Bai toan van tai ba chi so solid transport 190275 khotrithucso com

lời mở đầu Cùng với phát triển mạnh mẽ khoa học kỹ thuật, toán tối u xuất ngày nhiều tính phức tạp chúng ngày lớn Phạm vi khả ứng dụng toán tối u ngày đa dạng phong phú Lớp toán tối u quan trọng đợc nghiên cứu đợc ứng dụng nhiều toán quy hoạch tuyến tính (linear programming) Đó mô hình toán học lớp rộng lớn toán ứng dụng kinh tế kỹ thuật Do cấu trúc lớp toán quy hoạch tuyến tính có nhiều tính chất tốt mặt toán học, ngời ta đà tìm đợc thuật giải hữu hiệu cho toán Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B Dantzig đà nghiên cứu đề xuất thuật toán đơn hình (simplex method) để giải toán quy hoạch tuyến tính Thuật toán đơn hình đợc phát triển mạnh mẽ năm sau đợc xem phơng pháp kinh điển để giải toán quy hoạch tuyến tính Đây phơng pháp đợc sử dụng cã thĨ nãi lµ réng r·i nhÊt Cã ba lý chính: Một là: Rất nhiều vấn đề thực tế, nhiều lĩnh vực khác đa toán quy hoạch tuyến tính Hai là: Trong nhiều phơng pháp giải toán phi tuyến, toán tuyến tính xuất nh toán phụ cần phải giải nhiều bớc lặp Ba là: Phơng pháp đơn hình phơng pháp hiệu để giải toán quy hoạch tuyến tính Ngày nay, thuật toán đơn hình dạng cải biên chúng, ngời ta giải nhanh toán QHTT cỡ lớn Trang: Lớp toán vận tải trờng hợp đặc biệt quy hoạch tuyến tính, dùng phơng pháp quy hoạch tuyến tính để giải Tuy nhiên, tính chất đặc thù riêng nó, ngời ta xây dựng phơng pháp giải riêng Thông thờng nói đến toán vận tải ta thờng liên hệ đến toán vận tải hai số, toán vận tải kinh điển có phơng pháp giải hay Bên cạnh đó, ngời ta xét số toán vận tải mở rộng nh toán vận tải ba số, toán vận tải khoảng, toán vận tải đa mục tiêu nhiều toán khác, biến thể toán vận tải kinh điển Trong khuôn khổ khoá luận này, em xem xét nghiên cứu số toán mở rộng lớp toán vận tải mở rộng Đó toán: Bài toán vận tải ba số (solid transport problem) không hạn chế có hạn chế khả thông qua, Bài toán vận tải ba số khoảng (interval solid transport problem) giới thiệu số Bài toán vận tải đa mục tiêu Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thày giáo hớng dẫn Thạc sỹ Vũ Tiến Việt, ngời đà tận tình bảo, giúp đỡ em trình hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình thầy cô khoa Toán - Tin, Học viện An ninh Nhân dân Trang: Trang: Chơng I Bài toán quy hoạch tuyến tính Trong việc nghiên cứu toán tối u nói chung, giải tích lồi giữ vai trò quan trọng Nó đợc sử dụng làm sở toán học việc xây dựng thuật toán Quy hoạch tuyến tính lớp toán tối u đợc nghiên cứu trọng vẹn phơng diện lý thuyết lẫn thực hành, Bài toán vận tải dạng đặc biệt QHTT Do chơng nhằm giới thiệu số khái niệm kiến thức giải tích lồi QHTT 1.1 Một số khái niệm giải tích lồi 1.1.1 Không gian Euclude Một vector n chiều trờng số thực đợc thứ tự gồm n sè thùc x=(x1, x2, , xn) C¸c xi, i =1, , n gọi thành phần hay toạ độ vector Ví dụ x=(4,5,10,20) Hai vectơ x y gäi lµ b»ng x=y, nÕu xi=yi, i =1, , n Xét hai phép toán vector: Phép céng: x+y=(x1+y1, x2+y2, , xn+yn) PhÐp nh©n: x=(x1, x2, , xn), R Khi tập hợp tất vector n chiều xác định phép cộng vector, nhân số thực với vector nh tạo thành không gian tuyến tính n chiều trờng sè thùc R, ký hiƯu Rn C¸c vector x(i) Rn, i =1, , m đợc gọi độc lập tuyến tÝnh m ∑ αi x( i)= ⇔ αi =0 , i= , m nÕu: i=1 Trang: m x = ∑ α i x (i) NÕu: i=1 víi i x gọi tổ hợp tuyến tính x(i), i =1, , m Hơn i 0, i =1, , m m i = i=1 x gọi tổ hợp lồi x(i), i =1, , m Trong Rn cã n vector ®éc lËp tuyÕn tính lập thành sở Giả sử e(1), e(2), , e(n) sở Rn vector x Rn tổ hợp tuyến tính vector e (1), e(2), , e(n) Ta gäi tÝch v« híng cđa hai vector x=(x1, x2, , xn) vµ y=(y1, y2, , yn), ký hiƯu, , lµ mét sè b»ng n ¿ x , y > = xi yi i=1 Tích vô hớng dạng song tuyến tính, đối xứng, không âm, tức lµ: = x,y  Rn =< x(1), y >+< x(2), y> x(1), x(2), y  Rn =  x,y  Rn  0, x Rn dÊu b»ng xẩy x= Độ dài vector x=(x1, x2, , xn) số xác ®Þnh bëi √ √∑ n |x|= ¿ x , x >¿= i=1 x 2i ¿ √ ρ ( x , y )=|x− y|= ¿ x− y , x− y >¿ = √∑ ( n i=1 xi − y i )2 Khoảng cách hai vector x y số xác định bởi: Không gian vector có tích vô hớng khoảng cách nh gọi không gian Euclude Trang: 1.1.2 Tập compact DÃy {x(k) }Rn k=1, 2, đợc gọi có giới hạn x(0) k viết lim x(k) = x(0), nÕu k lim ρ ( x k→∞ (k) ( 0) ,x )=0 Hình cầu tâm a bán kính tập S=xRn :x-a Hình cầu tạo nên - lân cận điểm a, hay gọi lân cận a * Nếu tập ARn chứa với điểm x lân cận x gọi điểm A Nếu lân cận x A có điểm A điểm không thuộc A x gọi điểm biên tập hợp A * Một tập ARn gọi giới nội đợc chứa hình cầu tâm O đó, tức tồn số đủ lớn cho với xA,x  Mét d·y {x(k)} héi tơ th× bao giê giới nội * Một tập hợp GRn đợc gọi mở với xG tồn hình cầu tâm x nằm gọn G Một tập FRn đợc gọi đóng với dÃy hội tơ{x } F ta ®Ịu cã: (k) lim x k→ (k) F Một tập chứa điểm biên tập đóng * Tập C đợc gọi tập Compact từ dÃy vô hạn {x (k)} thc C ®Ịu cã thĨ trÝch mét d·y {x (ki)} héi tơ tíi phÇn tư thc C TËp C Compact C đóng giíi néi TËp Compact M cđa tËp ®ãng C cịng ®ãng C TËp ®ãng M cña tËp Compact Compact Hàm f(x) liên tục tập Compact C đạt cực trị tập 1.1.3 Tập låi Trang: Cho hai ®iĨm a, b Rn Ta gọi đờng thẳng qua a, b tập điểm có d¹ng xRn : x = a + (1-)b,   R Đoạn thẳng nối hai điểm a, b tập lồi điểm có dạng xRn :x = x + (1-)y,    * Mét tËp MRn đợc gọi đa tạp affine với hai điểm x, y M toàn đờng thẳng qua hai điểm thuộc M Tức lµ x + (1-)y M : x,y M,  R * Một siêu phẳng không gian R n tập hợp tất điểm x=(x1, x2, , xn) Rn thỏa mÃn phơng trình tuyến tính a1x1+ a2x2+ + anxn =  ®ã a1, a2, , an , R * Tập hợp điểm x=(x1, x2, , xn) Rn thoản mÃn bất phơng trình tuyến tính a1x1+ a2x2+ + anxn đợc gọi nửa không gian đóng * Nửa không gian đợc cho a1x1+ a2x2+ + anxn < đợc gọi nửa không gian mở * Tập