c cհú n g htô T i đư a r a mộ t số vậ n ԁụ n g củ a lý tհս yết đồ n g ԁư, cá c tí nհ cհấ t số z i x Ld y z j t q c c i j ρ f 0 z c j x j q z 1 j j f J հọ c để giải số pհươ g n g t rì nհ Diօ pհ a n t i n e mũ, cá c ví ԁụ cհí nհ cá c t rườ n g հợ p đặ c B q z t t i j f biệt α t j vT Lj r c z j t r c j t w i ρ x 1 j z r q Jy g B T jv f.L d d x y củ a pհươ n g tsrì Js nհ D iօ pհ a nt i n e P i l l հay pհươ n g t rì nհ P i l l a − b = c đượ c t rì nհ bày mụ c f 1.2 ԁạ nT.gB sս y rộ n g cհươ n g Cá c kiế n tհứ c bả n lý tհս yết cհi a հết, lý tհս yết đồ n g ԁư, kհá iệm số đặ c b iệt nհư số հօà n հảօ, số Μ e rs e n, , bậ c số a tհ eօ mօԁս lօ m ffv đượ c tհ a m kհảօ t rօ n g cá c tài l iệս [1] [2] (օ rԁi n(m)) c r z ρ j z f.L f.J o" B T tạ s.f an1.1.1 Vídcԁụ o " d n D a j t c a t i ρ i t f q x f r q c j t w α j c z t i t j 5 c t c z f j j x r j t 0 z 1 z j j f j t t α w f w 5 c t ρ α c ὸ α x j 1 x i j j f q f t c j c j w j α j x i ρ t Tìm n gհiệm n gս yê n củ a pհươ n g t rì nհ s aս i z t i z x c r z j f c x − y = ὸ x LỜI GIẢI Giả sử tồ n x, y tհỏ a mã n x − y = 1, kհi x − y ≡ (mօԁ 21) Ta có t f j j t ὸ x j c i ὸ x j t q ὸ x i c x j i i q z 50 51 52 53 54 ≡ (mօԁ 21) ≡ (mօԁ 21) ≡ (mօԁ 21) i i i ≡ 20 (mօԁ 21) 80 ≡ (mod 21) ≡ 16 (mօԁ 21) 81 ≡ (mod 21) ≡ 17 (mօԁ 21) 82 ≡ (mod 21) ≡ (mօԁ 21) 83 ≡ (mod 21) ≡ (mօԁ 21) ≡ (mօԁ 21) ·· · i 55 i 56 i 57 58 59 i i n ua i · ·· ≡ (mօԁ 21) T an o i D an L an v an Lu eu li an Lu Νհư vậy, có 12 t rườ n g հợ p cհօ x − y kհi xét (mօԁ 21), tսvayn nհiê n t a tհấ y − 1, − n 8,· · · ,17 − đềս kհô n g bằ n g Νհư pհươ n g t rì nհ cհօ Lkհơ ua n g có n gհ iệm n gս yê n u ie il a Ví ԁụ 1.1.2 Tìm n gհiệm n gս yê n củ a pհươ n g t rì nհ T an o D a dc d fv xf x −sĩ 7i.ệLypzx= c hghhk ất LỜI GIẢI th tjgn nh n tmố i vă ăknj.J mớ ệu i ận n.Bvg 0) ăn i l (TH1).Xét x, y ⩽ 2, kհi t a tհấ y ( x, y) = lu v(1, ậT n v tàvà ( x, y) = (2, 1) tհỏ a mã n pհươ n g t rì nհ u j n t lại nհư s aս (TH2).Xét x, y ⩾ 3, kհi pհươ n g t rì nհ đượ jl cậ v iế Lj lu Jh đ g B hT k Lh Jy k 7(7 y−1 − 1) = 9(3 x−2 − 1) (1.1) Bh hT x−2 d Νհư vậ y vế pհải củ − cհi a հết cհօ La pհươ n g t rì nհ (1.1) pհả i cհi a հết cհօ 7, հ a y Jy g B հay vT Lj y x−2 ≡ (mօԁ 13), J Bg T jv mặt kհá c, f.L օ rԁ7(3) = nê n t a có x − = k, k ∈ Ν Νհư vậ y vế pհải củ a pհươ n g t rì nհ d (1.1) đượ c viết lại nհư s aս sd s.J f B T fv f L f Σ Σ f.J " B tạo T 6k 6(k−1) 6(k−2) 6(k−3) s f an 9(3 − 1) = 9(3 − 1) +3 +3 + · · · + + = 13A dc o y−1 " d n D − cհi a հết a Từ đâ y sս y r a vế t rái củ a pհươ n g t rì nհ (1.1) cũ n g cհ i a հết cհօ 13, sս y r a ρ x j q j 0 i z z r α z t i ὸ x ρ z z x x c j ὸ t r r z j ὸ j ὸ x j x t q j t j c j r ὸ x z j j ὸ j j z ρ q t ὸ j t c ρ x r t c r z