ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH VIỆT ANH Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1 TS Trần Xuân Quý 2 TS Đỗ Thị[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐINH VIỆT ANH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2021 i Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt ii Mở đầu Chương Về phương trình Pillai 1.1 1.2 Phương trình Diophantine mũ số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Một số ví dụ phương trình Diophantine mũ 1.1.2 Một số kiến thức bổ trợ Về phương trình Pillai Chương Số nghiệm phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby = c 15 2.1 Về phương trình Pillai suy rộng 15 2.2 Số nghiệm phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby = c 17 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 ii Bảng ký hiệu viết tắt N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực dương a|b a ước b gcd(a, b) Ước chung lớn a b a ≡ b (mod m) m|a − b x = ordm (a) Bậc a theo modulo m, tức x số nguyên dương bé để ax ≡ (mod m) Mở đầu Theo tìm hiểu chúng tơi, lớp phương trình Diophantine bậc (tuyến tính) bậc hai có phương pháp giải nhiều tài liệu giáo trình viết, chí có nhiều luận văn khai thác chủ đề Tuy nhiên lớp phương trình bậc cao khơng có phương pháp chung để giải (Khẳng định nhà Toán học Nga M Yuri năm 1970) Như lớp phương trình Diophantine bậc hớn hai tìm cách giải cho phương trình cụ thể Các phương pháp quen thuộc thường sử dụng bậc phổ thơng sử dụng tính chất chia hết để thu hẹp tập nghiệm có thể, sử dụng ước lượng độ lớn nghiệm để thu hẹp tập hợp nghiệm Ngày nay, với hỗ trợ mạnh mẽ máy tính, xác định cận nghiệm (nếu tồn tại) việc nghiệm phương trình khơng khó khăn Vài thập kỷ gần Scott cộng có nhiều kết lớp Phương trình Pillai, tác giả tìm cách mở rộng phương trình ax − by = c (phương trình gọi phương trình Diophantine Pillai hay cịn gọi phương trình Pillai) Các kết nghiên cứu Pillai phần lớn liên quan tới Diophantine Ví dụ, có kết nối sâu sắc với tốn Diophantine cơng trình ơng vấn đề Waring Pillai đề cập tới Diophantine sớm vào năm 1930 [7] Trong khuôn khổ luận văn, chủ yếu thảo luận câu hỏi liên quan đến kết phương trình Pillai số mở rộng Chính vậy, hướng dẫn thầy giáo TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh, chọn đề tài “Về phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby = c” để thực luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn trình bày nghiên cứu tổng hợp kết số nghiệm phương trình Pillai theo thứ tự lịch sử trình bày kết Scott Styer [18] cho phương trình Pillai tổng qt Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương, cụ thể: Chương Về phương trình Pillai Trình bày lời giải cho số ví dụ cụ thể cho phương trinh Diophantine Pillai sử dụng tính chất chia hết, tính chất đồng dư Trình bày dạng tuyến tính loga, cơng cụ để xác định cận nghiệm phương trình Pillai Chương Số nghiệm phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby = c Trình bày khảo sát lịch sử phát triển phương trình Pillai, phương trình Pillai suy rộng Trình