ly thuyet dao dong cua dai hoc thuy loi

MÆt kh¸c víi hÖ tuyÕn tÝnh sÏ kh«ng chøa trong khai triÓn cña thÕ n¨ng c¸c thµnh phÇn bËc cao h¬n hai ®èi víi to¹ ®é suy réng... NÕu c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ chØ lµ lùc cã thÕ..[r]

Tr−ờng đại học thuỷ lợi

Bộ môn học ứng dụng

- [\ [\ -

GS.TS Ngun Thóc An PGS.TS Nguyễn Đình Chiều

PGS.TS Khổng DoÃn Điền

Lý thuyết dao động

Lêi nói đầu

Giỏo trỡnh C hc Lý thuyt II – Lý thuyết Dao động” – Tác giả PGS PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Dỗn Điền, xuất Tr−ờng Đại học Thủy lợi, năm 1989, đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Cơng trình, ngành Thuỷ điện ngành Máy Xây Dựng năm qua, đề cập đến toán dao động hệ bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự giải nguyên lý tắt chấn động lực, triệt tiêu dao động vài tr−ờng hợp cụ thể cách giải hệ có nguy xuất hiện t−ợng cộng h−ởng

Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến tốn động lực, chúng tơi biên soạn đ−a vào thêm: Ch−ơng IV (Va chạm vật rắn vào đàn hồi áp dụng Lý thuyết va chạm vào tốn đóng cọc); Ch−ơng V (Cơ sở Lý thuyết dao động phi tuyến) có đ−a vào ví dụ gần với thực tế tính tốn cơng trình cho ngành Thuỷ lợi

Tài liệu dùng để giảng dạy “ Lý thuyết dao động” cho sinh viên ngành Cơng trình, Thuỷ điện, Cấp n−ớc, Trạm bơm giảng dạy môn “ Dao động kỹ thuật” cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi Tài liệu dùng làm tài liệu ôn tập thi tuyển Cao học Nghiên cứu sinh cho ngành Cơng trình, Động lực làm tài liệu học tập tham khảo cho Nghiên cứu sinh ngành có liên quan

Chúng tơi mong nhận đ−ợc đóng góp ý kiến đồng nghiệp bạn đọc để bổ xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày hồn chỉnh

Chơng mở đầu

1 Mt vi khái niệm vμ định nghĩa

1.1 Các trình thay đổi khác đại l−ợng vô h−ớng đ−ợc chia thành hai dạng: Các trình dao động q trình khơng dao động

Q trình dao động đ−ợc đặc tr−ng tăng hay giảm cách luân phiên đại l−ợng biến đổi Nó đ−ợc mơ tả ph−ơng trình tốn học

Dao động ph−ơng trình vi phân mơ tả chuyển động tuyến tính, gọi dao động tuyến tính Ng−ợc lại, gọi dao động khơng tuyến tính (phi tuyến)

1.2 Chuyển động dao động đ−ợc đặc biệt quan tâm dao động có chu kỳ Hàm f*(t) mơ tả q trình dao động có chu kỳ, nh− tồn giá trị T > 0, thoả mãn điều kiện sau:

f*(t)=f*(t±T)=f*(t±2T)= =f*(t±nT) (1) Trong đó: T gọi chu kỳ; n số nguyên d−ơng

Một dạng đặc biệt dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng thực tế dao động điều hoà Về mặt động học dao động điều hoà đ−ợc miêu tả hệ thức:

q=Asin(kt+α) (2)

ở đây: q toạ độ điểm dao động tính từ vị trí trung bình (chọn làm gốc toạ độ); A toạ độ q ứng với độ lệch lớn điểm phía đ−ợc gọi biên độ dao động; (kt+α) Argument sin gọi pha dao động; α pha ban đầu; k tần số vòng (riêng) dao động Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T hệ thức:

k(t+T)+α=kt+α+2π, từ đó: (rad/s) T

2

k= π (3) Số lần dao động đơn vị thời gian đ−ợc tính theo cơng thức:

π = =

2 k T

f (4)

f đ−ợc gọi tần số; đơn vị th−ờng dùng Hecz (Hz)

Đ2 Động hệ

Xột h N chất điểm có n bậc tự Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí hệ: q1, q2 , qn (qi, i = 1,n)

Từ đó: ∑

= •

∂ ∂ =

= n

1 i

i i k k

k q q

r dt

r d

v (5)

Động hệ xác định biểu thức: ∑

=

= n k

2 k kv m

T

Thay (5) vµo biĨu thøc trªn víi chó ý: v2k = vk.vk

Ta cã: ∑

=

• •

= n j , i

j i ijq q A

T (6)

ở đây: Aij = Aji hệ số phụ thuộc vào tọa độ suy rộng Khai triển chúng theo chuỗi lũy thừa lân cận vị trí cân (qi =0;i=1,n) giữ lại số hạng đầu, ta nhận đ−ợc biểu thức động hệ tuyến tính hố:

∑

= • •

= n j ,

i ij i j q q a

T (7)

Trong đó: gọi hệ số qn tính (thực tế khối l−ợng mơmen qn tính)

0 ij ji

ij a (A ) a = =

NÕu hÖ cã mét bËc tù (n = 1), ta cã:

2 q a

T= • , a = A(0) (8)

NÕu hÖ cã hai bËc tù (n = 2), ta đợc:

⎝ ⎛

+ +

= 11 •12 12 •1 •2 22 •22

1

q a q q a q a

T (9)

ở đây: a11=(A11)0;a12 =(A12)0;a22 =(A22)0 Các hệ số dạng toàn ph−ơng (7) thoả mãn điều kiện Xin-vec-trơ (xác định d−ơng), nghĩa là:

a a a

a a a

a a a ; ; a a

a a ; a

nn n n

n 22 21

n 12 11

22 21

12 11

11 > > >

Đ3 Thế hệ

Với liên kết dừng, hệ hàm toạ độ suy rộng: π=π(q1,q2, ,qn)

0

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ π ∂

=

i q i

q Với i = 1,n (10) Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân ổn định hệ bảo tồn, hệ cực tiểu Khai triển π theo chuỗi luỹ thừa lân cận vị trí cân ổn định

) n , i ; q

( i =0 =1 , ta cã:

∑ ∑

= =

+ +

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ π ∂ + π =

π n

1 i

n

1 j , i

j i ij i

0 i

0 c qq

2 q q )

( (11)

Nếu chọn vị trí cân ổn định hệ làm gốc tính π (π)0 =0 (10) nên số hạng thứ hai (11) không Mặt khác với hệ tuyến tính khơng chứa khai triển thành phần bậc cao hai toạ độ suy rộng Do π hệ tuyến tính hố dạng tồn ph−ơng sau:

∑

=

=

π n

1 j , i

j i ijq q

c

(12)

ở đây:

0 j i

2 ji

ij c q q

c ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂

=

= gọi hệ sè cøng

NÕu hÖ cã mét bËc tù (n = 1), ta cã: cq =

π , c=π ′′(0) (13) NÕu hÖ có hai bậc tự (n = 2), ta đợc:

) q c q q c q c

( 11 12 12 1 2 22 22

1

+ +

=

π (14)

Trong đó:

0 2 22

2 12

0 2 11

q c

; q q c

; q

c ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ π ∂ = ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂

π ∂ = ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ π ∂ =

T−ơng tự nh− phần Đ2, hệ số cij dạng toàn ph−ơng (12) thoả mãn điều kiện xác định d−ơng

§4 Hμm hao t¸n.

Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc vào vận tốc: Rk =−βk.vk Trong đó: βk >0 hệ số cản (nhớt); vk vận tốc chất điểm thứ k thuộc hệ Gọi toạ độ suy rộng của hệ: qi(i=1,n) Các lực suy rộng t−ơng ứng với lực cản bằng:

i k n

1 k k k i

k n

1 k k i

q r v q

r R Q

∂ ∂ β − = ∂ ∂

=∑ ∑

= =

Khi sử dụng đồng thức Lagrăng: , q

r q

r

i r i

k

• •

∂ ∂ = ∂ ∂

ta cã:

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

β ∂

∂ = ∂ ∂ β −

= ∑ ∑

= • •

• • = Φ

2 v q

q r r Q

2 k n

1 k

k i i k k n

1 k

k

i Hay:

i i

q

Q φ •

∂ φ ∂ −

= (15)

ở ta đặt: ∑

=

β = φ n

1 k

2 k k 2

v

(16)

φ đ−ợc biểu diễn (16) gọi hàm hao tán Ta viết φ giống nh− động T tọa độ suy rộng: ∑

=

• •

=

φ n

1 j , i

j i ijq q

B

(17)

Trong đó: Bij =Bji hàm toạ độ suy rộng: qi(i=1,n) Khai triển chúng theo chuỗi luỹ thừa lân cận vị trí cân qi =0;(i=1,n) giữ lại số hạng đầu, ta nhận đ−ợc biểu thức hàm hao tán tuyến tính hố:

∑

= • •

=

φ n

1 j , i

j i ijq q

b

(18)

ở đây: bij =bji =(Bij)0 hệ số cản suy rộng

Khi hÖ cã mét bËc tù (n = 1): bq ; b B(0)

1

> =

=

φ • (19)

Khi hÖ cã hai bËc tù (n = 2): (b q 2b q q b q )

1

2 22 12 1

• •

• •

+ +

=

φ (20)

Trong đó: b11=(B11)0; b12 =(B12)0; b22=(B22)0

Các hệ số bij dạng toàn ph−ơng (18) thoả mãn tiêu chuẩn xác định d−ơng

Đ5 Ph−ơng pháp thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động

5.1 Thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động theo ph−ơng trình Lagrăng II Cơ sở lý thuyết nhiều cơng trình nghiên cứu dao động hệ Hôlônôm nhiều bậc tự việc áp dụng ph−ơng trình Lagrăng loại II

Ph−ơng pháp thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động hệ dao động cách sử dụng ph−ơng trình Lagrăng loại II gọi ph−ơng pháp

Đối với hệ Hơlơnơm, có n bậc tự do, xác định toạ độ suy rộng độc lập: )

n , i : q ( q , q ,

q1 2 n i =1 , ph−¬ng trình Lagrăng loại II có dạng:

n , i ; Q q

T q

T dt

d

i i i

= =

∂ ∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂

5.1a NÕu lực tác dụng lên hệ lực có thÕ Ta cã: ; i 1,n

q Q

Q

i i

i ∂ =

= =

Phơng trình (21) trë thµnh:

n , i ; q q

T q

T dt

d

i i

i

= ∂

∂ − = ∂

∂ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ π

ã (21a)

Đa vào hàm Lagrăng: L=T, ta ®−ỵc:

n , i ; q

L q

L dt

d

i i

= = ∂

∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂

• (21b)

5.1b Nếu lực tác dụng lên hệ bao gồm lực lực cản nhít ta cã:

; i 1,n

q q Q

Q Q

i i i

i

i =

∂ ∂ − ∂

π ∂ − = +

= π φ ã

Phơng trình (21) trở thành:

n , i ; q q q

T q

T dt

d

i i i

i

= ∂

∂ − ∂

π ∂ − = ∂

∂ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂

• •

φ

(22)

Khi ý đến hàm Lagrăng L:

n , i ; q q

L q

L dt

d

i i i

= = ∂

∂ + ∂

∂ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂

• •

φ

(22a)

5.1c Nếu lực tác dụng lên hệ lực có thế, lực cản nhớt cịn có ngoại lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t; lực suy rộng ký hiệu QiP, ta có:

n , i ; Q Q Q

Qi = iπ + iφ + iP =1 Và phơng trình (21) viết dạng:

Q ; i ,n

q q q

T q

T dt

d P

i i i i

i

1 = +

∂ φ ∂ − ∂

π ∂ − = ∂

∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂

•

• (23)

ThÝ dô 1:

Bài giải

Gi thit cỏc rn tuyt đối ; hệ có hai bậc tự Ta chọn θ1, θ2 góc lệch với ph−ơng thẳng đứng Ay làm tọa độ suy rộng Tại vị trí cân θ1 = θ2 = Ph−ơng trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là:

H×nh

A x

B

D C y

P1

P2 θ1

θ2 T T Q ; i 1,2

dt d

i i i

= =

θ ∂

∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

θ ∂

∂

• (a)

Chọn hệ trục tọa độ Axy nh− hình vẽ Động hệ bằng:

2 Dz

D D BC

1 Az BC

AB 2J

1 y x m J

2 T T

T • • • ⎟⎟+ θ•

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ +

θ =

+ =

Ta cã: Az BC Dz (2L)2 g P 12

1 J , g P m , ) L ( g P

J = = =

⎩ ⎨ ⎧

θ + θ =

θ + θ =

) cos cos

2 ( L y

) sin sin

2 ( L x

2

D

2

D

Ta cã: ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

θ − θ θ

θ + θ + θ

= 4• • 3• • cos( ) g

3 PL

T 1 2

2 2

Xét dao động nhỏ: cos(θ1 −θ2)≈1, ta nhận đ−ợc:

(4 )

g PL

T

2 2

2 • • • • θ θ + θ + θ

= (b)

Thế hệ công trọng l−ợng hệ chuyển dịch từ vị trí khảo sát (θ1; θ2) tới vị trí cân thẳng đứng (θ1 = ; θ2 = 0), ta có:

[2(1 cos ) (1 cos )]

PL ) cos (

PL − θ1 + − θ1 + − θ2 =

π

Rót gän: π=PL(4−3cosθ1−cosθ2)

Víi θ1,θ2 nhá:

2 cos ; cos

2 2

2 1

θ − ≈ θ θ

− ≈ θ

Ta cã: (3 )

2

PL

2 +θ θ =

π (c)

Thay (b) (c) vào (a), ta nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ hệ:

1 2

g

L g

L ;

g L g

L 16

5.2 Thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động theo ph−ơng pháp Đalămbe Theo nguyên lý Đalămbe: thời điểm lực hoạt động tác dụng lên hệ phản lực liên kết cân với lực qn tính Từ đó:

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= +

+

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

k k k

qt k O k

O a

k O

k k

qt k k

k a k

F m N

m F

m

F N

F

0

(24)

Trong đó: Fqtk =−mkWk

5.3 áp dụng ph−ơng pháp lực để lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ (tr−ờng hợp riêng ph−ơng pháp Đalămbe)

Giả sử cho dầm đàn hồi có gắn số hữu hạn khối l−ợng tập trung Để lập ph−ơng trình vi phân dao động (uốn) dầm, thuận lợi dùng ph−ơng pháp lực Khi cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị

n m , , m , m1 2

Các dịch chuyển theo h−ớng i lực đơn vị tác dụng theo h−ớng k gây gọi dịch chuyển đơn vị, ký hiệu δik Các dịch chuyển đơn vị δik gọi hệ số ảnh h−ởng (Hình 2)

k

δik

Pk = i

H×nh

m1 m2 m3 mn

Đối với hệ đàn hồi, theo h−ớng k hệ chịu tác dụng lực Pk dịch chuyển gây theo h−ớng i tỷ lệ với lực, nghĩa là:

yi = Pkδik

Do đó, d−ới tác dụng đồng thời lực P1, P2, , Pn dịch chuyển toàn phần xác định theo công thức:

ik (25) n

1 k

k

i P

y =∑ δ

=

Công thức (25) sở để thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động hệ theo ph−ơng pháp lực

5.3a Xác định δik uốn thanh:

Dïng c«ng thøc MO:

∫ ∑ = δ

L

0

k i ik

EJ dx M M

(26)

Trong đó: EJ độ cứng uốn; Mi(x)và Mk(x) mômen uốn lực đơn vị Pi =1 Pk =1 gây (Hình 3)

Pi =

Mi =(x) x

Mk =(x) x

Pk =

5.3b Sử dụng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin:

EJ M*k i ik

Ω ∑ =

δ (27)

ở đây: Ωi diện tích biểu đồ Mi, M*k tung độ biểu đồ Mkt−ơng ứng hoành độ trọng tâm Khi sử dụng công thức (27) cần ý chia chiều dài cho đoạn

i Ω

k

M đ−ờng thẳng Theo định lý Macxoen ta ln có: δik =δki

Thí dụ 2: Xác định hệ số ảnh h−ởng tr−ờng hợp dầm chịu trọng tải tập trung nh− hình vẽ (Hình 4)

H×nh

m

m m

L/6 L/3 L/3 L/6

L/6 5L/6

P1=

M1 5L

36

Hình 5a

Bài giải:

Để xác định dịch chuyển đơn vị (hệ số ảnh h−ởng) δik (i, k = 1, 2, 3) ta xây dựng biểu đồ Mômen uốn M1, M2,M3 t−ơng ứng với lực đơn vị P1 =1,P2 =1, P3 =1 biểu diễn nh− hình vẽ (Hình 5a, b, c)

L/2 L/2

P2 =

4 M

2 L

H×nh 5b

L/6 5L/6

M3

P3 =

36 5L

H×nh 5c

Theo cơng thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ = δ =

δ L

54 L 36

5 L L 54

5 L 36

5 L EJ

1 33 11

75k

EJ 3888

L 25 L L 36

5 L 54

5 EJ

1 L 12

5 L 12

1 L 36

5 L 54

5 EJ

1

= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + =

ở ta đặt:

EJ 1296

L k

3 =

243k

EJ 1296

L 243 EJ 48

L EJ 96

L L L L L L L EJ

1 3

22 ⎟= = = =

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

= δ

Thực tính toán cách tơng tự, ta nhận đợc:

k 117 EJ 1296

L 117 ;

k 51 EJ 1296

L 51

3 23

32 21 12

31

13 =δ = = δ =δ =δ =δ = =

δ

Đ6 Xác định độ cứng hệ dao động.

Các tính chất đàn hồi hệ dao động tr−ờng hợp cụ thể đ−ợc đặc tr−ng hệ số cứng C

6.1 Thanh đàn hồi

H×nh P L

ΔL Ta cã:

EF PL L= Δ

ở đây: E môđun đàn hồi, F diện tích tiết diện ngang Từ đó: L C L

L EF

P= Δ = Δ

VËy, ta cã:

L EF

C= (28) 6.1.2 Thanh đàn hồi khơng trọng l−ợng chịu xoắn (Hình 7) thì:

p x GJ

L M = ϕ Δ

Trong đó: G mơđun tr−ợt, JP mơmen qn tính độc cực mặt cắt ngang Suy ra:

= Δϕ=C.Δϕ L

GJ

Mx p

Vậy, nhận đợc:

L GJ

C= p (29)

H×nh H×nh

L

Mx

L

6.1.3 Thanh đàn hồi không trọng l−ợng chịu uốn. Khi này: Hệ số cứng C phụ thuộc vào điều kiện biên Ta xét chịu uốn bị ngàm đầu (Hình 8) Độ võng f bằng:

EJ PL f

3

= , suy ra: f Cf

L EJ P= 3 =

ở đây: EJ độ cứng chống uốn Vậy độ cứng C bằng: 3 L

EJ

C= (30) P

6.2 HƯ c¸c lß xo

6.2.1 Đối với hệ lị xo mắc song song (Hình 9) Từ biểu thức tính lực đàn hồi, ta có:

Fdh =C1x+C2x=Cx C C

1 C2

Vậy, ta đợc: C = C1 + C2 Nếu hệ có n lò xo mắc song song, tơng tự nhận đợc:

(31)

=

= n i

i C C

Hình 6.2.2 Đối với hệ lò xo mắc nối tiếp (Hình 10)

Biểu thức tính lực đàn hồi bằng:

H×nh 10 C1

C2

C Fdh =C1x1+C2x2

ở hệ thay tơng đơng hệ số cứng C, lò xo dÃn đoạn: x=x1+x2; Fdh =Cx

Ta cã:

2 dh

2 1

C C

1 C C F C

F C

F

x= + = ⇒ = +

Nếu hệ có n lị xo mắc nối tiếp, hệ số cứng C lò xo thay xác định hệ thức:

∑

=

= n i Ci

1 C

1

(32)

Nói chung độ cứng C đ−ợc tính tốn theo lý thuyết với giả thiết định tra cứu sổ tay kỹ thuật

Ta thèng kê số công thức số dạng thờng dùng tính toán (bảng 1)

Bảng Công thức xác định hệ số cứng t−ơng đ−ơng

STT Sơ đồ Hệ số C

1 8iD

Gd

C= Víi G: môđun trợt vật liệu; d: đờng kính dây lò xo; i, D: số vòng đờng kính lò xo

2 C = C1+ C2

C1

C2

3

2

2

C C

C C C

+ =

4 3

L EJ C=

5

a b a2b2

) b a ( EJ

C= +

6

b

a a b (3a 4b)

) b a ( EJ 12 C 3 2

3 + + =

7

a b 3

3

b a

) b a ( EJ

C= +

8

L b (b L)b2

EJ C

+ =

9

L b (4b 3L)b2

EJ 12 C

+ =

10

L

3 L

EJ 24 C=

(EJ độ cứng uốn hai lò xo phẳng)

11 L N Lch L sh L

L EJsh C

α α

α

α α3

−

= ,

EJ N = α

12

L

N L( Lch L sh L)

) L ( EJsh C

α α

α

α α2

− =

EJ N = α

C2

C1

Ch−¬ng I

Dao động tuyến tính hệ bậc tự

Đ1.1 Dao động tự hệ tuyến tính bậc tự do

1.1.1 Dao động tự không cản

Xét hệ bậc tự do, lực tác dụng lên hệ Toạ độ suy rộng xác định vị trí hệ q Ph−ơng trình Lagrăng II có dạng:

q q

T q T dt

d

∂ π ∂ − = ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

•

Với dao động nhỏ thì:

2

2 •

= aq

T ; cq2

2

=

: Thay vào phơng trình rút gọn,

ta đợc: q+k2q=0 (1-1)

• •

Trong đó:

a c

k= gọi tần số vòng (riêng) dao động, đơn vị th−ờng dùng rad/s, phụ thuộc vào tính chất hệ (khối l−ợng độ cứng)

Ph−ơng trình (1-1) ph−ơng trình vi phân mơ tả dao động nhỏ tự hệ tuyến tính bậc t

NTQ (1-1) tìm đợc dạng:

q = C1coskt + C2sinkt (1-2) Đặt: C1 = Asinα; C2 = Acosα

Ta viết đ−ợc nghiệm (1-2) d−ới dạng biên độ:

q = Asin(kt +α) (1-3)

ở đây: A= C12 +C22 biên độ dao động; (kt +α) pha dao động; α pha ban đầu; k tần số vòng (tần số dao động riêng) hệ

Chu kỳ dao động T tính theo cơng thức:

c a k

T= π= π (1-4) Gọi f số dao động đơn vị thời gian (tần số dao động), đó:

a c k

T f

π

1 π

= =

= (1-5)

Các số A α đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu Giả sử t = 0: q(0) = q0

vµ q(0) q0 ta nhận đợc:

ã ã

= 2

2

k q q A

ã

+

=

0

q kq arctg •

=

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+ ⋅

+

= •

0

2

q kq arctg kt sin k q q

q (1-6)

Nh− vậy, dao động nhỏ tự hệ tuyến tính bậc tự dao động điều hoà Trong thực tế, việc xác định tần số riêng k nhiệm vụ quan trọng toán nghiên cứu dao động tự Bảng thống kê số công thức k số hệ đơn giản

Bây ta biểu diễn nghiệm toán mặt phẳng pha (hệ tọa độ dịch chuyển - vận tốc) Tại thời điểm trạng thái hệ đ−ợc đặc tr−ng dịch chuyển q vận tốc

Ta cã trờng hợp khảo sát:

ã

=q

v

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

α + =

=

α + =

•

) kt cos( Ak q v

) kt sin( A q

(1-7)

Tập hợp ph−ơng trình khảo sát nh− quỹ đạo pha cho dạng thơng số Để nhận đ−ợc ph−ơng trình quỹ đạo pha cần khử t từ hệ (1-7) ta đ−ợc:

1 k A

v A

q

2

2 2

=

+ (1-8)

Nghĩa ph−ơng trình Ellíp (Hình 11a) Điểm biểu diễn ban đầu (từ chuyển động đ−ợc bắt đầu) t−ơng ứng với điều kiện đầu q(0) = q0 Khi thay đổi điều kiện ban đầu quỹ đạo pha biểu diễn Ellíp khác Tập hợp trạng thái hệ đ−ợc mơ tả hệ Ellíp (Hình11) Gốc toạ độ t−ơng ứng với trạng thái cân hệ (q0 =0

) Điểm điểm kỳ dị gọi tâm

0 q ) ( qã = ã

0 q•0 =

v

q

O

q0, v0

O q

v

H×nh 11

Bảng 2: Tần số riêng số mơ hình dao động

Stt Mơ hình dao động Ph−ơng trình k2

1 Hệ khối l−ợng lò xo đơn giản

0

= +

• •

x m C x

(q = x) m

C x

m

2 Hệ khối lợng lò xo trọng tr−êng

C M

y + =0

• •

y m C y

(q = y) m

C

3 Con lắc toán học L

O

0

= ϕ + ϕ••

L g

(q = ϕ)

L g

4 Con l¾c vËt lý

C

ϕ

a O

0 J

mga

O

= ϕ + ϕ•

•

(q = ϕ) O

J mga

5 Bµn quay

JO

C

0 J

C

O

= ϕ + ϕ•

•

(q = ϕ)

O

J C

6 Hệ khối lợng vắt qua ròng dọc

O r m1

C

0 y m

C r m

J

1 y

1

O

= +

+

• •

(q = y)

1

O m

C r m

J

1

+

7 Cơ cấu gõ nhịp ϕ

C O

m

L

0 J

mgL C

O

= ϕ − + ϕ•

•

(q = ϕ)

O

J mgL C

8 Hệ lăn lò xo

0 x m C mr

J

1 x

2 C

= +

+

• •

(q = x)

m C mr

J

1

2 C

+

9 Con lăn quỹ đạo tròn

0 L g mr

J

1

2 C

= ϕ +

+ ϕ•

•

(q = ϕ)

L g mr

J

1

2 C

+

m

m

JO y

x C

O r J m

C

L

ϕ

JCC m

10 Nửa đĩa tròn mặt phẳng

ϕ r

C m

rC

0 ) r r ( m J

mgr

2 C C

C ϕ=

− + + ϕ•

•

(q = ϕ) J (r r ) m

mgr

2 C C

C

− +

1.1.2 Dao động tự có cản

ở ta coi hao tán l−ợng dao động khơng xảy thiết lập đặc tính khơng tắt dần dao động tự Tuy nhiên dao động gặp thực tế tắt dần, do: ma sát phận giảm chấn, phanh hãm, tiếp xúc với môi tr−ờng xung quanh v.v

Giả sử lực tác dụng lên hệ ngồi lực cịn có lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc vào vận tốc Khi ph−ơng trình Lagrăng II có dạng:

• •

∂ φ ∂ − ∂

π ∂ − = ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

q q q

T q T dt

d

Với dao động nhỏ: T =

2 •

q

a ;

2

cq

=

π ;

2

2 •

=

φ bq Thay vào phơng trình rút gọn, ta đợc:

0 + =

+ •

• •

q k q n

q (1-9)

ở đây: a b n= ,

a c k2 =

Ph−ơng trình (1-9) ph−ơng trình vi phân mơ tả dao động nhỏ tự tắt dần hệ tuyến tính bậc tự NTQ (1-9) tìm đ−ợc d−ới dạng: Trong λ đ−ợc xác định từ ph−ơng trình đặc tr−ng sau:

t e q = λ

λ2 + 2nλ + k2 = (1-10) Phơng trình (1-10) cho hai nghiÖm sè:

2 2

1, =−n± n −k

λ (1-11)

Ta kh¶o sát ba trờng hợp:

1.1.2a Trng hp 1: n < k (lực cản nhỏ) Trong tr−ờng hợp ph−ơng trình đặc tr−ng có nghiệm phức:

λ1,2 =−n±ik1; k1 = k2 n2; i2 =1 Tích phân tổng quát phơng trình (1-9) có dạng:

(C cosk t C sink t)

e

q = −nt 1 1 + 2 1 (1-12)

Khi xét đến điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0, 0 Ta có:

• •

=q

) ( q

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ − =

= −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + + = +

= •

•

0

2 2

1

2

2

0 2

2

1 β

nq q

n k q arctg C

C arctg ;

n k

nq q q C

C A

VËy:

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ − +

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + +

= − •

•

nq q

n k q arctg t

k sin e n k

nq q q

q nt

0 2

2

2

0

0 (1-14)

ở đây: k1 = k2 −n2 gọi tần số dao động tắt dần Chu kỳ dao động tắt dần đ−ợc xác định bằng:

2

1

n k

2 k

2 T

− π = π

= (1-15)

Với n nhỏ ta viết đợc:

⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + π ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

2

2

2 1

1

1 k

n T

k n k

k n T

T (1-16)

Nghiệm (1-13) ph−ơng trình (1-9) rằng: Độ lệch Ae hệ có cản giảm nt theo thời gian với quy luật hàm số mũ Nó tiệm cận tới khơng dao động tắt dần (Hình 1-1)

t O

q

y y1

T1 T1

H×nh 1-1

Trong thực tế để đặc tr−ng cho giảm biên độ ng−ời ta th−ờng dùng đại l−ợng, ký hiệu δ gọi độ suy giảm Lôgarit dao động:

1

π

2

ψ δ

2

1

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = =

=

n k nT

y y ln

ln (1-17)

y y y

y y

y ln

y y

y ln y

y

ln ≈ Δ

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ + Δ + = Δ − = =

δ

2

1

1 (1-18)

1.1.2b Tr−ờng hợp 2: n > k (Lực cản lớn) Trong tr−ờng hợp hai nghiệm ph−ơng trình đặc tr−ng thực âm:

2 2 2

1, =−n±k , k = n −k

Phơng trình (1-9) có NTQ dạng:

) e C e C ( e

q nt k2t k2t

2 +

= (1-19)

Khi tính điều kiện ban đầu nh trờng hợp 1, ta cã:

2

0

2k q ) n k ( q C

•

+ +

= ;

2

0

k

q ) n k ( q C

•

− − =

Từ đó:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣

⎡ − −

+ +

+ =

• •

− k t

2

0 t k

0

0

nt 2

e k

2 q ) n k ( q e k

2 q ) n k ( q e

q (1-20)

HƯ qua vÞ trí cân thời điểm thoả mÃn phơng tr×nh:

2 2

0

0

2

0

2 =

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣

⎡ − −

+ +

+ • •

+ −

k q ) n k ( q e

k q ) n k ( q

e (k n)t kt

Với giá trị biểu thức dấu móc bất kỳ, vế trái ph−ơng trình → t →∞ Ta có chuyển động khơng tuần hồn tắt dần

1.1.2c Tr−ờng hợp 3: n = k (lực cản tới hạn) Trong tr−ờng hợp nghiệm ph−ơng trình đặc tr−ng thực, âm NTQ (1-9) có dạng:

) C t C ( e

q= −nt 1 + 2 (1-21) Chuyển động hệ tắt dần, không dao động

Trong số tài liệu kỹ thuật trình bày dao động ng−ời ta cịn sử dụng khái niệm độ cản Lehr - Độ cản Lehr ký hiệu D, đ−ợc xác định hệ thức:

ac b ak b k n D

2 =

=

= (1-22)

Phơng trình (1-9) viết dới dạng:

2 + =

+ •

• •

q k q Dk

q (1-23)

Do k2 −n2 =k 1−D2 , nên chuyển động hệ đ−ợc phân tr−ờng hợp: ƒ D < 1: Độ cản nhỏ

Nh− thế, D < chuyển động hệ dao động tắt dần D ≥ chuyển động hệ tắt dần không dao động

Giữa độ cản Lehr D với độ suy giảm Lôgarit δ, có liên hệ hệ thức sau:

2

D D

− π =

δ (1-24)

ThÝ dô 1-1:

Xét dao động nhỏ lắc tốn học có độ dài L, khối l−ợng m (Hình 1-2) Lấy θ làm tọa độ suy rộng Tọa độ khối l−ợng m bằng: x = Lsinθ; y = Lcosθ Do đó:

2 2

2

2

1

1 • • •

θ =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ =

= mv m x y mL

T

x Thế lắc công trọng lợng

g m

P = thực di chuyển từ vị trí khảo sát (hình vẽ) tới vị trí cân (thẳng đứng) θ

O

L )

cos (

mgL − θ

=

π

m Do θ bÐ, 1-cosθ ≈

2 1θ

nªn:

2

1 θ

=

π mgL

y

H×nh 1-2 Thay kết vào phơng trình Lagrăng loại II:

θ ∂

π ∂ − = θ ∂ ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

θ ∂ ∂

•

T T dt

d

Ta nhận đ−ợc ph−ơng trình dao động nhỏ lắc:

= θ +

θ•

•

L g

Đó dao động điều hoà với tần số riêng

L g

k = vµ chu kú

g L

T= π

ThÝ dô 1-2:

θ Xét dao động xoắn nhỏ đĩa gắn vào đầu mút d−ới

thanh đàn hồi không trọng l−ợng dài L Mút bị ngàm (Hình 1-3) Gọi M khối l−ợng đĩa; ρ bán kính quán tính đĩa trục thanh; G môđun tr−ợt vật liệu thanh; JP mơmen qn tính độc cực tiết diện ngang

L

Độ cứng xoắn

L GJ

C= P Lấy θ góc quay đĩa vị trí cân ổn định Động đĩa bằng:

2

M

T= ρ θ• Thế đàn hồi θ nhỏ (tuân

theo định luật Hooke) 2 θ

=

π C áp dụng ph−ơng trình LagrăngII nh− thí dụ 1-1, ta nhận đ−ợc ph−ơng trình dao động nhỏ xoắn:

0 2θ+ θ=

ρ • C

M

Đó dao động điều hoà với tần số riêng 2

ρ =

M C

k vµ chu kú

C M T

2 2π ρ

=

ThÝ dô 1-3:

Ng−ời ta treo tải trọng trọng l−ợng P tuyệt đối cứng dài 2L có gắn hai lị xo đàn hồi có độ cứng C Tải trọng đ−ợc ngâm bình chứa chất lỏng nhớt Trong trình tải trọng thực dao động nhỏ tự chất lỏng gây ảnh h−ởng làm giảm dao động lên hệ (Hình 1-4) Tìm hệ số ma sát nhớt hệ, chu kỳ dao động tắt dần hệ T1 = 1s; tham số hệ lấy giá trị sau đây: P = 100 N; 2L = 30cm; Đ−ờng kính lị xo D = 2cm; đ−ờng kính dây lị xo d = 2mm; Mơđun tr−ợt vật liệu làm lò xo G = 8.106 N/cm2; Số vòng lò xo i =

L

C C

Bài giải:

H có bậc tự Chọn toạ độ suy rộng q = ϕ góc lệch nhỏ so với ph−ơng thẳng đứng Ph−ơng trình Lagrăng II áp dụng cho tr−ờng hợp có dạng:

• •

ϕ ∂

φ ∂ − ϕ ∂

π ∂ − = ϕ ∂ ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂T T

dt d

Ta cã:

2 2

2 2

2

1 • •

ϕ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ ϕ

=

= L

g P L

g P V

g P T

; C ) cos ( L P

2

λ + ϕ − =

π λ = Lsinϕ độ co dãn lị xo so với vị trí cân

thẳng đứng (khi lò xo chứa biến dạng), với ϕ nhỏ: 1- cosϕ

2

ϕ

≈ ; sinϕ≈ϕ;

Do hệ bằng: π=L(P+CL)ϕ2

Gọi β hệ số ma sát nhớt hệ (chất lỏng), hàm hao tán φ xác định công thức:

2

2 •

ϕ β = φ

Thay giá trị tính đợc vào phơng trình Lagrăng II rút gọn, ta nhận đợc:

2

2 ϕ=

+ + ϕ β +

ϕ•• •

PL g ) CL P ( PL

g

P

L

ϕ

Chu kỳ dao động tắt dần là:

2

2 n k T

− π

= (a)

k tần số dao động tự (khi khơng có lực cản) bằng: g PL

CL P k

2

+

= (b)

Gọi C độ cứng lị xo đ−ợc tính theo cơng thức sau:

i D Gd C= 34

Thay số vào ta đ−ợc: C = 33,3 N/cm Do đó, từ (b) tính đ−ợc: k=14rad/s Từ (a) giải đ−ợc: 2