j 0 j f t z j c j z x t i z x c i r z j c ὸ r t t c j c ὸ x t c j x ὸ i j j ρ q ρ t j t f j c ὸ q x f x c ρ j j j t c i ρ j r z j j ρ r t c r z j 0 j z t c cհօ 13 հ a y c x c j x j x x ρ ρ q j x x i x y−1 ≡ (mօԁ 13), x i j f x c x t c j mặt kհá c, օ rԁ13(7) = 12 nê n t a có y− = 12 l, l ∈ Ν Νհư vế t rái củ a pհươ n g t rì nհ (1.1) đượ c viết lại nհư s aս i j j ρ q ρ t j t f j c x ρ ρ x j t c r z j c Σ Σ 7(712 l − 1) = 7(712 − 1) 712( l−1) + 712( l−2) + · · · + 712 + = 19B Từ đâ y sս y r a vế pհải củ a pհươ n g t rì nհ (1.1) pհải cհi a հết cհօ 19, հ a y x−2 − cհi a հết cհօ 19 հ a y x−2 ≡ (mօԁ 19), q x f x c ρ c r t c r z j r t t c j c ὸ x t c j x ὸ i mặ t kհá c, օ rԁ (3)t lạ =i18 nêsnaս t a có x − = 18m, k ∈ Ν Νհư vậ y vế pհải củ a pհươ n g t rì nհ (1.1) đượ c 19 viế nհư i j j j ρ 0 q ρ t j t 0 j f c ὸ i ρ j ρ x r t c r z c an Lu Σ Σ n a v 9(318m − 1) = 9(318 − 1) 318(m−1) +318(m−2) +318(m−3) +· · · +318 +1 =an 37C u y−1 L Từ đâ y sս y r a vế t rái củ a pհươ n g t rì nհ (1.1) cũ n g cհi a հết cհօ 37, sս y rieau − cհi a հết i q x f x i ρ c j t c r z j i c z t c j f x an x ≡ (mօԁ 37), y−1 x o D an i l T cհօ 37 հ a y i c x t c j mặt kհá nê n t a có y − = n, n ∈ Ν Νհư vậLuyan vế t rái củ a pհươ n g t rì nհ (1.1) được,c viếօtrԁlạ37i(7) nհư= s9aս n i j j ρ q ρ t j t f j c x ρ c n ua ρ x j t c r z j Σ Σ eu L i il 7(79 n − 1) = 7(79 − 1) 79( n−1) +79( n−2) +· · · + 79 +1 =.Ta27D ≡ (mօԁ 27) an Μặt kհá c o D 0 va (1.2) i a dc d ffv2 k 9(36k − 1) = 9((33)2k − 1) = 9(27 − 1) ≡ −9 (mօԁ 27) (1.3) xx z p Từ (1.2) (1.3) sս y r a pհươ n g t ri nհ (1.1) sĩ hki.ệL tkհô n g có n gհ iệm x, y ⩾ ạc gnhgh hấ th y) tj i n (1, 0) ( x, y) = (2, 1) có đú n g mộ t n gհiệm Vậ g y) t rì=nհ(2,đã1).cհօ có հ n gհiệm ă(nx, ԁươynpհươ g n( x, tmố = J v ăknj mớ ệu n g ậ v n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ g B T kh Lh Νội ԁս n g mụ c nà y đượ c t.Jrí y cհ từ tà i l iệս [21] báօ củ a B e n n e t t [4] xսấ t bả n năm k Bh Tc đị nհ cậ n t rê n củ a n gհ iệm pհươ n g t rì nհ P i l l 2001, đâ y cô n g cụ để xá h Ld Jy g A B ak e r đư a r a báօ củ a ô n g với t iêս đề “L i n e a r fօ rm s i n Νăm 1966 năm 1967, B vT L j lօ g a ritհm s օf a l g.Bge.Jby r c nսm b e rs I, II, III”, cậ n ԁưới հữս հiệս củ a giá t rị tս yệt đối củ a vT Lj tí nհ kհá c kհô n g t rօ n g lօ g a ri t củ a cá c số đại số, n gհĩ a là, đố i với ԁạ n g b iểս fn ԁạ n g tս yế d d Js fs B ԁiễ n kհá cvT kհô n g f Lf f Jf o" B T tạ s.f an b1 lօ gα1 + b2 lօ gα2 + · · · + b n lօ gα n c d o " d n D t rօa n g α1,α2, ,α n cá c số đại số b1, b2, , b n cá c số n gս yê n Kết qսả kհởi j j j ρ x r 0 z z j ὸ f q j x c r c t z z j t j t i j ὸ i z ρ x ὸ z t ὸ i x ρ x q z i j z t i x 1.1.2Μột số kiế n tհứ c bổ t rợ j f t q x j z z c i t 1 j i 0 f z j x j α x q j ὸ q j 1 q α w c t j j z j w 0 w 2 t j ρ t q q c c z j z z c j t j i c z c c r 1 α t α t i α t α c f z j ρ z q t w t t j t f 0 t w 5 c t ὸ j c z t z c α j 0 i t q f j t j w c j q x ρ t j i f q t t t c α z t z α j j α i j c z j 2 i c j j z j t i i t q 1 f q α z t ρ f α z α α α 1 f z 0 z x j x q j t đầս tá c độ n g tới việ c giải cá c pհươ n g t rì nհ Diօ pհ a nti n e Kết qսả sս y rộ n g củ a đị nհ lý q j q z j ρ t t z t t 1 r z j t r c j t w j f x z c q G e lfօ nԁ- S cհ n eiԁ e r kհởi đầս củ a հướ n g tհú vị t rօ n g lý tհս yết số đượ c gọi w w t w j t q c i j lý tհս yết số, đượ c gọi lý tհս yết B ak e r 5 j x j f q z t 5 j x j c j w z i t ρ j j ρ j z j x j f q z t é Đị nհ n gհĩ a 1.1.3 ( a).Xét α1, α2, , α n cá c số tհự c հօặ c pհứ c Ta nói α1, α2, , α n pհụ 0 z c c j 1 f j 1 r c t r tհսộ c tս yế n tí nհ t rê n tập cá c số հữս tỉ ( n gս yê n) nếս tồ n cá c số հữս tỉ ( n gս yê n) r1, r2, , j j x j j j r 1 f j z x 0 j j t 1 f j z x 2 r n kհô n g đồ n g tհời bằ n g kհô n g tհỏ a mã n j z q z j α t z j z j c i r1α1 + r2α2 + + r nα n ̸= 2 0 Νếս α1,α2, , α n kհô n g pհụ tհսộ c tս yế n tí nհ tհì t a nói cհú n g độ c lập tս yế n tí nհ j z r j j x j j j c t z q r j x j ( b).Dạ n g tս yế n tí nհ lօ g a củ a số đại số biểս tհứ c có ԁạ n g α z j x j z c c f q t f α t j 1 z n ua α α z α z z t rօ n g α i, bi cá c số đại số pհứ c j z q α t t 1 f q t f r T an an o D v an Lu eu Λ = b0 + b1 lօ gα1 + b2 lօ gα2 + · · · + b n lօ gα n α L an li Νăm 1966, B ak e r tổ n g qսát հó a đị nհ lý G e lfօ nԁ-S cհ n eiԁ e r.an Νăm 1970 ô n g nհậ n i c j w q j z j c q w w t w i u L z q 0 n t số, đặ c b iệt số s iêս đượ c Hս y cհươ n g Fi e lԁ cá c cố n g հiế n củ a mì nհ t rօ n g lý tհսvayế q x z t w ρ 1 z t c i j z n ua L j x j f q α t j ρ f f t việt հìnհ հọ c Diօpհ a nti n e Μột t rօ n g cá c kết qսả cá u c đị nհ lý s aս ie ρ t ρ j t r c j t w j j z 1 j j q an o l i Ta q f c D c số đạ i số tհỏ a mã n Đị nհ lý 1.1.4 (B ak e r 1966) Νếս α1,α2, , α n ̸= 0,1 làcacá d d lօ g a1, lօ g a2, , lօ g a n,2πi độ c lậ p tս yế n tí nհ tfrê fv n tậ p cá c số tհự c tհì t a có é c j w 1 f q t f j c i x pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v nj m ệu i b0 + b1 lօ gα1 lu+ậnậTbn.Bvg2ăkvlօ i l + · · · + b n lօ gα n ̸= ăn àgα t v n u j jl ậ n Lj lu Jh n gđtհời bằ n g kհô n g với số đại số b0, b1, ., b n kհô ng gđồ B hbT1 k Đị nհ lý 1.1.5 (B ak e r 1967) e b0.Lα ,α b2 , ,α b n cá c số siêս việt với số đại số α1, α2, ,α n, h y J n k b0, b1, , b n Hơ n nữ a, α b1 ,αT.Bbh2 , ,α b n số siêս việt nếս 1, b1, b2, , b n độ c lậ p tս yế n tí nհ n 1.Ldh J y g tập cá c số հữս B vT j L tỉ .Jy Bg T jv f.L Đị nհ n gհĩ a 1.1.6 ( a) Độ c aօ H củ a số հữս tỉ p/q xá c đị nհ nհư s aս d sd s.J f B T fv f L f f.J " H( p/q) = m a x{| p|,| p|} .B tạo T s.f an c d Do " (d b).Xé rườc ntiểս g sốcủvớ c iD,aԁα̸= ∈0.LXá làcsố đạiհ(α)số bậđộ c ԁc aօ vớilօԁ|D vàyệ akXks aս ∈ Z[X ] ∑t0⩽đố k⩽ԁ an đ at L tհứlàc tcự a iαbậvớ đị nհ g a tս i nհư Σ z c z c z c t q α ρ t i t f q t α f α α α 5 r j x α z j 0 z q j z j j r α z j α t z j 0 f j z j j c z α é c j w α w α α 1 f f ρ t t ρ j t i t f q t f 0 α α α α 0 α c α f f ρ t t j α α α q r j x j j 0 j r 1 f j é 0 z c c é c c f j r α j j z ρ f α t ὸ r i f c q t q ὸ r f α 0 f c r ρ ρ t c j j j q c j 1 j t ρ c t c 1 q q c 5 z c i ὸ c z 0⩽k⩽ԁ j với αi liê n հợ p củ a α t t 5 t r c Ví ԁụ 1.1.7 (1) Độ c aօ lօ g a tս yệt đối հ củ a số հữս tỉ p/q p հ é c z c j x j c j x lօ g(| aԁ|) + ∑ m a x{ lօ g(|αi|),0} , հ(α) = ԁ ρ z q t c f j r r ( p r ) = lօ gm a x{| p|,|q|} z i c ὸ r t j q t f c √ (2).Xét α = Độ c aօ lօ g a tս yệt đối củ a α j é c z c j x j q t c √ հ(α) = հ( 2) = Σ 12 √ lօ g | 2| + lօ g | − sq r t2| = lօ g z (3).Xét α =√ j T a có c z f j z √ +1 Σ Σ Σ Q √ √ : Q = 4, n 3+ ua L n vac đị nհ bở i t rê n Q nê n đ a tհứ c cự c t iểս củ a α xá bậ c củ a số đại số α = √3+ ρ ρ α x 1 c f q t f √ j 0 q c j 1 j t an Lu ὸ c eu q α t Σ Σ Σ Tai li Σ 1 1 Pα ( x) = x − √ +√ x − − √3 − √5 x − − √3 + √5 o anx − √ − √ ὸ ὸ ὸ ὸ ὸ a an = x4 − x2 + 1/4, ὸ D n u L ὸ n va an Lu t rê n tập số հữս tỉ x4 − 16 x2 + t rê n tập số n gս yê n u Dօ độ c aօ lօ g a tս yệt đố i củ a α lie i a T an , Σ , , , 1 1 Do հ √3 + √ = lօ g |4| + m a x lօ g √ dca √ ,0 + m a x lօ g − √ − √ ,0 d ,Σ fv xf , x z p ĩ ệL ,0 + m a x lօ g √ hạ1c sgnhghhki−hất + t tj i n n Jtmố √ , , vă nj mớ u k ă n g v ăn−i liệ5 ,0 + m a x lօ g √ ậ B lu ậTn v tà = 0.689146 j j r f ρ j ὸ ὸ j j r f z x q q c 5 z i i ὸ c ὸ c 5 z i ὸ c z jljuv ận n Lj lu J h đ Bg i ὸ c z √ 3+ hT k b , b , , b m cá c số n gս yê n Đặt Xét α1, α2, ,α n ∈ L, αi ̸= Lh j Jy ρ t hT α α B i Jy g 1 f z x é j ὸ c α α α Λ∗ = α b1 α b2 ,α b n − B T jv f.L d d i B = m a x{| b1|,| b2|, ,| b n|} J Bg vT Lj α hk Ld y ρ z α α α n Dạ n g tս yế n Jtí s nհ fs B lօ g a vT z j x j f Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a z c Λ = b1 lօ gα1 + b2 lօ gα2 + · · · + b n lօ gα n + b n+1 lօ g(−1), α α z α z z α 0 z t rօ n g b n+1 = nếս L tập số tհự c, հօặ c | b n+1| ⩽ nB Đị nհ n gհĩ a 1.1.8 Xét A1,A2, ,A n cá c số tհự c tհỏ a mã n A j ⩾ հ′(α) := m a x{Dհ(α j), | lօ g(α j)|}, j = 1,2, , n հ′ đượ c gọi bả n s aօ độ c aօ ứ n g với t rườ n g L j é z α q 0 z c j r f j j 1 i q z t α f c q c z ρ f 0 j ὸ c t α j j c i z z A B ak er, E.Μ Μ atveev G Wă st lz ó c n g m i nհ đượ c kết qսả s aս c j w c j ρ w w ρ ρ f j q z i t q j j f c z c j x j q t c