bày hai kết báo [18] xuất năm 2013 Scott cộng số nghiệm phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby = c, với khẳng định Định lý 2.2.20 Định lý 2.2.21 Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới - TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy Khoa Tốn - Tin, thầy cô giảng dạy em thời gian em theo học chương trình đào tạo cao học trường Đại học Khoa học, Phịng Đào tạo giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2021 Tác giả Đinh Việt Anh Chương Về phương trình Pillai Trong chương chúng tơi đưa số ví dụ phương trình Diophantine mũ (phương trình Pillai trường hợp đặc biệt), khái niệm số học khơng trình bày lại luận văn (tài liệu [1,2]) Chúng tơi trình bày số cơng cụ nghiên cứu phương trình Pillai dạng Pillai dạng tuyến tính loga để xác định cận nghiệm phương trình Pillai Tổng quan lịch sử phương trình Pillai số kết phương trình Pillai kết trình bày lại từ tài liệu [19] năm 2009 1.1 Phương trình Diophantine mũ số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Một số ví dụ phương trình Diophantine mũ Trong mục đưa số vận dụng lý thuyết đồng dư, tính chất số học để giải số phương trình Diophantine mũ, ví dụ trường hợp đặc biệt của phương trình Diophantine Pillai hay phương trình Pillai ax − by = c trình bày mục 1.2 dạng suy rộng chương Các kiến thức lý thuyết chia hết, lý thuyết đồng dư, khái niệm số đặc biệt số hoàn hảo, số Mersen, , bậc số a theo modulo m (orda (m)) tham khảo tài liệu [1] [2] Ví dụ 1.1.1 Tìm nghiệm ngun phương trình sau 5x − 8y = LỜI GIẢI Giả sử tồn x, y thỏa mãn 5x − 8y = 1, 5x − 8y ≡ (mod 21) Ta có 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 ≡ ≡ ≡ (mod 21) (mod 21) (mod 21) ≡ 20 (mod 21) 80 ≡ 17 (mod 21) 82 ≡ 16 (mod 21) 81 (mod 21) 83 (mod 21) ··· ≡ ≡ ≡ ≡ (mod 21) ≡ (mod 21) ≡ (mod 21) ≡ (mod 21) ≡ (mod 21) (mod 21) ··· Như vậy, có 12 trường hợp cho 5x − 8y xét (mod 21), nhiên ta thấy − 1, − 8, · · · , 17 − khơng Như phương trình cho khơng có nghiệm ngun Ví dụ 1.1.2 Tìm nghiệm ngun phương trình 3x − 7y = LỜI GIẢI (TH1) Xét x, y ⩽ 2, ta thấy (x, y) = (1, 0) (x, y) = (2, 1) thỏa mãn phương trình (TH2) Xét x, y ⩾ 3, phương trình viết lại sau 7(7y−1 − 1) = 9(3x−2 − 1) (1.1) Như vế phải phương trình (1.1) phải chia hết cho 7, hay 3x−2 − chia hết cho hay 3x−2 ≡ (mod 13), mặt khác, ord7 (3) = nên ta có x − = 6k, k ∈ N Như vế phải phương trình (1.1) viết lại sau h i 9(36k − 1) = 9(36 − 1) 36(k−1) + 36(k−2) + 36(k−3) + · · · + 36 + = 13A Từ suy vế trái phương trình (1.1) chia hết cho 13, suy 7y−1 − chia hết cho 13 hay 7y−1 ≡ (mod 13), mặt khác, ord13 (7) = 12 nên ta có y − = 12l, l ∈ N Như vế trái phương trình (1.1) viết lại sau h i 7(712l − 1) = 7(712 − 1) 712(l−1) + 712(l−2) + · · · + 712 + = 19B Từ suy vế phải phương trình (1.1) phải chia hết cho 19, hay 3x−2 − chia hết cho 19 hay 3x−2 ≡ (mod 19), mặt khác, ord19 (3) = 18 nên ta có x − = 18m, k ∈ N Như vế phải phương trình (1.1) viết lại sau h i 18m 18 18(m−1) 18(m−2) 18(m−3) 18 9(3 − 1) = 9(3 − 1) +3 +3 + · · · + + = 37C Từ suy vế trái phương trình (1.1) chia