1 2

T k

n= − π ; thay số vào ta có: 2n = 12,5rad/s Hệ số cản chuyển động tìm từ điều kiện:

g nPL PL

2 g n

2 = β ⇒β= Thay sè ta ®−ỵc: β = 76,5 NS

Đ1.2 Dao động c−ỡng hệ tuyến tính bậc tự

Dao động c−ỡng xảy hệ có tác dụng kích động ngồi Các kích động tuần hồn va chạm

Giả sử hệ khảo sát chịu tác dụng lực có thế, lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc vào vận tốc lực kích động ngồi hàm thời gian t: P(t)

Gọi QP lực suy rộng lực kích động ngồi Ph−ơng trình Lagrăng II tr−ờng hợp có dạng:

QP

q q q

T q T dt

d +

∂ φ ∂ − ∂

π ∂ − = ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

• •

Với dao động nhỏ:

2

2

q b ; cq ; q a

T= • = = ã

Đặt: Q(t) = QP a

Thay vào phơng trình rút gọn ta nhận đợc:

q+ nq+k q=Q(t) (1-25)

• • •

2

Ph−ơng trình (1-25) ph−ơng trình vi phân mơ tả chuyển động dao động nhỏ c−ỡng hệ tuyến tính bc t

Trong trờng hợp lực cản nhá (n < k), NTQ cđa (1-25 ) cã d¹ng:

Ta tìm NR q dạng: q=e−ntZ(t) (1-27) Thay (1-27 ) vào (1-25) Ta nhận đ−ợc ph−ơng trình hàm Z(t):

Z••+k2Z=Q(t).ent (1-28)

1

Nghiệm ph−ơng trình (1-28) đ−ợc tìm ph−ơng pháp biến thiên số Lagrăng, ta đặt:

Z(t) = C1(t)sink1t+ C2(t)cosk1t (1-29) Thay (1-29 ) vaß (1-28) ta suy ra:

(1-30)

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

= +

• •

• •

) t ( Q e t k sin ) t ( C t k cos ) t ( C k

0 t k cos ) t ( C t k sin ) t ( C

nt

1

1

1

Dùng quy tắc Crame giải hệ (1-30) ta có:

cosk t;

k ) t ( Q e ) t ( C

nt

1

1 =

•

sink t;

k ) t ( Q e ) t ( C

nt

1

2 =−

•

Từ ta có:

=∫ τ τ τ

τ

t n

d k cos k

) ( Q e ) t ( C

0

1

1 ; ∫ τ τ

τ −

= t nτ sink d

k ) ( Q e ) t ( C

0

1

2 (1-31)

Thay (1-31) vào (1-29) ta nhận đợc nghiệm phơng trình (1-28):

= ∫e τQ( )sink (t )d

k ) t (

Z 1

t

0 n

(1-32)

VËy, NR q cña phơng trình (1-25) bằng:

= = ∫ − −τ τ −τ τ t

0

1 )

t ( n

nt e Q( )sink (t ).d

k ) t ( Z e

q (1-33)

NTQ cđa ph−¬ng trình (1-25) có dạng:

= + + ∫ − −τ τ −τ τ t

0

1 )

t ( n 1

nt e Q( )sink (t )d

k ) t k sin( Ae

q (1-34)

TÝch phân theo vế phải (1-34) dẫn theo biến Vì vậy, tích phân coi t số Sau hoàn thành việc thay cận tích phân ta nhận đợc q hàm thời gian t

1.2.1 Tính tốn dao động c−ỡng khơng cản (n = 0)

Giả sử lực kích động biến đổi theo quy luật điều hoà: Q(t) = P0sinpt Ph−ơng trình (1-25) trở thành:

pt sin P q k

q+ = 0

• •

(1-35)

pt sin p k

P kt sin C kt cos C

q 1 2 2 2

− + +

= (1-36)

Lấy điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0; 0 ta cã:

• •

=q

) ( q

C1 = q0;

) p k ( k

p P k

q

C2 20 2

− −

=

•

(1-37)

Từ đó: sinpt

p k

P kt sin ) p k ( k

pP kt

sin k q kt cos q

q 0 2 2 2 2

− + −

+ +

=

•

(1-38) Trên sở (1-38) ta có sè nhËn xÐt sau:

1) Hai số hạng đầu (1-38) ứng với dao động tự tần số riêng k Khi , dao động không xảy

0 0)=q•( )=

( q

Số hạng thứ ba dao động điều hoà với tần số riêng k, nh−ng biên độ phụ thuộc vào lực kích động Nó ln xảy dao động c−ỡng với điều kiện đầu tuỳ ý

2) Số hạng cuối (1-38) ký hiệu q: pt sin p k

P q 2 2

−

= (1-39)

Biểu thị dao động c−ỡng tuý Ta ý số tính chất sau:

a) Dao động c−ỡng xảy với tần số lực kích động p Nó không phụ thuộc vào điều kiện đầu hệ

b) Khi k > p dấu độ lệch q dấu với lực kích động Q, ta nói pha Khi k < p chúng ng−ợc dấu (ng−ợc pha) Ta viết:

sin(pt )

p k

P

q 2 2 +π

− =

c Tr−ờng hợp k = p, biểu thức (1-39) số hạng thứ ba (1-38) ý nghĩa Tuy nhiên xét đồng thời có:

⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− + −

= −

+ −

−

) p k ( k

pt sin k kt sin p P pt sin p k

P kt sin ) p k ( k

p P

2

2

0

2

Víi k = p, nã cã d¹ng 0

áp dụng quy tắc Lôpitan, lấy đạo hàm p cho p→k, ta thu đ−ợc:

coskt

k t P kt sin k P kp

pt cos kt kt sin P lim )

p k ( k

pt sin k kt sin p P

k p p

k 2

0

0

2

0 ⎥=− −

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− + −

= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− + −

=

Tích phân tổng quát (1-38) trë thµnh:

kt cos k

t P kt sin k P kt sin k q kt cos q q

2

0

0

0 + + −

=

•

Rõ ràng p = k giá trị nguy hiểm biên độ tăng theo quy luật tuyến tính với thời gian t khoảng thời gian hữu hạn khơng tiến tới vơ hạn (Hình 1-5)

Sự trùng tần số lực kích động p với tần số riêng hệ k t−ợng xảy tiếp sau gọi t−ợng cộng h−ởng

q

Thực tế tính tốn dao động c−ỡng khơng cản th−ờng phân hai tr−ờng hợp: Tr−ờng hợp xa cộng h−ởng (p ≠ k) tr−ờng hợp gần cộng h−ởng (p ≈ k) Khi nếu: p = k+2ε (ε đại l−ợng vơ bé) ta có t−ợng phách, cịn p = k ta có t−ợng cộng h−ởng

O

t

H×nh 1-5

Đối với máy đ−ợc thiết kế làm việc gần cộng h−ởng tăng vận tốc máy qua vùng cộng h−ởng phải khẩn tr−ơng cho v−ợt qua đủ nhanh

ThÝ dô 1-4:

Động điện đặt sàn m đ−ợc đỡ lò xo xoắn, trọng l−ợng tổng cộng sàn động 327N Lị xo có tính chất là: Chiều cao ngắn cm chịu l−c 300N Ng−ời ta gắn vào trục động tải trọng m1 nặng 2N cách đ−ờng tim trục khoảng r = 1,3cm Vận tốc góc động p = 30 rad/s Hãy viết ph−ơng trình dao động sàn, giả thiết thời điểm đầu nằm yên; lấy g = 981 cm/s2 (Hỡnh 1-6a)

Bài giải:

Sàn động chuyển động theo ph−ơng thẳng đứng Gọi x toạ độ khối tâm sàn động tính từ vị trí cân ổn định

Các lực tác dụng lên hệ dao động gồm: Lực đàn hồi lò xo F = Cx; lực kích động lực quán tính ly tâm khối l−ợng lệch tâm m1 gây theo ph−ơng Ox: Fx=m1rp2cospt Đặt lực quán tính lên khối l−ợng dao động (Hình 1-6b)

• •

−

= mx

Fqt

O

m1

m m r

Fx m1rp

ϕ = pt

x r

O

m1 x

C

a) b)

Theo nguyªn lý Đa-lăm-be, ta có:

pt cos rp m Cx x

m

1

= +

• •

m C k ; pt cos m

rp m x k

x

2

2 = =

+ ⇒ ãã

NTQ pơng trình tìm dạng:

x = C1sinkt+ C2coskt + Bcospt => = Cx• 1kcoskt - C2ksinkt - Bpsinpt Điều kiện đầu toán: t = x(0) = 0; =0

•

) (

x

Ta suy ra: C2+B = 0; C1 = 0; 2 2

mp C

p r m B

−

=

Do ph−ơng trình dao động sàn m là:

) kt cos pt (cos mp c

rp m

x −

−

= 22

V× rad/s k rad/s p

/ / m

C

k = = ≅30 ⇒ =30 =

981 327

1

300 2

2

Trong tr−êng hợp hệ có cộng hởng Vì nghiệm toán viết dạng:

mp

pt sin rt p m ) kt cos pt (cos rp m lim x lim

k p k

p

2

1

1 − +

=

→ →

Hay = 0,12t.sinpt = 0,12t.sin30t (cm) k

p x lim

→

1.2.2 Tính tốn dao động c−ỡng có cản (n≠0)

Xét lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc với vận tốc, lực kích động ngồi biến đổi theo quy luật điều hồ Q(t) = P0sinpt Ph−ơng trình (1-25) trở thành:

pt sin P q k q n

q+2 + = 0

• • •

(1-41)

Víi lùc c¶n nhá (n < k), NTQ cđa (1-41) cã d¹ng: 2 1

nt

n k k ; q ) t k sin( e A

q= − +β + = − (1-42)

Ta tìm nghiệm q d−ới dạng: q=Bsin(pt−ε) (1-43) Chọn B, ε cho q thỏa mãn đồng ph−ơng trình (1-42)

Từ ta nhận đ−ợc: (1-44)

⎩ ⎨ ⎧

ε =

ε =

−

sin P Bnp

cos P ) p k ( B

0 2

Gi¶i hÖ (1-44), ta cã: 2 2

2 2

0

4 k p

np tg

; p n ) p k (

P B

− = ε +

−

= (1-45)

Tích phân tổng quát phơng trình (1-41) viết dạng:

) pt sin( p n ) p k (

P )

t k sin( e A q

nt

ε − +

− +

β +

= −

2 2 2

0

4 (1-46)

Các số A, β đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu Từ (1-46) ta có số nhận xét sau:

1) Số hạng đầu (1-46) ứng với dao động tự có cản Thực tế tắt dần theo thời gian Sau khoảng thời gian bỏ qua xem hệ thực dao động c−ỡng tuý:

) pt sin( p n ) p k (

P

q −ε

+ − =

2 2 2

0

4 (1-47)

Ph−ơng trình (1-47) xác định chế độ dao động bình ổn hệ

2) Dao động c−ỡng kể có cản xảy với tần số lực kích động p Biên độ khơng phụ thuộc vào thời gian khơng tắt dần lực cản Khi xảy cộng h−ởng (p = k) biên độ hữu hạn giá trị lớn giá trị biên độ Ta tìm p để biên độ:

2 2 2

0

p n ) p k (

P B

+ −

= đạt cực đại

Tõ ®iỊu kiƯn =0

∂ ∂

p B

, ta suy ra: p2= k2 - 2n2

Vậy B = Bmax p2 = k2 - 2n2 Biên độ dao động c−ỡng đạt cực đại p nhỏ k chút (tr−ớc cộng h−ởng)

3) Trong dao động c−ỡng hệ có cản ln xảy độ lệch pha pha dao động với pha lực kích động Độ lệch pha ε xác định cơng thức:

2

2 p k

np tg

− =

ε

Độ lệch pha ε có giá trị cực đại cộng h−ởng (p = k)

π

4) Gọi độ lệch tĩnh hệ B0 (bằng tỷ số biên độ lực kích động với hệ số cứng hệ; 0 02

k P

B = ) Ta lập tỷ số biên độ B B0, ký hiệu η Hệ số η đ−ợc gọi hệ số động lực bằng:

4 2

2

k p n k

p

1 B

B

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− = =

Khi khơng có cản (n = ) hệ số động lực bằng:

2

1

k p

− =

η (1-49)

η

η

0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,5 1,0 1,5 2,0

1

2

2n/p=0 0,1 0,15

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

2n/p=0

p/k

p/k

H×nh 1-7

a) b)

Trên hình vẽ (Hình 1-7a) ta có đ−ờng cong cộng h−ởng Những đ−ờng biểu diễn trình biến đổi giá trị tuyệt đối hệ số động lực η phụ thuộc vào tần số lực kích động với vài giá trị hệ số cản

Từ đồ thị rõ ràng là: Các lực cản (nhớt) có tác dụng rõ rệt vùng gần cộng h−ởng, vùng lấy η= ηmax (Hình 1-7b)

Do đó, biên độ dao động c−ỡng có cản hữu hạn; nh−ng chi tiết máy làm việc tr−ờng hợp ln xảy nguy phá huỷ ứng suất mỏi Vì vậy, thiết kế cần chọn mối liên hệ kích th−ớc độ bền cho chế độ bình th−ờng nằm xa chế độ cộng h−ởng

ThÝ dô 1-5:

Để ghi trình dao động có tác động ngẫu nhiên khác (xô đập, va chạm) ng−ời ta th−ờng dùng chấn đồ tần số thấp có lắp thêm giảm chấn (dạng giảm chấn ma sát nhớt) Sơ đồ nguyên tắc chấn đồ đ−ợc mơ tả hình vẽ (Hình 1-8) chuyển động khối l−ợng m treo lò xo với độ cứng C đ−ợc hãm lại lực cản tỉ lệ với vận tốc chuyển động t−ơng đối tải trọng, tức y độ lệch khối l−ợng m Tìm giá trị độ lệch mà máy ghi lại nh− hàm thời gian t, chuyển động theo quy luật:

•

αy

y1=y0(sint+2sin10t)

Khi giải toán lấy: = = ω = α =002ω

01

0

2

, m n ; , m C k

α

C m

y1

Bài giải:

Chuyn ng lờn xuống tải trọng m, nhờ ngòi bút gắn vào ghi dao động máy lên bảng chia độ (Hình 1-8)

Chuyển động thẳng đứng y tải trọng m chuyển động t−ơng đối khung chấn đồ gắn với bảng chia độ

Do móng chấn đồ thực chuyển động theo quy luật cho tr−ớc: y1=y0(sinωt+2sin10ωt)

Nên lực quán tính kéo theo tải trọng m chuyển động bằng: −m•y•1=my0ω2(sinωt+200sin10ωt)

Ph−ơng trình vi phân mơ tả dao động t−ơng đối tải trọng m có dạng: y 2ny k y y 2(sin t 200sin10 t)

0

2 = ω ω + ω

+

+ •

• •

Trong đó: y dịch chuyển khối l−ợng m nền;

m C k ; m n= α =

Nếu bỏ qua dao động tự do, nghiệm ph−ơng trình trạng thái chuyển động bình ổn tải trọng m là:

sin( t )

n )

k (

y )

t sin( n

) k

(

y

y 2

2 2

2

2

2 2 2

2

0 100

400 100

200

4 − ω + ω ω −α

ω +

α − ω ω

+

=

ở đây: 1 2 2 2 2 2

100 20

k n tg

; k n tg

− ω

ω =

α −

ω ω = α

Thay: ta nhận đ−ợc dịch chuyển t−ơng đối khối l−ợng m máy ghi ra:

ω = ω

=001 002

2

, n ; , k

y y0 sin( t 1) 2y0sin(10 t 2)

5 ω −α + ω −α

=

ThÝ dô 1-6:

Để đầm bê tơng chân móng cơng trình ng−ời ta th−ờng dùng thiết bị đặc biệt: Đó chấn tử lệch tâm gồm đế nặng khối l−ợng m, đặt hai đĩa quay khối l−ợng đĩa Các đĩa quay mặt phẳng thẳng đứng theo chiều ng−ợc với vận tốc góc

ω Trên đĩa ng−ời ta gắn tải trọng m0 cách trục quay khoảng e (Hình 1-9a) Sau thời gian đầm, ta mơ tả tính chất móng bê tơng cách gần mơ hình l−u biến nh− hình vẽ (Hình 1-9b)

1 m

Hãy thiết lập ph−ơng trình dao động bình ổn vỏ chấn tử Tính biên độ dao động Biết q trình làm việc vỏ chấn tử không tách rời khi lng ang m

Bài giải:

P(t) 2m 2esin t

0ω ω

= P(t)

Mơ hình tính hệ dao động đ−ợc mơ tả hình 1-9 Mơ hình tính hệ dao động đ−ợc mơ tả hình 1-9

Ph−ơng trình vi phân chuyển động vỏ chấn tử có dạng: Ph−ơng trình vi phân chuyển động vỏ chấn tử có dạng:

) t ( P Cx x x

M +α + =

• • •

) t ( P Cx x x

M +α + =

• • ã

ở đây:

ở đây: MM=mm+22((mm00 ++mm11)), hay cã thÓ viÕt:

sin t

) m m ( m

e m x

k x n x

1

2

2 ω

+ +

ω =

+

+ •

• •

Trong đó:

) m m ( m

C M

C k , )] m m ( m [ M n

1

1

0

2

2 + + = = + +

α =

α =

Nếu gọi A0 độ lệch tĩnh hệ biên độ lực kích động tác dụng tĩnh lên hệ gây ra:

)] m m ( m [ k

e m C

e m A

1

2

0

+ +

ω =

ω =

Ta có biên độ dao động c−ỡng vỏ chấn tử bằng:

2

2

0

k n k

1

A A

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ ω

− =

1.2.3 Đệm đàn hồi máy

Ta xét mơ hình áp dụng kỹ thuật lý thuyết dao động c−ỡng

1.2.3a. Các máy quay có phận khơng cân truyền lực kích động có chu kỳ lên (móng) nó, gây lên rung tiếng ồn không mong muốn Để giảm t−ợng th−ờng áp dụng đệm đàn hồi

Giả thiết máy có trọng l−ợng Q (Hình 1-10) ký hiệu P lực ly tâm xuất phần quay khơng cân với vận tốc góc ω(rad/s) Nh− hình vẽ (Hình 1-10a) Các lực kích động thẳng đứng, nằm ngang t−ơng ứng là: Psinωt Pcosωt

Nếu máy đ−ợc bắt chặt với cứng lực kích động truyền hồn tồn xuống Để giảm lực kích động lên (móng) ta đ−a vào đệm đàn hồi nh− hình vẽ (Hình 1-10b), ta hạn chế chuyển động ngang máy liên kết Khi ta nhận đ−ợc dao động

ϕ = ωt

e m0

m1 m

ω ω

M

x

α

C

c−ỡng vật Q đặt lị xo theo ph−ơng thẳng đứng với lực kích động Nếu ý đến biểu thức (1-39) ta có biên độ dao động c−ỡng bằng:

t sin

P0 ω

= η

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ −ω =

C P k C

P A

2

2 (1-50)

ωt

Q Q

ωt

P P

C

a) b)

H×nh 1-10

ở đây: C hệ số cứng, k tần số riêng hệ, η hệ số động lực đ−ợc xác định theo (1-49 ) Khi ω > k 2, hệ số η nhỏ đơn vị hiệu ứng động lực bị giảm yếu Nh− vậy, để làm giảm lực kích động truyền vào (móng) máy cần đặt lị xo mềm cho tần số riêng hệ dao động nhỏ so với số vòng quay đơn vị thời gian máy

P(t) 1.2.3b. Trong phần ta mô tả đệm đàn hồi máy

với giả thiết không tồn lực cản Điều gần tr−ờng hợp lò xo xoắn thép Nếu sử dụng nhíp cao su lực cản đáng kể khơng thể bỏ qua Khi đệm đàn hồi máy quy đổi thành mơ hình tính gồm lị xo độ cứng C giảm chấn có hệ số cản

b (hình 1-11) ứng lực động lực truyền cho biểu thị bằng: C b i

•

+

=Cq bq

R (1-51)

Thay (1-47) vào (1-51), ta tìm đợc:

Hình 1-11

RMax =B C2 +(bω)2

Hay:

4 2

2

2 2

max

k n k

1

k n C P R

ω + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ ω

−

ω + =

Khi chó ý tíi (1-48) ta cã:

C P k

n C

P

Rmax =η + 2ω =η* 2

Trong đó: 2 2

k n

* =η + ω

η , η* th−êng

gọi hệ số động lực gia tăng Sự phụ thuộc hệ số với

k

ω

giá trị k

n

khác hình vẽ (Hình 1-12)

Tt đ−ờng cong qua điểm có hồnh độ tung độ Trong miền

k

< tắt dần có lợi làm giảm hệ số truyền lực, miÒn

k

ω

> với tăng lực cản, hệ số truyền lực tăng Vì vậy, tr−ờng hợp: Khi chế độ làm việc nằm

vùng sau cộng h−ởng lực truyền cho (móng) tăng hệ giảm chấn ý nghĩa vật lý t−ợng chỗ: Các dao động truyền cho móng thực hai lực: Theo “con đ−ờng đàn hồi” “con đ−ờng nhớt” Khi lực kích động có tần số cao xảy vận tốc lớn t−ơng ứng với lực cản nhớt tăng lên

1 2

0

ω/k

η*

H×nh 1-12

0,5 0,4

0,3 0,2 2n/p=0,1 0,5

0,4 0,3 0,2 n/p=0,1

1.2.4 áp dụng phép biến đổi Laplace tính tốn dao động c−ỡng 1.2.4a định nghĩa phép biến đổi Laplace

Giải sử: f(t) hàm liên tục khúc khoảng [0; +∞) Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân biến đổi hàm gốc f(t) biến số thực thành hàm ảnh F(s) biến số phức nhờ hệ thức:

(1-53)

∫

∞ −

= =

0

stf(t)dt e

)] t ( f [ L ) s ( F

Trong ký hiệu: L gọi tốn tử Laplace Phép biến đổi Laplace ng−ợc, ký hiệu theo toán tử L–1 đ−ợc xác định hệ thức:

(1-54)

)] s ( F [ L ) t (

f = −1

Toán tử L toán tử L-1 có tính chất:

(1-55)

[ ]

{Lf(t)} f(t) L−1 =

Trong bảng d−ới (bảng 3) ta giới thiệu số hàm f(t) thông dụng hàm ảnh F(s) qua phép biến đổi Laplace

ThÝ dơ 1-7:

Tìm hàm ảnh hàm gốc f(t) =1, f(t) = e at phép biến đổi Laplace Bài giải:

) s ( F s s

e dt e dt ) t ( f e ] [ L

st st

st = =− = =

=

∞ − ∞

− ∞

−

∫

∫ 1

1

0

0

) s ( ; a s

1 e

a s

1 dt e

dt e e ] e [ L

0 ) a s ( t

0 t ) a s ( at

0 st

at >

− = −

− = =

=

∞ − − ∞

− − ∞

−

∫ ∫

1.2.4b Các tính chất phép biến đổi Laplace

Ta nêu số tính chất (khơng chứng minh) phép biến đổi Laplace a) Định lý cộng tác dụng: Nếu L[f1(t)] =F1(s); L[f2(t)] =F2(s) thì:

L[C1f1(t)+C2f2(t)] =C1F1(s)+C2F2(s) (1-56)

Từ đó: ∑ ∑ Ci số

= =

= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ n

i i i n

i i

if (t) C F(s); C

L

1

b) Định lý vi phân: Nếu L[y(t)]= Y(s) thì: L[y(n)(t)]=snY(s) sn-1 y

0 – s n-2

0– – s n-2 y

0

(n-2) – y

(n-1) (1-57)

•

y

Trong đó: y(t)(k) đạo hàm bậc k hàm y(t) theo t: y y (0) limy(k)(t)

t ) k ( ) k (

0 = = → +

c) Định lý đồng dạng: Nếu L[f(t)]=F(s) thì: )] aF(as) a

t ( f [

L = (1-58)

d) Định lý cản: Nếu L[f(t)]=F(s) thì: L [e-atf(t)]=F(s+a) (1-59) e) Định lý trễ: Nếu L[f(t)]= F(s) thì: L[f(t-a)] =e-as F(s) (1-60) Một số công thức phép biến đổi Laplace đ−ợc trình bày Bảng ơ

Bảng - Hàm f(t) hàm ảnh F(s) qua phép biến đổi Laplace

STT f(t) F(s) = ∫

∞ −

0

stf(t)dt

e Ghi chó

1 1/s

2 t 1/s2

3

t n

t

e t e

α − α

− 1/(s+α)

1 n

) s (

! n

+

α +

n nguyªn

4 ( −e−αt)

α

1

) s ( s +α

5

1

2

α − α

− −α

α

− t t

e e

) s )( s

( 1 2

1

α + α +

6 12(e t +αt−1)

α

α −

) s ( s2 +α

1

7 sinωt 2 2

ω +

ω

s

8 cosωt 2 2

s s

ω +

9 e−αtsinωt +α 2+ω2

ω

) s (

10 e−αtcosωt +α 2+ω2

α +

) s (

s

11 tsinωt 2

2 ) s

( s

ω +

ω

12 tcosωt 2 2 2

2

) s

( s

ω +

ω −

13 sin2ωt

) s

(

s 2

2

4

ω +

ω

14 cos2ωt

) s

( s

s

2

2

4

ω +

ω +

15 shβt s2 −β2

β

16 chβt s2

s

β −

17 tshβt (s2 2)2

s

β −

β

18 tchβt 2 2 2

2

) s (

s

β −

β +

1.2.4c áp dụng phép biến đổi Laplace tính dao động c−ỡng Cho ph−ơng trình vi phân mơ tả dao động c−ỡng dạng

) t ( f m q k q n

q+2 + =

ã ã ã

(1-61) Tìm nghiệm phơng trình (1-61) ứng với điều kiện ban ®Çu t = 0: q(0) = q0,

Để giải (1-61) phép biến đổi Laplace, tr−ớc hết ta lập ph−ơng trình ảnh ph−ơng trình (1-61), ta có:

)] t ( f [ L m q k q n q

L 2 =

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡••+ •+

)] t ( f [ L m ] q [ L k ] q [ nL ] q [

L +2 + =

⇒ •• •

) s ( F m

1 ) s ( Q k ] q ) s ( sQ [ n ] q sq ) s ( Q s

[

0

0

2 + − + − + =

⇒ •

m ) s ( F q nq sq ) s ( Q ) k ns s

( + + = 0 + 0 + 0+

⇒ • (1-62)

Đặt: D(s)= s2+2ns +k2; (1-63)

0 0

0(s) sq 2nq q

N = + + •

NghiƯm cđa phơng trình ảnh có dạng:

) s ( mD

) s ( F ) s ( D

) s ( N ) s (

Q = + (1-64)

Dạng nghiệm (1-64) tổng hai số hạng: Số hạng đầu

) s ( D

) s ( N0

phụ thuộc vào điều kiện ban đầu tơng ứng với nghiệm phơng trình vi phân tuyến tính nhất; số hạng thø hai

) s ( mD

) s ( F

phụ thuộc vào hàm lực kích động f(t) t−ơng ứng với NR ph−ơng trình vi phõn cú v phi

Nghiệm phơng trình vi phân gốc (1-61) có dạng: ⎢

⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

= − − −

) s ( mD

) s ( F L ) s ( D

) s ( N L )] s ( Q [ L ) t (

q 1

(1-65) ThÝ dô 1-8:

Trên hệ dao động tuyến tính có cản (Hình 1-13) tác dụng lực f(t) nh− sau: f(t)

π/2 π

b C

m

ωt

P0

O f(t)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

ω π >

ω π ≤ ≤ ω

< =

t

t t sin P

0 t

) t (

f 0

Xác định dao động hệ t > 0, biết t ≤ hệ đứng yên Bài giải:

Ph−ơng trình vi phân biểu thị dao động c−ỡng hệ có dạng: )

t ( f q k q n

q+2 + =

• • •

m

ở ký hiệu: 2n m

b

= , k2 =

m C

Từ điều kiện ban đầu t = 0: q(0) = ; Do theo (1-63): N0(s)=0 Trong miền

0 =

•

) (

q

ω

t

0 nghiệm phơng trình ảnh áp dụng công thức (1-64) có dạng: )

s ( F

) s ( mD ) s (

Q =

Trong đó: 0 2 2; D(s) s2 2ns k2 s

P ] t [sin L P )] t ( f [ L ) s (

F = + +

ω +

ω = ω =

=

Đến nói chung dùng bảng để tìm ảnh ng−ợc có nghiệm q(t)

đây ta dùng cách phân tích phân thức vế phải để có nghiệm tốn Giả sử tr−ờng hợp tổng quát hàm F(s) phân thức dạng:

) s ( M

) s ( N ) s (

F = (1-66)

−ơng trình ảnh là: Khi nghiệm ph

) s ( D m

) s ( N ) s ( D

) s ( N ) s ( D ) s ( mM

) s ( N )

s ( N ) s (

Q = + =

) s ( D

0 + (1-67)

Với D(s)=M(s)D(s) Nếu D(s) D(s) đa thức có nghiệm đơn Ta gọi sk nghiệm D(s)=0 sj nghiệm D( =0, phân tích phân thức s)

) s ( D

) s ( N0

vµ ) s ( D

) s ( N

thành phân thức tối gi¶n:

∑ ∑

=

= −

⋅ ′ =

− ⋅ ′ =

1

j j j

j

1

k k k

k 0

s s

1 ) s ( D m

) s ( N )

s ( D m

) s ( N ; s s

1 ) s ( D

) s ( N )

s ( D

) s ( N

ở D′(s)và D′(s)là đạo hàm D(s)và D(s)theo biến s Vậy, nghiệm ph trình ảnh có dạng:

−¬ng

∑

∑ ⋅ ⋅

= N0(sk) j)

(1-69)

=

= ′ −

+ −

′ j 1 j j

1

k k k mD(s ) s s

s ( N s s ) s ( D ) s ( Q

¸p dơng bảng, ta tìm đợc nghiệm phơng trình gốc:

∑

=

=1 ′ j1 ′ j

k D(sk) mD(s )

+

= N0(sk)eskt N(sj) esjt

) t (

q (1-70)

Trở lại toán xét, ý tới (1-66) ta cã: 2 ; M(s) s

P ) s (

N = ω = +ω

) k ns s )( s ( ) s ( D ) s ( M ) s (

D = = +ω2 +2 +

T ú:

Phơng trình D(s)=0 có bốn nghiệm: s1,2 =±iω; s3,4 =−(n±i k2 −n2)

∑ = ′ ω = j j t s

Ta cã biĨu thøc nghiƯm q(t) theo (1-70) cã d¹ng sau:

) s ( D e m P ) t ( q j ) , j (

sj =1 vào, sau biến đổi, ta nhận đ−ợc: thay ⎥ ⎦ ⎤ − + − λ − ω λ − − λ − − ω λ + ⎢

⎣ (1−λ2)2 +4D2λ2 C ⎡− −λ ω − λ ω = − − nt 2 2 2 2 2 e ) D ( D ) D ( t sin ) D )( D ( t cos D t cos D t sin ) ( P ) t ( q Víi: k ; k n D ; n

k − = λ= ω

=

ω 2

1

Trong miền t > π⁄ω hệ thực dao động tự có cản ứng với điều kiện đầu: Trong miền ta có:

BiĨu thøc nghiƯm cã d¹ng:

) / ( q ) t ( q ); / ( q ) t (

q 0 = π ω • 0 = • π ω

0 ) s ( N ); / ( q ) / ( nq ) / ( sq ) s (

N0 = π ω + π ω +• π ω =

( ) ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ π − = q D ) t ( q ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω π − ω ω π + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ α − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω π − ω ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω π − − t sin / q k t cos / e t n 1 • Víi ω

= n

α

Ch−¬ng II

Dao động tuyến tính hệ nhiều bậc tự

Đ.2.1 Ph−ơng pháp chung thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động

2.1.1 HƯ nhiÒu bËc tù

Thực tế hệ cần tính tốn dao động phần lớn hệ đàn hồi phức tạp, nh−: dầm, có tiết diện khơng đổi thay đổi, trục thẳng có gắn đĩa, trục khuỷu động đốt trong, cánh đĩa tuốc bin v.v

Để xác định đầy đủ biến dạng hệ sinh dao động, ta cần biết dịch chuyển tất điểm nó, hệ đàn hồi nh− có vơ số bậc tự

Tuy nhiên, nhiều tr−ờng hợp việc nghiên cứu dao động hệ phức tạp vô số bậc tự gặp nhiều khó khăn tốn học Việc tính tốn thực tế kỹ thuật phải đ−a vào sơ đồ đơn giản để tính tốn hệ dao động Có nhiều cách đơn giản hoá khác nhau, cách đ−ợc sử dụng rộng rãi là: Thay hệ phức tạp hệ khác đơn giản với khối l−ợng độ cứng phân bố khác đi, nh−ng gần hệ cho chỗ: Giá trị tính tốn khơng khác giá trị thực Hệ đ−ợc gọi hệ thu gọn (hay hệ t−ơng đ−ơng) Ph−ơng pháp cho phép ta thay hệ vô số bậc tự hệ hữu hạn bậc tự t−ơng đ−ơng

m B

q A

Ta minh hoạ ý t−ởng trình bày ví dụ đơn giản sau đây: Tải trọng m đ−ợc treo vào điểm A cố định lị xo AB (Hình 2-1) Nếu kể đến phân bố khối l−ợng lị xo hệ có vơ số bậc tự Nh−ng khối l−ợng tải trọng m v−ợt xa khối l−ợng lò xo yêu cầu xác định tần số dao động nhỏ nhất, ta bỏ qua khối l−ợng lị xo tính đến tính đàn hồi Mặt khác xét đến dịch chuyển thẳng đứng tải trọng m ta hồn tồn xem hệ có bậc tự do, vị trí hệ dao động đ−ợc xác định toạ độ suy rộng q

H×nh 2-1

2.1.2 Ph−ơng pháp chung thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động

Việc lựa chọn ph−ơng pháp thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động hệ nhiều bậc tự phụ thuộc vào mơ hình học hệ

Đối với hệ gồm chất điểm, vật rắn, lò xo bỏ qua khối l−ợng, bệ giảm chấn ma sát, ng−ời ta th−ờng dùng ph−ơng trình Lagrăng loại II để thiết lập ph−ơng trình dao động Đối với kết cấu đàn hồi, nh− dao động uốn dầm có khối l−ợng tập trung, , ng−ời ta th−ờng dùng ph−ơng pháp lực,

Trong phần trình bày này, ta nêu cách áp dụng ph−ơng trình Lagrăng loại II để thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động hệ nhiều bậc tự

Gọi q1, q2, qn (qi, i = n1, toạ độ suy rộng hệ: π i

Q φi Pi lực suy rộng lực có thế, lực cản lực kích động Pi(t), ph−ơng trình Lagrăng II viết cho hệ có dạng:

) , Q , Q lµ

Pi i i i i i Q Q Q q T q T dt d + + = ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ π φ

• ; i = n1, (2-1)

ở đây: ; Q Q (t)

q Q

; q

Q Pi i

i i i i i = ∂ − = ∂ π ∂ ∂φ − = φ • π

; i =1,n

Xét với dao động nhỏ, ta có:

T aij qiqj (aij aji) n j n i = = • • = = ∑ ∑ 1

cijqiqj (cij cji)

n j n i = = π ∑ ∑ = =1

2

bijqi qj (bij bji)

n j n i = = φ • • = = ∑ ∑ 1

Các hệ số aij, cij, bij thoả mãn điều kiện xin-véc-trơ số Thay biểu thức vào ph−ơng trình Lagrăng II, ta nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân dao động hệ:

a q b q c q Qi(t); i , n

n j j ij j ij n j n j j ij 1 1 = = +∑ ∑ ∑ = • = = • • (2-2)

ViÕt thĨ hƯ (2-2) ta cã:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ) t ( Q q c q c q c q b q b q b q a q a q a ) t ( Q q c q c q c q b q b q b q a q a q a ) t ( Q q c q c q c q b q b q b q a q a q a n n nn n n n nn n n n nn n n n n n n n n n n n n n n 2 1 2 1 2 1 2 22 21 2 22 21 2 12 21 1 12 11 12 11 12 11 (2-2a) HÖ (2-2a) cã thĨ viÕt d−íi d¹ng ma trËn:

a11 a12 a1n q b11 b12 b1n q c11 c12 c1n Q1 • • • n 1 q

a21 a22 a2n q b21 b22 b2n c21 c22 c2n q Q2 •

•

q

•

an1 an2 ann q bn1 bn2 bnn q cn1 cn2 cnn Qn

Hc cho gän ta biĨu diƠn nã dới dạng véctơ: A q+B q+C q = Q(t)

