Lý thuyết dao động - Đại học Thuỷ lợi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI Bộ MÔN CỠ HỌC KỸ THUẬT — íữ — GS.TS NGUYỄN THÚC AN PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH CHIỀU PGS.TS KHƠNG DỖN ĐIÈN LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG HÀ NỘI 2003 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG MỞ ĐÀU MỘT VÀI KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 1.1 Các trình thay đổi khác đại lượng vô hướng chia thành hai dạng: 1.2 Chuyển động dao động đặc biệt quan tâm dao động có chu kỳ ĐỘNG NĂNG CỦA HỆ THÉ NĂNG CỦA CơHỆ HÀM HAO TÁN PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 5.1 Thiết lập phương trình vỉ phân chuyến động theo phương trình Lagrăng II 5.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyến động theo phương pháp Đalămbe 11 5.3 Áp dụng phương pháp lực đế lập phương trình vỉ phân dao động nhỏ (trường họp riêng phương pháp Đalămbe) 11 XÁC ĐỊNH Độ CỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG 13 6.1 Thanh đàn hồi 13 6.2 Hệ lò xo 14 Câu hỏi ôn tập 16 CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC Tự DO 17 1.1 Dao động tự hệ tuyến tính bậc tự 17 1.1.1 Dao động tự không cản 17 1.1.2 Dao động tự có cản 19 1.2 Dao động cưỡng hệ tuyến tính bậc tự 24 1.2.1 Tính tốn dao động cưỡng khơng cản (n = 0) 26 1.2.2 Tính tốn dao động cưỡng có cản (n* 0) 28 1.2.3 Đệm đàn hồi máy 32 1.2.4 Áp dụng phép biến đổi Laplace tính tốn dao động cưỡng 34 Câu hỏi ôn tập 39 CHƯƠNG II: DAO ĐƠNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC Tự DO 40 2.1 Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động 40 2.1.1 Hệ nhiều bậc tự 40 2.1.2 Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyến động 40 2.1.3 Những nguyên tắc giải phương trình dao động hệ 41 2.2 Dao động tuyến tính hệ có hai bậc tự 43 2.2.1 Dao động tự khơng có cản 43 2.2.2 Dao động cưỡng không cản 47 2.2.3 Một vài toán ứng dụng 50 2.3 Dao động xoắn trục mang đĩa 55 2.3.1 Phương trình - Phương trình tần số 55 2.3.2 Phương trình dao động xoắn cưỡng trục mang đĩa 57 2.4 Dao động uốn dầm có khối lượng tập trung 59 2.4.1 Phương trình - Phương trình tần số 59 2.4.2 Phương trình dao động uốn cưỡng dầm có khối lượng tập trung 60 Câu hỏi ôn tập 63 CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ CĨ VƠ SĨ BẬC Tự DO 65 3.1 Dao động dọc tiết diện không đối 65 3.1.1 Phương trình vi phân dao động dọc 65 3.1.2 Giải phương trình (3-4) phương pháp Furiê 66 3.1.3 Các điều kiện biên thanh, phương trình tần số 67 3.2 Dao động xoắn trục trịn tiết diện khơng đổi 69 3.2.1 Phương trình nghiệm 69 3.2.2 Các điều kiện biên - phương trình tần số 70 3.3 Dao động uốn dầm tiết diện không đối 71 3.3.1 Phương trình cơbản 71 3.3.2 Giải phương trình (3-39) 73 3.3.3 Phương trình tần số 73 3.4 Sự truyền sóng đàn hồi dọc tiết diện không đối 76 Câu hỏi ôn tập 77 CHƯƠNG IV: VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI VÀ ÁP DỤNG LÝ THỦYẾT VA CHẠM VÀO BÀI