Bai toan van tai ba chi so solid transport 194543

lời mở đầu Cùng với phát triển mạnh mẽ khoa học kỹ thuật, toán tối u xuất ngày nhiều tính phức tạp chúng ngày lớn Phạm vi khả ứng dụng toán tối u ngày đa dạng phong phú Lớp toán tối u quan trọng đợc nghiên cứu đợc ứng dụng nhiều toán quy hoạch tuyến tính (linear programming) Đó mô hình toán học lớp rộng lớn toán ứng dụng kinh tế kỹ thuật Do cấu trúc lớp toán quy hoạch tuyến tính có nhiều tính chất tốt mặt toán học, ngời ta đà tìm đợc thuật giải hữu hiệu cho toán Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B Dantzig đà nghiên cứu đề xuất thuật toán đơn hình (simplex method) để giải toán quy hoạch tuyến tính Thuật toán đơn hình đợc phát triển mạnh mẽ năm sau đợc xem phơng pháp kinh điển để giải toán quy hoạch tuyến tính Đây phơng pháp đợc sử dụng cã thĨ nãi lµ réng r·i nhÊt Cã ba lý chính: Một là: Rất nhiều vấn đề thực tế, nhiều lĩnh vực khác đa toán quy hoạch tuyến tính Hai là: Trong nhiều phơng pháp giải toán phi tuyến, toán tuyến tính xuất nh toán phụ cần phải giải nhiều bớc lặp Ba là: Phơng pháp đơn hình phơng pháp hiệu để giải toán quy hoạch tuyến tính Ngày nay, thuật toán đơn hình dạng cải biên chúng, ngời ta giải nhanh toán QHTT cỡ lớn Lớp toán vận tải trờng hợp đặc biệt quy hoạch tuyến tính, dùng phơng pháp quy hoạch tuyến tính để giải Tuy nhiên, tính chất đặc thù riêng nó, ngời ta xây dựng phơng pháp giải riêng Thông thờng nói đến toán vận tải ta thờng liên hệ đến toán vận tải hai số, toán vận tải kinh điển có phơng pháp giải hay Bên cạnh đó, ngời ta xét số toán vận tải mở rộng nh toán vận tải ba số, toán vận tải khoảng, toán vận tải đa mục tiêu nhiều toán khác, biến thể toán vận tải kinh điển Trong khuôn khổ khoá luận này, em xem xét nghiên cứu số toán mở rộng lớp toán vận tải mở rộng Đó toán: Bài toán vận tải ba số (solid transport problem) không hạn chế có hạn chế khả thông qua, Bài toán vận tải ba số khoảng (interval solid transport problem) giới thiệu số Bài toán vận tải đa mục tiêu Trang: Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thày giáo hớng dẫn Thạc sỹ Vũ Tiến Việt, ngời đà tận tình bảo, giúp đỡ em trình hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình thầy cô khoa Toán - Tin, Học viện An ninh Nhân dân Trang: Chơng I Bài toán quy hoạch tuyến tính Trong việc nghiên cứu toán tối u nói chung, giải tích lồi giữ vai trò quan trọng Nó đợc sử dụng làm sở toán học việc xây dựng thuật toán Quy hoạch tuyến tính lớp toán tối u đợc nghiên cứu trọng vẹn phơng diện lý thuyết