hết cho 37, suy 7y−1 − chia hết cho 37 hay 7y−1 ≡ (mod 37), mặt khác, ord37 (7) = nên ta có y − = 9n, n ∈ N Như vế trái phương trình (1.1) viết lại sau h i 7(79n − 1) = 7(79 − 1) 79(n−1) + 79(n−2) + · · · + 79 + = 27D ≡ (mod 27) (1.2) Mặt khác 9(36k − 1) = 9((33 )2k − 1) = 9(272k − 1) ≡ −9 (mod 27) (1.3) Từ (1.2) (1.3) suy phương trinh (1.1) khơng có nghiệm x, y ⩾ Vậy phương trình cho có hai nghiệm (x, y) = (1, 0) (x, y) = (2, 1) có nghiệm dương (x, y) = (2, 1) 1.1.2 Một số kiến thức bổ trợ Nội dung mục trích từ tài liệu [21] báo Bennett [4] xuất năm 2001, công cụ để xác định cận nghiệm phương trình Pillai Năm 1966 năm 1967, A Baker đưa báo ông với tiêu đề “Linear forms in logarithms of algebraic numbers I, II, III”, cận hữu hiệu giá trị tuyệt đối dạng tuyến tính khác khơng logarit số đại số, nghĩa là, dạng biểu diễn khác không b1 log α1 + b2 log α2 + · · · + bn log αn α1 , α2 , , αn số đại số b1 , b2 , , bn số nguyên Kết khởi đầu tác động tới việc giải phương trình Diophantine Kết suy rộng định lý GelfondSchneider khởi đầu hướng thú vị lý thuyết số gọi lý thuyết số, gọi lý thuyết Baker Định nghĩa 1.1.3 (a) Xét α1 , α2 , , αn số thực phức Ta nói α1 , α2 , , αn phụ thuộc tuyến tính tập số hữu tỉ (nguyên) tồn số hữu tỉ (nguyên) r1 , r2 , , rn không đồng thời không thỏa mãn r1 α1 + r2 α2 + + rn αn ̸= Nếu α1 , α2 , , αn khơng phụ thuộc tuyến tính ta nói chúng độc lập tuyến tính (b) Dạng tuyến tính loga số đại số biểu thức có dạng Λ = b0 + b1 log α1 + b2 log α2 + · · · + bn log αn αi , bi số đại số phức Năm 1966, Baker tổng quát hóa định lý Gelfond-Schneider Năm 1970 ông nhận Huy chương Field cống hiến lý thuyết số, đặc biệt số siêu việt hình học Diophantine Một kết định lý sau Định lý 1.1.4 (Baker 1966) Nếu α1 , α2 , , αn ̸= 0, số đại số thỏa mãn log a1 , log a2 , , log an , 2πi độc lập tuyến tính tập số thực ta có b0 + b1 log α1 + b2 log α2 + · · · + bn log αn ̸= với số đại số b0 , b1 , , bn không đồng thời không Định lý 1.1.5 (Baker 1967) eb0 αb11 , αb22 , , αbnn số siêu việt với số đại số α1 , α2 , , αn , b0 , b1 , , bn Hơn nữa, αb11 , αb22 , , αbnn số siêu việt 1, b1 , b2 , , bn độc lập tuyến tính tập số hữu tỉ Định nghĩa 1.1.6 (a) Độ cao H số hữu tỉ p/q xác định sau H(p/q) = max{|p|, |p|} (b) Xét L trường số với bậc D, α ∈ L số đại số bậc d với d|D ∑0⩽k⩽d ak X k ∈ Z[X] đa thức cực tiểu α với ad ̸= Xác định h(α)-độ cao loga tuyệt đối sau h(α) = 1 log(|ad |) + ∑ max{log(|αi |), 0} , d 0⩽k⩽d với αi liên hợp α Ví dụ 1.1.7 (1) Độ cao loga tuyệt đối h số hữu tỉ p/q p h( ) = log max{|p|, |q|} p (2) Xét α = √ Độ cao loga tuyệt đối α √ √ 1 log | 2| + log | − sqrt2| = log h(α) = h( 2) = 2 (3) Xét √ α= √ 3+ Ta có i h √ : Q = 4, Q √ 3+ bậc số đại số α = √ 1√ 3+ Q nên đa thức cực tiểu α xác định 1 1 √ √ √ √ Pα (x) = x − √ x− √ x− √ x− √ 3+ − 3− − 3+ 3− = x4 − 4x2 + 1/4, tập số hữu tỉ 4x4 − 16x2 + tập số nguyên Do độ cao loga tuyệt đối α √ √ , + max log √ 3− 3+ = 0.689146 Xét α1 , α2 , , αn ∈ L, αi ̸= b1 , b2 , , bm số nguyên Đặt B = max{|b1 |, |b2 |, , |bn |} Λ∗ = αb11 αb22 , αbnn − Dạng tuyến tính loga Λ = b1 log α1 + b2 log α2 + · · · + bn log αn + bn+1 log(−1), bn+1 = L tập số thực, |bn+1 | ⩽ nB Định nghĩa 1.1.8 Xét A1 , A2 , , An số thực thỏa mãn A j ⩾ h′ (α) := max{Dh(α j ), | log(α j )|}, j = 1, 2, , n h′ gọi độ cao ứng với trường L A Baker, E.M Matveev v G Wăustholz ó chng minh kết sau Định lý 1.1.9 (A Baker, E.M Matveev v G Wăustholz 1993) Gi s = b1 log α1 + b2 log α2 + · · · + bn log αn ̸= với αi số đại số bi số nguyên Thì ta có bất đẳng thức sau log |Λ| ⩾ −18(n + 1)!nn+1 (32D)n+2 log(2nD)h′′ (α1 ) h′′ (αn ) log(B), với D bậc Q(α1 , , αn ) h′′ (α) = max{h(α), 1 | log(α)|, } D D Định lý 1.1.10 (Matveev 2001) Giả sử Λ∗ ̸= Khi ta có đánh giá |Λ∗ | > −3 · 30n+4 (n + 1)5.5 D2 A1 A2 An (1 + log(D))(1 + log(nB)) Nếu L tập số thực log |Λ∗ | > −1.4 · 30n+3 (n + 1)4.5 D2 A1 A2 An (1 + log(D))(1 + log(B)) Định lý 1.1.11 (Matveev 2001) Giả sử Λ = b1 log α1 + b2 log α2 + · · · + bn log αn ̸= với αi số đại số bi số ngun Thì ta có bất đẳng thức sau log |Λ| > −2 · 30n+4 (n + 1)6 D2 A1 A2 An (1 + log(D))(1 + log(B)) Một ứng dụng đơn giản dạng tuyến tính loga chứng minh |2m − 3n | → ∞ m + n → ∞ thêm vào cận đại lượng Xét số nguyên n ⩾ m, m′ thỏa mãn điều kiện ′ ′ ′ ′ 2m < 3n < 2m +1 , |2m − 3m | = min{3n − 2m , 2m +1 − 3n } Khi ta có |2m − 3n | < 2m , (m − 1) log < n log < (m + 1) log 2, Xét dạng tuyến tính Λ = 3n 2−m − Áp dụng Định lý 1.1.10 Matveev ta thu log |Λ| > −c0 (1 + log m) Chọn c0 = 5.87 · 108 Ta có kết sau Định lý 1.1.12 Giả sử m, n số nguyên dương Khi ta có đánh giá |2m − 3n | > 2m (em)−5.87·10 Hệ 1.1.13 Phương trình Diophantine 2m − 3n = có nghiệm nguyên (m, n) = (3, 1), (5, 3) 1.2 Về phương trình Pillai Mục trình bày khái quát lịch sử phát triển phương trình Pillai số trường hợp đặc biệt giải năm 2001 Nội dung mục viết dựa tài liệu [19], thống kê lịch sử phát triển phương trình Pillai mà không đưa chứng minh Các chứng minh trình bày báo [4]- [14] Pillai (1901-1950) nhà toán học tiếng người Ấn Độ chuyên lý thuyết số Phần lớn cơng trình Pillai dành cho phương trình Diophantine Cơng trình ơng toán Waring coi kết tốt ơng cơng trình tốt tốn học Ấn Độ tính từ Ramajujan (1887-1920) Ơng quan tâm tới phương trình Diophantine từ đầu năm 1930 Định nghĩa 1.2.1 Phương trình Diophantine dạng ax − by = c (1.4) với a, b, x, y số nguyên dương c nguyên khác khơng cho trước gọi phương trình Pillai Ví dụ 1.2.2 • Do − = 32 − 23 = nên phương trình 3x − 2y = có hai nghiệm (x, y) = (1, 1) (2, 3) • Do 23 − = 25 − 33 = nên phương trình 2x − 3y = có hai nghiệm (x, y) = (3, 1) (5, 3) • Do 24 − = 28 − 35 = 13 nên phương trình 2x − 3y = 13 có hai nghiệm (x, y) = (4, 1) (8, 5) • Do 13 − = 133 − 37 = 10 nên phương trình 13x − 3y = 10 có hai nghiệm (x, y) = (1, 1) (3, 7) • Do 91 − = 912 − 213 = 89 nên phương trình 91x − 2y = 13 có hai nghiệm (x, y) = (1, 1) (2, 13) • Do − = 62 − 25 = nên phương trình 6x − 2y = có hai nghiệm (x, y) = (1, 1) (2, 5) • Do 15 − = 152 − 63 = nên phương trình 15x − 6y = 13 có hai nghiệm (x, y) = (1, 1) (2, 3) • Do 280 − = 2802 − 57 = 275 nên phương trình 