• • •

(2-2c) 2.1.3 Những nguyên tắc giải ph−ơng trình dao động hệ

Nếu lực kích động ngồi thay đổi theo quy luật điều hồ hình sin có tần số pha đơn giản sử dụng ph−ơng pháp trực tiếp, nghĩa tìm chuyển động dạng: qi = Aisin kt Ph−ơng pháp áp dụng cho toán phức tạp hơn, lực kích động thay đổi theo chu kỳ Trong tr−ờng hợp này, cần phân tr−ớc lực kích động thành phần điều hoà

Ph−ơng pháp tổng quát phân nghiệm theo dạng riêng dao động Điều chủ yếu ph−ơng pháp chỗ: Nhờ mà ta nhận đ−ợc nghiệm tốn với lực kích động cho

Ta trình bày tr−ờng hợp tìm nghiệm ph−ơng trình ph−ơng pháp trực tiếp Xét dao động tự hệ bảo tồn (khơng cản), phần vế phải ph−ơng trình (2-2a) khơng: Qi =0 (i=1, n) hệ số n Ph) −ơng trình vi phân dao động hệ đ−ợc mơ tả hệ n ph−ơng trình vi phân th−ờng tuyến tính nh

, j , i ( bij =0 =1

Êt: (2-3) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 2 1 2 1 2 22 21 2 22 21 12 11 12 11 n nn n n n nn n n n n n n n n n n q c q c q c q a q a q a q c q c q c q a q a q a q c q c q c q a q a q a

Các tích phân riêng hệ tìm dạng:

qi =Aicos(kt+); i=1,n (2-4) Thay (2-4) vào (2-3) ta nhận đợc:

(2-5) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + + − + − = − + + − + − = − + + − + − 0 2 2 2 1 2 2 22 22 21 21 1 2 12 12 11 11 n nn nn n n n n n n n n n n A ) k a c ( A ) k a c ( A ) k a c ( A ) k a c ( A ) k a c ( A ) k a c ( A ) k a c ( A ) k a c ( A ) k a c (

Điều kiện cần đủ tồn nghiệm Ai(i=1, n) không tầm th−ờng là:

0 2 2 1 2 2 22 22 21 21 1 12 12 11 11 = − − − − − − − − − k a c k a c k a c k a c k a c k a c k a c k a c k a c nn nn n n n n n n n n (2-6)

(2-6) gọi ph−ơng trình tần số Nó ph−ơng trình bậc n k2 Khi giải (2-6) ta nhận đ−ợc n tần số riêng k2 Giả sử ta đ−ợc tần số riêng khác nhau: k

(2-7) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ α + + + α + + α + = α + + + α + + α + = α + + + α + + α + = ) t k cos( A ) t k cos( A ) t k cos( A q ) t k cos( A ) t k cos( A ) t k cos( A q ) t k cos( A ) t k cos( A ) t k cos( A q n n nn n n n n n n n n n 2 1 2 22 1 21 2 12 1 11

Ta ®−a hƯ sè ph©n phèi:

f (c a k ); i,j ,n

A A j rs rs i sj ij ij = − = =

μ (2-8)

Trong với Aij số đầu (i) số tọa độ suy rộng; số thứ hai (j) tần số riêng Khi sử dụng (2-8) ta viết nghiệm (2-3) dạng:

(2-9) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ α + + + α + + α + = α + + + α + + α + = α + + + α + + α + = μ μ μ μ μ μ ) t k cos( A ) t k cos( A ) t k cos( A q ) t k cos( A ) t k cos( A ) t k cos( A q ) t k cos( A ) t k cos( A ) t k cos( A q n n nn n 2 n 1 n n n n n n 2 22 1 21 n n n 2 1 1

Các số Aj j (tất có 2n số) đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu:

α i q • i q

Đ.2.2 Dao động tuyến tính hệ có hai bậc tự

2.2.1 Dao động tự khơng có cản 2.2.1a Ph−ơng trình vi phân chuyển động

Xét hệ dao động có hai bậc tự do, chịu tác dụng lực Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí hệ là: q1, q2 Ph−ơng trình Lagrăng II tr−ờng hợp có dạng:

; i 1,

q q T q T dt d i i i = ∂ π ∂ − = ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

• (a)

Với dao động nhỏ: ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +

= • 12 •1 •2 22 •22

2 11 2 q a q q a q a T

(c11q12 2c12q1q2 c22q22)

1 + +

=

π (b)

2.2.1b Tích phân ph−ơng trình vi phân chuyển động, ph−ơng trình tần số

Hệ (2-10) hệ ph−ơng trình vi phân tuyến tính cấp II hệ số khơng đổi Theo (2-4) ta tìm nghiệm d−ới dạng:

q1 =A1sin(kt+α); q2 =A2sin(kt+α) (2-11) Trong đó: k tần số vịng (riêng); A1, A2 biên độ; α pha ban đầu Các đại

l−ợng đ−ợc xác định trình tính tốn

Thay (2-11) vào (2-10) ta nhận đ−ợc hệ hai ph−ơng trình đại số tuyến tính biên độ A1 A2:

(2-12)

⎩ ⎨ ⎧

= −

+ −

= −

+ −

0

2 22 22 2 12 12

2 12 12 2 11 11

) k a c ( A ) k a c ( A

) k a c ( A ) k a c ( A

Hệ (2-12) chứa ba ẩn số A1, A2 k Ta bổ xung ph−ơng trình thứ ba cách sau: Nếu loại trừ nghiệm tầm th−ờng A1 = A2 = 0, để hệ (2-12) có hai nghiệm số A1, A2 khác khơng định thức hệ phải khơng Ta có:

2

22 22 12 12

2 12 12 11

11 =

− −

− −

k a c k a c

k a c k a c

Hay: (c11 – a11k2)( c

22 – a22k 2)( c

12 – a12k

2)2 = (2-13) Ph−ơng trình (2-13) gọi ph−ơng trình tần số Rõ ràng với giá trị k thoả mãn ph−ơng trình tần số giá trị A1, A2 tồn đại l−ợng q1, q2 khác khơng

Ph−ơng trình (2-13) ph−ơng trình trùng ph−ơng, tr−ờng hợp tổng quát có hai giá trị k2 Điều kiện cần đủ để hai nghiệm số với k2 thực d−ơng là: Dạng toàn ph−ơng động năng, hệ xác định d−ơng, nghĩa là:

a11 > 0; a22> 0; (a11a22– a2

12) > c11 > 0; c22> 0; (c11c22– c2

12)> (c) Với giá trị k2 q1, q2 hàm biểu diễn phụ thuộc hàm sin vào thời gian t Nếu giá trị k2 khơng thoả mãn điều kiện chuyển động hệ không dao động Ta xét hai tr−ờng hợp:

a) Tần số nhau: k1=k2= k tr−ờng hợp ph−ơng trình hệ (2-10) độc lập Nghiệm chúng biểu thị bằng:

q1=A1sin(kt + α1); q2 =A2sin(kt + α2) (2-14) Các hệ số A1, A2, α 1, α2 đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu t = 0; q1(0) = q10, q2(0) = q20;

20

10

1 0

• •

• •

= =q ; q ( ) q )

( q

b) Tần số khác nhau: Giả sử k1 < k2, k1 gọi tần số Các dao động ứng với tần số k1, k2 gọi dao động hệ

Ph−ơng trình dao động thứ (dao động bản) có dạng:

q1(1) =A11sin(k1t+α1); q2(1) =A21sin(k1t+α1) (2-15) Ph−ơng trình dao động thứ hai có dạng:

q1(2) =A12sin(k2t+α2); q(22) =A22sin(k2t+α2) (2-16) Tích phân tổng quát hệ (2-10) đợc biểu thÞ b»ng:

(2-17) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ α + + α + = + = α + + α + = + = ) t k sin( A ) t k sin( A q q q ) t k sin( A ) t k sin( A q q q 2 22 1 21 ) ( ) ( 2 2 12 1 11 ) ( ) ( 1

Khi chó ý tíi (2-8), tr−êng hợp khảo sát ta có:

⎪⎪ ⎬ ⎫ − − − = − − − = = = − − − = − − − = = = μ μ 2 22 22 2 12 12 2 12 12 2 11 11 12 22 2 22 22 22 12 12 2 12 12 11 11 11 21 1 21 k a c k a c k a c k a c A A q q k a c k a c k a c k a c A A q q ) ( ) ( ) ( ) ( (2-18)

Nghiệm tổng quát ph−ơng trình (2-10) tính đến hệ số phân phối có dạng:

(2-19) ⎭ ⎬ ⎫ α + + α + = α + + α + = μ

μ sin(k t ) A sin(k t ) A q ) t k sin( A ) t k sin( A q 2 22 1 21 2 2 1 1

Các số A1, A2, α1, α 2 đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu t = 0: q1(0) = q10; q2(0) = q20; 1 10 2 20

• •

• •

= =q ; q ( ) q )

( q

Vậy, tần số khác nhau, dao động nhỏ tự hệ hai bậc tự đ−ợc tạo thành từ tổng hai dao động điều hồ với tần số k1, k2

2.2.1c Các toạ độ

Để biểu thị đơn giản hệ ph−ơng trình vi phân (2-10) nghiệm (2-19) ng−ời ta đ−a vào khái niệm toạ độ Các toạ độ suy rộng θ1, θ 2 đ−ợc chọn đặc biệt cho biểu thức động T hệ chứa tổng bình ph−ơng vận tốc suy rộng

biểu thức π hệ chứa tổng bình ph−ơng toạ độ suy rộng θi(i = 1, 2) toạ độ suy rộng θ1, θ 2 đ−ợc gọi toạ độ hệ Với toạ độ chính, ma trận khối l−ợngvà ma trận độ cứng từ hệ ph−ơng trình vi phân dao động có dạng đ−ờng chéo

) , i ( i =1

θ•

Theo định nghĩa trên, ta có: Động năng, hệ biểu thị bằng:

( 2 2 1 2 2 1 2 θ + θ = π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ θ + θ

= a • a • ; c c

ở đây: a1, a2 hệ số quán tính; c1, c2 hệ số tựa đàn hồi Ph−ơng trình vi phân dao động tuyến tính hệ hai bậc tự có dạng:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= θ + θ

= θ + θ

• •

• •

0

2 2

1 1

c a

c a

(2-21)

Biến số ph−ơng trình độc lập, nên thực tích phân ph−ơng trình NTQ (2-21) có dạng:

θ1 = B1sin(k1t+β1); θ2= B2sin(k2t+β2) (2-22)

Trong đó:

1 1

a c

k = ,

2 2

a c

k = tần số dao động (tần số riêng) hệ Các số B1, B2, β1, β 2 đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu biết Vậy, viết theo toạ độ chính, ph−ơng trình vi phân dao động hệ đ−a hệ hai ph−ơng trình độc lập giống nh− tr−ờng hợp tần số

ThÝ dô 2.1:

Cho mô hình hệ nh− hình vẽ (Hình 2-2) Hệ chuyển dịch không ma sát theo h−ớng ngang Xác định chuyển động dao động hệ, giả thiết thời điểm ban đầu tải trọng m2 nhận đ−ợc vận tốc tức thời V0 h−ớng bên phải Tính tần số dao động hệ số phân phối tr−ờng hợp m1= m2 = m, C1= C2 = C

C1

m1 q1

m2 C2

q2

q

Hình 2-2

Bài giải:

Hệ có hai bậc tự Chọn q1, q2 toạ độ suy rộng xác định vị trí hệ Trong q trình dao động, lị xo chịu lực đàn hồi là:

F1 = C1q1, F2 = C2(q2 – q1)

Thế động hệ bằng:

2 2

1

1 2 1

2

1

2

• •

+ =

− +

=

π C q C (q q ) ; T m q m q (1)

2 , i ; q q T q T dt d i i i = ∂ π ∂ − = ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

• (2)

Ta nhận đợc: (3)

= − + = − − + • • • • 0 2 2 2 1 1 ) q q ( C q m ) q q ( C q C q m

Ta thử thỏa mÃn phơng trình (3) hàm:

q1=A1sin(kt + ); q2 =A2sin(kt +) (4) Thay (4) vào (3), ta nhận đợc hÖ:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − − = − + − 2 2 2 1 2 1 k A m ) A A ( C k A m ) A A ( C A C (5)

Hệ (5) chứa ba ẩn số: Các biên độ A1, A2 tần số k Ta có ph−ơng trình tần số theo (2-13): 2 2 2 = − − − − + k m C C C k m C C

Hay:

2 2 2

4 + =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − m m C C k m C m C C

k (6)

Giải (6), tìm đợc:

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 m m C C m C m C C m C m C C k m m C C m C m C C m C m C C k (7)

NTQ cã d¹ng: (8)

⎩ ⎨ ⎧ α + + α + = α + + α + = ) t k sin( A ) t k sin( A q ) t k sin( A ) t k sin( A q 2 22 1 21 2 12 1 11

Tõ (3), ta cã: a11 = m1 ; a22= m2 ; a12 = 0; c11 = C1 + C2 ; c22 = C2 ; c12 = C2; Nên hệ số ph©n phèi b»ng:

2 1 21 C k m C

C + −

= μ ; 2 2 22 C k m C

C + −

=

μ (9)

(10) ⎩ ⎨ ⎧ α + + α + = α + + α + = μ

μ A sin(k t ) A sin(k t )

q ) t k sin( A ) t k sin( A q 2 22 1 21 2 2 1 1

Chän gèc tính q1, q2 vị trí cân tĩnh tải trọng (lò xo cha biến dạng) Điều kiện ban đầu t = 0, viết đợc:

q1(0) = q10 = 0; q2(0) = q20 = 0; q1(0)=q10 =0; q2(0)=q20 =V0

• •

• •

Thay điều kiện ban đầu vào (10) đạo hàm nó, ta có hệ sau:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = α + α = α + α = α + α = α + α μ μ μ μ 2 22 1 21 2 1 2 22 1 21 2 1 V cos k A cos k A cos k A cos k A sin A sin A sin A sin A (11)

Gi¶i (11) ta cã: α1 = α2 = 0;

) ( k V A 22 21

1 μ μ

− = ; ) ( k V A 21 22

2 μ μ

−

= (12)

Khi thay (7), (12) vµo (10) ta nhËn đợc kết cuối toán Trờng hợp: m1 = m2 = m; C1 = C2 = C, tõ (7) vµ (9) ta cã:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = m C

k12 ; ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = m C

k22 ; 1,618

2 21 = + =

μ ; 0618

2

22 =− ,

− = μ

2.2.2 Dao động c−ỡng khơng cản 2.2.2a Ph−ơng trình vi phân chuyển động

Xét dao động hệ hai bậc tự chịu tác dụng lực lực kích động điều hồ hình sin Gọi q1, q2 toạ độ suy rộng độc lập hệ Ph−ơng trình Lagrăng II có dạng:

2 1, i ; Q q q T q T dt d P i i i i = + ∂ π ∂ − = ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

• (a)

Trong tr−ờng hợp dao động nhỏ:

( 11 12 12 1 2 22 22)

2 22 12 11 2 2 q c q q c q c ; q a q q a q a

T ⎟⎟ π= + +

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +

= • • • • (b)

Thay (b) vào (a) giả thiết rằng: Các lực kích động điều hồ có tần số p pha ban đầu δ Các lực suy rộng t−ơng ứng chúng bằng: QiP = Hisin(pt+δ), i = 1, Khi ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình vi phân dao động c−ỡng hệ hai bậc tự do:

2.2.2b Tích phân ph−ơng trình vi phân chuyển động

NghiƯm tỉng quát hệ (2-23) đợc tìm dới dạng tổng NTQ phơng trình tơng ứng NR cña nã Ta cã:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + β + + β + = + β + + β + = μ

μ21 1 22 2 2

2 2 1 1 q ) t k sin( C ) t k sin( C q q ) t k sin( C ) t k sin( C q (2-24)

Trong đó: k1, k2 tần số dao động chính, đ−ợc xác định từ ph−ơng trình tần số (2-13) μ21, μ22 hệ số phân phối đ−ợc xác định theo công thức (2-18) Bây ta tìm NR hệ (2-23) xác định dao động c−ỡng tuý d−ới dạng:

qi =AiPsin(pt+δ);i=1,2 (2-25)

Từ có: qi =AiPp2sin(pt+δ);i=1,2

• •

(2-26) Thay (2-25), (2-26) vào (2-23) ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình xác định AiP; i = 1,

(2-27) ⎩ ⎨ ⎧ = − + − = − + − 2 22 22 12 12 2 12 12 11 11 H A ) p a c ( A ) p a c ( H A ) p a c ( A ) p a c ( P P P P

Giải (2-27) nhận đợc:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − − − − − − = − − − − − − − = 2 12 12 22 22 11 11 12 12 11 11 2 2 12 12 22 22 11 11 12 12 2 22 22 1 ) p a c ( ) p a c )( p a c ( ) p a c ( H ) p a c ( H A ) p a c ( ) p a c )( p a c ( ) p a c ( H ) p a c ( H A P P (2-28)

Thay (2-28) vào (2-25) ta đ−ợc ph−ơng trình xác định dạng dao động c−ỡng túy hệ

Ta cã mét sè nhËn xÐt sau:

a) Dao động c−ỡng tr−ờng hợp khảo sát điều hoà với tần số tần số lực kích động

b) Biên độ dao động c−ỡng không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu đ−ợc xác định tính chất hệ (khối l−ợng độ cứng) lực tác dụng lên hệ Để có biểu thức cuối nghiệm toán, số C1,C2, β1, β2 NTQ đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu

2.2.2c HiƯn t−ỵng céng h−ëng

Các dao động c−ỡng hệ tr−ờng hợp khảo sát thực với biên độ biểu thị theo biểu thức (2-28) Các mẫu số chúng đa thức bậc hai p2 Mặt khác từ ph−ơng trình tần số (2-13), ta thấy: Các tần số k12, k

2

(c11 – a11p

)(c22 – a22p

) – (c12 – a12p

)2 = (a11a22 – a12

)(p2– k1

)(p2– k2

) Các biểu thức (2-28) trở thành:

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − − − − − − = − − − − − − = ) k p )( k p )( a a a ( ) p a c ( H ) p a c ( H A ) k p )( k p )( a a a ( ) p a c ( H ) p a c ( H A 2 2 2 12 22 11 12 12 11 11 P 2 2 2 12 22 11 12 12 2 22 22 P (2-29)

Với p = k1 p = k2 (tần số lực kích động tần số riêng hệ), biên độ dao động cững theo (2-29) tăng vô hạn theo thời gian Các giá trị tần số lực kích động giá trị nguy hiểm (tới hạn) Ta có t−ợng cộng h−ởng

Khi xảy cộng h−ởng, biểu thức (2-25) ý nghĩa Để biểu diễn dao động c−ỡng tuý (NR) tr−ờng hợp này, ta thử viết ph−ơng trình toạ độ

Biểu thị q1, q2 qua toạ độ θ1, θ 2 dạng sau:

q1 = θ1 +θ2; q2 = μ21θ1 + μ22θ2 (2-30) Các lực suy rộng lực kích động ngồi theo toạ độ đ−ợc xác định sở biểu thức tính cơng ảo có:

⎩ ⎨ ⎧ δ + + = + = δ + + = + = μ μ μ μ ) pt sin( ) H H ( Q Q Q ) pt sin( ) H H ( Q Q Q 22 P 22 P P * 2 21 P 21 P P * (2-31)

Ph−ơng trình vi phân chuyển động hệ dao động viết cho toạ độ có dạng:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ δ + + = θ + θ δ + + = θ + θ μ μ • • • • ) pt sin( a H H k ) pt sin( a H H k 2 22 2 2 21 1 1 (2-32)

Hệ (2-32) tích phân độc lập Ta xét tr−ờng hợp sau đây: a) Khi p = k1: Ta tìm NR ứng với dao động c−ỡng tuý dạng:

θ1 = C1tcos(pt+δ); θ2= C2sin(pt+δ) (2-33) Thay (2-33) vào (2-32) ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình xác định C1, C2 nhận đ−ợc:

1 21 1

2k a

H H

C =− +μ ;

) p k ( a H H

C 2 2

2 2 22 − + = μ

Do đó, ta có:

Chuyển toạ độ cũ q1, q2 ta đ−ợc: ) pt sin( ) p k ( a ) H H ( pt sin t pa ) H H ( q ) pt sin( ) p k ( a H H pt sin t pa H H q δ + − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +δ−π + = δ + − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +δ−π + = μ μ μ μ μ μ 2 2 22 22 21 21 2 2 2 22 1 21 1 2 2 (2-35)

b) Khi p = k2, cách tơng tự, ta tìm đợc:

⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ π − δ + + = θ δ + − + = θ μ μ ) pt sin( t pa H H ) pt sin( ) p k ( a H H 2 22 2 1 21 1 (2-36)

Do đó, ta có:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +δ−π + + δ + − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +δ−π + + δ + − + = μ μ μ μ μ μ 2 2 2 22 22 2 1 21 21 2 22 2 1 21 1 pt sin t pa ) H H ( ) pt sin( ) p k ( a ) H H ( q pt sin t pa H H ) pt sin( ) p k ( a H H q (2-37)

Nh− vậy, hệ hai bậc tự chịu tác dụng lực điều hoà tần số p pha δ, xảy hai trạng thái cộng h−ởng (vì tần số lực kích động hai tần số riêng)

Thực tế, việc xác định trạng thái cộng h−ởng xảy hệ nhiều bậc tự (kiểm tra hệ cộng h−ởng) toán quan trọng tính tốn kỹ thuật dao động

2.2.3 Mét vài toán ứng dụng

2.2.3a B tt chấn động lực khơng tính đến ma sát a) Nhận xét:

Nếu số lực kích động triệt tiêu, chẳng hạn: Q2

P

= 0, cßn Q1 P

= H1sin (pt+δ): Các biên độ dao động c−ỡng theo (2-29) trở thành:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − = − − − − − = 2 12 12 22 22 11 11 12 12 p 2 12 12 22 22 11 11 22 22 p ) p a c ( ) p a c )( p a c ( ) p a c ( H A ) p a c ( ) p a c )( p a c ( ) p a c ( H A (2-38)

NÕu chän c¸c tham sè cđa hƯ cho: c22 – a22p2 = tøc lµ

22 22

a c

A1P= 0; 12 12

1

p a c

H A P

−

= (2-39)

Nh− vËy,

22 22

a c

p = dao động c−ỡng ứng với toạ độ suy rộng thứ đ−ợc hoàn toàn dập tắt Hiện t−ợng gọi tắt chấn động lực dao động mà khơng có đ−ợc hệ có bậc tự

b) Nguyên lý tạo tắt chấn động lực khơng có ma sát

Giả sử ta có mơ hình dao động nh− hình vẽ (Hình 2-3a), chịu tác dụng lực kích động Q(t) Để làm tắt dao động c−ỡng hệ này, ta đặt khối l−ợng phụ m2 lị xo đàn hồi có độ cứng C2 (Hình 2-3b) Khi ngun lý tạo tắt chấn động lực đ−ợc mô tả d−ới dạng sau:

m1

C1 m2 C2

Q(t)

q2

q1 m1

Q(t)

C1

a) b

H×nh 2-3

Hai khối l−ợng m1, m2 đặt lị xo khơng khối l−ợng có độ cứng t−ơng ứng C1, C2 Cho lực kích động tác dụng lên khối l−ợng m1 mà lực suy rộng biểu thị bằng:

Q1P= H1sin (pt + δ)

Còn khối l−ợng m2 khơng có lực kích động, tức Q2P= Hệ mơ tả có hai bậc tự với toạ độ suy rộng q1, q2 ta có:

[ 2]

1 2 1

2 2 1

2

1

) q q ( c q c ;

q m q m

T ⎟⎟ π= + −

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+

= ã ã

Và: a11= m1; a12 = 0; a22 = m2

c11 = C1+ C2; c12 = – C2; c22 = C2

Ph−ơng trình vi phân chuyển động hệ dao động có dạng:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= +

−

δ + =

− +

+

• •

• •

0

2 2 2

1 2 1

q C q C q m

) pt sin( H q C q ) C C ( q m

Biểu thị qi =AiPsin(pt+δ);i=1,2; AiP xác định theo (2-38) Nếu chọn tham số hệ để có:

2 22 22

m C a c

p = = th×:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

δ + −

= δ + −

= =

) pt sin( C H ) pt sin( p a c

H q

q

2

12 12

1

1

(2-41)

Tức dao động c−ỡng thứ tải trọng m1 đ−ợc dập tắt Thật vậy, thay q vừa tìm vào ph2 −ơng trình đầu hệ (2-40) ta đ−ợc:

0

1

2

1 =

+ + • •

q m

C C

q (2-42) Ph−ơng trình (2-42) mơ tả dao động tự khối l−ợng m1 với tần số:

1 1

m C C

k = +

Thực tế, để loại trừ t−ợng xuất biên độ lớn đáng kể dao động thay đổi tần số lực kích động, th−ờng ng−ời ta đ−a vào giảm chấn

2.2.3b Dao động Ơ-tơ

Ta khảo sát dao động ô tô nh− hệ vật rắn chịu liên kết đàn hồi (Hình 2-4) sơ đồ vật thùng xe, vật ữ bánh xe; khối l−ợng chúng coi nh− tập trung Mơ hình nh− thuận tiện khảo sát dao động toa tầu, đầu máy xe lửa ph−ơng tiện vận tải khác thuộc loại

Chuyển động hệ nh− trình dao động đ−ợc đặc tr−ng bảy toạ độ: Dịch chuyển thẳng đứng trọng tâm thùng xe, dịch chuyển thẳng đứng trọng tâm bánh xe, dịch chuyển quay thùng xe trục dọc trục ngang Hệ nh− có bảy bậc tự

C

2

5

4

x y

h

y2

l

a

b

yC

y1 Vị trí cân

b»ng tÜnh ϕ

L

Tuy nhiên q trình tính tốn sơ bộ, ta xây dựng mơ hình tính dao động Ơ-tơ nh− hệ có hai bậc tự Trong tr−ờng hợp ta giả sử lốp xe không biến dạng khảo sát dao động Ơ-tơ mặt phẳng dọc thẳng đứng Hệ khảo sát tr−ờng hợp có hai bậc tự Toạ độ suy rộng đ−ợc chọn: Dịch chuyển thẳng đứng yC trọng tâm thùng xe dịch chuyển quay ϕ quanh trục ngang qua trọng tâm thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ (Hình 2-5)

Bây ta xét Ô-tô chạy đ−ờng không phẳng với vận tốc không đổi V Quy luật nhấp nhô mặt đ−ờng đ−ợc cho hàm tuần hoàn sau:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π = L x cos h y * * 2

Ký hiệu: m khối l−ợng Ơ-tơ; JC là mơmen qn tính trục qua khối tâm C vng góc với mặt phẳng hình vẽ; C1, C2 độ cứng lị xo (ứng với giảm xóc bánh tr−ớc bánh sau), l khoảng cách hai bỏnh xe l = a+b

Động hệ đợc tính theo biểu thức:

2 2 1 2 2 2 y C y C ; J y m

T= C+ Cϕ π= +

ã ã

ở đây: y1 y2 biến dạng lò xo, ta cã:

Δy1 = yC - y1* - aϕ; Δy2 = yC - y2* + b Đặt

L V

π =

Ω , toạ độ điểm tiếp xúc lò xo mặt đ−ờng bằng:

( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − = = t cos h L x cos h y Vt x * * * 2 1 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + Ω − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − = + = L t cos h L x cos h y Vt x * * * l l

Thay giá trị T vào phơng trình Lagrăng II:

i i i q q T q T dt d ∂ π ∂ − = ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

• ; i = 1, 2; q1 = yC; q2 = ϕ

Ta nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân dao động Ơ-tơ:

Trong đó: c11 = C1+ C2 ; c21 = c12; c12 = C2b – C1a; c22 = C2(a2+b2) c13 = C1 + C2cos ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π L l

; c23 = – C1a + C2bcos ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π L l (2-44)

c14 = C2sin ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π L l

; c24 = C2bsin ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π L l

Phơng trình tần số có dạng:

0 mJ c c c mJ J c m c k k C 12 22 11 C C 11 22

4 − + + − =

(2-45) Từ đó: C 12 22 11 C C 11 22 C 11 22 2 , mJ ) c c c ( mJ ) J c m c ( J c m c

k = + ± + − − (2-46)

NR hệ (2-43) tìm dạng:

⎨ ⎧ Ω + Ω + = ϕ Ω + Ω + = t sin B t cos B B t sin A t cos A A y 2 C (2-47)

Thay (2-47) vào (2-43) thực đồng ta nhận đ−ợc ph−ơng trình đại số tuyến tính A0, A1, A2, B0, B1, B2 Giải ph−ơng trình ta có:

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ Ω − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ Ω − − = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ Ω − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ Ω − − = = ) m c ( c c c h B ) m c ( c c c h B B ) J c ( c c c h A ) J c ( c c c h A h A c c 11 24 12 14 11 23 12 13 22 14 12 24 2 22 13 12 23 2 2 (2-48)

Víi: Δ= (c11 – m Ω2)(c

22 – JCΩ 2) – c

12 2

Ph−ơng trình xác định dao động c−ỡng Ơ-tơ có dạng:

HiƯn t−ỵng céng h−ëng x¶y Ω = ki (i = 1, 2)

Ta cã vËn tèc giíi h¹n (Vgh) Ô-tô là: (i 1, 2)

Lk

Vgh i

i =

π

= (2-50) ThÝ dơ 2-2:

Móng máy có trọng l−ợng P1 = 1000 KN đặt đất đàn hồi dao động theo ph−ơng thẳng đứng d−ới tác dụng lực kích động biến đổi theo quy luật: F = 100sinωt (KN) Để khử dao động cộng h−ởng xuất vận tốc gốc trục máy ω = 100 rad/s, ng−ời ta đặt móng giảm rung có dạng bệ nặng đặt lị xo đàn hồi (Hình 2-6a) Hãy xác định trọng l−ợng P2 hệ độ cứng tổng cộng lò xo giảm rung cho biên độ dao động c−ỡng móng triệt tiêu trục máy quay với vận tốc góc cho trên, cịn biên độ giảm rung khơng vt quỏ A2 = mm

Bài giải:

Mơ hình tính tốn dao động hệ hình vẽ (Hình 2-6b) T−ơng tự nh− cách thiết lập ph−ơng trình (2-40), ta có ph−ơng trình vi phân dao động hệ là:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= −

+

= ω

− = +

− +

• •

• •

0 q C q C q m

KN 100 F

, t sin F q C q ) C C ( q m

2 2 2

0

2 2 1

Theo điều kiện ra, thiết kế giảm rung đảm bảo điều kiện q1 = 0, nên ph−ơng trình trở thành:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= −

ω −

=

• •

0

2 2

0 2

q C q m

t sin F q C

Từ suy ra: q C q F sin t g

P

ω −

= =

• •

0 2 2

Do giảm rung làm việc với biên độ A2 = mm tần số ω = 100 rad/s, nên nghiệm q2 ta lấy dạng:

P1

P2 q2

F(t) P1 C

q1 C

P2

a) b

q2 = A2sinωt ⇒q =−ω A sinωt •

•

2 2

Nh− vËy, ta cã:

t sin F t sin A g P

ω −

= ω ω2 2 0

Trọng lợng P2 giảm rung phải bằng: KN

, A

g F

P 49

10

981 100

4

2

2 = =

ω = Khi xuÊt hiÖn céng h−ëng

2

m C k= =

ω nên độ cứng lị xo đặt giảm rung phải có:

cm / KN ,

A F g A

g F g

P

C 500

2 100

2 2

0 2

2 = = =

ω ω = ω =

Đ.2.3 Dao động xoắn trục mang cỏc a

2.3.1 Phơng trình Phơng trình tần số

Kho sỏt dao ng xoắn trục đàn hồi mang đĩa rắn tuyệt đối coi nh− khối l−ợng tập trung (Hình 2-7a) Ký hiệu J1, J2, , Jn mômen quán tính đĩa trục; C1, C2, , Cn-1 hệ số cứng xoắn đoạn trục đàn hồi

Chọn toạ độ suy rộng góc quay đĩa quanh trục: ϕ1, ϕ2, , ϕn Các mômen xoắn tác dụng tiết diện trục phụ thuộc vào góc quay t−ơng đối hai đĩa kề đ−ợc xác định t−ơng ứng (Hình 2-7b):

C1(ϕ2 - ϕ1), C2(ϕ3 - ϕ2), , Cn - (ϕn - ϕn- 1)

J1

J2

J3

Jn-1

Jn

C1 C2 Cn-1

H×nh 2-7a

C1(ϕ2 − ϕ1) C2(ϕ3 − ϕ2) Cn-1(ϕn−ϕn-1)

Ph−ơng trình vi phân dao động xoắn hệ đ−ợc thiết lập sở ph−ơng pháp trực tiếp có dạng:

(2-51) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ϕ = ϕ − ϕ − ϕ = ϕ − ϕ − ϕ − ϕ ϕ = ϕ − ϕ − ϕ − ϕ ϕ = ϕ − ϕ − ϕ − ϕ ϕ = ϕ − ϕ • • − − − • • − − − − − − • • • • • • n n n n n n n n n n n n n 3 3 2 1 1 J C J ) ( C ) ( C J ) ( C ) ( C J ) ( C ) ( C J ) ( C

Khi trục đĩa quay nh− vật rắn tuyệt đối, ph−ơng trình (2-51) thoả mãn nghiệm:

ϕ1 = ϕ2 = = ϕn = + t (2-52) Nghiệm phơng trình (2-51) tìm dới dạng:

i = Aisin ( kt +); i = n1, (2-53) Thay (2-53) vào (2-51) ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình đại số tuyến tính xác định biên độ A1, A2, An

(2-54) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − − − = − − − − = − − − − = − − − − = − − − − − − − − − − n n n n n n n n n n n n n A k J ) A A ( C A k J ) A A ( C ) A A ( C A k J ) A A ( C ) A A ( C A k J ) A A ( C ) A A ( C A k J ) A A ( C 1 2 1 3 3 2 2 2 1

Hệ (2-54) chứa (n+1) ẩn (n ẩn biên độ ẩn tần số riêng k) T−ơng tự nh− phần trên, ta bổ xung ph−ơng trình để giải tốn ph−ơng trình tần số:

Do hệ (2-54) hệ ph−ơng trình tuyến tính nên để có nghiệm khơng tầm th−ờng biên độ định thức hệ phải khơng

Xét hệ có ba đĩa, điều kiện có dạng:

0 0 2 2 2 1 1 = + − + − − + − k J C C C k J C C C C k J C

Hay phơng trình tần số trờng hợp là:

0 2 3 1 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + +

− J k J J J

C J J J C J J k C C J J J

NTQ cần viết dới dạng:

i=0+t +Ai1sin(k1t+1)+Ai2sin(k2t+2)+ +Ai,n-1sin(kn-1t+αn -1); i = 1,n (2-56) Trong (2-56) chứa số ch−a biết Để xác định chúng, t−ơng tự nh− tr−ớc cần dựa vào điều kiện ban đầu t =

2.3.2 Ph−ơng trình dao động xoắn c−ỡng trục mang đĩa

Dao động xoắn c−ỡng trục mơmen quay biến đổi tác dụng lên Các mơmen có đặc tính chu kỳ, nh−: áp lực khí xilanh, lực quán tính phần chuyển động

Ta khảo sát tr−ờng hợp mômen biến đổi cho tác dụng lên đĩa hệ t−ơng đ−ơng (Hình 2-7) M1(t), M2(t), Mn(t)

Nếu bỏ qua lực cản, ph−ơng trình vi phân dao động c−ỡng trục có dạng:

(2-57)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

ϕ = ϕ − ϕ −

ϕ = ϕ − ϕ − ϕ − ϕ +

ϕ = ϕ − ϕ +

• • −

−

• • •

•

n n n

n n

n(t) C ( ) J

M

J ) (

C ) (

C ) t ( M

J ) (

C ) t ( M

1

2 2 1 2

1 1 1

ThÝ dơ 2.3:

Trên hình trụ tiết diện khơng đổi dài 2L = 50cm có đầu bị ngàm đ−ợc gắn hai đĩa nh− nhau, có mơmen quán tính J1 = J2 = J = 50 kgcm

2

Một hai đĩa đ−ợc gắn trục, đĩa gắn đầu tự (Hình 2-8 ) Mơmen qn tính độc cực tiết diện trục Jρ = 602cm4 Môđun tr−ợt vật liệu làm trục G = 8,3.10 6N/cm2 Bỏ qua khối l−ợng trục

a) xác định tần số k1, k2 dao động xoắn tự đĩa

b) xác định biên độ dao động xoắn c−ỡng đĩa tác dụng lên đĩa mơmen kích động M = 200sin(400t) (Nm)

ϕ

Bài giải:

a) H cú hai bậc tự Chọn toạ độ suy rộng góc quay đĩa ϕ1, ϕ2 Hệ số cứng xoắn đoạn trục đ−ợc tính theo cơng thức biết (SBVL)

C1 C2

J1ϕ1 J2

L L

Nm

, L GJ C C

C

6

1 210

25 602 10

8 =

= =

=

=

Động cđa hƯ: 11 1 12 22 2

2 2

1

2

J a ; a ; J a ) J J

(

T= ϕ + ϕ ⇒ = = =

ã ã

Thế hệ: [ ] 11 12 22

2 2

1 c ( ) c C C ;c C ;c C

c

= −

= +

= ⇒ ϕ − ϕ + ϕ = π

Từ có ph−ơng trình tần số: (C1 + C2 – J1k

)(C2 – J2k

) – C2

= Thay C1 = C2 = C; J1 = J2 = J, ta cã:

0

3 2

2

4 − − =

J C k J C k

Gi¶i ra, ta đợc:

⎧

= =

+ =

= =

− =

s / rad J

C , J

C ) (

k

s / rad J

C , J

C ) (

k

324 62

1

5

124 62

0

5

2

Các hệ số phân phối b»ng:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

− = − = + − = −

+ − − =

= + = − − = −

− − − =

μ μ

62

5

5 2

5

62

5

5 2

5

22 21

, C

J C J

C

, C

J C J

C

Khi biết μ21 μ22 ta biểu thị đ−ợc dao động Trên hình vẽ (Hình 2-9) mơ tả dao động cho biên độ dao động đĩa thứ đơn vị

a) Để xác định biên độ dao động c−ỡng đĩa cần tính tr−ớc hết lực suy rộng lực kích động

A11=

A12 =

A1P= 6.10-5

A21= 1,62

A22= 0,62 A2P= 2.10-5

6,25cm

Ta cã: Q1 = M; Q2 = => H1 = M0 = 200; H2 =

Khi biên độ dao động c−ỡng bình ổn, theo cơng thức (2-29) ta đ−ợc:

5

2

2

1 610

2

−

− = − − −

−

=

C ) Jp C )( Jp C (

) Jp C ( M

A P ; p = 400

5

2

0

2 210

2

− = − − −

=

C ) Jp C )( Jp C (

C M A P

Ph−ơng trình xác định dao động c−ỡng đĩa có dạng: ϕ1 = A1Psinpt = -6.10-5sin 400t

ϕ2 = A2Psinpt = 2.10-5sin 400t

Đ 2.4 Dao động uốn dầm có khối l−ợng tập trung

2.4.1 Phơng trình - Phơng trình tần số.

Trong tr−ờng hợp này, để thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động ta dùng ph−ơng pháp lực

Xét dao động tự mang khối l−ợng tập trung: m1, m2, , mn Dịch chuyển chúng t−ơng ứng dao động y1, y2, , yn Đặt lực quán tính lên khối l−ợng khảo sát: m y , m y , , mn yn Theo (25) ch−ơng mở đầu, ta có:

• • •

• •

•

− −

− 1 2

; i = ik k n

k k

i m y

y =− δ

• •

=

∑

1

n ,

1 (2-58) HÖ (2-58 ) viÕt thĨ cã d¹ng:

(2-58a)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

δ −

− δ −

δ −

=

δ −

− δ −

δ −

=

δ −

− δ −

δ −

=

• • •

• •

•

• • •

• •

•

• • •

• •

•

nn n n n

n n

n n n

n n n

y m y

m y

m y

y m y

m y

m y

y m y

m y

m y

2 2 1

2 22

2 21 1

1 12

2 11 1

HÖ cã mét bËc tù do: 1 =− 1 1δ11 • • y m y

Phơng trình tơng đơng với:

; C = 1/ δ11

Cy y

m1 1+ =

• •

NghiƯm cđa hệ (2-58a) tìm đợc dạng:

(2-60) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − δ + + δ + δ = δ + + − δ + δ = δ + + δ + − δ 1 2 2 2 1 2 22 2 21 1 2 12 2 11 1 ) k m ( A k m A k m A k m A ) k m ( A k m A k m A k m A ) k m ( A nn n n n n n n n n n n

Cho định thức hệ khơng, ta nhận đ−ợc ph−ơng trình tần số bậc n k2 – b1k

2 + b2k

4 – b3k

6

+ + (–1)n bnk 2n

= (2-61) Ta ký hiÖu n nghiÖm thùc dơng k2 (2-61) theo thứ tự tăng dần: k

1 2, k2

2, k

n NTQ cđa (2-58a) lµ:

; i = ) t k sin( A

y j j

n

J Þ

i =∑ +α

=1

n ,

1 (2-62)

2.4.2 Ph−ơng trình dao động uốn c−ỡng dầm có khối l−ợng tập trung

Giả sử lực kích động tác dụng lên khối l−ợng tập trung điều hoà:

P(t) = Pksin pt (2-63)

ở đây: Pk biên độ lực, p tần số Ph−ơng trình dao động uốn c−ỡng dầm nhận đ−ợc cách cộng bổ xung vào (2-58a) số hạng t−ơng ứng với dạng lực kích động Ta có:

(2-64) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ δ + δ − − δ − δ − = δ + δ − − δ − δ − = δ + δ − − δ − δ − = • • • • • • • • • • • • • • • • • • pt sin P y m y m y m y pt sin P y m y m y m y pt sin P y m y m y m y nk k nn n n n n n k k n n n k k n n n 2 1 2 22 2 21 1 1 12 2 11 1

Phần dừng nghiệm có dạng: yi = AiPsin pt (i = 1,n) (2-65) Thay (2-65) vào (2-64) ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình để xác định biên độ:

(2-66) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ δ = δ − + + δ − δ − δ = δ − − δ − + δ − δ = δ − − δ − δ − nk k nP nn n P n P n k k nP n n P P k k nP n n P P P A ) p m ( A P m A P m P A P m A ) P m ( A p m P A p m A m A ) p m ( 2 2 2 1 2 2 22 2 21 1 2 12 2 11 1 1

ThÝ dô 2-4:

Tại thời điểm ban đầu tải trọng m có vận tốc thẳng đứng khơng có dịch chuyển ban đầu Bỏ qua khối l−ợng Độ cứng hai phần EJ theo chiều dài

0 2(0) V

x =

ã

Bài giải:

x1 x2

1.L 2/3L

M1

P1=1

P2=1 M2

1.L 1.L

2/3L

L

L L

L

Hình 2-10

Gọi dịch chuyển tải trọng theo hớng x1, x2 ta có theo (2-58a)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

δ −

δ − =

δ −

δ − =

• • •

•

• • •

•

22 2 21

12 2 11 1

x m x

m x

x m x

m x

=> a11 = mδ11; a12 = mδ12; a22 = mδ22; c11 = 1; c12 = 0; c22 =

NÕu lÊy nghiƯm riªng: xi = Aisin (kt +); i = 1, Sau thay vào phơng trình ta nhận đợc:

δ +

δ =

δ +

δ =

22 2 21 2

12 2 11

x mk x

mk x

x mk x

mk x

2

Để xác định hệ số ảnh h−ởng, ta xây dựng biểu đồ mômen uốn M1, M2 ứng với lực đơn vị P1 = 1, P2 = tác dụng theo h−ớng x1, x2 (Hình 2-10b) áp dụng cơng thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có:

EJ L L L

EJ 3

2

1

11 ⎟=

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ =

δ ;

EJ L L L

EJ 2

1

1

21

12 ⎟=

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ = δ =

δ ;

EJ L L L L L

EJ

4

2

1 2

22 ⎟=

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

=

;

Thay ik vào phơng tr×nh: 3 2

2

2 1

k mL

EJ Z ; x x Zx

x x Zx

= ⎩

⎨ ⎧

+ =

Phơng trình tần số: Z 9,242; Z 0,7574 Z 3 Z 2

1 = =

⇒ = − −

Do tần số bằng:

3 3

1 0807

6 242 mL EJ , Z mL EJ k , k mL EJ

Z = = ⇒ = =

3 2

2 282

6 7574 mL EJ , Z mL EJ k , k mL EJ

Z = = = =

Các hệ số phân phối: 2,4140

242 , mL EJ EJ mL 242 , mL EJ EJ mL k a c k a c 3 3 12 12 11 11 21 = − − = − − − = μ 04142 7574 7574 3 3 2 12 12 2 11 11 22 , , mL EJ EJ mL , mL EJ EJ mL k a c k a c = − − − = − − − = μ

NTQ cña toán viết dạng:

x1 = A1sin(k1t + α1) + A2sin(k2t + α2) x2 = μ21A1sin(k1t + α1) + μ22A2sin (k2t + α2) => 1= k1A1cos(k1t + α1) + k2A2cos(k2t + α2)

• x

2= μ21k1A1cos(k1t + α1) + μ22k2A2cos(k2t + α2) •

x

Thay điều kiện ban đầu t = 0: x1(0) = x2(0) = 0; x1(0) = 0; x (0) V2 0 vào ta đợc:

ã ã

=

Giải ra: α1 = α2 = 0; ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = α + α = α + α = α + α = α + α μ μ μ μ cos A k cos A k cos A k cos A k sin A sin A sin A sin A 2 22 1 21 2 1 2 22 1 21 2 1 ; k V A 22 21 1 μ μ − = 21 22 2 μ μ − = k V A Thay giá trị tính vào, cuối nhận đ−ợc: ( , sinkt , sink t)

k V

x 1 2

1

1 = 0354 −0101 ; ( , sink t , sink t)

k V

x 1 2

1

M« men uốn ngàm: (0, sink t , sink t) L

k EJ V

Mngµm 2

1

469

785 −

= Từ đó: V0EJ2

1L

k ThÝ dơ 2-5:

254

1,

MNgµmmax =

Lực kích động P(t) = Psinωt tác dụng lên khối l b

−ợng hệ (Hình 2-11a) Xác định huyển tất khối l−ợng xây dựng biểu đồ mômen uốn động lực Cho biế uán tính tiết diện ngang dầm J = 35520 cm4; Môđun đàn hồi củ

iên độ dịch c t: Mômen q

a vật liệu E = 2,1.107N/cm2 Nhịp dầm dài L = 400 cm; khối l−ợng trọng tải m = 40,8 Ns2/cm; biên độ lực kích động: P = 6000 N; tần số lc kớch ng = 100 rad/s

Bài giải:

Tr−ớc hết ta xác định hệ số ảnh h−ởng δik Theo kết thí dụ 2, ch−ơng mở đầu, ta có:

δ δ δ δ δ δ δ δ

đặt

11 = 33 = 75k; 22 = 243k; 21 = 12 = 32 = δ23 = 117k; 13 = 31 = 51k;

ë

EJ 296

-9

L

k=

Thay sè tÝnh ®−ỵc: k = 7,38.10 cm/N 11 33 ,53.10

-7

cm/ N δ22 = 17,92.10-7 cm/N

= δ31 = 3,76.10-7 cm/N

3

δ = δ = ;

δ21= δ12 = δ32 = δ23 = 8,64.10-7 cm/N; δ 13

P (t

m m ) m

Psinωt

mA 1Pω

2

mA 2Pω mA ω 3P

636.10 Ncm

328.10 Ncm

PL/4=60.10 Ncm

4

4

L/6 L/3 L/3 L/6

a)

b)

c) d)

Ph−ơng trình xác định biên độ:

Thay sè vµ gi¶i ra: A1P = A3P = – 0,064cm; A2P = 0,128cm Các dịch chuyển tĩnh tơng ứng với lực P2 t¸c dơng (P2 = P)

y = P2 = 6000.17,92.10 = 0,0107cm

hơn khoảng 10 lần dịch chuyển tĩnh tơng ứng

các g pha n

d) biểu đồ cuối (Hình 2-11d u thị

⎪ ⎩ ⎨ ⎧

δ = ω

δ − + ω

δ − ω δ −

δ = ω

δ − ω

δ − + ω δ −

δ = ω

δ − ω

δ − ω

δ −

32

2 33

2 32

2 31

22

2 23

2 22

21

12

2 13

2 12

1

1

P A ) m ( A m

A m

P A m

A ) m ( A m

P A m

A m

A ) m (

P P

P

P P

P

P P

⎪ 112 1P

y = y = Pδ = 6000.8,64 10-7 = 0,0052cm 1t 3t 12

-7

2t 22

Rõ ràng biên độ hệ dao động lớn

Để xây dựng biểu đồ mômen uốn động lực, cần khảo sát tải trọng tác dụng lên dầm iá trị biên độ lực kích động P lực quán tính: mAiP ω2 Các lực quán tính nằm ở g−ợc với pha lực kích động Ta có:

mA1Pω

= – 26100N; mA2Pω

= – 52200N; mA3Pω

= 26100N Những điều trình bày đợc biểu thị (Hình 2-11b, c,

Chơng III

Dao động tuyến tính hệ có vơ số bậc tự

Hệ có khối l−ợng phân bố liên tục có vơ số bậc tự (tức có vơ số tần số riêng dạng dao động riêng)

Khác với hệ hữu hạn bậc tự ph−ơng trình tốn học mơ tả q trình dao động hệ ph−ơng trình vi phân th−ờng, dẫn tới ph−ơng trình vi phân đạo hàm riêng Do ngồi điều kiện ban đầu, cần xét đến điều kiện biên

Ta xét số hệ liên tục đơn giản th−ờng gặp kỹ thuật

Đ.3.1 Dao động dọc tiết diện không đổi

3.1.1 Ph−ơng trình vi phân dao động dọc

Khi xét dao động dọc thẳng ta coi tiết diện ngang phẳng phần tử không thực dịch chuyển ngang mà dịch chuyển theo h−ớng dọc

Cho thẳng dài L Chọn trục Ox h−íng däc nh− h×nh vÏ (H×nh 3-1)

x dx

L

U

dx

m n m n

m n

N

X O

N∂∂N x dx

H×nh 3-1

U+∂U

∂x dx

Ký hiệu: ρ khối l−ợng riêng vật liệu thanh; E Môđun đàn hồi nó; F diện tích tiết diện ngang

Xét phân tố giới hạn hai mặt cắt m, n Gọi U dịch chuyển dọc tiết diện ngang m có toạ độ x dao động Dịch chuyển hàm x t: U = U(x,t) Khi dịch chuyển tiết diện lân cận n bằng: U + dx

x U

∂ ∂

Từ độ dãn dài tuyệt đối

ph©n tè dx lµ dx x U

∂ ∂

; độ dãn dài t−ơng đối bằng: ε = x U

∂ ∂

Lực dọc tác dụng tiết diện ngang m có toạ độ x đ−ợc tính theo biểu thức:

N = EFε = EF

x U

∂ ∂

(3-2) EF gọi độ cứng kéo, nén Lực dọc tác dụng tiết diện ngang lân cận có toạ độ (x + dx) bằng:

N′ = N +

x N

∂ ∂

dx

Khối l−ợng phân tố khảo sát là: ρFdx, nên lực quán tính đặt lên là: −ρFdx 2

2

t U

∂ ∂

áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be phân tố thanh, ph−ơng trình vi phân chuyển

động trục Ox: 2

2

= ∂ ∂ ρ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + + −

t U Fdx dx

x N N N

Suy ra: 2

2

t U F x N

∂ ∂ ρ = ∂ ∂

(3-3)

Thay (3-2) vµo (3-3) nhận đợc: 2

2 2

x U a t

U

∂ ∂ = ∂ ∂

(3-4)

Trong đó:

ρ

= F

a tốc độ truyền sóng dọc thanh; (3-4) ph−ơng trình dao động dọc tiết diện không đổi

3.1.2 Giải phơng trình (3-4) phơng pháp Furiê

Ph−ơng trình (3-4) ph−ơng trình đạo hàm riêng cấp hai gọi ph−ơng trình sóng Hàm U = U(x,t) NR (3-4) tìm d−ới dạng:

U = X(x)T(t) (3-5) Nghĩa tìm U dạng tích hai hàm X(x) hàm x, T(t) chØ lµ hµm cđa t Thay (3-5) vµo (3-4) ta cã:

T T X

X a

• •

= ′′

2

Vế trái đẳng thức phụ thuộc vào x, vế phải phụ thuộc t Để đẳng thức với x, t chúng phải số Ta ký hiệu số qua: - p2 Do đó:

2

2

p T T ; p X

X

a ′′ =− =− • •

Ta có hai phơng trình sau:

X

a p X ; T p T

2

2 ⎟ =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ′′ = +

• •

(3-6) Phơng trình đầu (3-6) có nghiƯm:

Nó đặc tr−ng cho q trình dao động, p ch−a biết có ý nghĩa nh− tần số dao động tự

Ph−¬ng tr×nh thø hai cđa (3-6) cã nghiƯm: x a p cos D x a p sin C

X= + (3-8)

Nó xác định dạng riêng dao động

Ph−ơng trình xác định đại l−ợng ch−a biết p đ−ợc thiết lập xét điều kiện biên gọi ph−ơng trình tần số

Nãi chung ph−¬ng trình phơng trình siêu việt có v« sè nghiƯm pn (n = 1, ) NghiƯm viết dạng (3-5) NR phơng trình sóng NTQ (3-4) nhận đợc cách hợp c¸c NR:

∑∞

=

=

1

n

n n(x)T (t) X

U (3-9)

Hàm Xn (x) gọi hàm riêng, mô tả dạng riêng dao động, khơng phụ thuộc vào điều kiện đầu thoả mãn điều kiện trực giao Khi F = const, m ≠ n, ta có:

∫ =

L

n m(x).X (x)dx X

0

0 (3-10)

3.1.3 Các điều kiện biên thanh, phơng trình tần số 2.1.3a Thanh có hai đầu tự (Hình 3-2)

H×nh 3-2

L

x

X

Trong tr−ờng hợp lực dọc hai đầu không, nên độ dãn dài t−ơng đối không

Ta cã: x U

∂ ∂

= x = vµ x = L Hay: X′T=0 x = vµ x = L Các điều kiện đợc thực nếu:

0

0

=

= x dx dX

vµ =0

=L x dx dX

(3-11) Từ (3-8) với C D bất kỳ, nên điều kiện đầu (3-11) đ−ợc thoả mãn đặt C = 0; điều kiện thứ hai đ−ợc thoả mãn nếu: =0

a pL

sin (3-12) (3-12) gọi ph−ơng trình tần số Nó cho phép xác định tần số riêng dao động dọc với mút tự

Ta cã: =nπ a

L pn

Khi n = 1, ta có tần số dao động bản:

ρ π = π

= E

L L a

p1 (3-14)

Chu kú t−¬ng øng b»ng:

E L p

T = 2π =2 ρ

1

1 (3-15)

Nh− vậy, ta có vơ số tần số dao động riêng, tần số t−ơng ứng với dạng dao động riêng xác định hàm riêng Xn(x) =

L x n

cos π Vì thế, NTQ dao động tự với hai đầu mút tự đ−ợc biểu diễn dạng:

.A sin(p t )

L x n cos )

t ( T ) x ( X

U n n n

1 n

n

n

n +α

π =

=∑ ∑∞

= ∞

=

Hay: ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ π + π

π =∑∞

= L

at n sin b L

at n cos a L

x n cos

U n n

n

(3-16) C¸c h»ng sè an, bn cã thĨ chän cho thoả mÃn điều kiện đầu Giả sử t = th×

) x ( f U ); x ( f U

t t

1 0

= =

= • =

Thay điều kiện vào (3-16) ta đợc:

L x n cos a ) x ( f

n n

π =∑∞

=1

;

L x n cos L

a n b ) x ( f

n n

π π

=∑∞

=1

Từ suy ra: dx;

L x n cos ) x ( f L a

L

n ∫

π =

0

2

∫ π

π

= L

n dx

L x n cos ) x ( f a n b

0

2

(3-17)

3.1.3b Thanh đầu ngàm chặt, đầu tự (Hình 3-3) Giả sử bị ngàm đầu x = 0, đầu

lại x = L tự Điều kiện biên có dạng:

Hình 3-3 L

x

X

0 =

= x

U vµ =0

∂ ∂

=L x x U

Hay: XT = x = XT=0 x = L Điều đợc thực nếu:

0 =

= x

X ; ′ = =0

L x

X (3-18)

T−ơng tự cách lý giải nh− 3.1.3a, để thoả mãn (3-18) phải có D = ta suy ph−ơng trình tần số: cos

a pL

= (3-19)

Gi¶i ta cã: pn = L

a n

2

π

Víi n = th×: p1 =

ρ π =

π E

L L

a

2 (3-21)

NTQ dao động dọc tr−ờng hợp có dạng:

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ π + π

π

= ∑∞

= L

at n sin b L

at n cos a L

x n sin

U n n

, ,

n 135 2

(3-22) Hằng số an, bn đ−ợc xác định điều kiện đầu t = Giả sử đ−ợc kéo lực dọc P mút tự Tại t = cắt bỏ lực P tự Ký hiệu ε độ dãn dài t−ơng đối ban đầu ε = P/EF Ta viết đ−ợc điều kiện đầu dạng:

Ut=0 =εx;

0

=

= •

t U

Điều kiện cho ta xác định an bn Khi ta có:

bn = ;

1

2

8 − −

π ε

= n

n ( )

n L a

Do đó: ∑

=

−

π π

− π

ε =

, , n

n

L at n cos L

x n sin n

) ( L

U

5

2

2

2

1

(3-23) Tóm lại, từ điều kiện biên ta xác định đ−ợc tần số riêng hàm riêng Bảng 4: Ta thống kê số dạng điều kiện biên toán xét dao động dọc

Bảng 4: Các điều kiện biên vài dạng liên kết xét dao động dọc

Sơ đồ Dạng liên kết Điều kiện biên

X

O

Ngµm U(0,t) =

O X Đầu tự

0 =

∂ ∂

x ) t , ( U EF

X

N

O Lùc däc x N

) t , ( U

EF =

∂

∂

X

O C

X

C O

Liên kết đàn hồi tuyến tính

CU x

) t , ( U

EF =

∂

∂

CU x

) t , L ( U

EF =−

∂ ∂

X

m O

X

O

m

Đầu gắn khối lợng m

2

0

t U m x

) t , ( U EF

∂ ∂ = ∂ ∂

2

t U m x

) t , L ( U EF

Đ.3.2 Dao động xoắn trục trịn tiết diện khơng i

3.2.1 Phơng trình nghiệm cđa nã

Về mặt tốn học việc thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động xoắn trục tròn giống nh− khảo sát dao động dọc

Cho trục tròn dài L Chọn trục Ox dọc trục nh− hình vẽ (Hình 3-4) Gọi ρ mật độ khối l−ợng vật liệu trục; G môđun đàn hồi tr−ợt nó; JP mơmen qn tính độc cực tiết diện ngang trục; đó: GJP = C độ cứng tiết diện ngang trục xoắn

x dx

m n

X

O

n m M L

Xét yếu tố giới hạn hai mặt cắt m, n gần kề Mômen xoắn tác dụng hai tiết diện tơng ứng bằng: M M +

x M

∂ ∂

dx

Gọi θ góc xoay tiết diện m có toạ độ x, biến dạng góc t−ơng đối x

∂ θ ∂

Theo công thức biết SBVL, ta có:

M = GJP

x

∂ θ ∂

(3-24)

Lực quán tính tác dụng lên u tè cđa trơc b»ng: −ρJPdx 2

2

t

∂ θ ∂

áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be, ph−ơng trình cân mơmen trục Ox:

0

2

= ∂

θ ∂ ρ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + + −

t dx J dx x M M

M P

Từ đó: 2

2

t J x M

P

∂ θ ∂ ρ = ∂ ∂

(3-25)

Thay (3-24) vµo (3-25) ta nhận đợc:

2 2 2

x a

t ∂

θ ∂ = ∂

θ ∂

(3-26)

Trong đó:

ρ

= G

a1 lµ vËn tèc trun sãng tr−ỵt

Ph−ơng trình (3-26) ph−ơng trình vi phân dao động xoắn trục tròn tiết diện khơng đổi Nó có dạng giống ph−ơng trình (3-4)

H×nh 3-4

M+∂M dx

NTQ cđa (3-26) cã d¹ng:

∑∞

=

= θ

1

n

n n(x)T (t)

X (3-27)

Trong đó: Xn(x) = Cn sin

1 n n n

a x p cos D a

x p

+ (3-28)

Tn(t) = An sin ( pnt + αn)

Các số An, α n đ−ợc xác định từ điều kiện đầu Các tần số riêng hàm riêng đ−ợc xác định từ điều kin biờn

3.2.2 Các điều kiện biên - phơng trình tần số 3.2.2a Trục có hai đầu tù (H×nh 3-5)

L

X

x

H×nh 3-5

Trong trờng hợp mômen xoắn hai đầu không Nên:

0

=

θ ∂

= x

x vµ ∂ =0

θ ∂

=L x x Hay cã thÓ viÕt:

0 =

′ =

x

X vµ ′ = =0

L x

X (3-29) Để thoả mÃn điều kiện (3-29), ta phải có: C = và: sin

1

a pL

= (3-30) (3-30) phơng trình tần số trờng hợp khảo sát Gi¶i ra:

1

a L pn

= nπ; n = 1, 2, (3-31)

NTQ cã d¹ng: ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ π

+ π π

= θ ∑∞

= L

t a n sin b L

t a n cos a L

x n

cos

n n

1 n

3.2.2b Trục có gắn đĩa (bánh đà) hai đầu mút (Hình 3-6)

Trong tr−ờng hợp mơmen xoắn đầu trục mômen lực quán tính đĩa (bánh đà)

J

J

O x

1

2 L

x

Điều kiện biên có d¹ng sau:

x GJ t

J 2 P

2

1 ∂

θ ∂ = ∂

θ

∂ x =

x GJ t

J 2 P

2

2 ∂

θ ∂ − = ∂

θ

∂ x = L

Hay: (3-32)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= ′

− = ′

= ′

= ′

L x X GJ X

p J

x X

GJ X p J

P P

2

2

1

Khi cho tho¶ m·n điều kiện ta nhận đợc phơng trình tần sè:

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ −

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

−

1

1

2 1 1

a pL cos GJ

pa a pL sin GJ a

p J

a pL sin GJ

J pa a pL cos p

p P

P

(3-33)

Đặt: =

1

a pL

g LJ J

; n J J ; m J J LJ

g

J P

0

2

1 P

1 = = = =

Phơng trình (3-33) đa dạng: βn(1 – mβtgβ) = − (tgβ+ mβ) Hay suy ra:

1

2−

β β + = β

mn ) n m (

tg (3-34)

Nếu β1, β2, βn nghiệm ph−ơng trình (3-34) NTQ tr−ờng hợp khảo sát là:

∑

∞ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ β

+ β ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ β

β − β =

θ

1

1

n

n n n

n n n n

L t a sin b L

t a cos a L

x sin m L

x

cos (3-35)

Đ.3.3 Dao động uốn dầm tiết diện không i

3.3.1 Phơng trình

Giả sử dầm có mặt phẳng đối xứng dao động xảy mặt phẳng này, nghĩa dầm thực dao động uốn theo ph−ơng y Trong tr−ờng hợp mặt cắt dầm không đối xứng qua hai trục dầm thực dao động xoắn uốn đồng thời mà ta không xét

Mặt khác ta giả thiết rằng: Các mặt cắt dầm ln ln phẳng vơng góc với trục võng dầm Ta ký hiệu EJ độ cứng dầm uốn, q khối l−ợng đơn vị chiều dài dầm, y dịch chuyển tiết din dm

Xét phân tố dầm dx giới hạn hai mặt cắt kế m n (Hình 3-7)

Mômen uốn lực cắt tác dụng lên phân tố dầm hai mặt cắt m n t−¬ng øng b»ng: dx

x Q Q , Q vµ dx x M M , M

∂ ∂ + ∂

∂ +

Lùc qu¸n tÝnh tác dụng lên phân tố dầm khảo sát: qdx 2

2

t y

¸p dụng nguyên lý Đa-lăm-be, Ta có:

- Tng hỡnh chiếu lực lên ph−ơng thẳng đứng Oy:

2

= ∂ ∂ + ∂ ∂

t y q x Q

(1)

n m

dx

L

x

- Tổng mômen lực trục thuộc tiết diện m thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ:

= − ∂ ∂

Q x M

(2)

Đạo hàm (2) theo x: 2

2

= ∂ ∂ − ∂ ∂

x Q x

M

(3)

Thay (1) vào (3) ta đợc: 2

2

2

= ∂ ∂ + ∂ ∂

t y q x

M

(3-36)

áp dụng công thức lý thuyết uốn cña SBVL: M x

y

EJ =

∂ ∂

2

(3-37)

Thay (3-37) vµo (3-36) ta cã: 2

2

2

2

= ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

∂ ∂ ∂

∂

t y q x

y EJ

x (3-38)

Nếu dầm có tiết diện khơng đổi EJ = const ta suy ra: 4

4 2 2

x y a t

y

∂ ∂ = ∂ ∂

(3-39)

Trong đó:

q EJ

a2 = , (3-39) ph−ơng trình vi phân dao động uốn dầm tiết diện không đổi

m n

dx

Q

M x

y

y

∂M

∂x

∂Q

qdx ∂

y

∂t2

∂x dx Q+

M+ dx

3.3.2 Giải phơng trình (3-39)

Tơng tự nh trờng hợp trên, ta tìm nghiệm phơng trình (3-39) d−íi d¹ng: y = X(x).T(t) (3-40) Thay (3-40) vào (3-39) ta đợc:

X X a T

T

2

−

= (3-41)

) IV ( •

•

Để hệ thức ln ln đồng thức vế trái vế phải phải số: (-p2) Do đó, ta nhận đ−ợc:

+ =0

ã ã

T p

T v

2

= ⎟ ⎠ ⎜ ⎝

− X

a

X (3-41)

Ph−ơng trình đầu (3-41) mơ tả chuyển động có đặc tr

⎞ ⎛p ) IV (

−ng dao động với tần số p

−ơng trình sau (3-41) xác định −ơng trình là:

Ph dạng dao động riêng, NR ph

sinkx, coskx, shkx, chkx NTQ cđa nã biĨu diƠn ë d¹ng:

X = C1sin kx + C2coskx + C3shkx + C4chkx (3-42)

Trong đó:

2

2

qp p

k = ⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞ =

2 EJ

a ⎠

⎝ (3-43)

Các số C1, C2, C3, C4 đ−ợc xác định từ điều kiện biên ng trình tần số

Thay điều kiện biên vào (3-42) dẫn tới ph−ơng trình

hằng định thức hệ

phải khơng Điều dẫn tới ph−ơng trình tần số Ta minh hoạ điều vài tr−ờng hợp sau:

y = XT = vµ M = EJ.X′′T =

3.3.3 Ph−¬

số C1, C2, C3, C4 Để số khơng đồng thời khơng

3.3.3a DÇm cã hai gối tựa lề (Hình 3-8)

Trong tr−ờng hợp mô men uốn M độ võng y gối tựa không

L

x

y

H×nh 3-8

Hay:

0 =

= x

X ;

0 =

′′ =

x

X ; = =0

L x

X ; ′′ = =0

L x

) shkx kx

(sin C

) shkx kx

(sin C ) chkx kx

(cos C ) chkx kx

(cos C X

− +

+ +

− +

+ =

4

3

1

(3-45)

0 X

; X

Từ điều kiện đầu (3-44): x=0 = ′′x=0 = Suy rằng: C1, C2 đặt khơng

Tõ điều kiện lại (3-44): X 0; X L 3 4

= 46)

(3-46) l

x L

x= = ′′ = = Ta nhận đợc: C = C

sinkL

(3-à phơng trình tần số trờng hợp khảo sát, giải phơng trình ta có:

3 , , n ; n

kL= π = (3-47)

Khi chó tíi (3-43) ta ný hận đợc:

q EJ n22

L

pn = 2 3.3.3b Dầm có mót tù (H×nh 3-9)

H×nh 3-9

ờng hợp lực cắt Q mômen uốn M hai đầu không, ta có:

Hay: x=0, x=L (3-49)

Ta sử dụng biểu thức nghiệm (3-45) Khi từ điều kiện:

(3-48)

x

L

y

Trong tr

L x , x T

X EJ M

T X EJ Q

= = ⎩

⎨ ⎧

= ′′ =

= ′′′ =

0 0

⎩ ⎨ ′′=

0 X

⎧X′′′=0

0

0

0

0 = ′′′

′′ = vµ X = r

X

x

x = suy a C2 =C4 =

Nªn: X = C (coskx+chkx) + C (sinkx+shkx) 1 3

Từ điều kiện lại: X = =0 X = =0 ta nhận đợc: L

x L

x

( ) ( )

) ⎧

= +

= +

− + +

−

0

3 kL chkL

shkL kL

sin C chkL kL

cos C

( ) (

⎨ + + −3

cos C

shkL kL

sin C

⎩

Nghiệm C1, C2 khác không nhận đ−ợc tr−ờng hợp định thức hệ không Ta có ph−ơng trình tần số sau:

(-coskL + chkL)2 - (sh2kL - sin2kL) =

(3-50) Chó ý r»ng: ch2kL - sh2kL =1; cos2kL + sin2kL =

S¸u nghiƯm đầu

L k L tiên phơng trình nh− sau:

k L k L k L k L k1 2 3 4 5 6

0 4,730 7,853 10,996 14,137 17,279

Trong bảng 5, ta dẫn điều kiện biên vài dạng liên kết xét dao động uốn dầm

Chó ý:

y phơng trình (3-4), (3-26), (3-39) cã d¹ng sau:

Với (dầm) có khối l−ợng phân bố liên tục, tiết diện biến đổi theo chiều dài, tha

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪

θ ∂ ⎤ ⎡ θ∂ ∂

∂ = ⎥⎦ ⎢⎣ ∂ ∂

2

t F x F x a

⎨ ⎧

∂ ∂ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

∂ ∂ ∂

∂

∂ = ⎥⎦ ⎢⎣ ∂ ∂

∂ ⎤ ⎡ ∂ ∂

2 2

2

2

2

1

2

t y q x

y EJ x

t J x J x a

U U

) (

) (

) (

53

52

51

− − −

Bảng 5: Các điều kiện biên số dạng liên kết xét dao động uốn dầm

Sơ đồ Dạng liên kết Điều kiện biên

O x

Đầu tự

0

0 =

= ′′ ′

=EJX T X

Q

0

0⇒ ′′=

= ′′

=EJX T X

M

O x

B¶n lỊ

Y = XT = => X = 0

0⇒ ′′=

= ′′

=EJX T X

M

x O

Ngµm

Y = XT = => X = 0

0⇒ ′=

= ′ =

θ XT X

m0

O

x

m0

O

x

Đầu gắn khối lợng m0

0

0⇒ ′′=

= ′′

=EJX T X

M

Q = − m0 •y• => m0p2 X = ±EJX′′

C

O x

C

O x

Liên kết đàn hồi tuyến tính

0

0⇒ ′′=

= ′′

=EJ T X

M X

CX X

EJ R

Nhờ việc đặt U = X(x)T(t); θ = X(x)T(t); y = X(x)T(t) Có thể nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân th−ờng nh− sau hàm X(x) T(t):

0

2

= ⎟ ⎞

FX p

⎠ ⎜ ⎝ ⎛ + ′ ′

a ) X F

( (3-54)

0

2

1

⎟ ⎠ ⎜ ⎝a

0

2 =

− ′′

′′) qp X X

EJ

(

= ⎟ ⎞ + ′

′) p JX

X J

( (3-55)

(3-56)

Các ph−ơng trình khác với ph−ơng trình tr−ớc chỗ: Các hệ số chúng biến đổi Nghiệm hiển chúng nhận đ−ợc tro t ờng h hi cá

J, EJ, q xác định phụ thuộc đặc biệt Trong tr−ờng hợp tổng quát cần đ a vào phép giải gần đúng, nh−: Ph−ơng pháp Ris; ph−ơng pháp Butnố - Galerkin; ph

đúng liên tiếp v.v

⎜ ⎛

0

2 =

+

• •

T p

T (3-57)

ng r ợp riêng k c biến: F,

p ơng pháp gần

3.4 S truyền sóng đμn hồi dọc tiết diện khơng đổi.

Trong phần Đ3.1 thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động dọc tiết diện không đổi:

2

2

2

2 ∂ =

∂ − ∂ ∂

x U a t

U

(3-4)

Trong đó: a = E

ρ

cịn gọi ph ơng trình sóng Nghiệm (3-4) đ

lµ vËn tèc trun sãng däc Phơng trình (3-4)

ợc khảo sát dạng chuỗi Fuariê Tuy

nhiên dạng nghiệm Có thể cách khác giải phơng trình

bin i tớch phõn v.v phần trình bày d−ới ta khảo sát nghim ca (3-4) bng phng phỏp a-lm-be

Đa vào biÕn sè míi: = at - x; = at + x

sóng (3-4) nh− ph−ơng pháp Đa-lăm-be, ph−ơng pháp họa đồ giải tích, ph−ơng pháp

ξ η

=> x =

( η - ξ); t = a

1

(η - ξ)

Khi hàm dịch chuyển U(x,t) qua biến số U(ξ,η)

áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta có:

⎪⎩∂ = ∂ξ2 +2∂ξ∂η+∂η2

x

⎪ ⎪⎪ ⎨

∂ ∂

∂ ∂

η + = η + =

∂

2

2

x

⎧ ∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂

∂ ξ ∂ ∂ ∂ ∂ ξ

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨

⎧∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η ⎛ ∂ ∂ ⎞

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

η ∂

∂ + η ∂ ξ ∂

∂ − ξ ∂

∂ = ∂

∂

⎟⎟ ⎠ ⎜⎜

⎝∂ξ−∂η =

∂ η ∂ + ∂ ξ ∂ = ∂

2 2

2 2 2

2 a

t

a t t

t

Từ (3-4) trở thành:

2

2 =

η ∂ ξ ∂

∂ U

a Hay ⎟⎟=0

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

ξ ∂ ∂ η ∂

∂ U

ξ ∂ ∂U

kh«ng phơ thc vµo η vµ chØ lµ hµm cđa ξ, ký hiƯu

ξ ∂ ∂U

Râ rµng = Q(ξ) Ta cã:

tục đặt: ta có: U = ϕ(ξ) + ψ(η)

= ϕ(at - x) + ψ(at + x) (3-58) BiĨu thøc (3-58) lµ NTQ phơng trình (3-4) Nó gồm hai số hạng:

a) Số hạng đầu: ϕ(at - x) sóng dịch chuyển truyền dọc theo h−ớng trục Ox với vận tốc truyền sóng a khơng đổi Thật vậy, x = at + c ϕ = const Nh− thời đ ịch chuyển ϕ thời điểm t = t2 dịch chuyển tiết diện x = x với x = x + a(t – t )

b) Sè h¹ng thø hai: ψ(at + x), với cách lý giải tơng tự sãng dÞch chun däc

ện biên xác định, ta tìm đ−ợc nghiệm cụ thể ph−ơng trình (3-4)

h đàn hồi tự va chạm vật rắn vào đàn hồi đầu bị gắn chặt (ngàm)

∫ ξ ξ+ψ η

= Q( )d ( )

U

∫Q(ξ)dξ=ϕ(ξ) TiÕp

Khi chuyển qua biến mới, ta đợc:

U

iĨm t = t1, t¹i tiÕt diƯn x = x1 tån t¹i d

2 2

theo hớng ngợc lại với vận tốc truyÒn sãng a

Kết luận: Chuyển động khảo sát nh− kết tổng hợp hai sóng biến dạng dọc h−ớng ng−ợc với vận tốc truyền sóng a

Khi cho điều kiện đầu điều ki

Ch−¬ng IV

Va chạm dọc vật rắn vμo đμn hồi vμ áp dụng lý thuyết va chạm vμo bμi tốn đóng cọc

Nội dung chơng trình bày:

Mt vài toán va chạm dọc vật rắn vào đàn hồi ứng dụng chúng để nghiên cứu toán va chạm búa vo cc.