lẫn thực hành, Bài toán vận tải dạng đặc biệt QHTT Do chơng nhằm giới thiệu số khái niệm kiến thức giải tích lồi QHTT 1.1 Một số khái niệm giải tích lồi 1.1.1 Không gian Euclude Mét vector n chiỊu trªn trêng sè thùc đợc thứ tự gồm n số thùc x=(x1, x2, , xn) C¸c xi, i =1, , n gọi thành phần hay toạ độ vector Ví dụ x=(4,5,10,20) Hai vectơ x y gọi lµ b»ng x=y, nÕu xi=yi, i =1, , n Xét hai phép toán vector: Phép cộng: x+y=(x1+y1, x2+y2, , xn+yn) PhÐp nh©n: x=(x1, x2, , xn),  R Khi tập hợp tất vector n chiều xác định phép cộng vector, nhân số thực với vector nh tạo thành không gian tuyến tính n chiều trờng số thực R, ký hiƯu Rn C¸c vector x(i) Rn, i =1, , m đợc gọi độc lập tuyến tính nếu: m ∑ αi x( i)= ⇔ αi =0 , i= , m i=1 m NÕu: x = ∑ α i x( i) i=1 víi Ýt nhÊt mét i x gọi tổ hợp tuyến tính cđa m ∑ αi = c¸c x(i), i =1, , m Hơn i 0, i =1, , m i=1 x gọi tổ hợp låi cđa c¸c x(i), i =1, , m Trong Rn có n vector độc lập tuyến tính lập thành sở Giả sử e(1), e(2), , e(n) sở Rn vector x Rn tổ hợp tuyến tính vector e(1), e(2), , e(n) Ta gọi tích vô híng cđa hai vector x=(x1, x2, , xn) vµ y=(y1, y2, , yn), ký hiƯu, , lµ mét sè b»ng Trang: n ¿ x , y > = ∑ xi yi i=1 Tích vô hớng dạng song tuyến tính, đối xứng, không âm, tức là: = x,y  Rn =< x(1), y >+< x(2), y> x(1), x(2), y  Rn =  x,y  Rn  0, x Rn dÊu b»ng xÈy x= Độ dài vector x=(x1, x2, , xn) số xác định n |x|= ¿ x , x >¿= √∑ i=1 √ xi ¿ n ρ ( x , y )=|x − y|= ¿ x− y , x− y >¿ = ( i =1 xi yi )2 Khoảng cách hai vector x y số xác định bởi: Không gian vector có tích vô hớng khoảng cách nh gọi không gian Euclude 1.1.2 TËp compact D·y {x(k) }Rn k=1, 2, đợc gọi có giới hạn x(0) k  vµ viÕt lim x(k) = x(0), nÕu k lim ρ ( x( k ) , x ( 0) ) =0 k Hình cầu tâm a bán kính tập S=xRn :x-a Hình cầu tạo nên - lân cận điểm a, hay gọi l©n cËn cđa a * NÕu tËp ARn chøa cïng với điểm x lân cận x gọi điểm A Nếu lân cận x A có điểm A điểm không thuộc A x gọi điểm biên tập hợp A * Một tập ARn gọi giới nội đợc chứa hình cầu tâm O đó, tức tồn số đủ lớn cho với xA,x  Mét d·y {x(k)} héi tơ th× bao giê cịng giới nội * Một tập hợp GRn đợc gọi mở với xG tồn hình cầu tâm x nằm gọn G Một tập FRn đợc gọi đóng với dÃy hội lim x (k ) ∈ F tơ{x } F ta ®Ịu có: Một tập chứa điểm biên tËp ®ãng (k) k →∞ Trang: * TËp C đợc gọi tập Compact từ dÃy vô hạn {x (k)} thuộc C trích mét d·y {x(ki)} héi tơ tíi phÇn tư thc C TËp C lµ Compact vµ chØ C ®ãng vµ giíi néi TËp Compact M cđa tËp ®ãng C cịng ®ãng C TËp ®ãng M cđa tập Compact Compact Hàm f(x) liên tục tập Compact C