280x − 5y = 275 có hai nghiệm (x, y) = (1, 1) (2, 7) 10 • Do 4930 − 30 = 49302 − 305 = 4900 nên phương trình 4930x − 30y = 4900 có hai nghiệm (x, y) = (1, 1) (2, 5) • Do 64 − 34 = 65 − 38 = 1215 nên phương trình 6x − 3y = 13 có hai nghiệm (x, y) = (4, 4) (5, 8) Năm 1931, Pillai [8] chứng minh với số nguyên dương a, b ⩾ 2, số nghiệm (x, y) bất đẳng thức Diophantine < ax − by ⩽ c tiệm cận (log c)2 2(log a)(log b) (1.5) c dần tới vô Năm 1932, Pillai [9] chứng minh a → ∞, ký hiệu N(a) số nghiệm (x, y) cho x, y > bất phương trình < xy − yx ⩽ a N(a) thỏa mãn N(a) ∼ (log a)2 (log log a)2 Pillai ra, với ε > a đủ lớn so với ε, số nghiệm phương trình xy − yx = a nhiều (1 + ε) log a log log a Năm 1936, A Herschfeld cải tiến cơng trình Pillai năm 1931 thành c số ngun có |c| đủ lớn phương trình 2x − 3y = c có nhiều nghiệm (x, y) nguyên dương Với |c| nhỏ khẳng định không Dựa vào phương pháp sơ cấp, Herschfeld chứng minh ba số nguyên (x, y, c) với x y dương nghiệm phương trình 2x − 3y = c (1.6) với |c| ⩽ 10 gồm (2, 1, 1), (1, 1, −1), (3, 2, −1), (3, 1, 5), (5, 3, 5), (2, 2, −5), (4, 2, 7), (1, 2, −7) Do đó, x > y > |2x − 3y | > 10 Bằng phương pháp tương tự, Herschfeld chứng minh x > y > |2x − 3y | > 100 Pillai mở rộng kết Herschfeld cho phương trình (1.6) cho phương trình Diophantine tổng quát ax − by = c, (1.7) a, b c số nguyên khác không cố định, gcd(a, b) = a > b ⩾ 1: ông chứng minh tồn số nguyên dương c0 (a, b) cho với |c| > c0 (a, b), phương trình có nhiều 11 nghiệm Cơng trình Pillai dựa vào kết Siegel bất đẳng thức Thue phép xấp xỉ hữu tỉ số đại số Kết hợp kết với ước lượng (1.5), Pillai suy số số nguyên đoạn [1, n] biểu diễn dạng ax − by tiệm cần (log n)2 2(log a)(log b) n → ∞ Trong trường hợp đặc biệt phương trình Herschfeld (1.6) với (a, b) = (3, 2), từ phương trình − = 32 − 23 = 1, − 23 = 33 − 25 = −5, − 24 = 35 − 28 = −13, Pillai giả thuyết c0 (3, 2) = 13 Giả thiết R J Stroeker R Tijdeman chứng minh năm 1982: c > 13 số nguyên dương cho trước phương trình Diophantine |3x − 2y | = c có nhiều nghiệm nguyên dương (x, y) Năm 1936, Pillai [10] giả thuyết cho trước c, X, x,Y, y biến, phương trình X x −Y y = c (1.8) có hữu hạn nghiệm, miễn x ⩾ 2, y ⩾ Năm 1942, Pillai chứng minh khẳng định S Ramajujan số số nguyên dạng 2a · 3b bị chặn số x cho trước xấp xỉ (log(2x))(log(3x)) 2(log 2)(log 3) Từ kết bên trên, suy với số nguyên a b, phương trình ax − by = az − bw có hữu hạn nghiệm x, y, z, w Năm 1944, Pillai dự định chứng minh kết tương tự cho phương trình ax − by = bz ± aw Tuy nhiên, A Brauer kết gcd(a, b) = 1, Pillai nghiên cứu trường hợp gcd(a, b) > Năm 1945, Pillai [11] giải hồn tồn phương trình Diophantine 2x − 3y = 3Y − 2X , 2x − 3y = 3Y + 2X , 3y − 2x = 2X + 3Y Số nghiệm ba phương trình tương ứng 6, 7, Năm 1945, Pillai viết: xắp xếp lũy thừa số nguyên, ví dụ bình phương, lập phương, v.v theo thứ tự tăng dần sau: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 12 Ký hiệu an số thứ n dãy, tức a1 = 1, a2 = 4, a3 = 8, a4 = 9, v.v Khi lim inf(an − an−1 ) = ∞ n→∞ Khẳng định tương đương