TỐN ĐĨNG cọc 79 4.1 Một vài toán va chạm dọc vật rắn vào đàn hồi 79 4.1.1 Va chạm dọc vật rắn vào đàn hồi tự 79 4.1.2 Va chạm vật rắn vào đàn hồi đầu bị gắn chặt 82 4.2 Một vài toán va chạm búa vào cọc 89 4.2.1 Va chạm búa vào cọc tự 89 4.2.2 Va chạm búa vào cọc tựa cứng 94 4.2.3 Va chạm búa vào cọc đóng đồng đáy cọc gặp lực cản không đổi 99 Câu hỏi ôn tập 117 CHƯƠNG V: Cơ SỞ CỦA LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG PHI TUYẾN 118 MỞ ĐẦU 118 5.1 Dao động tự không cản hệ bậc tự với đặc trưng phi tuyến lực phục hồi 120 5.1.1 Phương trình vi phân nghiệm xác 120 5.1.2 Nghiệm gần phương trình (5-1) 122 5.2 Dao động cững không cản hệ bậc tự với đặc trưng phi tuyến lực phục hồi 128 5.2.1 Phương pháp Butnôp-Galepkin 129 5.2.2 Phương pháp tuyến tính hố trực tiếp 129 5.2.3 Phương pháp Đuíĩng 129 Câu hỏi ôn tập 135 BÀI TẬP 136 Bài tập chương I: Dao động tuyến tính hệ bậc tự 136 Bài tập chương II: Dao động tuyến tính hệ nhiều bậc tự 146 Bài tập chương III: Dao động hệ có vơ số bậc tự 151 Bài tập chương IV: Cơ sở lý thuyết dao động phi tuyến 153 TÀI LIỆU THAM KHẢO 157 THÔNG TIN TÁC GIẢ 158 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình “Cơ học Lý thuyết II - Lý thuyết Dao động” - Tác giả PGS PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khống Doãn Điền, xuất Truong Đại học Thủy lợi, năm 1989, đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Cơng trình, ngành Thuỷ điện ngành Máy Xây Dựng năm qua, đề cập đến toán dao động hệ bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự giải nguyên lý tắt chấn động lực, triệt tiêu dao động vài trường hợp cụ cách giải hệ có nguy xuất hiện tượng cộng hưởng Đe đáp ứng yêu câu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đên tốn động lực, chúng tơi biên soạn đưa vào thêm: Chương IV (Va chạm vật rắn vào đàn hồi áp dụng Lý thuyết va chạm vào tốn đóng cọc); Chương V (Cơ sở Lý thuyêt dao động phi tuyên) có đưa vào vỉ dụ gân với thực tê tỉnh toán cơng trình cho ngành Thuỷ lợi Tài liệu dùng đế giảng dạy “Lý thuyết dao động” cho sinh viên ngành Cơng trình, Thuỷ điện, cấp nước, Trạm bơm giảng dạy môn “ Dao động kỹ thuật” cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi Tài liệu dùng làm tài liệu ôn tập thi tuyển Cao học Nghiên cứu sinh cho ngành Cơng trình, Động lực làm tài liệu học tập tham khảo cho Nghiên cứu sinh ngành có liên quan Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp bạn đọc đế bố xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày hồn chỉnh Hà Nội, tháng 10 năm 2003 Các tác giả CHƯƠNG MỞ ĐẦU MỘT VÀI KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 1.1 Các trình thay đoi khác đại lượng vô hướng chia thành hai dạng: Các trình dao động q trình khơng dao động Q trình dao động đặc trưng tăng hay giảm cách luân phiên đại lượng biến đối Nó mơ tả phương trình tốn học Dao động phương trình vi phân mơ tả chuyển động tuyến tính, gọi dao động tuyến tính Ngược lại, gọi dao động khơng