đạt cực trị tập 1.1.3 TËp låi Cho hai ®iĨm a, b Rn Ta gọi đờng thẳng qua a, b tập điểm có d¹ng xRn : x = a + (1-)b,   R Đoạn thẳng nối hai điểm a, b tập lồi điểm có dạng xRn :x = x + (1-)y,    * Mét tËp MRn đợc gọi đa tạp affine với hai điểm x, y M toàn đờng thẳng qua hai điểm thuộc M Tức lµ x + (1-)y M : x,y M,  R * Một siêu phẳng không gian Rn tập hợp tất điểm x=(x1, x2, , xn) Rn thỏa mÃn phơng trình tuyến tính a1x1+ a2x2+ + anxn =  ®ã a1, a2, , an , R * Tập hợp điểm x=(x1, x2, , xn) Rn thoản mÃn bất phơng trình tuyến tính a1x1+ a2x2+ + anxn đợc gọi nửa không gian đóng * Nửa không gian đợc cho a1x1+ a2x2+ + anxn < đợc gọi nửa không gian mở * Tập XRn đợc gọi tËp låi nÕu cïng víi viƯc chøa hai ®iĨm x, y chứa đoạn thẳng chứa hai điểm ấy, tức chứa tất điểm có dạng: x + (1-)y,    VÝ dơ vỊ tập lồi: Không gian Euclide, nửa không gian, mặt phẳng, nửa mặt phẳng, hình chữ nhật, hình vuông, hình elip, hình hộp, hình cầu * Một tập hợp giao số hữu hạn nửa không gian đóng đợc gọi tập lồi đa diện Mệnh đề: Giao hai tập lồi tập låi HƯ qu¶ Giao cđa mét sè bÊt kú tập hợp lồi tập lồi Hệ Miền chứa nghiệm hệ bất phơng trình tuyến tính dạng tập lồi (đa diện lồi) Một tập lồi đa diện giới nội gọi đa diện {a1x1+a12x2+ +a1nxn≤b1¿{a21x1+a2x2+ +a2nxn≤b2¿{ . Giao tất tập lồi chøa tËp X gäi lµ bao låi cđa nã, ký hiƯu [X] Trang: 1.1.4 Hµm låi * Mét hµm số f(x) xác định tập lồi C Rn đợc gọi hàm lồi C, với x, y C vµ    ta cã f(x + (1-)y)  f(x) + (1-)f(y) * Hµm f(x) đợc gọi hàm lồi chặt với x, y C vµ    ta cã f(x + (1-)y)  f(x) + (1-)f(y) * Hµm f(x) đợc gọi hàm lõm (lõm chặt) - f(x) hàm lồi (lồi chặt) * Hàm f(x) xác định C đạt cực tiểu tuyệt đối x* C f(x*) f(x): xC * Hàm f(x) đạt cực tiểu địa phơng x* C tồn lân cận mở U x* cho f(x*)  f(x): xC U MƯnh ®Ị 1: BÊt kú ®iĨm cực tiểu địa phơng hàm lồi tập lồi điểm cực tiểu tuyệt đối Hệ quả: Bất kỳ điểm cực đại địa phơng hàm lõm cực đại tuyệt đối Mệnh đề 2: Cực đại hàm lồi (nếu có) tập lồi có điểm cực biên đạt điểm cực biên 1.2 Bài toán Quy hoạch tuyến tính QHTT bắt nguồn từ nghiên cứu nhà toán học Nga tiếng, Viện sỹ L.V Kantorovich loạt công trình toán kế hoạch hoá sản xuất, công bố năm 1938 Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B Dantzig đà nghiên cứu đề xuất phơng pháp đơn hình (Simplex method) để giải toán QHTT Năm 1952 phơng pháp đơn hình đà đợc chạy máy tính điện tử Mỹ 1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán tổng quát Để quán lập luận ta xét toán tìm cực đại, sau ta xét cách chuyển toán tìm cực tiểu sang tìm