với giả thiết: Giả thuyết Pillai: Với số nguyên c ⩾ 1, phương trình Diophantine ax − by = c có hữu hạn nghiệm nguyên dương (a, b, x, y) với x ⩾ y ⩾ Chỉ có giá trị c mà giả thiết Pillai giải, cụ thể c = 1: có hữu hạn cặp số nguyên liên tiếp lũy thừa số nguyên Kết chứng minh R Tijdeman năm 1976 Đối với trường hợp c = 1, giả thuyết mạnh giả thuyết Pillai E Catalan đề xuất năm 1844 Catalan đề xuất ví dụ số nguyên liên tiếp lũy thừa số nguyên (8, 9): Phương trình an+1 − an = có nghiệm n = Giả thuyết Catalan: Phương trình Diophantine x p − yq = 1, (x, y, p, q) số nguyên lớn có nghiệm (3, 2, 2, 3) Một số trường hợp đặc biệt phương trình Catalan x m − yn = (1.9) (trong bốn biến x, y, m, n đề số nguyên ⩾ 2) nghiên cứu từ trước Kết phương trình 3a − 2b = có nghiệm a = 2, b = có nghĩa hai số nguyên liên tiếp dãy lũy thừa nhà thiên văn học học người Pháp Levi Ben Gerson chứng minh vào năm 1320 Năm 1757, Frenicle de Besy chứng minh toán đề xuất Fermat: p số nguyên tố lẻ n số nguyên ⩾ 2, phương trình x2 − = pn khơng có nghiệm ngun Nếu n > phương trình x2 − = 2n khơng có nghiệm nguyên Năm 1738, L Euler chứng minh phương trình x3 − y2 = ±1 có nghiệm (x, y) = (2, 3) Năm 1850, V.A Lebesgue chứng minh phương trình (1.9) khơng có nghiệm với n = Năm 1921 1934, T Nagell chứng minh với p > 3, phương trình y2 − = y p có nghiệm nguyên với y > y chẵn, p ước x p ≡ (mod 8) Định lý Siegel năm 1929 tính hữu hạn số điểm nguyên đường cong có giống ⩾ kéo theo với cặp số nguyên (m, n) cố định ⩾ 2, phương trình (1.9) có hữu hạn nghiệm Năm 1932, S Selberg chứng minh phương trình x4 − = yn với n ⩾ x, y dương khơng có nghiệm Năm 1952, W.J LeVeque chứng minh với a b cố định ⩾ a ̸= b, phương trình ax − by = có nhiều nghiệm (x, y), trừ (a, b) = (3, 2) Lúc phương trình có hai nghiệm (1, 1) (2, 3) 13 Các kết bổ sung nghiệm phương trình (1.9) chứng minh J.W.S Cassels năm 1953 1960 bao gồm kết nghiệm phương trình Catalan x p − yq = với số mũ p q số ngun tố lẻ có tính chất p ước y q ước x Kết hữu ích cơng trình sau tốn Catalan Năm 1958, T Nagell chứng minh với n = 3, phương trình (1.9) có nghiệm Năm 1962, A Makowski năm 1964, S Hyyro chứng minh khơng có ví dụ ba số lũy thừa liên tiếp dãy số lũy thừa Ngoài ra, Hyyro đưa cận số nghiệm (x, y, n) phương trình Diophantine axn − byn = z Năm 1964, K Inkery chứng minh tiêu chuẩn đầu tiên: nghiệm (x, y, p, q) phương trình Catalan x p − yq = với p q số nguyên tố lẻ, √ • p ≡ (mod 4) pq−1 ≡ (mod q2 ) ngược lại lớp số Q( p) chia hết cho q Ông đưa tiêu chuẩn thứ hai sau 25 năm: • Nếu p ≡ (mod 4) pq−1 ≡ (mod q2 ) ngược lại lớp số Q(e2iπ/p ) chia hết cho q Năm 1965, Chao Ko chứng minh phương trình (1.9) có nghiệm với m = Năm 1976, R Tijdeman chứng minh phương trình (1.9) có hữu hạn nghiệm (x, y, m, n) chứng minh ông đưa cận rõ ràng nghiệm Năm 2001, Bennett [4] chứng minh với a, b, c số nguyên khác không, a, b ⩾ phương trình Pillai có nhiều hai nghiệm ngun dương (x, y) Tiếp đó, Bennett khẳng định Giả thiết Pillai trường hợp c đủ lớn so với a b: Định lý 1.2.3 ( [4]) Nếu a, b c số nguyên