Đ.4.1 Một vi bi toán va chạm dọc vật rắn vo đn hồi.

4.1.1 Va chạm dọc vật rắn vào đàn hồi tự

Bài toán đ−ợc Xanhvơnăng giải ph−ơng pháp Butxinet nghiệm tìm đ−ợc d−ới dạng hàm liên tục khúc vài khoảng giá trị biến số Sau E.A.Nhicơlai tìm đ−ợc biểu thức giải tích nghiệm khoảng tuỳ ý liên tục biến số

x V0 O

H×nh 4-1

Ph−ơng trình vi phân chuyển động là:

2

2 2

x U a t

U

∂ ∂ =

(4-1) Xét điều kiện đầu điều kiện biên toán

Gi s thời điểm t = trùng với thời điểm bắt đầu va chạm vật rắn thanh, ta có điều kiện ban đầu sau:

U(0,t) = 0; =0 víi a < x < L

•

) t , (

Ut (4-2)

Ut(0,t)=−V0 víi x = L (4-3)

•

Trong đó: L chiều dài thanh; V0 vận tốc ban đầu vật thể va chạm Điều kiện cuối ta coi thời điểm ban đầu vận tốc đầu trùng với vận tốc vật va chạm

ë t¹i đầu tự (x = L) Lực quán tÝnh cđa vËt thĨ va ch¹m cã d¹ng:

2

2

t U g Q x U EF

∂ ∂ − = ∂ ∂

Trong đó: Q - trọng l−ợng vật thể va chạm; F - diện tích tiết diện ngang

Ta ký hiệu tỷ số trọng l−ợng vật thể va chạm Q trọng l−ợng Q1 = γFL qua m, ú Q = mQ1

Hệ thức đợc viết:

x ) L , t ( U a t

) L , t ( U mL

∂ ∂ − = ∂

∂

2

(4-5) Điều kiện biên đầu tù cđa cã d¹ng:

=0

∂ ∂

x ) , t ( U

(4-6) Nghiệm (4-1) theo Đa-lăm-be cã d¹ng:

U = ϕ(at – x) + ψ(at + x) (4-7) Khi đạo hàm hệ thức theo thời gian toạ độ ta có:

t U ∂ ∂

= a[ϕ′(at – x) + ψ′(at + x)] (a)

x U ∂ ∂

= – ϕ′(at – x) + ψ′(at + x) (b) Víi x = theo điều kiện biên ta có:

(at) (at)

x ) , t ( U

= ψ′ + ϕ′ − = ∂ ∂

(c)

Hay: ϕ′(at)=ψ′(at)

Do đó: ϕ′(at−x)=ψ′(at−x)

Khi tích phân đẳng thức ta có: ϕ(at – x) = ψ(at – x) Đẳng thức (4-7) viết:

U = ψ(at – x) + ψ(at + x) Víi t = ta sÏ cã: = [ψ′ − +ψ′ ]=0

∂ ∂

) x ( ) x ( a t

) x , ( U

Hay là: ψ′(−x)+ψ′(x)=0 (d) Mặt khác từ đẳng thức (b) ta có:

−ψ′(−x)+ψ′(x)=0

Suy ψ′(−x)=0, víi < x < L, hay nãi c¸ch kh¸c nÕu thay biÕn sè x b»ng biÕn sè míi z ta cã:

0 ) x

( =

ψ′

Tích phân hệ thức (d) loại bỏ số ta có: (x) (x) = Theo điều kiện đầu:

U( 0,x) = ψ(–x) + ψ(x) = Từ suy ra: ψ(−x)=ψ(x)=0 với < x < L

Do đó: ψ(z)=0 Với: – L < z < L (e) Khi sử dụng điều kiện (4-6) ta có:

mLa2[ψ′(at−L)+ψ′(at+L)]=−a2[−ψ′(at−L)+ψ′(at+L)]

Để đơn giản ta đặt z = at + L, ph−ơng trình đ−ợc viết:

(z L)

mL ) L z ( )

z ( mL ) z

( + ψ′ =−ψ ′′ −2 + ψ′ −2

ψ ′′ (4-8)

Nghiệm tổng quát phơng trình có dạng:

∫

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡−ψ ′′ − + ψ′ − +

=

ψ′ − − (z L) dz

mL ) L z ( e

e Ce

) z

( mL

z mL

z mL

z

2

2 (4-9) Víi L < z < 3L

Nhờ điều kiện ban đầu ta cã:

mL

L z

e a V ) z (

− −

− = ψ′

TÝch ph©n ta cã:

0

C e

a mLV )

z

( mL

L z

+ =

ψ

− −

Dựa vào tính liên tục hàm U (t, L) điều kiện ban đầu ta có: U (t0, L) = ψ(L + 0) = đó:

a mLV C1 =−

VËy: ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− −

=

ψ −mL−

L z e a

mLV )

z

(

Hay lµ: ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− −

= + ψ

= −mL−

L z e a

mLV )

x at (

U

Víi 3L < z < 5L, lý giải tơng tự nh ta có:

mL

L z

mL z

e ) L z ( maL

V Ce

) z (

− − −

− −

=

Dựa vào tính liên tục vận tốc x = L, xác định đ−ợc số C:

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− −

= em em a

V C

3

Do đó: mL

L z mL

L z

e ) L z ( mL a

V e

a V ) z (

3

0

3

1

− − −

−

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − −

+ −

=

ψ′

Tại tiết diện (x = L) biến dạng t−ơng đối là: (at L) (at L) x

U

+ ψ′ + − ψ′ − = ∂ ∂

Khi at < 2L ta cã: =− <0

∂

∂ −

mL at e a V x U

NghÜa với at < 2L vật thể va chạm tiếp xúc với Nếu at > 2L ta cã:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − −

+ −

= ∂

∂ mL

L at mL

at mL

L at

e ) L at ( mL a

V e

a V e

a V x

U 0

2

2

1

Khi thay at = 2L + ta cã:

2

2

0 >

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− =

+ ψ′ + − ψ′ − = ∂

+

∂ −

m e a

V ) L at ( ) L at ( x

) t , L ( U

Điều có nghĩa thời điểm a

L

t= t¸ch rời khỏi vật, tợng va chạm

kết thúc víi a

L t =

4.1.2 Va chạm vật rắn vào đàn hồi đầu bị gắn chặt

Bài toán đ−ợc số tác giả quan tâm nh−: S.P.Timôsenkô; N.A.Kintrepski; E.A Nhikôlai; V.L.Biderman

x V0 O

H×nh 4-2

Ph−ơng trình vi phân chuyển động là:

2

2 2

x U a t

U

∂ ∂ = ∂ ∂

Điều kiện đầu toán:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

= −

= ∂ ∂

< < =

∂ ∂ =

L x víi V t

) , x ( U

L x víi t

) , x ( U ; ) , x ( U

0

0

0 0

0

Điều kiện biên toán:

ở đầu gắn chặt U(0,t) =

Lực quán tính vật tác dụng lên đầu tù cho nªn víi x = L ta cã:

L x L

x t

U g Q x

U EF

= = ⎟⎟⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ − = ∂ ∂

2

(4-4)

Tơng tự dùng ký hiệu 4.1.1, điều kiện biên đầu tự có dạng:

x ) L , t ( U a t

) L , t ( U mL

∂ ∂ − = ∂

∂

2

(4-5)

NghiƯm tỉng qu¸t cđa phơng trình (4-1) có dạng:

U = (at – x) + ψ(at + x) (4-7) Sử dụng điều kiện đầu điều kiện biên ta xác định hàm ϕ ψ

Từ điều kiện đầu (x = 0) gắn chặt ta có: ϕ(at) + ψ(at) = Do đó: ψ(at +x) = – ϕ(at + x )

Vậy: U (x,t) = ϕ(at – x) – ϕ(at + x) (4-10) Bây sở, điều kiện đầu điều kiện đầu tự ta tìm đ−ợc dạng giải tích hàm ϕ xác định dạng súng

Từ điều kiện đầu ta có:

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

< < =

+ ϕ′ − − ϕ′ = ∂ ∂

< < =

+ ϕ′ − − ϕ′ − = ∂ ∂

< < =

+ ϕ − − ϕ =

= = =

) L x ( ) x ( a ) x ( a t

U

) L x ( )

x ( ) x ( x

U

) L x ( )

x ( ) x ( )

x ( U

t t

o t

0

0

0

0

(4-11)

Từ hai đẳng thức cuối ta có:

ϕ′(z)=0 ( -L < z < L) (4-12) Do đoạn (– L; L) ϕ(z) = const

Với điều hệ thức (4-11) thoả mãn, ta lấy số không Bây xét điều kiện (4-5), sau thay (4-10) vào điều kiện ta có: mL[ϕ ′′(at−L)−ϕ ′′(at+L)] [= ϕ′(at−L)+ϕ′(at+L)] Đặt (at + L) = z

Phơng trình ®−ỵc viÕt:

(z L)

mL ) L z ( ) z ( mL ) z

( + ϕ′ =ϕ ′′ −2 − ϕ′ −2

(4-13)

Các phơng trình (4-12), (4-13) cho phép xây dựng hàm cha biết (z) đợc liên hệ với giá trị chúng hai khoảng liên tiếp

Nu cỏc giỏ tr ca trờn khoảng (2n-1)L < z < (2n+1)L đ−ợc biết giá trị hàm số đ−ợc xác định khoảng (2n+1)L < z < (2n+3)L

) z (

Thực tế hàm đợc biết khoảng 2(n-1)L < z < 2nL vế phải phơng trình đợc biết khoảng 2nL < z < 2(n+1)L

) z ( ϕ TÝch ph©n (4-13) ta cã:

∫

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ϕ ′′ − − ϕ′ − +

=

ϕ − − (z L) dz

mL ) L z ( e

e e

C ) z

( mL

z mL

z mL

z

n

1

2 (4-14)

Trong đó: Cn - số tích phân,

Bây ta xây dựng hàm chuyển từ tích phân đến tích phân sau Điều kiện (4-12) xác định khoảng (-L; L)

) z ( ϕ ) z ( ϕ

NÕu sư dơng (4-14) ta tìm đợc )(z khoảng (L; 3L) Trong khoảng vế phải (4-13) không

Từ đẳng thức (4-14) ta có:

mL

z e C ) z

( = −

ϕ′ (L < z < 3L)

Để xác định số C1 ta sử dụng điều kiện (4-3) ta có: a[ϕ′(−L+0)−ϕ′(L+0)]=V0

Trên sở cơng thức (4-12) số hạng thứ ngoặc khơng, từ ta có:

C e m

a V ) L (

1

0 = = −

+

Do đó: mL L z

e a V ) z (

− −

=

ϕ′ (L < z < 3L) (4-16)

Bây xác định hàm ϕ′(z) khong (3L, 5L)

ở mL

L z

e a V ) L z (

− −

= −

ϕ′ , thay vào phơng trình (4-13) ta có:

mL

L z e a V mL )

z ( mL ) z (

3

2

1 − −

⋅ ⋅ − = +

Nghiệm tổng quát phơng trình có dạng:

mL

L z mL

z

e ) L z ( a V mL e

C ) z (

3

2

2 − −

−

− −

=

ϕ′ (3L < z < 5L) (4-17)

Hằng số C2 đ−ợc xác định từ điều kiện liên tục vận tốc đầu (x = L) thời gian va chạm Nh− tìm đ−ợc số Cn với cách làm tiếp tục sau hàm , ta nhận đ−ợc dạng tổng quát điều kiện liên tục vận tốc đầu tự

) z ( ϕ

L x t U ∂ ∂

=

Các điều kiện cho phép xác định số Cn

Trªn sở công thức (4-10) ta có:

(at L) (at L)

t U a

L x

+ ϕ′ − − ϕ′ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂

=

(4-18)

Thay: = −0 a nL

t vµo (4-18) ta cã:

[2 0] [

0

− + ϕ′ − − − ϕ′ = ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂

− =

= ( n )L ( n )L

t U a

a nL t

L

x ] (4-19)

Thay: = +0 a nL

t vµo (4-18) ta cã:

[(2n 1)L 0] [(2n 1)L 0] t

U a

0 a nL t

L

x =ϕ′ − + −ϕ′ + +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂

+ =

= (4-20)

Dựa vào tính chất liên tục vận tốc đầu tự có đẳng thức sau: ϕ′[(2n−1)L−0]−ϕ′[(2n+1)L−0]=ϕ′[(2n−1)L+0]−ϕ′[(2n+1)L+0] Suy ra:

] L ) n [( ] L ) n [( ] L ) n [( ] L ) n

[(2 −1 +0 −ϕ′ +1 −0 =ϕ′ −1 +0 −ϕ′ +1 −0

Đẳng thức (4-21) xác định tính chất hàm số ϕ′(z), ϕ′(z) liên tục gián đoạn loại với z =(2n-1)L, b−ớc nhảy có giá trị giống

Ta chứng minh gián đoạn liên tục thực tế tồn tìm đợc giá trị chung bớc nhẩy (z) với z =(2n 1)L

Khi quay lại kết (4-15) xuất phát từ điều kiện đầu (4-3) ta có: a V ) L ( 0 = +

ϕ′ (4-22)

Mặt khác từ (4-12) ta có: (L0)=0 (4-22a) Bây ta có khả tìm giá trị chung bớc nhẩy hàm (z)với z = (2n-1)L

[ ] [ ] a V L ) n ( L ) n ( ) L ( ) L ( 0 2

0 −ϕ′ − =ϕ′ − + −ϕ′ − − =

+

ϕ′ (4-23)

Điều kiện (4-5) cho phép xác định liên tiếp số Cn đẳng thức (4-14)

Sau thay z = 3L − vào đẳng thức (4-16) z = 3L + vào đẳng thức (4-17) dùng điều kiện (4-23) ta có:

m e m

a V a V e C 0 − − + = Rót ra: ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = em em

a V C

Thay vào đẳng thức (4-17) ta có:

mL L z mL L z e ) L z ( mL a V e a V ) z ( 0 − − − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − + =

ϕ′ (4-24)

Sau xác định khoảng (3L; 5L) sử dụng đẳng thức (4-5) (4-23) ta tìm đ−ợc hàm khoảng (5L; 7L) Đối với điều kiện ta xác định đ−ợc biểu thức d−ới dấu vi phân đẳng thức (4-14):

) z ( ϕ′ ) z ( ϕ′ mL L z mL L z mL L z e ) L z ( a L m V e e mLa V ) L z ( mL ) L z ( 2 5 2 2 − − − − − − − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − ϕ′ − − ϕ ′′

Khi dïng (4-14) ta cã:

mL L z mL L z mL L z mL z e ) L z ( a L m V e e ) L z ( mLa V e C ) z ( 2 3 2 − − − − − − − − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − =

ϕ′ (4-25)

Víi 5L < z < 7L

Khi thay z = 5L - vµo biĨu thøc (4-24) vµ z = 5L + vµo (4-25) ta cã:

a V e

m a

V e

a V e

C m m m

2

4

4

1 ⎟ =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

− − −

−

Từ suy ra:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +

= m em e−m m

e a V C

5

0

4

B©y giê ta có đợc biểu thức (z) khoảng (5L; 7L)

mL L z mL

L z mL

L z

e ) L z ( L m ) L z ( mL a

V

e ) L z ( mL a

V e

a V ) z (

5 2

2

3

0

5

5

1

3

1

− − − − −

−

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − − + −

+

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − −

+ =

ϕ′

(4-26)

Ta xác định ϕ′(z), từ (4-12) rút ra:

ϕ(z)=C1 (-L < z < L)

Ta đặt: ϕ(z)=0 (-L < z < L) (4-27) Trên sở định lý tổng quát va chạm vật rắn kết luận: Dịch chuyển đầu tự Ux = L cần hàm số liên tục thời gian Ta có:

Ux=L =(atL)(at+L)=(z2L)(z) (4-28) Tiếp tục ta tìm đợc:

U ( L ) (L )

t L

x 0

0 =ϕ − + −ϕ +

+ ==

Thỏa mãn đẳng thức: U (L ) t L

x

0 =−ϕ +

+ ==

Khi chó ý điều kiện liên tục Ux=L điều kiện đầu (4-2) ta cã:

ϕ(L+0)=0

Bây ta đặt: = −0 a

L

t ,

U (L ) ( L ) ( L )

a L t

L

x 0 3 0 3 0

0

2 =ϕ − −ϕ − =−ϕ −

− =

= (4-29)

Nh− ý đến biểu biểu thức (4-27):

U (L ) ( L ) ( L )

a L t

L

x 0 3 0 3 0

0

2 + =ϕ + −ϕ + =−ϕ +

= =

Từ điều kiện liên tục rút ra: ϕ(3L – 0) = ϕ(3L + 0) (4-30) Rõ ràng có đ−ợc giá trị t =2 ±0

a nL

Ta giới hạn phụ thuộc tìm đ−ợc (4-27) – (4-30) để xác định ϕ(z) khoảng (L; 3L) (3L; 5L)

Việc xác định ϕ(z) khoảng đ−ợc thực t−ơng tự nh− xác định ϕ(z) hai khoảng Trên sở cơng thức (4-16) (4-24) ta có:

mL

L z e a mLV C

) z (

− −

− =

ϕ

2 L < z < 3L (4-31)

mL

L z mL

L z mL

L z

e ) L z ( a V e

a mLV e

a mLV C

) z (

3

3 0

3

2 − −

− − −

−

− +

+ −

=

ϕ (4-32)

Víi 3L < z < 5L Tõ ®iỊu kiƯn (4-27) vµ (4-31) ta cã

a mLV

C

2 = , từ điều kiện (4-30); (4-32) ta cã:

a mLV e

a mLV C

e a mLV

C m m

2

2

2− = − +

− −

Từ suy C3 =

Nh− vËy: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− =

ϕ −mL−

L z e a

mLV )

z

(

L < z < 3L (4-33)

mL L z mL

L z mL

L z

e ) L z ( a V e

a mLV e

a mLV )

z (

3

3 0

3

2 − −

− − −

−

− +

+ −

=

ϕ (4-34)

Víi 3L < z < 5L

T−ơng tự với đẳng thức (4-33) (4-34) ta có:

mL L z

mL L z mL

L z

e ) L z ( L m a

mLV

e ) L z ( mL a

mLV e

a mLV )

z (

5 2

2

3

0

5

1

3

1

− −

− − −

−

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ + −

−

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ + − +

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− =

ϕ

(4-35)

Víi 5L < z < 7L

Nếu xét cấu trúc hàm ϕ(z) khoảng khác nhau, ta nhận xét: Sự chuyển từ khoảng đến khoảng tiếp sau kèm theo xuất thành phần hàm số t−ơng ứng hàm số ϕ(z) số hạng với bảo tồn số hạng tr−ớc Việc nghiên cứu chi tiết cho phép E.A.Nhicôlai xây dựng đ−ợc biểu thức giải tích hàm số thuận tiện khoảng tùy ý thay đổi biến số hàm số

) z ( ϕ′ )

z ( ϕ′

) z ( ϕ′

NÕu

a L t< <

0 ϕ(at - x) = thoả mãn (4-26) tr−ờng hợp U = - ϕ(at + x) Đó dịch chuyển sóng dọc theo h−ớng âm trục Ox Biểu thức giải tích dịch chuyển có đ−ợc sở công thức (4-34) sau đặt z = at + x

Khi a L

t= sóng đến đầu gắn chặt xuất sóng phản xạ chạy theo chiều d−ơng trục Ox

Nh− vËy tån t¹i hai sãng: Sãng ϕ(at - x) dịch chuyển theo chiều dơng trục Ox sóng (at + x) dịch chuyển theo chiều âm trôc Ox

Khi

a L t a

L

<

< tìm đợc dạng sóng từ biểu thức (4-33) sau thay z = at - x vµ z = at + x

Cũng phơng pháp nh nghiên cứu đợc dịch chuyển, biến dạng ứng suất khoảng sau

Cỏc h thc ó nhn đ−ợc có ý nghĩa thời gian chạm vật rắn Sự kết thúc va chạm đ−ợc xác định thời điểm τ, thời điểm

x U ∂ ∂

h−ớng đến khơng sau đổi dấu áp lực vật thể va chạm cần đ−ợc giữ h−ớng theo h−ớng pháp tuyến mặt tiếp xúc vật thể va chạm

ở tr−ờng hợp đ−ợc nghiên cứu h−ớng pháp tuyến mặt tiếp xúc vật thể va chạm với x = L trùng với h−ớng âm trục Ox Cho nên thời gian tiếp xúc với vật thể va chạm áp lực thiết diện ngang đầu x = L cần phải âm

Từ đẳng thức (4-10) ta có:

(at L) (at L)

x U

L x

+ ϕ′ − − ϕ′ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂

=

(4-36)

NÕu:

a L t

0< < , sở biểu thức (4-12) (atL)=0 đợc xác

nh bng (4-16) v nhn giỏ tr d−ơng Với điều

) L at ( + ϕ′

L x

x U

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂

âm Nh thời gian va

chạm a

L

>

τ

Ta xÐt kho¶ng thêi gian sau:

a L t a

L

2

<

Khi tính số hạng đầu −ϕ′(at−L) cần đặt z=at–L, tính số hạng thứ hai −ϕ′(at+L) cần đặt z=at+L Khi ta có:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

− +

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂

∂ −

= mL

L at e

e a V x

U mLat m

L x

2

2

2

(4-37)

Víi (2L < at < 4L)

Khi so sánh vế phải đẳng thức (4-37) với không ta có:

e m

m mL

at

2

2 −

+ +

= (4-38)

Dựa së cña

a L t a

L

2 < <

ta cã:

m e

m m

m

2

4 < + + −2 <

Bất đẳng thức bên trái luôn đ−ợc thực Bất đẳng thức bên phải cho: e m

m

2

2

4 −

=

> (4-39)

Theo tính tốn Xanhvơnăng bất đẳng thức có khả xảy với điều kiện: m ≤ 1,73

Nếu m < 1,73 va chạm kết thúc thời điểm thoả mãn bất đẳng thức

a L t a

L

2

< < Thời điểm đ−ợc xác định từ ph−ơng trình:

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ +

= m me−m a

L t

2

2

2 (4- 40)

NÕu m > 1,73 th× phơng pháp nh xét khoảng ⎞ ⎜

⎝ ⎛

a L , a

L

v.v… Chúng ta dẫn đến kết tính tốn Xanhvơnăng:

Giả sử τ – khoảng thời gian va chạm, đó:

(4-41)

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

< < <

τ <

< < <

τ <

< <

τ <

; 35 , m 1511 , ,

L a L

1511 , m 7283 , ,

L a L

7283 , m ,

L a L

nÕu nÕu nÕu

Đ4.2 Một vi bi toán va ch¹m cđa bóa vμo cäc

4.2.1 Va ch¹m cđa bóa vµo cäc tù

Sơ đồ toán

x

t

P(t)

0 2L/a 4L/a

1

2

3

4

L

L/a 3L/a 5L/a

H×nh 4-3

4.2.1.1 Thiết lập toán

1 Phng trỡnh chuyển động cọc (4-1)

2

2 2

x U a t

U

∂ ∂ = ∂ ∂ Trong đó: U dịch chuyển cọc

p E

a= lµ vËn tèc trun sãng cäc

E, ρ Môđun đàn hồi khối l−ợng riêng cọc 2 Nghiệm tổng quát (4-1) theo Đa-lăm-be có dạng (4-7)

U(x,t)=ϕ(at−x)+ψ(at+x) 3 Điều kiện đầu toán

Ta chän thêi ®iĨm t = trïng víi thêi ®iĨm bắt đầu va chạm (4-2) Với t = th× U = 0; =0

∂ ∂

t U

4 Điều kiện biên toán (4-4)

Tại đầu cọc x = th×:

F E

) t ( P x U

− = ∂ ∂

Tại đáy cọc x = L thì: =0

∂ ∂ x U

(4-6a) 4.2.1.2 Thiết lập ph−ơng trình vi phân xác định lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc

Ta gọi lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc P(t): )

U U ( C ) t (

P = T − 0 ⎟ (4-42) ⎠

⎞ ⎜

⎝ ⎛ − = •• ••

• •

0

U U C ) t (

P T

Trong đó: C: Độ cứng đệm đầu cọc UT: Dịch chuyển búa U0: Dịch chuyển đầu cọc

Ph−ơng trình chuyển động đầu búa là: MUT =−P(t)

• •

Hay:

M ) t ( P UT =−

• •

(a) Trong M: Khối l−ợng búa

DÞch chuyển đầu cọc là: U0 =(at)+(at)

Vậy: UT =a [ϕ′′(at)+ψ ′′(at)] (b)

• •

2

Tõ (4-4a) vµ (4-7) ta cã:

EF ) t ( P ) at ( ) at ( x

U =−ϕ′ +ψ′ =− ∂

∂

Hay:

EF ) t ( P ) at ( ) at

( =ψ′ + ϕ′

Suy ra:

EFa ) t ( P ) at ( ) at (

•

+ ψ ′′ =

ϕ′′ (c)

Thay (a) vµ (c) vµo (4-42) ta cã:

) at ( Ca )

t ( P M

C ) t ( P EF Ca ) t (

P + + =− ψ ′′

• •

•

2

2 (4-43)

Đặt: 12 n2

M C ; n EF Ca

+ ω = =

Trong đó:

2

1

2 ⎟⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ω

EF

a C M

C

P(t)+ nP(t)+(ω + n )P(t)=− Ca ψ ′′(at) (4-44)

• •

•

2

2

1 2

2

Ph−ơng trình (4-44) ph−ơng trình vi phân xác định lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc

4.2.1.3 Xác định lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc khoảng thời gian )

a L t a

L ( ); a

L t

(0 2 hàm sóng (atx); (at+x)

(Dới ta xét trờng hợp 12 >0, trờng hợp 12 <0 lý luận tơng tự) 1 Xét khoảng thời gian )

a L t (0≤ ≤2

Gọi lực nén đệm lên đầu cọc khoảng P0(t)

a L t

0≤ ≤

Trong khoảng thời gian này, theo sơ đồ tốn sóng phản ch−a xuất nên vế phải (4-44) khơng

Ta có ph−ơng trình vi phân xác định P0(t):

(4-45)

2 12 0

0 + + ω + =

• •

•

) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t ( P

Nghiệm tổng quát phơng trình (4-45) có d¹ng: P0(t)=e−nt(C1cosω1t+C2sinω1t)

Hằng số C1 C2 đ−ợc xác định dựa vào điều kiện đầu P0(t) , t =

) t ( P0

•

0

0( )=

P v P ( )=CV

•

0

0

Trong đó: V vận tốc rơi búa đ−ợc xác định theo công thức:V= 2gH H độ cao rơi búa; g gia tốc trọng tr−ờng

Do ta có:

1

1 =0 = ω

V C C ; C

P (t) C e ntsin t C.Ve ntsin 1t

1

0 = ω = ω ω

− −

(4-46)

Tõ (4-4a) vµ (4-7) ta cã:

EF ) t ( P ) at ( ) at ( x

U =−ϕ′ +ψ′ =−

∂ ∂

Trong khoảng thời gian ch−a xuất sóng phản nên ψ′(at)=0, đó:

EF ) t ( P ) at ( =

VËy sãng thuËn ë miÒn 1, cäc cã d¹ng: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − ϕ′ a x t P EF ) x at

( 0 (4-47)

Xác định sóng phản đáy cọc (x = L) ta sử dụng điều kiện biên (4-6a) (4-7) ta có: =−ϕ′ − +ψ′ + =0

∂ ∂ ) L at ( ) L at ( x U

Suy ra: )

a L t ( P EF ) L at ( ) L at ( + =ϕ′ − = −

ψ′ 0

VËy sãng ph¶n ë miỊn 2, cäc cã d¹ng:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = + ψ′ a L x t P EF ) x at

( 0 (4-48)

2 XÐt kho¶ng thêi gian ) a

L t a

L

(2 ≤ ≤

Gọi P1(t) lực nén đệm lên đầu cọc khoảng thời gian

Tõ (4-48) đầu cọc (x = 0) ta có:

a L t P EFa ) at ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

ψ ′′ •0

Tõ (4-46) ta cã: P0(t)=e nt(−nC2sinω1t+C2ω1cosω1t)

− •

Suy ra: ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − • a L t cos C a L t sin nC e a L t P a L t

n 2 2

2 1 2

Vậy phơng trình (4-44) có dạng:

⎢⎣ ⎡ ω − + ω − = + ω + + ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − • • • ) a L t ( sin B ) a L t ( cos A e ) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t ( P a L t

n 2 2

2 1

2 2 1

1 (4-49)

Trong đó: C n

EF Ca B ; C EF Ca

A 2

2 = ω − =

Nghiệm tổng quát (4-49) có dạng:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ω − − ω − ω + ω + ω = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ) a L t ( cos B ) a L t ( sin A t t sin C t cos C e ) t ( P a L t

n 2 2

2 1

1

1 (4-50)

Tõ (4-50) ta cã: 1 2 ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a B L a L sin C a L cos C a L

P (d)

Tõ (4-46) ta cã: ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − a L sin e C a L P a L n 2 2

0 (e)

Tõ (e) ta cã: ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − • a L cos C a L sin nC e a L P a L

n 2 2

2 1 2

0 (g)

Tõ (4-50) ta cã:

a L A B a L cos C a L sin C a B L a L sin C a L cos C n a L P + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω ω − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • 1 1 1 2 2 2 (h)

Từ (d), (e) , (g), (h) ta có: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω β + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω α = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω β − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω α = a L cos a L sin C a L sin a L cos C 2 2 1 1 Trong đó: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω = β ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω = α • a AL B a L nP a L P a L P a LB 0 1 2 2

Thay C3 C4 vào (4-50) ta xác định đ−ợc lực nén P1(t) Từ điều kiện biên (4-4a) (4-50) ta có:

EF ) t ( P ) at ( ) at ( x U 1 − = ψ′ + ϕ′ − = ∂ ∂

Trong kho¶ng thêi gian

a L t a

L

2 ≤ ≤

sóng phản (at) có dạng:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ψ′ a L t P EF ) at

( 0

Do đó: ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ψ′ =

ϕ′ P(t)

a L t P EF ) t ( P EF ) at ( ) at

( 1

2

1

VËy sãng thuËn ë miÒn cäc cã d¹ng:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = − ϕ′ a x t P a L x t P EF ) x at

(

3

2

4.2.1.4 Xác địmh ứng suất cọc miền 1,

Theo định luật Hooke ta có cơng thức xác định ứng suất nh− sau:

x U E

∂ ∂ = σ

Trong đó: σ ứng suất cọc; E môđun đàn hồi vật liệu làm cọc Từ (4-47) ta có ứng suất cọc miền là:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

= σ

a x t P F

1

1

Tõ (4-47) vµ (4-48) ta cã øng suÊt cäc ë miỊn lµ: ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + − −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

= σ

a L x t P a x t P F

2

0

2

Tõ (4-48) vµ (4-51) ta cã øng st cäc ë miỊn lµ:

⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + − +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − + −

= σ

a L x t P a x t P a

L x t P F

2

1

0

0

Nh©n xÐt:

Trong thực tế mơ hình tốn cọc đóng đất yếu Sau tính tốn ta có số nhận xét sau:

- Khi đóng cọc, miền cọc ch−a suất sóng phản, ứng suất cọc miền chịu ứng suất nén giảm dần từ đầu cọc (x = 0) đến đáy cọc (x = L), nên cọc bị vỡ xảy đầu cọc (x = 0)

- Tại miền cọc suất sóng phản đáy cọc (x = L), nên ứng suất hai miền có xuất ứng suất kéo

4.2.2 Va chạm búa vào cọc tựa cứng Sơ đồ toán

L

x L/a 3L/a 5L/a

4

3

P(t)

t

2L/a 4L/a

0

H×nh 4-4

4.2.2.1 Ph−ơng trình vi phân chuyển động cọc nghiệm tổng quát tốn

1 Ph−ơng trình chuyển động cọc: 2

2 2

x U a t

U

∂ ∂ = ∂ ∂

(4-1) Trong đó: U - dịch chuyển cọc

ρ = E

a lµ vËn tèc trun cña sãng cäc

E, ρ Môđun đàn hồi khối l−ợng riêng cọc 2 Nghiệm tổng quát (4-1) theo Đa-lăm-be có dạng:

) x at ( ) x at ( ) t , x (

U =ϕ − +ψ + (4-7)

3 Điều kiện đầu toán:

Ta chän thêi ®iĨm t = trïng với thời điểm bắt đầu va chạm Với t = th× U=0 ; =0

∂ ∂

t U

(4-2) 4 Điều kiện biên toán:

Tại đầu cọc x = th×:

F E

) t ( P x U =− ∂ ∂

Tại đáy cọc x = L thì: =0

∂ ∂

t U

(4-6b) 4.2.2.2 Thiết lập ph−ơng trình vi phân xác định lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc Ta gọi lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc P(t)

P(t)=C(UT −U0), ⎟ (4-42) ⎠

⎞ ⎜

⎝ ⎛ − = •• ••

• •

0

U U ) t (

P T

Trong đó: C: Độ cứng đệm đầu cọc UT : Dịch chuyển đầu búa U0 : Dịch chuển đầu cọc

Ph−ơng trình chuyển động đầu búa là: MUT =−P(t)

• •

Hay: M

) t ( P UT =−

• •

(a)

Trong đó: M: Khối l−ợng búa

DÞch chun đầu cọc là: U0 =(at)+(at)

Vậy: U =a [ϕ ′′(at)+ψ ′′(at)] (b)

• •

2

Tõ (4-4a) vµ (4-7) ta cã:

EF ) t ( P ) at ( ) at ( x

U

− = ψ′ + ϕ′ − = ∂ ∂ Hay:

EF ) t ( P ) at ( ) at

( =ψ′ + ϕ′

Suy ra:

EFa ) t ( P ) at ( ) at (

•

+ ψ ′′ =

ϕ ′′ (c)

Thay (a), (b) vµ (c) vµo (4-42) ta cã:

) at ( Ca )

t ( P M

C ) t ( P EF Ca ) t (

P + + =− ψ ′′

• •

•

2

2 (4-43)

Đặt: 2

1 n

M C ; n EF Ca

+ ω = =

Trong đó:

2

1

EF

a C M

C

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

Vậy (4-43) viết lại là:

P(t)+2nP(t)+(ω12 +n2)P(t)=−2Ca2ψ ′′(at) (4-44)

• •

Ph−ơng trình (4-44) ph−ơng trình vi phân xác định lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc

4.2.2.3 Xác định lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc khoảng thời gian )

a L t a

L ( ); a

L t

(0≤ ≤2 và hàm sóng (atx); (at+x)

(Dới ta xét trờng hợp 12 >0, trờng hợp lý luận tơng tự),

2 <

ω

1 XÐt kho¶ng thêi gian ) a

L t (0≤ ≤2

Gọi lực nén đệm lên đầu cọc khoảng P0(t)

Trong khoảng thời gian này, theo sơ đồ tốn sóng phản ch−a xuất nên vế phải (4-44) khơng

Ta có ph−ơng trình vi phân xác định P0(t):

0

2 12 0

0 + + ω + =

• •

•

) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t (

P (4-45)

NghiƯm tỉng qu¸t phơng trình (4-45) có dạng: P0(t)=e nt(C1cos1t+C2sin1t)

−

Các số C1 C2 đ−ợc xác định dựa vào điều kiện đầu P0(t)và P0(t)

ã

Với t = P0(0)=0 P ( )=CV

ã

0

0

Trong đó: V vận tốc rơi búa đ−ợc xác định theo công thức: V= 2gH H độ cao rơi búa; g gia tốc trọng tr−ờng

Từ ta có:

1

1

ω = = ; C C.V C

VËy: P (t) C e ntsin t CVe ntsin 1t

1

0 ω

ω = ω

= − −

(4-46)

Tõ (4-4a) vµ (4-7) ta cã:

EF ) t ( P ) at ( ) at ( x

U =−ϕ′ +ψ′ =−

∂ ∂

Trong khoảng thời gian ch−a xuất sóng phản nên ψ′(at)=0, đó:

EF ) t ( P ) at ( =

ϕ′

) a x t ( P EF ) x at ( − = −

ϕ′ 0 (4-47)

Để xác định sóng phản đáy cọc (x = L) ta sử dụng điều kiện biên (4-6b) Từ (4-7) (4-6b) ta có:

= ϕ′ − +ψ′ + =0

∂ ∂ )] L at ( ) L at ( [ a t U

Suy ra: ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − ϕ′ − = + ψ′ a L t P EF ) L at ( ) L at

( 0

VËy sóng phản miền 2, cọc có dạng:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = + ψ′ a L x t P EF ) x at

( 0 (4-48a)

2 XÐt kho¶ng thêi gian ) a

L t a

L

(2 ≤ ≤

Gọi P1(t) lực nén đệm lên đầu cọc khoảng thời gian Từ(4-48a) đầu cọc (x = 0) ta có: ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ψ ′′ • a L t P EFa ) at

(

Tõ (4-46) ta cã: P0(t)=e−nt(nC2sinω1t+C2ω1cosω1t)

• Suy ra: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − • a L t cos C a L t sin nC e a L t P a L t

nt 2 2

2 1 2

Vậy phơng trình (4-44) có dạng:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω = + ω + + ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − • • • a L t sin B a L t cos A e ) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t ( P a L t

n 2 2

2 1 1

2 2 1 (4-49a)

Trong đó: C n

EF Ca B ; C EF Ca

A=2 2ω1 =−2 2 NghiƯm tỉng qu¸t cđa (4-49a) cã d¹ng:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ω + ω + ω = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − a L t cos B a L t sin A t t sin C t cos C e ) t ( P a L t

n 2 2

2 1 1

Các số C3, C4 đ−ợc xác định dựa vào điều kiện liên tục hàm P(t) thời điểm ) t ( P • a L t= Từ (4-50a) ta có:

1 2 ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a LB a L sin C a L cos C a L

P (d′)

Tõ (4-4a) ta cã: ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − a L sin e C a L P a L n 2 2

0 (e)

Tõ (e) ta cã: ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − • a L cos C a L sin nC e a L P a L

n 2

2 1 2

0 (g)

Tõ (4-50a) ta cã:

a AL B a L cos C a L sin C a LB a L sin C a L cos C n a L P + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω ω − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • 1 1 1 2 2 2

(h′)

Từ (d′), (e), (g), (h′) ta có: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω β + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω α = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω β − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω α = a L cos a L sin C a L sin a L cos C 2 2 1 1 Trong đó: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω = β ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω = α • a AL B a L nP a L P a L P a LB 0 1 2 2

Thay C3 C4 vào (4-50a) ta xác định đ−ợc lực nén P1(t), Từ điều kiện biên (4-4a) (4-50a) ta có:

EF ) t ( P ) at ( ) at ( x

U =−ϕ′ +ψ′ =−

∂ ∂

Trong kho¶ng thêi gian

a L t a L ≤

≤ sãng ph¶n ψ′(at)cã d¹ng:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ψ′ a L t P EF ) at

Do đó: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − −

= +

ψ′ =

ϕ′ P(t)

a L t P EF )

t ( P EF ) at ( ) at

( 1 0 1

VËy sãng thn ë miỊn cäc cã d¹ng:

⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − + −

= − ϕ

a x t P a

L x t P EF )

x at

( 0 1

3

2

(4-51a)

4.2.2.3 Xác định ứng suất cọc miền 1,

Theo định luật Hooke ta có cơng thức xác định ứng suất nh− sau:

x U E

∂ ∂ = σ Trong đó: σ ứng suất cọc

Tõ (4-47) ta cã øng suÊt cäc ë miỊn lµ: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

= σ

a x t P F

1

1

Tõ (4-47) vµ (4-48a) ta cã øng st cäc ë miỊn lµ: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + − +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

= σ

a L x t P a x t P F

2

0

2

Tõ (4-48a) vµ (4-51a) ta cã øng suÊt cäc ë miỊn lµ:

⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + − −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − + =

σ

a L x t P a x t P a

L x t P F

2

1

0

0

NhËn xÐt:

Trong thực tế mơ hình tốn cọc đóng gặp ch−ớng ngại vật ta bỏ qua ma sát mặt bên đất

Sau tÝnh to¸n cã mét vµi nhËn xÐt:

- Độ cứng C đệm đầu cọc tăng P(t) cực đại tăng lên, thời gian va chạm giảm

4.2.3 Va chạm búa vào cọc đóng đồng đáy cọc gặp lực cản không đổi

Trong toán ta khảo sát va chạm búa vào đầu cọc qua đệm đàn hồi, cọc đ−ợc đóng đất đồng lực ma sát phân bố mặt bên cọc Với giả thiết kích th−ớc thiết diện ngang cọc nhỏ nhiều so với chiều dài cọc, theo [13] ta coi lực ma sát mặt bên nh− lực khối cịn đáy cọc gặp lực chống khơng đổi

ở toán ta xác định trạng thái ứng suất cọc lực nén đệm lên u cc

4.2.3.1 Thiết lập toán

Sơ đồ toán

4a

L

5L/a 3L/a

L/a x

2

3

0 2L/a 4L/a t

P(t)

5a 6a

5 6b

6

4

7 8a

8

10a 10b

11a 13a

10 11

13

12 ty

ty+L/a

R

q

5L/a 3L/a

L/a

H×nh 4-5

1 Ph−ơng trình vi phân chuyển động cọc nghiệm tổng quát toán

ở ta giả thiết cọc đ−ợc giữ đất lực ma sát phân bố theo mặt bên Ta giả thiết lực chống đất lên đáy cọc không đổi Để thuận tiện cho việc khảo sát ta giả thiết kích th−ớc thiết diện ngang cọc nhỏ so với chiều dài cọc nên lực ma sát đất lên mặt bên cọc coi nh− lực khối đặt vào cọc với trị số đơn vị thể tích

F q r

Trong đó:

q- lực ma sát đất đơn vị diện tích mặt bên

r- chu vi tiết diện ngang; E, F Môđun đàn hồi tiết diện ngang cọc Theo [13] xét cân động cho phân tố cọc ta có ph−ơng trình chuyển động cọc:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ∂ ∂ = ∂ ∂

K x

U a t

U

2 2 2

Trong ú:

U- dịch chuyển cäc;

= ; K≠0

F E

q r

K at – x >

ρ = E

a lµ vËn tèc trun sãng cäc

E, ρ - Môđun đàn hồi khối l−ợng riêng cọc Nghiệm tổng quát (4-52) miền có dạng:

U(x,t)=ϕ(at−x)+ Kx2−Katx

1

(4-53a) NghiƯm tỉng qu¸t cđa (4-52) ë miỊn có dạng:

2

2

) x L ( K ) x at ( ) t , x (

U =ϕ − + − (4-53b) NghiƯm tỉng qu¸t cđa (4-52) ë c¸c miền lại có dạng:

2

2

) x L ( K ) x at ( ) x at ( ) t , x (

U =ϕ − +ψ + + − (4-53c) 2 Điều kiện đầu toán

Ta chọn thời điểm t = trùng với thời điểm bắt đầu va chạm Với t = U = 0; =0

∂ ∂

t U

(4-2)

3 Điều kiện biên toán

Tại đầu cọc x = th×:

F E

) t ( P x U =− ∂ ∂

(4-4a) Tại đáy cọc x = L thì:

a Cäc ch−a lón khi: R x U EF <−

∂ ∂

vµ =0

∂ ∂

t U

(4-6a)

b Khi cäc lón th×: R x U EF =−

∂ ∂

(4-6b)

c Cäc dõng lón khi: R x U EF <−

∂ ∂

vµ =0

∂ ∂

t U

(4-6c)

d Đáy cọc tựa đất yếu thì: =0

∂ ∂ x U

(4-6d)

4.2.3.2 Xác định trạng thái ứng suất cọc 1 Xét khoảng thời gian

a L t≤ ≤

0

Ta gọi lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc P(t):

P(t)=C(UT −U0), ⎟ (a) ⎠

⎞ ⎜

⎝ ⎛ − = •• ••

• •

0

U U C ) t (

P T

Ph−ơng trình chuyển động đầu búa: MUT =−P(t)

• •

Hay:

M ) t ( P UT =−

• •

(b)

Dịch chuyển đầu cọc lµ: U0 =ϕ(at)

VËy: U =a ϕ′′(at) (c)

• •

2

Tõ (4-53a) vµ (4-4a) ta cã: K EFa

) t ( P ) at

( = −

ϕ′′

•

VËy:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− =

• •

•

K EFa

) t ( P a ) , t (

U0 (d)

Thay (b)và (d) vào (a) ta có ph−ơng trình xác định lực P(t)

P(t)+2nP(t)+(ω12+n2)P(t)=Ka2C (4-54)

• •

•

(Trong giáo trình xác định lực nén đệm đàn hồi P(t) lên đầu cọc, ta xét tr−ờng hợp ω12 >0, tr−ờng hợp ω12 <0 lý luận t−ơng tự)

Gọi lực nén đệm lên đầu cọc khoảng P0(t)

a L t≤ ≤

0 Nghiệm tổng quát (4-54) có dạng:

( ) 2 2

1

2 1

n KCa t

sin C t cos C e ) t (

P nt

+ ω + ω +

ω = −

Các số C1 C2 đ−ợc xác định dựa vào điều kiện đầu P0(t)và P0(t)

•

Với t = P0(0)=0 P ( )=CV Từ ta có:

•

0

0

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ ω − ω

= +

ω −

= 2 2

1

1 2

2

1

n KCa n CV C

Theo (4-4a) vµ (4-51a), sãng thuËn ë miỊn cã d¹ng:

⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +

− − = − ϕ′

a x t P EF x at K x

at ) ( ) 0

( (4-55)

øng suÊt cäc ë miÒn cã d¹ng:

[ ( ) ] ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

= − − − ϕ′ − = σ

a x t P F ) x at ( K x at

E

1

Giả thiết đờng biên a L

t= miền hàm dịch chuyển hàm liên tục:

2

0

MiÒn MiÒn

x ; a L U x

; a L

U ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ −

Do đó: ϕ′1(at−x)Miền1 =ϕ′2(at−x)Miền2

VËy sãng thuËn ë miỊn 1, vµ 4a, gièng nhau:

⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +

− − = − ϕ′

a x t P EF ) x at ( K ) x at

( 0

Tõ (4-53b) vµ (4-55) øng st cäc ë miỊn cã d¹ng:

[ ] EK(at L)

a x t P F ) x L ( K ) x at (

E , ⎟+ −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

= − − − ϕ − =

σ 0

XÐt tr−êng hỵp cäc ch−a lón t¹i a L t= :

Gọi ty thời điểm cọc bắt đầu lún, ty đ−ợc xác định từ điều kiện lún đáy cọc Khi sóng ϕ′(at−x) ch−a truyền tới đáy cọc ứng suất đáy cọc không Khi

a L

t> ứng suất đáy cọc tăng dần nh−ng R x U EF <−

∂ ∂

nên đáy cọc ch−a lún Tại thời điểm t = ty R

x U EF =−

∂ ∂

đáy cọc bắt đầu lún

Khi t ty a

L < <

cọc ch−a lún Do sóng phản ψ′(at+x) miền 4a, 5a, 6a đ−ợc xác định từ điều kiện biên (4-6c)

= [ϕ′ − +ψ′ + ]=0

∂ ∂

) x at ( ) x at ( a t U

VËy: )ψ′(at+x)=−ϕ′(at−x

K(at x L) a L x t P F ) x at

( 0 ⎟+ + −2

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = +

ψ′ (4-56)

øng st cäc ë miỊn 4a cã d¹ng:

EK( at x L)

a L x t P a x t P

F

2

0

0 ⎥+ + −

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ

Trong kho¶ng thêi gian

a L t

ty < < cäc lón

Tõ (4-6b), ta cã sãng ψ′(at+x)ë c¸c miỊn 4, 5, 6b, lµ:

R K(at x L)

a L x t P EF ) x at

( 0 ⎥− + −2

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = +

ψ′ (4-57)

Tõ (4-53c), (4-55) vµ (4-57) øng suÊt cäc ë miỊn cã d¹ng:

EK(L x)

a L x t P a x t P

F ⎥⎦− −

⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − =

σ 0 0

2 XÐt kho¶ng thêi gian

a L t a L ≤

ở miền 3, hàm dịch chuyển U cọc có dạng (4-53b) Lý luận tơng tự nh−

trên, ta có ph−ơng trình lực nén P(t) đệm lên đầu cọc:

(4-45)

2 + ω12 + =

= • • • ) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t ( P

Gọi P1(t) lực nén đệm lên đầu cọc khoảng xét, nghiệm tổng quát (4-45) có dạng:

P1(t)=e nt(C3cosω1t+C4sinω1t)

−

C¸c h»ng sè C3, C4 tìm đợc dựa vào tính liên tục hàm P(t) a L t=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a L P a L

P1 0 vµ ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • • a L P a L

P1

Suy ra: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ω + ω a L P e a L sin C a L cos C a nL

3 (a)

Tõ (a) vµ (b) ta cã: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ω α + ω β = ω β − ω α = a L sin a L cos C a L sin a L cos C 1 1

Víi: ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω = β ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = α • a L P a L nP e ; a L P e a nL a nL 0 1

Từ ta có sóng (atx)ở miền 3, 5a, 5, là:

KL a x t P EF ) x at ( ⎟− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = −

ϕ′ 1 (4-58)

øng suÊt cäc ë miỊn cã d¹ng:

[ ] EKx

a x t P F ) x L ( K ) x at (

E ⎟+

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − − − ϕ′ − = σ 1

Tõ (4-53b), (4-56) vµ (4-58) øng st cäc ë miỊn 5a cã d¹ng:

EK(at x L)

a L x t P a x t P

F 2

2

0

1 ⎥+ + −

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ

øng suÊt cäc ë miỊn cã d¹ng:

R EK(at L)

a L x t P a x t P F 2

1 ⎥− −

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ

Dựa vào (4-6b) đáy cọc thuộc miền 7, ta có sóng phản miền 7, 8a, cọc là:

R KL a L x t P EF ) x at ( ⎥− ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = +

ψ′ 1 (4-59)

øng suÊt cäc ë miÒn cã d¹ng:

R EK(L x)

a L x t P a x t P

F ⎥⎦− −

⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − =

σ 1

3 XÐt kho¶ng thêi gian: ty a L t a

L ≤ ≤ +

Trong khoảng này, sóng phản xuất đầu cọc Lý luận t−ơng tự nh− trên, ta có ph−ơng trình xác định lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc P2(t)là:

P (t)+ nP (t)+(ω +n )P (t)=− Ca ψ ′′(at) (4-44)

• • • 2 2

2 2

K ) a L t ( P EFa ) at ( ) L at ( K ) a L t ( P EF ) at ( + − − = ψ ′′ − + − − = ψ′ • 2 0

Thay vµo (4-44) ta cã:

Ca K a L t P EF Ca ) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t (

P2 12 2 2

2

2

2 ⎟−

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ω + + • • • • (4-60) Trong đó: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω − ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − • a L t sin ) nC C ( a L t cos ) nC C ( e a L t P a L t

n 2 2

2 1 2 1 1 1 1 2 1

2

Phơng trình (4-60) đợc viết dới dạng:

K Ca a L t sin B a L t cos A e ) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t ( P a L t n 1 2 2 2 2

2 ⎥−

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω = + ω + + ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − • • • (4-61)

Víi: (nC C )

EF Ca B ); nC C ( EF Ca

A=2 ω1 2 − 1 =−2 2 +ω1 1 NghiƯm tỉng quát (4-61) có dạng:

2 2 2 2 n KCa ) t ( P e ) t ( P a L t n + ω − = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − (4-62)

Víi P2(t) lµ nghiƯm phơng trình:

⎝ ⎛ − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω = ω + • • a L t sin B a L t cos A ) t ( P ) t (

P2 12 2 1 1 (4-63)

NghiƯm tỉng qu¸t cđa (4-63) cã d¹ng :

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ω + ω + ω = a L t cos B a L t sin A t t sin C t cos C ) t (

P 2

2 1 1

1

2 (4-64)

Từ điều kiện liên tục hàm P(t) ta xác định đ−ợc giá trị số C5 C6 Ta có:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a L P a L

P2 2 (a′)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • • a L P a L

P2 2 (b′)

Tõ (4-62) vµ (a′) ta cã: ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a L P n KCa a L

P 2 2 2 1

1

Suy ra: 2 2 2 2 n KCa L P a L P + ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Tõ (4- 64) ta cã:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ω − ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω a L P n KCa a LB a L sin C a L cos

C 2 22 2 1

1 1

Hay: 2 2

1 1 2 2 n KCa a LB a L P a L sin C a L cos C + ω + ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ ω (c′)

Tõ (b′) vµ (4-62) ta cã:

2 2 1 2 n KCa n a L nP a L P a L P + ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • •

(d′)

Tõ (4-63) ta cã: 2 2 1 LA B a L cos C a L sin C a L P + ω − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ã

Thay giá trị vào (d) ta cã:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ω ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω

− • 2 2

1 1 1 2 2 2 n KCa n a L nP a L P LA B a L cos C a L sin C

(e′)

Từ (c′) (e′) ta có: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω = a L sin Q a L cos Q C a L sin Q a L cos Q C 1 1 2 2 Trong đó: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ω ω = + ω + ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = • 2 1 1 2 2 1 2 2 2 n nKCa a L nP a L P LA B Q n KCa a LB a L P Q

Vậy công thức xác định P2(t) là:

Từ điều kiện biên (4-6a) ta có sóng (atx)ở miỊn 6a, 6b, 8a, 10a lµ: ) L x at ( K a L x t P a x t P EF ) x at

( 2 0 ⎥+ − −3

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = −

ϕ′ (4-66)

øng suÊt cäc ë miÒn 6a cã d¹ng:

EKx a L x t P a x t P a L x t P F 2

0 ⎥+

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = σ

Tõ (4-51)vµ (4-66), øng suÊt cäc ë miỊn 6b cã d¹ng:

) L x at ( EK R a L x t P a x t P a L x t P

F

2

1

0

0 ⎥− − −

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = σ

Tõ (4-53) vµ (4-66), øng st ë miỊn 8a cã d¹ng:

R EK(at x L)

a L x t P a x t P a L x t

P ⎥− − −

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − =

σ 0 2 1 2

Tr−êng hợp cọc lún miền 10a, từ (4-6b) (4-66) sóng (at+x)ở miền 10a, 10b, 11a, 13a là:

R K(at x L)

a L x t P a L x t P EF ) x at

( 0 2 ⎥+ + −5

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = +

ψ′ (4-67)

øng suÊt cäc ë miÒn 10a cã d¹ng:

R EK(L x)

a L x t P a L x t P a x t P a L x t P

F ⎥⎦+ −

⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − =

σ 0 2 0 2

4 XÐt kho¶ng thêi gian

a L t t a L y ≤ ≤ +

Trong khoảng này, sóng phản xuất đầu cọc Lý luận t−ơng tự nh− trên, ta có ph−ơng trình xác định lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc P(t) là:

P(t)+ nP(t)+(ω +n )P(t)=− Ca ψ ′′(at) (4-44)

• • • 2 2

Từ (4-6b)và (4-55), sóng phản đầu cọc miỊn lµ:

K a L t P EFa ) at ( ) L at ( K R a L t P EF ) at ( − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ψ ′′ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ψ′ • 2 2 0 (4-68)

Ca k a L t P EF Ca ) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t (

P3 3 12 3 2

2

2

2 ⎟+

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + ω + + • • • • (4-69) Trong đó: K Ca a L t sin ) nC C ( a L t cos ) nC C ( e a L t P a L t n 2 1 1 2 2 + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω − ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − •

Phơng trình (4-69) đợc viết dới dạng:

K Ca a L t sin B a L t cos A e ) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t ( P a L t n 1 1 2 3 2

2 ⎥+

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω = + ω + + ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − • • •

Víi: (nC C )

EF Ca B ); nC C ( EF Ca

A1=−2 ω1 2 − 1 1 =2 2 +ω1 1 NghiÖm tổng quát (4-69) có dạng:

2 2 3 n KCa ) t ( P e ) t ( P a L t n + ω + = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − (4-70)

Víi P3(t)lµ nghiƯm cđa phơng trình:

⎛ − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω = ω + • • a L t sin B a L t cos A ) t ( P ) t (

P3 12 3 1 1 1 1 (4-71) NghiƯm tỉng qu¸t cđa (4-71) cã d¹ng:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ω + ω + ω = a L t cos B a L t sin A t t sin C t cos C ) t (

P 2

2 1 1 1

1

3 (4-72)

Từ điều kiện liên tục hàm P(t) ta xác định đ−ợc giá trị số C7 C8 Ta có:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ + y ty a L P t a L

P3 2 (a′′)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + • • y y t a L P t a L

P3 (b′′)

Tõ (4-70) vµ (a′′) ta cã: ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 2 n KCa t a L P e t a L

P a y

L t n y y

Tõ (4-72) ta cã:

Tõ (b′′) ta cã: ⎭ ⎬ ⎫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ω − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω − ⎟⎠ • ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − a L t cos t a L A B a L t sin t a L B A n KCa t a L nP t a L P e t a L cos C t a L sin C y y y y y y a L t n y y y 1 1 1 1 2 2 1 2 2

Do ta có: ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω

= y ty

a L sin Q t a L cos Q

C7 3 1 4 1

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω

= y ty

a L sin Q t a L cos Q

C8 4 1 3 1

Trong đó: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − y y y y a L t n t a L Sin A t a L cos B t a L n KCa t a L P e Q y 1 1 2 2 2 ⎭ ⎬ ⎫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ω − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ω = ⎟⎠ • ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − a L t cos t a L A B a L t sin t a L B A n KCa t a L nP t a L P e Q y y y y y y a L t n y 1 1 1 1 2 2 2 2

Vậy công thức xác định lực nén P3(t) là:

2 2 1 1 1 2 2 n KCa a L t cos B a L t sin A t t sin C t cos C e ) t ( P a L t n + ω + ⎭ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω + ⎩ ⎨ ⎧ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ω + ω + ω = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

VËy sãng thuËn (atx)trong miền 6, 8, 10b, 10 là:

) L x at ( K R a L x t P a x t P EF ) x at ( ⎥− − − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = −

ϕ′ 3 0 (4-73)

øng suÊt cäc ë miỊn cã d¹ng:

EKx a L x t P a x t P a L x t P

F ⎥⎦−

⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − =

Theo (4-59) vµ (4-73), øng suÊt cäc ë miỊn cã d¹ng:

EK(at L)

a L x t P a x t P a L x t P F 2 1

0 ⎥+ −

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = σ

Theo (4-67) vµ (4-70), øng st cäc ë miỊn 10b cã d¹ng:

) L x at ( EK a L x t P a x t P a L x t P a L x t P

F

2 2

0 ⎥+ + −

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = σ

Theo điều kiện biên (4-6c) sóng (at+x) miỊn 10, 11, 13 lµ:

R K(at x L)

a L x t P a L x t P EF ) x at

( 2 ⎥− + −3

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = +

ψ′ (4-74)

Tõ (4-70), (4-67) øng st cäc ë miỊn 10 cã d¹ng:

R EK(L x)

a L x t P a L x t P a x t P a L x t P

F ⎥⎦− −

⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − =

σ

a L t a L ≤ ≤

5 XÐt kho¶ng thêi gian:

Trong khoảng này, sóng phản suất đầu cọc Lý luận t−ơng tự nh− trên, ta có ph−ơn

Tõ (4-59) ta cã:

g trình xác định lực nén đệm đàn hồi lên đầu cọc là:

• • • ) at ( Ca ) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t (

P +2 + ω12 + =−2 2ψ ′′

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ψ ′′ • a L t P EFa ) at

( 1

Thay vào phơng trình ta có:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + ω + + • • • • a L t P EF Ca ) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t (

P4 12 4 1 (4-75)

Trong đó: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω + ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω − ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − • a L t sin ) nC C ( a L t cos ) nC C ( e a L t P a L t

n 2 2

2 1

Vậy phơng trình (4-75) đợc viết:

⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω = + ω + + ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − • • • a L t sin B a L t cos A e ) t ( P ) n ( ) t ( P n ) t ( P a L t

n 2 2

2 2 1 2 1

2 2 4 (4-75a)

Víi: (nC C )

EF Ca ); C nC ( EF Ca

NghiƯm tỉng qu¸t cđa (4-75a) cã d¹ng: ) t ( P e ) t (

P4 = ⎝ a ⎠ 4 L t n⎜⎛ −2 ⎟⎞

−

(4-76)

Với P4(t)là nghiệm phơng trình: ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ω = ω

+ P (t) A cos t )

t

(

2 ⎛ • • a L t sin B a L

P4 2 (4-75b)

Nghiệm tổng quát (4-75b) có dạng:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ω + ω + ω

=C cos t C sin t ) t ( P 10 a L t cos B a L t sin A

t 2

1

2

ều kiện liên tục hàm P(t) ta xác định đ−ợc giá trị số C9 C10, ta có: Từ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ = ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ = ⎟ ⎠ ⎜

⎝ a P a ; P a P a P4⎛ ⎞ 3⎛ ⎞ 4⎛ ⎞ 3⎛ ⎞

•

• L L

L

L 3

3

Lý luận t−ơng tự nh− ta có: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω = a L sin Q a L cos Q C a L sin Q a L cos Q C 10 3 3 Trong đó: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω ω + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =e Q5 a L sin A a L cos B a L a L P a nL 2 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω − ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω + ω − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω = • a L cos B a L a L sin a L A a L nP a L P e Q a L n 1 1 3 2 3 3

Vậy công thức xác định lực P4(t) là: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ω + ω

=e ⎝ ⎠ C cos t C sin t

) t

( a ⎧ 9 1 10 1 ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω ω + ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ − − a L t cos B a L t sin A t P L t

n 2 2

2 1 2

2

VËy sãng thuận (atx)trong miền 9, 11a, 11, 12 là: KL R a L x t P a x t P x at

( ⎟− ⎥−2

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ϕ′ EF ) ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

= (4-77)

øng st cäc ë miỊn cã d¹ng:

EKx a L x t P a x t P a L x t P

F⎢ ⎟−

⎞ ⎜ ⎛ + − − =

σ 1 ⎥+

Theo (4-53c) øng suÊt cäc miỊn 11a cã d¹ng:

EK(at x L)

a L x t P a

a a

F⎣ 1⎝ ⎠ 4⎝ ⎠ 0⎝ ⎠

L x t P x t P L x t

P 2

1

2 ⎥+ + −

⎦ ⎤ ⎢

⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

+ + ⎟ ⎞ ⎜

⎛ −

+ − ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ − − ⎟ ⎞ ⎜

⎛ +

− − = σ

Tõ (4-74) vµ (4-77) øng st cäc ë miỊn 11 cã d¹ng:

R EK(at L)

a L x t P a

a a

F⎣ 1⎝ ⎠ 4⎝ ⎠ 0⎝ ⎠ 3⎝

L x t P x t P L x t

P 4

1 − −

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎡

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎛ + − +

⎟ ⎞ ⎜

⎛ + − +

⎟ ⎞ ⎜ ⎛ − − ⎟ ⎞ ⎜

⎛ − + −

= σ

XÐt cäc vÉn lón miỊn 12, theo (4-6c) ta cã sãng ψ′(at+x)ë miỊn 12 lµ: KL R

) a a

EF⎢⎣

L x t ( P ) L x t ( P )

x at

( 2 −2

⎥⎦ ⎤

⎡ − −

+ + − + =

+

ψ′ (4-78)

øng suÊt cäc ë miÒn 12 cã d¹ng:

EK(L x)

a L x t P a

L x t P a a

F⎢⎣ 1⎝ ⎠ 4⎝ ⎠

x t P L x t

P ⎥− −

⎦ ⎤ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

+ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

+ + ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ − − ⎟ ⎞ ⎜

⎛ +

− − =

σ 4

Lý luận t−ơng tự nh− ta xác định đ−ợc trạng thái ứng suất cọc miền va chạm kết thúc thời gian va chạm búa vào cọc đ−ợ xác định từ ph−ơng trình P(t) =

,8 T; chiỊu cao r¬i H = 1,8m

số đặc tr−ng cho đệm đầu cọc (γ) là: 0,165; 0,195; 0,235 với

c

4.2.3.3 TÝnh to¸n víi sè liƯu thĨ 1 Bóa

Bóa Điezel, khối lợng đầu búa M = 2 Đệm

Tính tốn với đệm đầu cọc thay đổi ứng với số giá trị thông EF

CL =

γ C độ cứng đệm; L chiều

đàn hồi cọc:

ên phân bố với Đáy cọc chịu lực cản đất vớ iêu chuẩn

ascal, viết ch− g trình chạy máy vi tính ta nhận đ−ợc ong cọc bảng giá tri t−ơng ứng kèm theo, từ trang 117 đến trang 122

dài cọc; E, F Môđun đàn hồi diện tích tiết diện ngang cọc 3.Cọc

Kích thớc cọc: 30x30x1000cm, Mác bê tông 200

2

10 11

3, kG/cm

E = Môđun

4 Đất

2

4 3, T/m q=

Cäc chÞu lùc ma sát mặt b

i cng t R=240T/m2

Với số liệu trên, từ cơng thức tính ứng suất cọc thiét lập đ−ợc trên, sử dụng ngơn ngữ lập trình P ơn

2 Bảng giá trị ứng suất tiÕt diÖn x = cm

t σ1(KG/cm2) σ(KG/cm2) σ (KG/cm2) 0,0000

0,0005 0,0010 0,0015

0,000 29,491

0,000 34,643

0,000 21,236 41,414 01 15,010 17,688

0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 0,0045 0,0050 0,0055 0,0060 0,0065 0,0070 0,0075 0,0080 0,0085 0,0090 0,0095 0,0100 0,0105 0,0110 0,0115 0,0120 0,0125 0,0130 0,0135 0,0140 0,0145 0,0150 0,0155 0,0160 0,0165

43,37 56,578 69,053 80,738 91,584 101,548 110,593 118,691 125,819 132,230 138,080 142,162 144,451 145,025 143,974 141,397 137,404 132,114 125,649 118,139 109,857 101,389 91,805 81,113 69,547 57,337 44,632 31,566 18,363 5,235 0,00

50,76 65,966 80,166 93,295 105,294 116,114 125,716 134,072 141,162 147,355 152,569 155,374 155,864 154,181 150,480 144,931 137,716 129,027 119,061 108,019 96,298 84,543 71,586 57,637 43,035 28,111 13,047 0,000

60,4 78,080 94,348 109,122 122,332 133,927 143,873 152,148 158,749 164,230 167,988 168,492 165,970 160,679 152,896 142,917 131,048 117,604 102,904 87,265 71,278 55,593 38,870 21,573 4,201 0,000

)

2

cm / Kg ( max

Bảng giá trị ứng st t¹i tiÕt diƯn x = 400 cm

t σ1(KG/cm2) σ2(KG/cm2) σ3(KG/cm2) 0,0000

0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 0,0045 0,0050 0,0055 0,0060 0,0065 0,0070 0,0075 0,0080 0,0085 0,0090 0,0095 0,0100 0,0105 0,0110 0,0115 0,0120 0,0125 0,0130 0,0135 0,0140 0,0145 0,0150 0,0155 0,0160 0,0165

0,000 0,000 0,000 11,396 26,014 40,046 53,424 66,083 77,965 89,398 114,579 111,630 106,099 100,274 86,204 78,649 86,521 92,825 97,608 100,927 102,848 115,300 108,110 92,422 77,145 57,639 36,317 37,871 38,098 37,156 35,208 32,374 37,268 0,000

0,000 0,000 0,000 13,440 30,583 46,917 62,350 76,800 90,196 102,924 128,468 121,434 113,996 106,219 88,764 84,808 92,746 98,636 102,570 104,653 105,007 117,678 101,614 81,839 62,897 39,342 19,938 21,265 21,110 19,714 17,313 0,000