cực đại Bài toán tổng quát QHTT có dạng: Ký hiệu: A=(aij)mxn ma trận với phần tử aij n c j =1 j x j → max ( 1) n ∑ aij x j j=1 x j ≥0 , ( ¿ ,=,≥ ) b i , i=1 , , m j=1, , n ( ) (1.1) gọi hàm mục tiêu, (1.2) buộc Nếu gặp toán Min, tức n f ( x )= ∑ c j x j →min j=1 xD Trang: ( 2) Thì giữ nguyên ràng buộc đa toán Max c¸ch n f ( x )=− ∑ c j x j max j=1 Nếu toán Maxx D có phơng án tối u x* toán có phơng án x* fmin=-fmax Thật vậy, x* nphơng án tối u toán Max nªn ta cã: n f max =−∑ c j x ¿j ≥− ∑ c j x j , ∀ x ∈D hay j=1 j=1 n n ∑ c j x ¿j ≤∑ c j x j , j=1 ∀ x D j=1 Chứng tỏ x* phơng án tối u toán Min n f = c j x j =−f max j=1  D¹ng chuÈn dạng tắc Ngời ta thờng xét toán quy ho¹ch tun tÝnh díi hai d¹ng sau: -D¹ng chn: n ∑ c j x j → max j=1 n ∑ a ij x j ≤bi , i=1, ., m j=1 -Dạng tắc: x j , j=1, , n n ∑ c j x j → max j=1 n ∑ a ij x j =bi , i=1, .m j=1 x j ≥0 , j=1, , n Đa toán QHTT dạng chuẩn dạng tắc Bất kỳ QHTT đa hai dạng chuẩn tắc nhờ phép biến đổi tuyến tính sau: i) Mét rµng buéc n ∑ a ij x j ≥bi Có thể đa ràng buộc lại n j=1 n cách nhân hai vế với (-1) viết j=1 a ij x j≤−bi a' ij x j ≤b ' i j=1ràng ii) Một buộc đẳng thức Trang: n ∑ a ij x j =bi j=1 thay hai ràng buộc bất đẳng thức: n n ∑ a ij x j ≤bi , − ∑ aij x j≤−bi j=1 j=1 iii) Mét biÕn xj không bị ràng buộc dấu thay hiệu hai biến không âm cách đặt: + − + − x j =x j −x j , víi x j ≥0 , x j ≥0 iv) Mét ràng buộc bất đẳng thức n a ij x j bi j=1 Có thể đa ràng buộc đẳng thức cách đa vào biến phụ yi 0: n ∑ a ij x j + y i =bi j=1 Về nguyên tắc, áp dụng nhiều lần phép biến đổi (i), (ii) (iii) ta đa toán QHTT dạng chuẩn, sau áp dụng nhiều lần phép biến đổi (iv) ta đa dạng tắc Giải toán QHTT phơng pháp hình học Xét toán QHTT díi d¹ng chn víi hai biÕn sè: c x 1+c x 2→max D=¿ {ai1 x 1+ai1 x 2≤bi , i=1, ,m ¿ ¿¿ ¿ ¿ Tõ ý nghĩa hình học ta biết bất phơng trình tuyến tính ai1x1+ai2x2 bi xác định nửa mặt phẳng Nh miền ràng buộc D đợc xác định nh giao nửa mặt phẳng đa giác lồi mặt phẳng Phơng trình c1x1+c2x2= thay đổi xác định mặt phẳng đờng thẳng song song với mà ta gọi đờng mức (với giá trị mức ) Mỗi điểm D nằm đờng mức víi x=( x , x ) møc Bµi toán đặt =c phát biểu theo ngôn ngữ hình học nh sau: số đ1 x +c2 x êng møc c¾t tËp D, hÃy tìm đờng mức với gía trị lớn Nếu dịch chuyển song song đờng mức theo hớng vector ph¸p tun cđa n =( c ,c ) Trang: chúng giá trị mức tăng, dịch chuyển theo hớng ngợc lại giá trị mức giảm Vì để giải toán đặt ra, ta tiến hành nh sau Bắt đầu từ đờng mức cắt D, ta dịch chuyển song song đờng mức theo