khác không, a, b ⩾ log a c ⩾ b2a a số nguyên tố, c ⩾ ba , phương trình ax − by = c có nhiều nghiệm nguyên dương x, y Bennett có kết sau khẳng định Giả thiết Pillai trường hợp c đủ nhỏ so với a, b Định lý 1.2.4 ( [4]) Nếu a, b c số nguyên khác không, a, b ⩾ Khi phương trình ax − by = c có nhiều nghiệm nguyên dương (x, y) với ∗ (a,b) by ⩾ 6000c1/δ δ∗ (a, b) = max(δ(a, b), − δ(a, b)) δ(a, b) = log a0 log b với a0 ước số nguyên dương lớn a thỏa mãn gcd(a0 , b) = 14 Định lý Bennett khẳng định Giả thiết Pillai với giá trị c nhỏ cố định Định lý 1.2.5 ( [4]) Nếu a, b, c số nguyên với a, b ⩾ ⩽ c ⩽ 100 phương trình ax − by = c có nhiều nghiệm nguyên dương x, y, trừ ba số (a, b, c) thỏa mãn (a, b, c) ∈ {(3, 2, 1); (2, 3, 5); (2, 3, 13); (4, 3, 13); (16, 3, 13); (2, 5, 3); (13, 3, 10); (91, 2, 89), (6, 2, 4), (15, 6, 9)} Trong trường hợp phương trình ax − by = c có hai nghiệm dương Cuối cùng, tập trung vào giá trị a nguyên tố cố định, Bennett thiết lập Giả thiết Pillai Định lý 1.2.6 ( [4]) Nếu a, b ⩾ c số nguyên dương, với a số nguyên tố b ≡ −1 ( mod a) phương trình ax − by = c có nhiều nghiệm nguyên dương (x, y) trừ trường hợp (a, b, c) ∈ {(3, 2, 1); (2, 3, 5); (2, 3, 13)} Trong trường hợp phương trình ax − by = c có hai nghiệm nguyên dương (x, y) Với a > b > số nguyên, năm 1936 Pillai tồn hữu hạn số nguyên c ̸= thỏa mãn nhiều biểu diễn dạng c = ax − by với x, y số nguyên không âm Đặc biệt phương trình ax − by = ax1 − by1 với (x, y) ̸= (x1 , y1 ) có hữu hạn nghiệm nguyên Ta sử dụng kỹ thuật cận dạng tuyến tính loga số đại số để tìm tất nghiệm trường hợp (a, b) = (3, 2) Mệnh đề 1.2.7 Phương trình 3x − 2y = 3x1 − 2y1 có nghiệm khơng tầm thường 31 − 22 = 30 − 21 , 32 − 24 = 30 − 23 , 32 − 23 = 31 − 21 , 33 − 25 = 31 − 23 , 35 − 28 = 31 − 24 (1.10) 15 Chương Số nghiệm phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby = c Mục tiêu chương trình bày lại số kết Reese Scott, Robert Styer số tác giả khác, cụ thể mục 2.1 trình bày phương trình Pillai suy rộng báo [13–16], phần luận văn mục 2.2 trình bày lại kết báo [18] xuất năm 2013 với tiêu đề số nghiệm phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby = c Cụ thể xét N số nghiệm (x, y, u, v) phương trình (−1)u rax + (−1)v sby = c với x, y số nguyên không âm, u, v ∈ {0, 1} a, b > 1, c, r, s > số nguyên cho trước Nếu gcd(ra, sb) = N ⩽ ngoại trừ số hữu hạn trường hợp thỏa mãn max{a, b, r, s, x, y} < 2.1015 2.1 Về phương trình Pillai suy rộng Bên cạnh cơng trình Giả thiết Pillai, nhiều tác giác mở rộng phương trình Pillai ax − by = c theo hướng thêm dấu thêm hệ số vào ax by Trong năm 1993, 2004, 2006, 2011, Scott cộng công bố bốn báo [13–16] trình bày số kết nghiên cứu phương trình Pillai dạng ±rax ± sby = c, (2.1) gọi phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby = c Năm 2013 Scott Styer [18] giải hồn tồn phương trình Trong mục này, chúng tơi trình bày phương trình Pillai suy rộng kết công bố báo Scott cộng [13–16], kết đưa mà khơng trình bày chứng minh Một số kết trước 2006 tác giả Thăng Duy Lập trình bày luận văn bảo