XRn đợc gọi tập lồi với việc chứa hai điểm x, y chứa đoạn thẳng chứa hai điểm ấy, tức chứa tất điểm có dạng: x + (1-)y,    VÝ dô tập lồi: Không gian Euclide, nửa không gian, mặt phẳng, nửa mặt phẳng, hình chữ nhật, hình vuông, hình elip, hình hộp, hình cầu * Một tập hợp giao số hữu hạn nửa không gian đóng đợc gọi tập lồi đa diƯn Trang: MƯnh ®Ị: Giao cđa hai tËp låi tập lồi Hệ Giao số tập hợp lồi tập lồi Hệ Miền chứa nghiệm hệ bất phơng trình tuyến tính dạng {a1x1+a12x2+ +a1nxnb1{a21x1+a2x2+ +a2nxnb2{ ¿ ¿ lµ mét tËp låi (®a diƯn låi) Mét tËp låi ®a diƯn giới nội gọi đa diện Giao tất tập lồi chứa tập X gọi bao låi cđa nã, ký hiƯu [X] 1.1.4 Hµm låi * Một hàm số f(x) xác định tập lồi C Rn đợc gọi hàm lồi C, víi mäi x, y C vµ    ta cã f(x + (1-)y)  f(x) + (1-)f(y) * Hàm f(x) đợc gọi hàm lồi chặt víi mäi x, y C vµ    ta cã f(x + (1-)y)  f(x) + (1-)f(y) * Hàm f(x) đợc gọi hàm lõm (lõm chặt) - f(x) hàm lồi (lồi chặt) * Hàm f(x) xác định C đạt cực tiểu tuyệt đối x* C f(x*) f(x): xC * Hàm f(x) đạt cực tiểu địa phơng x* C tồn lân cận mở U x* cho f(x*)  f(x): xC U MƯnh ®Ị 1: BÊt kỳ điểm cực tiểu địa phơng hàm lồi tập lồi điểm cực tiểu tuyệt đối Hệ quả: Bất kỳ điểm cực đại địa phơng hàm lõm cực đại tuyệt đối Trang: Mệnh đề 2: Cực đại hàm lồi (nếu có) tập lồi có điểm cực biên đạt điểm cực biên 1.2 Bài toán Quy hoạch tuyến tính QHTT bắt nguồn từ nghiên cứu nhà toán học Nga tiếng, Viện sỹ L.V Kantorovich loạt công trình toán kế hoạch hoá sản xuất, công bố năm 1938 Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B Dantzig đà nghiên cứu đề xuất phơng pháp đơn hình (Simplex method) để giải toán QHTT Năm 1952 phơng pháp đơn hình đà đợc chạy máy tính điện tử Mỹ 1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán tổng quát Để quán lập luận ta xét toán tìm cực đại, sau ta xét cách chuyển toán tìm cực tiểu sang tìm cực đại Bài n n j= aij x j j=1 ( 1) c j x j → max ( ¿ ,=,≥ ) bi , i=1 , ,m x j ≥0 , j =1, , n ( ) ( ) to¸n tổng quát QHTT có dạng: Ký hiệu: A=(aij)mxn ma trận với phần tử aij (1.1) gọi hàm mục tiêu, (1.2) buộc Nếu gặp toán Min, tức n f ( x )= ∑ c j x j →min j=1 x∈ D Th× giữ nguyên ràng buộc đa toán Max b»ng c¸ch n f ( x )=−∑ c j x j max j=1 x D Trang: Nếu toán Max có phơng án tối u x* toán có phơng án x* fmin=-fmax Thật vậy, x* phơng án tối u toán Max nên ta có: n n f max =− ∑ c j x j≥− ∑ c j x j , ∀ x ∈ D hay n ¿ j=1 n j=1 ∑ c j x ¿j≤ ∑ c j x j , j=1 j=1 ∀x ∈D Chøng tá x* phơng án tối u toán Min n f = ∑ c j x j=−f max j=1 Dạng chuẩn dạng tắc Ngời ta thờng xét toán quy hoạch tuyến tính dới hai d¹ng sau: -D¹ng chuÈn: n ∑ c j x j →max j=1 n ∑ aij x j ≤bi , j=1 i=1 , ,m x j ≥0 , j=1, , n -Dạng tắc: n c j x j →max j=1 n ∑ aij x j =bi , i=1 , m j=1 x j ≥0 , j=1, , n Đa toán QHTT dạng chuẩn dạng tắc Bất kỳ QHTT đa hai dạng chuẩn tắc nhờ phép biến đổi tuyến tÝnh sau: Trang: 10