hớng vector pháp tuyến (c1,c2) việc dịch chuyển làm cho đờng mức không cắt D dừng Điểm D (có thể nhiều điểm) nằm đờng mức cuối lời giải tối u cần tìm, giá trị hàm mục tiêu giá trị tối u toán Ví dụ: Xét toán: f(x)= 4x1+5x2max {2 x1+x28 {x1+2x27 Xét đờng mức: 4x1+5x2=10 Đờng mức qua hai điểm (0,2) (2.5,0) Ta có x*=(3,2), fmax=22 y x* đỉnh D Qua phơng pháp hình học ta thấy rằng: n - Nếu quy hoạch tuyến tính có phơng án tối u có đỉnh tối u Sở dĩ nói có trờng hợp đờng mức vị trÝ giíi h¹n trïng víi mét c¹nh cđa x* D tất điểm cạnh phơng ¸n tèi u, ®ã cã hai ®Ønh x - Nếu miền ràng buộc D giới nội khác rỗng chắn có phơng án tối u - Nếu miền ràng buộc không giới nội nhng hàm mục tiêu bị chặn trên miền ràng buộc chắn có phơng án tối u 1.2.2 Một số tính chất chung Mệnh đề 1: Tập hợp tất phơng án toán QHTT tập lồi Tập lồi D phơng án toán QHTT xác định toàn ràng buộc (1.2) (1.3) Tập D rỗng, đa diện lồi tập lồi đa diện không giới nội Trang: Nếu D đa diện lồi toán có phơng án, giá trị tối u hàm mục tiêu đa diện lồi hữu hạn việc tìm phơng án tối u đa đến việc chọn điểm đa diện D có số đỉnh (điểm cực biên hay phơng án cực biên) hữu hạn Mệnh đề 2: Hàm mục tiêu toán QHTT đạt Max điểm cực biên tập D Nếu hàm mục tiêu không nhận Max điểm cực biên tập lồi D mà nhiều điểm cực biên đạt giá trị cực đại điểm tổ hợp lồi điểm Ký hiệu Aj, j=1, , n vector cột ma trËn A Khi Êy hƯ rµng bc Ax =b cã thÓ viÕt: x1A1 + x2A2 + + xnAn = b (1.4) Mệnh đề 3: Nếu vector A1, A2, , Ak độc lập tuyến tính thoả m·n x1A1+x2A2+ +xnAn=b ®ã xj  0, j=1, k điểm x=(x1,x2, ,xk,0, ,0) điểm cực biên tËp låi ®a diƯn D MƯnh ®Ị 4: NÕu x =(x1,x2, ,xn) điểm cực biên tập lồi đa diện D vector Aj biểu diễn (1.4) ứng với thành phần x j lập thành hệ độc lập tuyến tính Vì ma trận A có m dòng nên từ suy điểm cực biên m thành phần dơng Các mệnh đề mệnh đề gộp lại thành mệnh đề sau: Mệnh đề 5: Để x =(x1,x2 ,xn) phơng án cực biên QHTT dới dạng tắc cần đủ vector cét Aj cđa ma trËn A øng víi c¸c thành phần x j độc lập tuyến tính 1.2.3 Phơng pháp đơn hình giải toán QHTT Cơ sở phơng pháp đơc G.B Dantzig công bố năm 1947 có tên gọi phơng pháp đơn hình Sở dĩ có tên gọi nh toán đợc giải phơng pháp có ràng buộc dạng: n Mà tập hợp ràng .buộc x jđiểm =1 ,xR xn jthoả 0mÃn , j=1, , ntrên ( đơn ) hình j =1 không gian n chiều Đờng lối chung sở thuật toán i) Đờng lối chung Phơng pháp đơn hình dựa hai nhận xét sau: toán QHTT có phơng án tối u, đa diện lồi D có số hữu hạn đỉnh Nh phải tồn thuật toán hữu hạn Thuật toán gồm hai giai đoạn: Trang: 10