vệ năm 2020 (xem [3]) Năm 1993, báo công bố Scott (xem [13]) xét phương trình |ax − by | = c với a, b số nguyên tố, c số nguyên (2.2) 16 Định lý 2.1.1 (Định lý 5, [13]) Với a, b số nguyên tố khác nhau, c số nguyên dương bất kỳ, phương trình (2.2) có nhiều ba nghiệm nguyên dương (x, y) Hơn nữa, tồn ba (a, b, c) (với a < b) để phương trình (2.2) có ba nghiệm là: (2, 3, 1); (2, 3, 5); (2, 5, 3) Năm 2004, Scott cộng xét phương trình (−1)u ax + (−1)v by = c (2.3) với a, b số nguyên tố khác nhau, c nguyên dương u, v ∈ {0, 1} Phương trình (2.3) viết lại sau |ax ± by | = c kết thu kết sau mở rộng Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.2 (Định lý 7, [14]) Giả sử x, y số nguyên dương, u, v ∈ {0, 1} Khi đó, với a, b số nguyên tố khác c ngun dương phương trình (2.3) có nhiều hai nghiệm (x, y, u, v), ngoại trừ trường hợp (a, b, c) (b, a, c) (3, 2, 5) phương trình (2.6) có bốn nghiệm (3, 2, 1); (3, 2, 7); (3, 2, 11); (3, 2, 13); (5, 2, 3) phương trình (2.6) có ba nghiệm Ngồi ra, M ⩾ số nguyên tố Mersen, F > số nguyên tố Fermat c > phương trình (2.3) có hai nghiệm b = (a, c) cặp sau (M, M + 2), (F, F − 2), (M, 2M + 1), (F, 2F − 1), (M, M + M + 1), (F, F − F + 1) Năm 2006, Scott cộng công bố kết báo [15], khẳng định với phương trình dạng (2.3) có kết sau Định lý 2.1.3 (Định lý 1, [15]) Giả sử a, b, c số nguyên thỏa mãn a, b > c > 0, phương trình (2.3) có nhiều hai nghiệm (x, y, u, v) ngoại trừ trường hợp (a, b, c) (b, a, c) (3, 2, 5) phương trình (2.3) có bốn nghiệm (3, 2, 1); (3, 2, 7); (3, 2, 11); (3, 2, 13);(4, 3, 13); (5, 2, 3) phương trình (2.6) có ba nghiệm, (4, 2, 3.4k ) với k = 1, 2, 3, ứng với k phương trình (2.3) có ba nghiệm Định lý 2.1.4 (Định lý 7, [15]) Giả sử a số nguyên tố, a > b với b = (hoặc b = 3), a < 1.25 · 1015 (hoặc a < 232 ), ⩽ x1 ⩽ x2 , ⩽ y1 ⩽ y2 (x1 , y1 ) ̸= (x2 , y2 ) Nếu tồn (a, x1 , y1 , x2 , y2 ) thỏa mãn |ax1 − by1 | = |ax2 − by2 | phương trình (2.4) phương trình sau − = 32 − 23 23 − = 25 − 32 24 − 31 = 28 − 35 (2.4) 17 23 − = 27 − 53 13 − = 133 − 37 22 − = 32 − 23 32 − 22 = 25 − 33 − = 27 − 53 11 − 22 = 27 − 112 − = 33 − 52 F − = 2v+1 − F đo F số nguyên tố Fermat lớn hoặc F = Định lý 2.1.5 (Định lý 1, [16]) Giả sử a, b, c, r, s số nguyên dương thỏa mãn a, b > (ra, sb) = Khi phương trình (−1)u rax + (−1)v sby = c, (2.5) có nhiều hai nghiệm (x, y, u, v) với x, y > u, v ∈ {0, 1} ngoại trừ số hữu hạn trường hợp ta xác định nghiệm sau hữu hạn bước Đặc biệt phương trình (2.5) có nhiều hai nghiệm max(a, b, r, s, x, y) < · 1014 2.2 Số nghiệm phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby = c Nội dung mục trình bày hai kết báo [18] Scott cộng công bố năm 2013 với tiêu đề số nghiệm phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ± sby = c phương trình dạng (2.6) (−1)u rax + (−1)v sby = c, (2.6) Đối với trường hợp gcd(ra, sb) = 1, xem Định lý 2.2.21 bên Trong trường hợp lại, ta cần số nhận xét đơn giản định nghĩa bổ đề chuẩn bị: Nhận xét 2.2.1 (i) Giá trị x y xác định giá trị u v (ii) Phương trình (2.6) có nhiều hai nghiệm với vai trị x y