tuyến tính (phi tuyến) 1.2 Chuyến động dao động đặc biệt quan tăm dao động có chu kỳ Hàm /(/) mơ tả q trình dao động có chu kỳ, tồn giá trị T > 0, thoả mãn điều kiện sau: /(0 = /ơ ± D = Ut ± 27) = = /(z ± h7) (1) Trong đó: T gọi chu kỳ; n số nguyên dương Một dạng đặc biệt dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng thực tế dao động điều hoà mặt động học dao động điều hoà miêu tả bời hệ thức: q = Asm(kt + a) (2) Ờ đây: q toạ độ điểm dao động tính từ vị trí trung binh (chọn làm gốc toạ độ); A toạ độ q ứng với độ lệch lớn điểm phía gọi biên độ dao động; (kt + à) Argument sin gọi pha dao động; a pha ban đầu; k tần số vòng (riêng) dao động Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T bời hệ thức: k(t + T) + a = kt + a + '17ĩ) từ đó: k ^-(rad /5) (3) Số lần dao động đơn vị thời gian tính theo cơng thức: _ k (4) /được gọi tần số; đơn vị thường dùng Hecz (Hz) ĐỘNG NĂNG CỦA HỆ Xét hệ N chất điểm có n bậc tự Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí hệ: qb q2 ,qn 0; a2ỉ «22 an aXn a2\ a 22 ••• a2n >0 a n\ a, n2 a nn THÉ NĂNG CỦA Cơ HỆ Với liên kết dừng, hệ hàm toạ độ suy rộng: ^■ = ^(Ợi, ợ2’ •••> Trong hệ bảo tồn, vị trí cân (ợz = 0; i = 1, rì), hệ có giá trị cực trị nên: Õ7V AJợ,.=o = Với i = 1, n (10) Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân ồn định hệ bảo toàn, hệ cực tiểu Khai triển 71 theo chuỗi luỹ thừa lân cận vị trí cân ổn định (ợz = 0; ì -1,72), ta có: 71 (11) Neu chọn vị trí cân ổn định hệ làm gốc tính 71 (;r)0 = (10) nên số hạng thứ hai (11) khơng Mặt khác với hệ tuyến tính không chứa khai triển thành phần bậc cao hai toạ độ suy rộng Do 71 hệ tuyến tính hố dạng tồn phương sau: (12) d27ĩ Ở đây: C- = Cji = gọi hệ sơ cứng dqdq^ Neu hệ có bậc tự (n = 1), ta có: 7T = ^cq\ c = 7ĩ\ữ) (13) Nếu hệ có hai bậc tự (n = 2), ta được: = |(C11412 + Trong đó: 2c12^1^2 + c22^22) ' Õ27ĩ ' ( C11 = (14) C12 W Jo ^Q\S(Ỉ2 Jo c22 Jo Tương tự phần 2., hệ số Cij dạng toàn phương (12) thoả mãn điều kiện xác định dương HÃM HAO TAN Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc vào vận tốc: Rk=-Pk-Vk Trong đó: /3k > hệ số cản (nhớt); vk vận tốc chất điểm thứ k thuộc hệ Gọi toạ độ suy rộng của hệ: ợ;(z = M) • Các lực suy rộng tương ứng với lực cản bằng: ỡợz Á=1 Á-=1 Khi sử dụng đồng thức Lagrăng: õrk õqt ỡợz õ r , e ,ta có: ỡ £ = -^ ÌĨ „_u 11 *Itzr 48 Hây xác định tần số riêng hàm riêng cua đầu bị ngâm chặt, đâu mang khôi lượng m T Trà lời: Trá lời: />„ = )„( * = c sin n = 1, 2, Â_ nghiệm cùa phương trình: cot eÀ = -^-Ằ; À * = ^-Li: U = pF ịd EJ 49 Một bị ngâm chặt đẩu phái, bên trái gắn vào lò xo Xác định tần số riêng cư bàn c' = Trá lời: />, - 2.29 50 Trụflđồng^rt4hinh trụ trịn (JiNrPVihwi'Wo hình VC rơỉi/tV&KTĩirr* Xác định tần số riêng bán dao động xoăn cứa trục Trà lời: p = UZJ — = 1.15 a pG, JP| ÀI nghiệm cùa phương trinh: sin + 3sin 3Â = í** Jw Ị®! pE.EJ m F71 51 Cho dầm đồng chất tiết diện không đổi, đầu trái bị ngâm chặt, bên phái tự HĨNH VẼ BT 5