0,000 0,000 0,000 16,151 36,600 55,889 73,897 90,517 105,662 119,799 142,501 132,700 122,427 111,792 89,627 90,129 97,789 102,725 105,113 105,152 103,062 114,307 87,860 62,833 39,422 11,108 0,000

max

Bảng giá trị ứng suất tiết diện x = 1000 cm

t σ1(KG/cm2) σ2(KG/cm2) σ3(KG/cm2) 0,0000

0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 0,0045 0,0050 0,0055 0,0060 0,0065 0,0070 0,0075 0,0080 0,0085 0,0090 0,0095 0,0100 0,0105 0,0110 0,0115 0,0120 0,0125 0,0130 0,0135 0,0140 0,0145 0,0150 0,0155 0,0160 0,0165

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 11,840 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 13,977 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 16,820 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000 33,000

33,000 33,000 33,000

) cm / KG ( max

2

NhËn xÐt:

1- Sơ đồ tốn có đ−a đệm đàn hồi gắn vào đầu cọc phù hợp với thực tế đóng cc nhm trỏnh v u cc

2- Để thoả mÃn nghiệm phơng trình (4-52) phù hợp với thực tế khoảng thời gian

a L t ≤ ≤

0 ta kh«ng dïng nghiƯm tỉng quát Ghecxevanốp mà thay nghiệm: U =(atx)+(at+x)+Kx2 Katx

2

) x at ( −

ϕ′ vµ )ψ′(at+x

3- Với ph−ơng pháp lan truyền sóng, hàm sóng đ−ợc xác định biểu diễn qua lực nén P(t) đệm tác dụng lên đầu cọc công thức xác định ứng suất đ−ợc biểu thị ngắn gọn thuận tiện cho việc sử dụng máy vi tính

4- Qua số liệu tính tốn cụ thể, ta thấy cọc đóng đồng nhất, ma sát mặt bên cọc phân bố đều, lực chống đáy cọc khơng đổi ứng suất cọc chịu ứng suất nén ứng suất cực đại th−ờng xảy đầu cọc giảm dần liên tục theo chiều dài cọc, đến đáy cọc ứng suất

F R

Ch−¬ng V

Cơ sở lý thuyết dao động phi tuyến Mở đầu

Lý thuết dao động phi tuyến nghiên cứu chuyển động tuần hoàn đ−ợc mơ tả ph−ơng trình vi phân phi tuyến Nhiều t−ợng quan sát đ−ợc lĩnh vực kỹ thuật giao thông vận tải, động lực học máy, vô tuyến điện, động lực học móng v.v phải đ−ợc giải thích dao động phi tuyến Lý thuyết dao động phi tuyến phản ánh tính chất chuyển động dao động đầy đủ xác

Thực tế, lớp lực phi tuyến vô phong phú Tuy vậy, tập hợp số tính chất chung tạo thành đặc tr−ng sơ khác hệ phi tuyến hệ tuyến tính:

1- Khơng thể áp dụng ngun lý tổ hợp tuyến tính hệ phi tuyến Nghĩa là, khơng thể lập NTQ ph−ơng trình vi phân hệ phi tuyến NR độc lập

2- Dao động tự hệ tuyến tính tắt dần Dao động tuần hoàn thực xảy d−ới dạng dao động c−ỡng xuất tác động lực kích động tuần hồn từ bên ngồi Trong hệ phi tuyến xảy dao động tự tuần hồn ổn định (ngay có cản), chẳng hạn nh−: Dao động lắc đồng hồ nhiều hệ dao động khác

3- Dao động c−ỡng hệ tuyến tính lực điều hịa gây có tần số chu kỳ với lực, cịn hệ phi tuyến xảy với chu kỳ lực kích động, nh−ng xảy với chu kỳ bội số nguyên phân số chu kỳ lực kích động Do hệ phi tuyến bậc tự d−ới tác dụng lực điều hồ xảy nhiều chế độ cộng h−ởng

4- Tần số riêng hệ tuyến tính khơng phụ thuộc vào điều kiện đầu biên độ Phần lớn hệ phi tuyến tần số phụ thuộc vào biên độ dao động

Ta minh hoạ số thí dụ sau để làm rõ đặc tr−ng phi tuyến hệ khảo sát: Thí dụ 1: Con lắc tốn học: (Hình 5-1) ta có:

O mw=mg+T

ChiÕu lªn phơng tiếp tuyến , thì:

= + ϕ=0

• •

τ mgsin L gsin

mw Đặt: k2

L

g =

, ta nhận đợc:

+k2sin=0 (1)

ã •

H×nh 5-1

τ

L

T

mg

Với dao động bé: sin

3

ϕ − ϕ =

ϕ đó: )

6 ( k

3

2 ϕ−ϕ =

+

ϕ•

•

(2)

Khi tun tÝnh hƯ: ϕ+k2ϕ=0 (3)

• •

Nh− biết, ph−ơng trình (3) ta có dao động điều hoà với chu kỳ

g L k

T= π= π

chỉ phụ thuộc vào tham số hệ mà không phụ thuộc vào điều kiện đầu chuyển động Rõ ràng tính chất khơng với ph−ơng trình (2)

Thí dụ 2: Chất điểm nặng khối l−ợng m gắn vào đầu đàn hồi (Hình 5-2)

x m

y x

y=f(x)

y=kx

O

Lực đàn hồi cho hàm y = f(x) Ph−ơng trình dao động có dạng:

+ =0 (4)

• •

) x ( f x m

Việc tuyến tính hoá phơng trình (4), tức thay đờng cong y = f(x) đờng thẳng y = kx đợc chấp nhận với giá trị nhá cđa x vµ ta cã:

mx+kx=0 (5)

• •

Với x lớn phải xét đến hàm f(x) d−ới dạng phi

tuyÕn

Thí dụ 3: Xét hệ hình vẽ: (Hình 5-3) Gọi L độ dài ban đầu lị xo, C hệ số cứng Giả sử tải trọng vị trí trung bình lị

xo không căng, tải trọng lệch khoảng x lò xo giÃn đoạn: x2 +L2 L lực căng lò xo là: N=C( x2 +L2 −L)

H×nh 5-2

Thành phần ngang lực xác định đặc tính đàn hồi hệ bằng:

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ − =

+ =

2 2

2

1 1

L x Cx

L x

x N P

Gäi x lµ nhá so víi L, cã thĨ lÊy:

2

2

2 L

x 1 L x

1

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ +

H×nh 5-3

q P

= x m

q = x

Nh− vậy, đặc tr−ng hệ phi tuyến có: 2

3

2L Cx

P≈ (6)

Nếu lò xo có sức căng ban đầu N0, tải trọng lệch khoảng x, lực căng toàn phÇn b»ng:

N=N0 +C( x2 +L2 −L)

Và thành phần nằm ngang lực sẽ: 2

3

2

2 2L

Cx L x N L x

x N

P ≈ +

+

= (7)

ThÝ dụ 4: Khảo sát nhíp sau ô-tô (Hình 5-4)

P

q=y P

a

b

c Giả sử nhíp có c¸c nhÝp phơ (nhÝp

con) Khi thùng xe có dịch chuyển khơng lớn, mút nhíp phụ khơng tiếp xúc với gối tựa có nhíp làm việc Sự phụ thuộc vào áp lực P lên nhíp độ võng q = y coi tuyến tính đ−ợc biểu diễn đoạn ab

Khi có dịch chuyển lớn thùng xe, mút nhíp tựa lên giá đỡ khung độ cứng t−ơng đ−ơng nhíp trở nên lớn Quan hệ P q = y đ−ợc biểu diễn đoạn bc Nh− đặc tính chung nhíp làm việc phi tuyến: P = P(y) Gọi C1 độ cứng nhíp bản, C2 độ cứng t−ơng đ−ơng nhíp phụ độ cứng đoạn ab C1, đoạn bc C1+C2

H×nh 5-4

Đ5.1 Dao động tự không cản hệ bậc tự

với đặc tr−ng phi tuyến lực phục hi

5.1.1 Phơng trình vi phân nghiệm xác

Phng trỡnh vi phân dao động tự không cản hệ bậc tự với đặc tr−ng phi tuyến lực phục hồi đ−ợc thiết lập t−ơng tự nh− trình bầy phần Đ1.1 ch−ơng thứ nhất, ta thay lực phục hồi tuyến tính lực phục hồi phi tuyến: P = P(q) ta có:

(5-1)

) q ( f q ) q ( P q

m + = ⇒ + =

• • •

•

ở đặt:

m ) q ( P ) q (

f = (5-2)

Ta biÓu diƠn gia tèc ë d¹ng:

dq q d q dt dq dq

q d dt

q d q

• • •

• • •

= =

=

Phơng trình (5-1) trở thành: f(q) qdq f(q)dq dq

q d

q + = ⇒ =−

• • •

Khi tích phân hệ thức trên, ta lấy thời điểm đầu có độ lệch lớn (qmax = a), cịn vận tốc khơng ⎟, ta có:

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ =•

0 q

∫ =−∫ ⇒ =−∫ =∫

• •

•

•

a

q q

a q

a q

dq ) q ( f dq ) q ( f q

dq ) q ( f q d q

2

2

0

Quan hệ biểu thị quy luật bảo toàn l−ợng: Vế trái động tích luỹ q trình chuyển động hệ từ vị trí biên (q = a, ) đến vị trí (q, ) Còn vế phải q trình Năng l−ợng đ−ợc biểu thị phần gạch chéo đồ thị (Hình 5-5) Từ biểu thức cuối ta nhận đ−ợc:

0

q=

• •

q

= =− ∫

• a

q

dq ) q ( f dt

dq

q (5-3)

q O

f(q)

q a

H−ớng chuyển động

ở dấu tr−ớc lấy dấu âm (-) khoảng khảo sát chuyển động vận tốc âm (-)

TÝch ph©n (5-3) cho ta thời gian t hàm dịch chuyển:

∫

∫ ∫

∫

= −

= a

q a

q q

a a

q

dq ) q ( f dq dq

) q ( f dq t

2

H×nh 5-5

NÕu tiÕn hành tích phân khoảng từ q =

đến q = a hệ có đặc tr−ng đối xứng tìm đ−ợc thời gian phần t− chu kỳ Chu kỳ dao động t−ơng ứng bằng:

∫

∫

= a

a

q

dq ) q ( f dq T

0

2

2 (5-4)

Cơng thức (5-4) cho phép tìm phụ thuộc xác chu kỳ dao động tự vào biên độ

Xét tr−ờng hợp đặc tr−ng đối xứng mô tả quy luật:

f(q)=αq2n−1;n=1,2, (5-5)

ở α, n số Do tìm đ−ợc:

( )

( )

∫ ∫

∫

= ξ ξ −

ξ α

= − α

− α

=

−

a

n n

n n a

q

n n

a q ; d a

n q

a n

dq

q a n dq ) q ( f

0

1

0

1

2

2

Theo c«ng thøc (4-4) ta nhËn ®−ỵc:

∫

ξ −

ξ α

= −

1

0

1

1

n n

d a

n

T (5-6)

Từ ta thấy: n = chu kỳ T không phụ thuộc vào biên độ dao động (đặc tr−ng tuyến tính); tr−ờng hợp cịn lại tồn phụ thuộc chu kỳ biên độ Sự tồn mối liên hệ đặc tính chung hệ phi tuyến

Bây giả sử xét dao động hệ đặc tr−ng bậc ba:

3

q ) q (

f =α n = từ biểu thức (5-6) ta đ−ợc:

∫

ξ −

ξ

=

0

d a a T

Sử dụng bảng hàm đặc biệt tính tích phân Eliptíc đ−ợc 1,8541/ 2, ta có:

1,8541

a

T ⋅

α =

Tần số dao động tự bằng: = π = , a α T

p 08472 (5-7)

Nghĩa tần số tăng bậc với tăng biên độ 5.1.2 Nghiệm gần ph−ơng trình (5-1)

Mặc dù công thức (5-4) cho ta biểu diễn chu kỳ dao động tự không cản hệ bậc tự đặc tr−ng phi tuyến lực khơi phục ngun tắc xác Nh−ng thực tế tính tốn cồng kềnh th−ờng khơng thể viết dạng kín Khó khăn đ−ợc khắc phục ta sử dụng ph−ơng pháp gần d−ới đây:

5.1.2a Ph−ơng pháp đơn giản

Lấy dao động hệ khảo sát mô tả quy luật nh− hệ tuyến tính, nghĩa là:

q =asin(pt+α) (5-8)

Nh− biết, biểu thức (5-8) nghiệm xác tr−ờng hợp f(q) tuyến tính Trong tr−ờng hợp tổng quát thay (5-8) vào (5-1) khơng đ−a trở thành đồng thức Ta “mềm hố” tính xác với điều kiện cho ph−ơng trình (5-1) thoả mãn thời điểm độ lệch q đạt cực đại (tức a) Khi gia tốc có giá trị cực đại:

(5-9)

• •

q

2

max ap

q =−

• •

Do đó, thời điểm cần thoả mãn đẳng thức sau:

a ) a ( f p ) a ( f

ap2+ = ⇒ =

Hệ thức cuối xác định tần số dao động tự p phụ thuộc vào biên độ a Mặc dù cơng thức khơng xác, song nhờ nhận đ−ợc cách biểu diễn khái quát mối liên hệ a(p2)

Thí dụ: Cho đặc tr−ng phi tuyến dạng:

f(q)=p20q+αq3 (p0, α số cho)

Theo trªn, ta cã: 20

3

0

a p a

a a p

p = +α = +α

p0

O p

2 a

α >

2

α <

α =

Đồ thị phụ thuộc biểu diễn (Hình 5-6) Rõ ràng là: Tần số dao động riêng tăng với biên độ

α > (gọi đặc tr−ng đàn hồi cứng) tần số dao động riêng giảm biên độ tăng với α < (gọi đặc tr−ng đàn hồi mềm) Đ−ờng t−ơng ứng với α = ta quy −ớc gọi đ−ờng cong x−ơng sống

H×nh 5-6

5.1.2 Phơng pháp tham số bé

Phng phỏp đ−ợc trình bày đặt sở tốn học A.Poăngcarê Cơ sở ph−ơng pháp chỗ: Giả sử cho hệ có tính phi tuyến giảm yếu, chẳng hạn xét hệ mà dao động đ−ợc miêu tả ph−ơng trình:

q+p20q+αq3 =0 (5-10)

• •

Nếu thơng số α đủ nhỏ, tr−ờng hợp này, nghiệm đ−ợc tìm dạng khai triển theo chuỗi luỹ thừa tham số bé:

q q q q2 (5-11)

2

0 +α +α +

=

ở đây: qo, q1, q2, hàm ch−a biết thời gian t cần xác định Ngoài khai triển (5-11) ta dẫn khai triển hệ số p2

0:

p p C1 C2 (5-12)

2

0 = + α+ α +

Trong đó: p2 số ch−a biết mới; C1, C2, số ch−a xác định mà ta d−ới

Thay (5-11) (5-12) vào (5-10) giới hạn thành phần khai triển viết, ta có:

q q q (p C C )(q q q ) (q q q2)3

2

2 2 2

0+α +α + + α+ α +α +α +α +α +α =

• • ã ã ã ã

Khi giữ lại thành phần chứa không lớn bậc hai, ta ®−ỵc:

0 q q q C q C q p q q

q C q p q q

p

q0 0 1 1 1 0 30 2 2 2 0 1 1 02 1⎟=

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + + + +

α + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + + +

α +

+ •• ••

Ph−ơng trình với α hệ số α0, α1, α2, phải không điều dẫn đến hệ:

(5-13)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

− −

− = +

− − = +

= +

• •

• •

• •

1 1 2

2

3 0 1

0

q q q C q C q

p q

q q C q p q

0 q p q

Cấu trúc ph−ơng trình nhận đ−ợc trình giải: Ph−ơng trình đầu cho ta tìm q0, sau ph−ơng trình thứ hai cho ta tìm q1 từ tìm q2 từ ph−ơng trình thứ ba

Lấy điều kiện đầu dạng sau: Khi t = th× q = a, = Tõ (5-11) nhận đợc:

ã

q

⎪ ⎨ ⎧

= α

+ α

+

= α

+ α

+

• •

•

0 ) ( q ) ( q ) ( q

a ) ( q ) ( q ) ( q

2

0

2

0

Để đẳng thức thoả mãn với α cần phải đồng thời thoả mãn sáu điều kiện sau:

(5-14)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= =

= =

= =

• • •

0 0

0 0

0 0

2

1

0

) ( q ; ) ( q

) ( q ; ) ( q

) ( q ; a ) ( q

Khi giải ph−ơng trình đầu hệ (5-13) có tính đến điều kiện đầu hệ (5-14) ta có:

q0 =acospt

Đặt biểu thức vào phơng trình thứ hai hệ (5-13) ta đợc:

q p q C acospt a cos pt C a a cospt a cos3pt

4

3

3

3

1

1 ⎟ −

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

− = −

− = +

• •

(5-15) Giả thiết hệ số cospt khác khơng Khi nghiệm ph−ơng trình chứa số hạng nh− biết dao động tuyến tính: tsinpt (gọi thành phần đặc tính), coi t thừa số hàm l−ợng giác Có thể sử dụng nghiệm dạng cộng h−ởng với giá trị t nhỏ Để nghiệm với t cần loại bỏ thành phần đặc tính (5-15)

Nghĩa đặt:

3

1 a

4 C a a

C + = = (5-16)

Nghiệm (5-15) viết đợc ë d¹ng: q1 = C1cospt + C2sinpt + cos pt p

a

3

32

3

(cos3pt cospt) p

32 a

q 2

3

1 = −

Nh− vậy, khai triển (5-11), (5-12) hai số hạng đầu đ−ợc xác định Nghiệm xác đến số hạng nhỏ bậc có dạng:

(cos3pt cospt)

p 32

a pt cos a

q 2

3

− α

+ =

Hơn nữa, tơng ứng với (5-12) (5-16) ta cã:

02 a2

4 p

p = + α (5-17)

Sau thay q0, q1 vào ph−ơng trình thứ ba hệ (5-13) tiến hành việc lặp lại trình trên, ta nhận đ−ợc nghiệm xác đến số hạng nhỏ bậc hai:

2 2

0

2 2

3

128

3

4 3 1024

3 32

2

p a a

p p

) pt cos pt

cos pt

(cos p a )

pt cos pt (cos p a pt cos a q

α + α + =

− −

α + −

+ =

(5-18)

Ta nhận thấy, đặc điểm quan trọng nghiệm nhận đ−ợc q trình dao động đ−ợc mơ tả khơng phải điều hoà mà tổng điều hoà, điều hồ có biên độ nhỏ Một lẽ đ−ơng nhiên tần số điều hoà p phụ thuộc vào biên độ dao ng a

5.1.2c Phơng pháp Butnôp-Galepkin

Theo ph−ơng pháp ta cho tr−ớc công thức xác định nghiệm cần tìm Cách đơn giản cả, nghiệm ph−ơng trình (5-1) thử tìm dạng giống nh− hệ tuyến tính:

q=acos(pt+α) (5-19)

ở a, , p số

Thay nghiệm vào (5-1), tất nhiên không nhận đ−ợc đẳng thức đồng không chừng (5-19) nghiệm xác ph−ơng trình (5-1) Theo ý t−ởng ph−ơng pháp chỗ: Yêu cầu cho tích phân sau lấy khoảng chu kỳ không:

∫

π • •

= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ +

p

0

0 qdt ) q ( f

q (5-20)

Thay (5-19) vµo (5-20), ta nhận đợc:

{ }

= α + α

+ +

α + −

p

0

0 dt ) pt cos( )] pt cos( a [ f ) pt cos(

Hay: ∫ [ ]

π

= α + α

+ +

π −

p

0

0 dt ) pt cos( ) pt cos( a f pa

Ký hiệu: pt+α=ψ, Ta nhận đ−ợc công thức bình ph−ơng tần số:

∫

π

ψ ψ ψ π

=

0

d cos ) cos a ( f a

p (5-22)

áp dụng: Tr−ờng hợp f(q)=p02q+αq3, đó: f(acosψ)=ap02cosψ+αa3cos3ψ Theo (5-22), ta có: ∫

π

ψ ψ ψ α

+ ψ π

=

0

3

0

d cos ) cos a cos

ap ( a p

V×: ∫ ψ ψ=π ∫ ψ ψ= π

π π

4

2

0

0

d cos ; d

cos nhận đ−ợc:

02 a3

4 p

p = + α

KÕt trùng với kết nhận đợc theo phơng ph¸p tham sè bÐ

Ph−ơng pháp Butnơp-Galepkin cho phép xây dựng nghiệm gần cao Khi cần tìm nghiệm khơng phải hàm (5-19), mà dạng chuỗi hàm:

q=a1q1+a2q2 +

Và sau đặt điều kiện cho tích phân: ∫ = =

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ +••

T

idt ; i , , q

) q ( f q

0

2 5.1.2d phơng pháp tuyến tính hoá ®iỊu hoµ

Tr−ờng hợp đơn giản ph−ơng pháp N.M.Kr−lơp N.N.Bogoliubop Ta viết ph−ơng trình (5-1) dạng:

•q•+p2q=p2q−f(q)

ở đây: p tần số dao động ch−a biết Thay vào vế phải đẳng thức công thức gần nghiệm:

q = acos(pt+α)

Ta nhận đ−ợc ph−ơng trình dao động c−ỡng hệ tuyến tính:

q+p2q=F(t) (5-23)

• •

Trong đó: F(t)=ap2cos(pt+α)−f[acos(pt+α)], hàm chu kỳ với chu kỳ

p 2π

Khai triÓn F(t) thành chuỗi Fuariê, ta nhận đợc:

F(t)=a0 +a1cos(pt+)+a2cos2(pt+)+

Nếu a1 khác khơng số hạng a1cos(pt+α)là nguyên nhân xuất thành phần đặc tính nghiệm ph−ơng trình (5-23) Để loại trừ cần đặt hệ số Fuariê a1 không, nghĩa là:

= ∫ +α =

T

0

1 F(t)cos(pt ).dt

T a

Hay: ∫{ }

π

= α + α

+ −

α +

P

dt ) pt cos( )] pt cos( a [ f ) pt cos( ap

2

0

0

Quan hệ cuối trùng với phơng trình nhận đợc phơng pháp Butnôp-Galepkin (5-21)

5.1.2e Ph−ơng pháp tuyến tính hố trực tiếp a) Tr−ờng hợp f(q) đối xứng (hình 5-7)

Thay f(q) kh«ng tun tÝnh bëi biĨu thøc tun tÝnh f*(q):

f*(q)=p2q (5-24)

ở hệ số p2 đ−ợc chọn riêng, độ lệch r phụ vào toạ độ q: r = r(q), ta có: r(q)=f(q)−f*(q)=f(q)−p2q

Vấn đề chọn f*(q) cho gần f(q), nghĩa r(q) tuân theo điều kiện cực tiểu tích phân sau tồn khoảng thay đổi toạ độ q:

=∫

a

0

dq r I

Tích phân phụ thuộc vào việc chọn thơng số p2 cực tiểu đạt đ−ợc cách xác định thông số từ ph−ơng trình

) p ( d

dI

2 =

Thực tế toán dao động th−ờng tồn độ lệch r lớn giá trị toạ độ q lớn, cách tự nhiên ta xét độ lệch có trọng số:

rq =[f(q)p2q]q

Khi toán dẫn tới tìm cùc tiĨu cđa tÝch ph©n: ∫{ }

−

−

= a

a

2

1 [f(q) p q]q dq

I

Nghĩa p2 xác định từ ph−ơng trình: 0

) p ( d

dI

2

1 =

Ph−ơng pháp giả thiết rằng: Sai số gây độ lệch tỷ lệ với giá trị toạ độ t−ơng ứng Từ ph−ơng trình (5-25) tìm đ−ợc:

= ∫ = ∫

−

a

0

3

a

a

2

dq q ) q ( f a

5 dq q ) q ( f a

5

p (5-26)

Sau xác định đ−ợc p2, toán dẫn tới ph−ơng trình tuyến tính biết thay cho ph−ơng trình phi tuyến cho:

q+p2q=0

• •

Và p tần số dao ng t

Để minh hoạ điều trình bµy, ta lÊy: f(q)=p20q+αq3

Vµ tÝnh : ∫( +α ) = +α

a

0

7

3

0

7 a

a p dq q q q p

Theo công thức (5-26) ta đợc: 02 2

a p

p = + α (5-27) So sánh độ xác kết nhận đ−ợc theo ph−ơng pháp khác tr−ờng hợp p0 = 0, nghĩa f(q) = αq3; ta có:

Theo (5-27): p = 0,845a α Theo (5-17); (5-22): p = 0,866a α Theo (5-7): p = 0,847a α

H×nh 5-7 H×nh 5-8

a

O q

f(q)

f*(q)

f(q)

r(q)

f(q) O

q f*(q)

f(q)

a2

a

b) Tr−ờng hợp f(q) khơng đối xứng (Hình 5-8)

Gọi a1 độ lệch ban đầu, a2 độ lệch lớn phía khác Nói chung liên hệ độ lệch biên biểu thị cân hệ hai vị trí biên bằng:

2

1 a

a ≠

∫

−

=

1

2

a

a

0 dq ) q ( f

Vị trí trung bình, cạnh hệ thực dao động tính từ gốc toạ độ bên trái bằng:

2 a a2− 1

= Δ

Đặc tr−ng tuyến tính dần qua tâm dao động có ph−ơng trình: f*(q)=p2(q+Δ)

§é lƯch lµ: r(q)=f(q)−p2(q+Δ)

Khi cần xác định cực tiểu tích phân sau:

∫{ }

−

Δ + Δ + −

=

2 a

a

2

dq ) q )]( q ( p ) q ( f [ I

Giải phơng trình ) p ( d

dI

2 = , ta nhận đợc: ∫

−

Δ + +

1

2

3

2

2

a

a

dq ) q )( q ( f ) a a ( p

Ta đ−a biến số: q1=q+Δ nửa khoảng dao động:

2 a a

a= 1+

, ta cã c«ng thøc cđa p2:

∫

−

Δ −

= a

a

dq q ) q ( f ) a (

p2 5 1 13 1

2

(5-28)

Đ5.2 Dao động c−ỡng không cản hệ bậc tự

với đặc tr−ng phi tuyến lực phục hồi

Giả sử lực phục hồi F(q) (Hình 5-9) lực kích động điều hồ hình sin Ph−ơng trình vi phân dao động có dạng:

F(q

t sin m P m

) q ( F

q•+ = ω

•

(5-29) Ph−ơng trình (5-29) khơng giải đ−ợc dạng kín Ta giải ph−ơng pháp gần sau:

5.2.1 Phơng pháp Butnôp-Galepkin Tìm nghiệm dạng chuỗi hàm:

q(t)=a1q1(t)+a1q2(t)+

Hình 5-9

a

O q

)

ở qi(t) hàm đ−ợc chọn thích hợp, ai hệ số ch−a biết, giá trị chúng đ−ợc xác định từ ph−ơng trình:

∫

ω π

• •

= ω

− +

2

0

i 0sin t]q dt

P ) q ( F q m [

Chẳng hạn, lấy dạng nghiệm q=asint, ta cã:

[ ]

∫

ω π

= ω ω −

ω +

ω ω −

2

0

0

0 tdt sin t sin P ) t sin a ( F t sin ma

Khi thực tích phân ta đ−ợc ph−ơng trình đại số khơng tuyến tính đối vi biờn dao ng a

5.2.2 Phơng pháp tuyến tính hoá trực tiếp Thay (5-29) phơng trình:

t sin m P q p

qã+ = ω

•

(5-30)

Phần dừng nghiệm có dạng:

) p

( m

t sin P

q 2 2

ω −

ω =

Cịn biên độ nó:

) p

( m

P

a 2 2

= (5-31)

Nếu, chẳng hạn: p20q q3 m

) q ( F

α +

= , nh− tìm tr−ớc ta có:

2

0

a p

p = + α

Quan hƯ (5-31) cã d¹ng sau:

2

2

0

m a m mp

P a

ω − α +

=

Hay: m a3 m(mp20 2)a P0

5 α + −ω =

(5-32)

Ph−ơng trình (5-32) cho phép xác định biên độ a 5.2.3 Ph−ơng pháp Đufing

Cơ sở ph−ơng pháp loại trừ số hạng đặc tính Ta minh hoạ ph−ơng pháp cách xét:

3

0q q

p m

) q (

F = +α

Ph−¬ng trình (5-29) trở thành:

t sin m P q q p

q

0 +α = ω

+

• •

Lấy gần đầu bằng:

t sin a

q= (5-34) Và viết phơng trình (5-33) dạng:

t sin m P q q ) p ( q

q 02

2

2 = ω − −α + ω

ω +

• •

(5-35) Thay (5-34) vµo (5-35), ta cã:

t sin a t sin m P a a ) p ( q

q 3

0

2 ω + α ω

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ ω − − α +

= ω +

• •

Nếu biểu thức ngoặc vng khác khơng nghiệm ph−ơng trình xuất số hạng đặc tính mang tới t−ợng cộng h−ởng Để loại trừ cần đặt:

( )

m P a a

p2

0

2 − − α + =

ω (5-36)

Quan hệ cấu trúc giống (5-32) dùng để xác định a Khi thoả mãn (5-36) (5-35) đ−a dạng:

t sin a q

q+ω2 = α ω

ã ã

NR phơng trình có dạng:

t sin 32

a

1

t sin a

2

2

ω ω

α − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

ω ω − ω

αω α

NTQ cđa nã lµ:

t sin a t cos C t sin C

q ω

ω α − ω +

ω

=

32

3

1

T¹i t = 0: q(0) = a; q(0)=0, ta cã:

•

0 C ; 32

a a

C 2 2

3

1 =

ω α + =

Do đó: (sin t sin3 t) 32

a t sin a

q 2

3

ω − ω ω

α + ω =

Nh− vậy, gần này, lực điều hoà P0sinωt gây dao động phi tuyến tần số ω, mà tần số cao

Để xây dựng nghiệm gần tiếp theo, ta thay (5-32) vào vế phải (5-35), sau lại đặt hệ số sinωtbằng không v.v

ThÝ dô 5-1:

tần số biên độ giao động tự khối l−ợng, biết thời điểm ban đầu (t = 0) khối l−ợng lệch khỏi v trớ cõn bng khong cỏch x0

Bài giải:

Hệ bậc tự do, chọn toạ độ suy rộng xét chuyển động khối l−ợng m q = x Khi khối l−ợng m lệch khỏi vị trí cân khoảng cách x, lực đàn hồi lị xo (Hình 5-10b)

0

2

0

L Cx ) L x L ( C L C

T= Δ = + − ≈ (1)

Chiếu lực tác dụng lên khối lợng m theo trục x, ta đợc:

2

0 L

Cx L

Tx x

m =− =−

• •

Hay: 2

0

mL C k ; kx

x+ = =

• •

(2)

Đặt: x=y ta có:

ã

dx dy y dx dy x dt dx dx dy dt dy

x= = = =

• ã

ã

Thay vào phơng trình (2) nhận đợc: ydy=kx3dx (3) Tích phân phơng trình (3) ý tới điều kiện đầu:t =0; x =x0; x=y=0

•

Ta cã: (x x )

k

y2 = 40 −

Do , từ hệ thức suy ra:

ã

=x

y

• •

x m x

m

C

L0

L + ΔL

x T

T

L0

L0 L0

H×nh 5-10

0

4

x

x 4

0

x x ;

1 d k x

1 ) x x ( k

dx t

0

= ξ ξ −

ξ =

− −

= ∫ ∫

ξ

(4)

Vì lực phục hồi lò xo xác định từ (1) đối xứng nên để xác định chu kỳ dao động ta cần xét phần t− chu kỳ đủ, chu kỳ dao động tính theo (5-4) bằng:

∫

ξ −

ξ ⋅

=

0

0

d k x

1

T (5)

Biểu thức (5) chứa tích phân Ellíptíc toàn phần loại mét: ∫

ξ −

ξ

=

0

4

1 d

K (6)

Tích phân (6) thờng đợc biểu diễn d−íi d¹ng chn sau:

∫

ϕ −ε ′ + ε

ε =

ϕ

cos (1 2)(a a2 2)

d )

, a (

K (7)

ở đây: a = sinα , a′ = cosα LÊy

2 ,

π = ϕ π =

α ta cã:

∫ −εε

=

π

0

4

1 d ) / (

K , tra b¶ng K=1,8541

Thay thÕ kết vào (5), với ý: 2

0

mL C

k = , ta đợc:

C m x

L 8541 , T

0

=

ThÝ dô 5-2:

Cho biết khối l−ợng m đ−ợc gắn cứng vào yếu tố đàn hồi phi tuyến với đặc tr−ng F = (Cx + C1x

3

) (Hình 5-11) Lập ph−ơng trình vi phân dao động tự khối l−ợng m, bỏ qua ma sát

C m x

a

Tìm phụ thuộc tần số dao động biên độ, biết thời điểm ban đầu độ lệch khối l−ợng vị trí cân A, vận tốc chuyển động Lấy A = 1cm, C = 1N/cm, C1 = 0,5 N/cm, m = 1Ns2/cm

Hình 5-11

Bài giải:

H mt bc tự do, chọn toạ độ suy rộng q = x Ph−ơng trình vi phân chuyển động khối l−ợng m có dạng:

(1)

0 ) x ( F x

m + =

• •

Thay F(x) = Cx+C1x3 vào ta đợc: x+p2x+Mx3 =0 (2)

m C ;

m C

p2 = μ= tham số bé

Nghiệm phơng trình tìm phơng pháp tham số bé (dới dạng chuỗi) x = x0 + μx1 + μm2x

2 + (3) Đặt: p2 = p

1 2+

1a1+ 2a2+ (4)

ở p1, a1, a2 số

Thay (3), (4) vào (2) hạn chế số hạng chứa bậc nhất, ta đợc: ( 1 12 1 1 0 03)

0

0+ +μ + + + =

• •

x x a x p x x

p

x (5)

Phơng trình (5) phải thoả mÃn với giá trị nhỏ tuỳ ý, suy ra:

(6)

0 x p

x

2

0+ =

• •

(7)

) x x a ( x p

x1+ 12 1 =− 1 0 + 30

ã ã

Khi ý tới điều kiện đầu t = 0, x0 = A, , ta tìm đợc nghiệm phơng trình (6) dới dạng:

0 x0 =

•

x0= Acos p1t (8) Thay (8) vào phơng trình (7) ta đợc:

t p cos A t p cos A A a x

p

x1 12 1 1 3⎟ 1 − 1

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

− = +

• •

(9) Nghiệm ph−ơng trình (9) phải giới nội, nghĩa cần loại số hạng đặc tính, ta phải có:

0 A A

a1 + =

(Trong tr−ờng hợp ng−ợc lại tần số lực kích động tần số dao động tự x1 > ∞) Từ suy ra:

2

1 A

4

a =− (10)

Khi tính đến (10) điều kiện đầu, nghiệm ph−ơng trình (9) có dạng: )

t p cos t p (cos p 32

A

x 2 1 1

1

1 = − (11)

VËy tõ (8), (11) ë xÊp xØ bËc nhÊt, nghiệm phơng trình (2), theo (3) biểu diễn d¹ng:

) t p cos t p (cos p A t p cos A

x 2 1 1

1

1

32 −

+

Trên sở hệ thức (10) (4) ta tìm đ−ợc tần số dao động tự do:

2

2

1 A

m C m C A p

p = + μ = +

Thay sè vµo ta cã: p1=1,17 rad/s ThÝ dơ 5-3:

Giải tập theo ví dụ ph−ơng pháp tuyến tính hố, tức việc thay đặc tr−ng phi tuyến lò xo đặc tr−ng tuyến tính nhờ điều kiện cho độ lệch bình ph−ơng đặc tr−ng tuyến tính đặc tr−ng phi tuyn tr nờn cc tiu

Bài giải:

Thay đặc tr−ng phi tuyến F = Cx + C1x3 đặc tr−ng tuyến tính F

* = C0x, cần có điều kiện:

∫ − + =

A

Min dx )] x C Cx ( x C [

0

3

Tính tích phân nói lấy đạo hàm biểu thức thu đ−ợc theo tham số cần tìm C0 ta có:

2

0 C A

5 C

C = +

Từ ta tìm đ−ợc tần số dao động tự khối l−ợng:

A m C m C m

C

p= = +

Thay giá trị số ta đợc p = 1,14 rad/s (từ kết thí dô 2, ta cã p1= 1,17 rad/s) ThÝ dô 5-4:

Ng−ời gắn khối l−ợng m vào đầu mút yếu tố đàn hồi phi tuyến (lị xo) (Hình 5-12) Tìm phụ thuộc biên độ dao động cững khối l−ợng biên độ lực kích động điều hoà P = P0sin ωt, giả thiết đặc tr−ng lị xo có dạng F = Cx + C1x3, ma sát khơng đáng kể Tính biên độ dao động tr−ờng hợp: F0 = 20N, ω = 10rad/s, m = 10-1Ns2/cm, C = 15N/cm; C1= N/m3

Bài giải:

m H mt bc tự chọn toạ độ suy rộng q = x Ph−ơng

trình vi phân mơ tả dao động c−ỡng hệ có dạng:

C

mx+F(x)=P(t) (1)

• •

Thay F(x) = Cx+C1x3, P(t) = P 0sinωt

Ta cã: mx Cx C x P0sin t (2)

3

1 = ω

+ +

• •

x x

F

Theo phơng pháp Butnôp-Galepkin Nghiệm phơng trình (2) tìm dạng: x1= x0sinωt (3) Thay (3) vµo (2) råi cho tÝch phân sau 0:

ã ã

= ω

− +

+

=

2

0

1

3 1 1

1 C x C x P sin t]x dt

x m [

I (4)

Trong 2π

- chu kỳ dao động Sau lấy tích phân ta đ−ợc phụ thuộc x0 F0:

4 x0

η

η

η

1 2,27

2

1

O

(C m )x P

x C

0

0

1 + − ω − = (5)

Ta giải ph−ơng trình (5) đồ thị Muốn ta vẽ đồ thị hàm số:

3 1

4

x C

= η

H×nh 5-13

0

2 =P −(C−mω )x

η

Bμi tËp ch−¬ng I

Dao động tuyến tính hệ bậc tự

1. Xác định chu kỳ dao động tải trọng Q gắn vào lị xo tìm hệ số cứng t−ơng đ−ơng hệ mơ tả hình vẽ Các tải trọng dịch chuyển theo ph−ơng thẳng đứng

Tr¶ lêi: 1a) 1 2

2

2 ; C C C

) C C ( g

Q C

M

T = +

+ π

= π =

1b) 1 2

2

2 ; C C C

) C C ( g

Q

T = +

+ π

=

1c)

2

2

1 2

C C

C C C ; ) C C ( g

) C C ( Q T

+ = +

π =

1d)

2

2

48 48

C C

C C C ; gCEJ

) EJ CL

( Q T

+ = +

π =

1e) 3 1 3

3 48

48

L EJ C

C ; ) EJ CL

( g

QL

T = +

+ π

=

L L

2. Một tải trọng khối l−ợng m đ−ợc gắn vào không trọng l−ợng cứng tuyệt đối, dài 3L Thanh đ−ợc gắn vào mặt phẳng cố định hai lị xo có độ cứng C Tính tần số dao động riêng lắc khi:

a) Thanh thẳng đứng (hình 2a) b) Thanh nằm ngang (hình 2b) Trả lời: a)

L g m C k

3 +

= b)

m C k

9

=

L L

C1 C

1 EJ C1

C1 C2 EJ

Q

Q

C2

C2

Q

Q Q

a) d)

H×nh vÏ bt C1

L C

L

3. Tìm tần số dao động riêng lắc thẳng đứng, giả thiết tuyệt đối cứng Trả lời:

L g m C k

2 m

=

4. Hãy xác định chu kỳ dao động nhỏ lắc dùng số máy ghi động đất Con lắc gồm cứng chiều dài L, đầu mang khối l−ợng m bị ép hai lị xo nằm ngang có độ cứng C, đầu ngồi lị xo gắn chặt Bỏ qua khối l−ợng coi lị xo vị trí cân ch−a bị dãn

Tr¶ lêi:

L g m

C T

− π =

2

5. Ng−ời ta gắn tải trọng khối l−ợng m lên cột chống mềm thép độ cứng C1, tiết diện ngang hình chữ nhật Cột đ−ợc giữ thẳng đứng nhờ hai lò xo với độ cứng C2 Tìm tần số dao động riêng tải trọng, biết khối l−ợng cột chống lò xo nhỏ so với khối l−ợng tải trọng; ảnh h−ởng trọng l−ợng tải trọng lên độ uốn cột chống bỏ qua

L L

L

C m

C C

L m

a) b)

H×nh vÏ bt

H×nh vÏ bt

m

L L

L

C C

C C

H×nh vÏ bt L

L

C C

m

Tr¶ lêi:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ + −

− =

EJ

) a L ( a C L mL

mgL a

C

k 2 2

2 2

Trong ghi rung dùng để ghi dao động móng, phận máy, , lị xo xoắn có độ cứng C giữ lắc trọng l−ợng Q lệch khỏi đ−ờng thẳng đứng góc α Mơ men qn tính lắc trục quay J Hãy xác định chu kỳ dao động tự ghi rung

Tr¶ lêi:

C cos Qs

J T

+ α π

=2

h×nh vÏ bt L

a m

C2 C2

EJ

s α

Q

h×nh vÏ bt

7 Hãy xác định chu kỳ dao động tự móng máy đặt đất đàn hồi bị lệch khỏi vị trí cân Trọng l−ợng móng máy Q=1470KN, diện tích đế móng S = 50m2; độ cứng riêng đất λ=30N/cm3(Hệ số cứng đất C=λS)

Tr¶ lêi: , rad/s

gC Q

T=2π =62810−2

8 Lồng thang máy có trọng l−ợng Q = 30KN hạ xuống giếng mỏ với vận tốc u = 3m/s, hãm chặt đầu dây cáp lại, lồng không hạ xuống Hãy xác định chuyển

Q

h×nh vÏ bt

Q x x

động tiếp sau lồng, hệ số cứng dây C = 27,5 KN/cm Bỏ qua khối l−ợng dây cáp

Tr¶ lêi: x =0,1sin(30t) cm

9 Một đĩa khối l−ợng m, mômen quán tính khối l−ợng Jo, đ−ợc gắn vào may bán kính r May đĩa đ−ợc đặt lên thiết bị dẫn h−ớng cong trịn bán kính R Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ tự đĩa với giả thiết đĩa chuyển động may không tr−ợt cấu dẫn h−ớng

Tr¶ lêi: ( )

2

2 ϕ=

− +

ϕ

+ •• sin

r R

r mg J

mr o

Dao động nhỏ: ( )

2 ϕ=

− +

ϕ + ••

r R

r mg J

mr o

C

R

α

r R

h×nh vÏ bt h×nh vÏ bt 10

10 Một xe goòng khối l−ợng m đ−ợc đặt mặt nhám nằm nghiêng, xe goòng đ−ợc giữ mặt nghiêng lị xo có độ cứng C Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ xe gng, biết cặp bánh xe gng có mơ men quán tính khối l−ợng J; bán kính bánh xe R bánh xe lăn không tr−ợt mặt nghiêng

Tr¶ lêi: (mR2 +2J)ϕ+CR2ϕ=0; ϕ - gãc quay bánh xe

ã ã

11 Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ tự khối l−ợng m hệ mơ tả hình vẽ, biết lực cản dao động tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển động:

•

α

= y

F

Tr¶ lêi:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ α− δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− δ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ α− δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− δ =

• •

•

• •

•

k k

k

y y

m y

y y

m y

22 21

12 11

12 Ng−ời ta gắn tải trọng có trọng l−ợng P vào cứng tuyệt đối khơng qn tính dài L Thanh đ−ợc giữ vị trí cân nhờ lị xo giảm chấn Bộ giảm chấn có đặc tr−ng ma sát tuyến tính

•

α

= x

Tính tần số dao động riêng hệ độ suy giảm tắt dần Logarít Λ dao động Biết P = 100N; L = 50cm; a = 20cm; đ−ờng kính lị xo D = 5cm; đ−ờng kính dây lị xo d = 0,5cm; số vịng lị xo i = 5; mơđun đàn hồi G = 8.106N/cm2; hệ số cản chuyển động giảm chấn α = 3NS/cm

Tr¶ lêi: K1 =11,5 rad/s; Λ = 1,29

a L C

P

m y K

EJ

α

L/2 L/2

h×nh vÏ bt 12 h×nh vÏ bt 11

13 Gắn khối l−ợng m vào đầu Gắn vào phần tử cản đàn hồi Bỏ qua khối l−ợng

a) Phải chọn độ lớn hệ số cản b để hệ dao động nhỏ;

b) Xác định độ cản Lehr D cần thiết để sau 10 dao động biên độ giảm 10

1

biên độ chu kỳ đầu; sau xác định chu kỳ dao ng

(Độ cản Lehr:

mC b k n D

2

=

= ; Độ suy giảm tắt dần Logarit: )

D D T

2

− π = δ = Λ

Tr¶ lêi: a)

a gm Cm b

2

+

< b)

gm aC

am T

; , D

+ π

= =

2 2

037

14 Hệ cho hình vẽ nằm mặt phẳng thẳng đứng Vị trí cân tĩnh hệ ứng với vị trí cân tĩnh OM thời điểm đầu lệch khỏi vị trí cân tĩnh ng−ợc chiều kim đồng hồ góc ϕ0 khơng có vận tốc ban đầu Xác định dao động nhỏ hệ Khối l−ợng lò xo, thanh, giảm chấn ma sát lề bỏ qua Lấy trọng l−ợng tải trọng M P = 200N, L = 90cm, L1 = 40cm, L2 = 20cm, ϕ0 = 60, C = 20N/cm, μ = 15NS/cm

C m

b

a a

M B

C C

O

L L2 L1 A

μ

ϕ

h×nh vÏ bt 13 h×nh vÏ bt 14

15 Cho biết cấu gồm tải trọng khối l−ợng m đ−ợc gắn vào hai lò xo độ cứng C Tải trọng đ−ợc ngâm ống đầy chất lỏng Lực cản chuyển động tải trọng ống đ−ợc điều chỉnh nhờ thay đổi khe hở tải trọng ống độ nhớt chất lỏng

a) Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ tự tải trọng

b) Tính thời gian để biên độ dao động tự tải trọng giảm 100 lần, biết t = 0: x(0) = x0, =0

• ) (

x

Khi giải giả thiết lực cản chuyển động tải trọng tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển động; m=0,5NS2 /cm; C =10N/cm; α=5NS/cm

Tr¶ lêi :

[ ]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

= =

= α

= −

= −

s 92 , 100 Ln n t

m C k , m n , t n k cos e x x

1

2

2 nt

0

C C m

h×nh vÏ bt 15

C

m H

d

16 Bộ phận cản thuỷ lực (hoàn xung hay giảm chấn thuỷ lực) píttơng khối l−ợng m chuyển động chất lỏng Hãy khảo sát chuyển động píttơng biết t = píttơng lệch với vị trí cân khoảng y0 = 0,5cm Tìm thời gian để độ lệch píttơng vị trí cân giảm hai lần

Cho biết: độ cứng lò xo C=30N/cm; đ−ờng kính hình trụ D = 10cm; đ−ờng kính lỗ hở píttơng d = 1cm; số lỗ hở z = 25; trọng l−ợng pittông Q = 27,3N; chiều cao píttơng H = 5cm Hệ số nhớt động lực chất lỏng μ=6.108NS/cm; tính lực cản nhớt lấy β theo công thức:

4

128

4

D H

; z d

π = σ π

σ μ =

β diện tích ngang píttông

Trả lời:

[ ]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

= =

=

= β = −

= −

s 03 , t ; s / rad 1080 m

C k

42 , m n , t n k cos e y y

1

2 nt

0

17 Tìm biểu thức phụ thuộc tần số dao động xoắn riêng trục máy trộn độ nhớt chất lỏng đem trộn nh− thời gian để biên độ trục máy trộn giảm 10 lần sau môtơ dừng lại đột ngột, biết vận tốc quay tr−ớc lúc môtơ dừng lại Ω

Khi tính giả thiết khối l−ợng trục nhỏ so với khối l−ợng cánh, mơmen qn tính khối l−ợng cánh J = 50 Ncms2, đ−ờng kính trục d = 5mm; độ dài trục L = 0,5m; hệ số cản nhớt α =120N cms; môđun tr−ợt vật liệu trục G=8.106 N/cm2

Tr¶ lêi: e cos , t; t , s C

t

, 425 19

1

1 =

Ω α − =

ϕ −

18 Máy rung dùng để tạo dao động gồm hai đĩa mắc lệch tâm hai trục song song, trọng l−ợng đĩa Q, trọng l−ợng toàn máy P, tâm sai hai đĩa r Khi lắp ráp ban đầu đĩa tạo với ph−ơng nằm ngang góc α1, α2

L d

O1 O2

Q Q

C

Hai đĩa quay ng−ợc chiều với vận tốc góc ω Máy gắn bu lông bệ đàn hồi độ cứng C Hãy xác định biên độ dao động c−ỡng máy, bỏ qua trọng l−ợng

Tr¶ lêi:

2 sin ) Q P ( Cg

Qr

A

2

α + α +

− ω =

19 Hệ tạo từ tải trọng M trọng l−ợng P1 = 80 N, khơng trọng l−ợng lị xo có độ cứng C = 5N/cm nằm mặt phẳng đứng Thanh OA chuyển động theo rãnh thẳng đứng với quy luật y0 = Lsinpt (L = 1,6 cm; p = rad/s) Vị trí nằm ngang BM t−ơng ứng với vị trí cân tĩnh y = Xác định dao động nhỏ tải trọng h−ớng thẳng đứng Biết L1 = 90 cm; L2 = 60 cm Tại thời điểm đầu (t = 0) hệ vị trí cân tĩnh, vận tốc góc BM nh− vận tốc tải trọng M 0; y = 0; bỏ qua ma sát

Tr¶ lêi: ϕ = 0,0785sin5,2t − 0,0505sin8t

20 Cơ cấu dẫn động cho van có sơ đồ hố d−ới dạng khối l−ợng m mắc hai lị xo: Lị xo có độ cứng C gắn vào điểm cố định, Lò xo d−ới có độ cứng C1 gắn vào cam chuyển động tịnh tiến Trên mặt cắt cam phải định tr−ớc chuyển động thẳng đứng xác định công thức:

x1 = a(1 − cosωt) ≤ t ≤

ω π

2

x1 = t >

ω π

2

Hãy xác định chuyển động khối l−ợng m

Tr¶ lêi: ⎢⎣⎡ − ω ⎥⎦⎤

ω − + −

= (coskt cos t)

k )

kt cos ( k

1 m

a C

x 2 2 2

t ≤ ≤

ω π

2

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡

ω π − −

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ −

ω −

= coskt cosk(t )

k k

m a C x

2

1

2 2

t >

ω π

2

A C

B

O

M C

m

L2 L1

x

C1 y0

21 Một động có trọng l−ợng Q đặt thẳng đứng bệ máy có diện tích đáy S; độ cứng đất λ; độ dài tay quay động L; vận tốc góc trục ω Píttơng phần không cân thực chuyển động tịnh tiến qua lại có trọng l−ợng P Trọng l−ợng móng máy G tay quay coi nh− cân nhờ đối trọng Hãy xác định dao động c−ỡng móng máy, bỏ qua khối l−ợng truyền

Tr¶ lêi: cos t

) k

)( G Q (

Pr L

r t cos ) k

)( G Q (

Pr ω

ω − +

ω +

ω ω

− +

ω =

ξ

4 2

2

2

L

r

ω

G P

ξ

Q

η

ζ

O

α

m C

x1(t)

h×nh vÏ bt 22 h×nh vÏ bt 21

22 Bánh xe lăn đ−ờng gồ ghề có vận tốc trục bánh xe không đổi V Tải trọng khối l−ợng m gắn với trục bánh xe lò xo độ cứng C Trong lị xo có ma sát nhớt, hệ số cản α lực cản tỉ lệ với vận tốc t−ơng đối Bỏ qua biến dạng bánh xe mặt đ−ờng Viết ph−ơng trình dao động t−ơng đối thẳng đứng tải trọng Biết ph−ơng trình mặt đ−ờng: ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π η

=

η ξ

L sin2

max với L - chiều dài sóng

Trả lời: (ncos psin )sink t] Bcos(pt ) k

t k cos [cos Be

y= −nt ε + ε+ ε 1 − −ε

1

1

2 p P

; p n ) p k (

P B

; p k

np arctg ;

L V p

2 max 2

2

2 =η

− − =

− =

ε π =

23 Cho biết thời điểm ban đầu khối l−ợng m lệch khỏi vị trí cân khoảng x0 Nó đ−ợc thả tự khơng có vận tốc ban đầu Khi khối l−ợng tr−ợt mặt, chúng xuất lực ma sát khô (ma sát Culông) Sự phụ thuộc lực ma sát Ft với vận tốc khối l−ợng m đ−ợc mơ tả hình vẽ Tìm quy luật chuyển động khối l−ợng m

•

x

Tr¶ lêi:

m C k , mk

F ) ( kt cos mk

F ) n ( x

x n1 t2

2 t

m ⎥⎦ + − =

⎤ ⎢⎣

⎡ −

−

24 Giả sử lực kích động biến đổi theo quy luật: F(t) = F0⏐sinωt⏐ tác dụng lên khối l−ợng m Lập ph−ơng trình dao động c−ỡng tải trọng cho biết với tần số ω lực kích động hệ xảy cộng h−ởng (bỏ qua ma sát)

Tr¶ lêi: ∑

∞

= − + − ω

ω π

− π =

1

n 2

0

) n k )( n )( n (

t n cos m

F C F

x ;

n

k

=

ω ; n = 1, 2,

•

x m C/2 x

Ft

m

t F(t) C

F(t)

π/ω 2π/ω

F0 C

h×nh vÏ bt 23 h×nh vÏ bt 24

25 Hãy khảo sát chuyển động khối l−ợng m có lực ngồi khơng đổi Q đột ngột tác dụng lên (tức giả thiết F(t) = Q)

Tr¶ lêi: y(t) = 2 mp

Q

(1 – cos pt); ymax = 2δt

m

ω

F(t)

t

26 Ng−ời ta đặt khối l−ợng m lên hai lò xo, lị xo có độ cứng C nối với cấu tay quay then truyền qua giản chấn có hệ số cản nhớt α Viết ph−ơng trình vi phân chuyển động khối l−ợng m Tìm ứng suất xuất lị xo, biết đ−ờng kính lị xo D, đ−ờng kính dây thép lị xo d, vận tốc góc tay quay ω tần số dao động riêng tắt dần khối l−ợng m lò xo

F(t)

m

α

C L

δt

r

C

Tr¶ lêi:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

=

= α

= ω

ω = +

+

τ

• •

•

3

2

2 2

d D mg Cr

m C k ; m n ; t cos r n x k x n x

max

27 Để giảm ảnh h−ởng dao động (hoặc dầm) tới chế độ làm việc máy ng−ời ta th−ờng dùng ph−ơng pháp cách ly rung thụ động Đó việc đặt (hoặc treo) máy giảm rung mềm Tính hệ số động lực (tỷ số biên độ dao động a khối l−ợng m với biên độ dao động (hoặc dầm) x0) sơ đồ mơ tả hình vẽ

Tr¶ lêi: 2

0 d

k

1 x

a K

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω − = =

l ; a)

1

C m Kd

ω − =

l ; b)

3

1 C m Kd

ω − =

l ;

C m

m C

x0sinωt x0sinωt

L L

a) b)

h×nh vÏ bt 27

28 Để giảm tác dụng lực quán tính gây chi tiết cân máy xuống (móng), ng−ời ta dùng ph−ơng pháp cách ly rung động Đó việc đặt treo động lên gối mềm đàn hồi Tính hệ số truyền động lực lực quán tính xuống chỗ gắn gối đàn hồi với độ cứng C Dầm đặt động đ−ợc xem nh− cứng tuyệt đối

Tr¶ lêi:

2 t

d d

k

1 R

R K

ω − =

= l

l ; a)

C m

1

Kd 2

ω − =

l ; b)

C m

1

Kd 2

ω − =

l ; c)

C 20

m

1

Kd 2

ω − =

l

P0sinωt

C m

L C

C

P0sinωt P0sinω

m m

t

L C

L L

L1 L1

h×nh vÏ bt 28

29 Để cách ly rung động máy thiết bị tới giá đỡ đàn hồi ng−ời ta th−ờng đ−a vào yếu tố hao tán Đó giảm chấn có ma sát nhớt Hãy tính hệ số động lực sơ đồ mơ tả hình vẽ Khi tính lấy giá trị nh− sau: m=1NS2/cm; ;

;

s / rad 100

= ω

cm / NS 60

=

α 200N/cm

L EJ =

Tr¶ lêi: 0316

2

1

2

2

2

, ; k

n k

= η ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ ω

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ ω

− = η

30 Khảo sát dao động c−ỡng khối l−ợng m có xung lực tuần hồn dấu khoảng hữu hạn t1 độ cao h tác dụng lên

Tr¶ lêi:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

2 t t p sin p

2 T sin

2 t T t p cos

t p sin h ) t (

y

0

1

1

Trong khoảng: Tt< nghiệm đợc thác triển tuần hoàn víi chu kú T

EJ m EJ

P0sinωt

α

L

L t

F(t)

C m F(t)

T T T

h

Bμi tËp ch−¬ng II

Dao động tuyến tính hệ nhiều bậc tự

31. Hai tải trọng khối l−ợng m1, m2 treo vào lị xo có độ cứng C1, C2 t−ơng ứng Xác định tần số dao động hệ khi: a) C1 = C2 = C b) C1 = C2 = C m1 = m2 = m

Tr¶ lêi: a)

2

2

2

2 2

1 2

1

4 2

2

m m

C m

m

C ) m m ( m

m C ) m m (

k , = + m + −

b) (3 5)

1

1 m

m C k , =

C1

C2 m2 m1

h×nh vÏ bt 31 h×nh vÏ bt 32

32. Một móng máy nặng Q = 1000KN đặt đất đàn hồi Diện tích đáy móng S =17m2; độ cứng riêng đất bằng: Λ = 60000KN/cm3 Để khử dao động cộng h−ởng phát sinh máy làm việc ng−ời ta đặt máy bệ nặng liên kết với móng lị xo đàn hồi có độ cứng tổng cộng là: C=50.000KN/m Trọng l−ợng máy bệ P = 49 KN Hãy xác định tần số dao động hệ (móng giảm rung)

Tr¶ lêi: k1 =89,5rad/s; k2 =111,7rad/s

33. Hãy xác định tần số dao động xoắn hệ gồm trục ba đĩa đồng chất nh− lắp trục Hai đĩa lắp chặt vào hai đầu, cịn đĩa thứ ba lắp chặt vào Mơmen qn tính đĩa đ−ờng tâm trục J; độ cứng xoắn phần trục C1 = C2 = C Bỏ qua khối l−ợng trục

Tr¶ lêi:

J C k

, J C

k1 = 2 =

34. Hai lắc nh− có độ dài L khối l−ợng m nối với khoảng h lị xo có động cứng C Các đầu lị xo gắn chặt vào chúng Hãy xác định dao động nhỏ hệ mặt phẳng chứa vị trí cân lắc, sau làm cho lắc lệch khỏi vị trí cân góc α Vận tốc ban đầu chúng Bỏ qua khối l−ợng lò xo

Tr¶ lêi: ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

α =

ϕ cos k k t cos k k t

2

2

1

1 ; ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

α =

ϕ sin k k t sin k k t

2

2

Trong đó: L g

k1 = ; 2

2

2 mL

Ch L g

k = +

C

m m

h

L

C M

35. Con lắc gồm chạy khối l−ợng M tr−ợt không ma sát mặt phẳng nằm ngang cầu nhỏ có khối l−ợng m nối với chạy dài L, quay quanh trục gắn liền với chạy Lị xo có độ cứng C, đầu gắn với chạy đầu gắn cố định Hãy xác định tần số dao ng nh ca h

Trả lời: Tần số phải tìm nghiệm phơng trình:

⎟ + =0

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + +

−

ML Cg k

ML ) m M ( g M

C k

36. Thanh đồng chất có độ dài L treo vào điểm cố định nhờ sợi dây dài l = 0,5 L Hãy xác định tần số dao động hệ tìm tỷ số độ lệch khỏi đ−ờng thẳng đứng dây ứng với dao động thứ thứ hai Bỏ qua khối l−ợng dây

Tr¶ lêi:

l l

g , k ; g ,

k1 =0677 2 =2558 ϕ1 = 0,847ϕ2 dao động thứ

ϕ1 = −1,180ϕ2 dao động thứ hai

ϕ

h×nh vÏ bt 34 h×nh vÏ bt 35

m

b C

a l

l

ϕ1

L

ϕ2 L

m=P/g m=P/g

37. Hai lắc vật lý nh− treo vào hai trục song song đặt mặt phẳng nằm ngang nối với lị xo có độ dài trạng thái ch−a bị căng khoảng cách hai trục lắc

Hãy xác định tần số, tỷ số biên độ dao động hệ góc lệch khỏi vị trí cân nhỏ Trọng l−ợng lắc P, bán kính qn tính trục qua trọng tâm song song với trục treo ρ, độ cứng lò xo C, khoảng cách từ trọng tâm lắc từ điểm gắn lò xo vào lắc đến trục treo t−ơng ứng a b Bỏ qua sức cản chuyển động khối l−ợng lị xo

Tr¶ lêi:

) a ( P

g ) Cb Pa ( k ; a ga

k 2 2

2

2 2

2

+ ρ

+ = +

ρ

= ; 2

2 1

2

1 =+ =− ) (

) (

) (

) (

A A ; A

A

38. Hãy nghiên cứu dao động toa xe lửa mặt phẳng thẳng đứng nó, trọng l−ợng phần lị xo toa xe Q Khoảng cách từ trọng tâm đến mặt phẳng thẳng đứng qua trục L1 = L2 = L, bán kính quán tính trục trung tâm song song với trục toa xe ρ, độ cứng lò xo hai trục nh−

nhau C1 = C2 = C

Trả lời: x = Asin(k1t+α); ϕ = Bsin(k2t+β) Trong đó: x dịch chuyển thẳng đứng trọng tâm toa xe; ϕ góc tạo sàn toa xe với mặt phẳng nằm ngang; A, B, α, β

h»ng sè tÝch ph©n; 2

2

1

2

ρ = =

Q CgL k

; Q Cg k

L1 L2

L C

R A O

m

h×nh vÏ bt 38 h×nh vÏ bt 39

39. Một đĩa trịn đồng chất bán kính R khối l−ợng M nối khớp với OA = L, quay quanh trục cố định nằm ngang Chất điểm khối l−ợng m gắn chặt vào vành đĩa Hãy xác định tần số dao động tự hệ, bỏ qua khối l−ợng Đĩa quay mặt phẳng dao động OA

Trả lời: Tần số dao động tự nghiệm ph−ơng trình:

2

2

4 =

− + +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + +

+ + −

) m M ( MRL

) m M ( mg k

L g MR

) L R ( m m

40. Hãy xác định tần số dao động xoắn tự hệ gồm hai trục liên kết với bánh truyền động Mơmen qn tính khối l−ợng lắp trục mơmen qn tính bánh đ−ờng tâm trục bằng: J1 = 87500 kgcms2; J2 = 56000 kgcms

2

; J1z = 302 kgcms

; J2z = 10,5 kgcms

; Tû sè truyÒn λ = Z1/Z2 = 5; Độ cứng trục xoắn: C1 = 316.106 Kgcm; C

2 = 115.10

6 Kgcm Bỏ qua khối lợng trục

Tr¶ lêi: k1 = 54,8 rad/s; k2 = 2,38.103 rad/s

41. Một hệ gồm khối l−ợng m1 pittông giảm chấn gắn cứng với điểm B Nhờ lị xo có độ cứng C1, hệ treo vào phẳng A chuyển động theo quy luật:

ξ = ξ(t) Hộp giảm chấn có khối l−ợng m2 tựa lị xo có độ cứng C2, đầu lị xo tựa pittơng Ma sát nhớt giảm chấn tỷ lệ với vận tốc t−ơng đối pittông so với hộp, hệ số cản β

Hãy thiết lập ph−ơng trình chuyển động hệ

Tr¶ lêi:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= +

− β + β −

ξ = −

+ − β − β +

• • • •

• • • •

0 x C x C x x x m

) t ( C x C x ) C C ( x x x m

2 2 2

1 2 2 1

42. Hãy tìm tần số dạng dao động hai tải trọng nh− Q, gắn vào hai đầu dầm công xôn nằm ngang Dầm có độ dài 3L nằm tự hai gối đỡ cánh khoảng L, điểm gắn tải trọng cách gối khoảng L nh− Mơmen qn tính tiết diện ngang dầm J; Môđun đàn hồi vật liệu dầm E Bỏ qua khối l−ợng dầm

Tr¶ lêi: 1 3 2 3

5

QL EJg k

; QL

EJg

k = =

ξ(t)

C2 C1

m1 O A

B m2 O1 II

I I

h×nh vÏ bt 40 h×nh vÏ bt 41

43. Động điện trọng l−ợng Q1 gắn móng bê tơng đàn hồi (dạng hình hộp đặc) có trọng l−ợng Q2 hệ số cứng C2 Móng đặt đất cứng Rơto có trọng l−ợng P lắp trục đàn hồi nằm ngang có hệ số cứng uốn C1, tâm sai Rôto trục r, vận tốc góc trục ω Hãy xác định dao động c−ỡng thẳng đứng Stato động có tính đến ảnh h−ởng khối l−ợng móng cách cộng thêm 1/3 khối l−ợng vào khối l−ợng Stato

Trả lời: Độ lệch khỏi vị trí cân b»ng cña Stato:

4

2

1

1 2

2

3

1 ω + + ω

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ + + +

−

ω ω =

) Q Q ( g ) Q Q

( C P ) C C ( g C C

) t sin( Pgr C y

L L L

Q Q

P

ωt r C1

Q1 C2

Q2

h×nh vÏ bt 42 h×nh vÏ bt 43

44. Ba toa tầu chở hàng móc với nhau, độ cứng móc nối toa C1, C2 Trọng l−ợng toa Q1, Q2, Q3 Tại thời điểm ban đầu hai toa vị trí cân bằng, cịn toa cuối bên phải lệch khỏi vị trí cân khoảng x0

a) Tìm tần số dao động hệ

b) Xác định chuyển động toa xe vẽ dao động tr−ờng hợp: Các toa xe có trọng l−ợng (Q1 = Q2 = Q3 = Q) móc nối có độ cứng nh−

nhau (C1 = C2 = C3 = C) Tr¶ lêi:

a) k1 = 0, k2 k3 nghiện phơng tr×nh:

3

3

3 2

2 2

3

2 1

4 =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ +

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ + + −

Q Q

C C Q Q

C C Q Q

C C g k Q C Q

C C Q C g k

b) x1 x0 x0 cosk2t x0 cosk3t

2

3 − +

= ;

x2 x0 x0 cosk3t

3 −

x3 x0 x0 cosk2t x0 cosk3t

2

3 + +

= ;

Q Cg k

; Q gC

k2 = 3 =

Các dao động biểu diễn nh− sau:

1

1

1

2

1

45. a) Xác định tần số dao động riêng dầm tiết diện khơng đổi có hai khối l−ợng tập trung m1 = m, m2 = 2m (Hìnhvẽ 45a)

b) Đặt lực tức thời P(t) =P0 lên khối l−ợng m1 Tìm quy luật dao động tải trọng mơmen uốn dầm (Hình vẽ 45b)

Tr¶ lêi: a) 1 56117 3 2 1710 3 mL

FJ ,

k ; mL

EJ ,

k = =

b) ( cosk t cosk t cosk t) EJ

L P

x 1 2 3

3

1 =3888 25−20 −4 −

( cosk t cosk t) EJ

L P

x 1 3

3

2 39 40

3888 − +

=

( cosk t cosk t cosk t) EJ

L P

x 1 2 3

3

3 17 20

3888 − + −

=

1 5643 3 2 224045 3 2 36 3 mL

EJ k

; mL

EJ ,

k ; mL

EJ ,

k = = =

P

46. Ng−ời ta gắn trục chung động bốn nhịp với ba xi lanh Rơto máy phát điện chiều có mơmen qn tính J1 = 1,78.103 kgcms2 Rơto máy phát điện xoay chiều có mơmen qn tính J2 = 5J1 bánh đà có mơmen qn tính J3 = 50J1 Độ dài thu gọn phần trục L1 = 373 cm; L2 = 239 cm; Môđun tr−ợt vật liệu trục G;

m1 m2 m3

C1 C2 EJ m1 m2

L/4 L/4

L L

L/6 L/3 L/3 L/6

0

m1 m2 m3 EJ

a) b

mômen quán tính độc cực tiết diện trục JP; tích GJP = 10 10

kgcm2 Hãy xác định: Tần số dao động hệ, vận tốc tới hạn trục Bỏ qua ảnh h−ởng khối l−ợng pittơng, truyền, tay quay trục

Tr¶ lêi: k1 = 0; k2 = 6,43 s-1; k

3 = 138 s -1; ω(1)

th = 42,6 s -1; ω(2)

th = 92 s -1

L1 L2 J1 J2 J3

Bμi tËp ch−¬ng III

Dao động hệ có vô số bậc tự

47. Trên bị ngàm hai đầu tác dụng lực dọc trục không đổi P Dao động xảy nh− lực P bị cắt bỏ

Tr¶ lêi:

EF P ;

t p cos L

x n sin n ) ( L

U n

n

, ,

n

1

2

1

3

2 ε=

π −

π ε

= −

=∑

48. Hãy xác định tần số riêng hàm riêng đầu bị ngàm chặt, đầu mang khối l−ợng m

Tr¶ lêi: ; n , ,

L x sin C ) x ( x ; L E

p n

n n

n

n =1

λ =

ρ =

n

nghiệm phơng tr×nh: L ; F

EJ ;

L m g

cot λ λ = μρ μ =ρ

μ =

λ 4

49. Một bị ngàm chặt đầu phải, bên trái gắn vào lò xo Xác định tần số riêng

L EF C* =

Tr¶ lêi: 1 2 L E 29 , p

ρ =

L/2 L/2 L L

Pr x

O O

m

x C* O

x

εL/2

h×nh vÏ bt 47 h×nh vÏ bt 48 h×nh vÏ bt 49

50. Trục đồng chất hình trụ trịn đặt hai ổ đỡ nh− hình vẽ Biết JP1/ JP2 =

Xác định tần số riêng dao động xoắn trục

Tr¶ lêi: λ

ρ =

λ

= ;

a G 15 , a

a

p 2

* *

1

1 nghiệm phơng trình: sinλ+3sin3λ=0 m

ρG, JP2

ρG, JP1 ρE, EJ

L

a* 2a*

51. Cho dầm đồng chất tiết diện không đổi, đầu trái bị ngàm chặt, bên phải tự mang khối l−ợng m Biết

4

= = ε

μL m

Xác định tần số riêng tần số riêng bậc

Tr¶ lêi: 4 ML

EJ

pn =λn ; 1 1742 4 L EJ ,

p

μ

=

Bμi tËp ch−¬ng V

Cơ sở lý thuyết dao động phi tuyến

52. Một xà cứng có tiết diện ngang không đổi dài 2L, khối l−ợng m đ−ợc gắn lề điểm A đ−ợc giữ thăng hai lị xo có độ cứng C

Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ xà, biết phụ thuộc lực cản lò xo độ dãn dài tuyến tính Tìm tần số riêng dao động nhỏ xà

Tr¶ lêi: a)

1 1

1

2

2

= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

ϕ α + − ϕ α − ϕ

α ϕ +

α••

sin sin sin

sin sin

cos cos CL

mL

b) = cosϕ m

C

p

C C

A

L L

ϕ

O

53. Một xà cứng độ dài 2L, tiết diện ngang không đổi, trọng l−ợng Q, đ−ợc treo đầu mút đ−ợc giữ thẳng đứng nhờ hai lị xo có độ cứng C

Lập ph−ơng trình vi phân dao động tự xà Tính tần số riêng dao động nhỏ xà

Tr¶ lêi: a) ( 1 )

4

3 α+ + α− − α =

+

α•• sin sin

Q Cg sin

L g

; b) ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

=

L Q C g

p

4

54. Cho biết khối l−ợng m di chuyển tự khơng ma sát dọc theo trục nằm ngang hai phía khối l−ợng ng−ời ta gắn hai lò xo nh− nhau, độ cứng C Giữa lị xo gối có khe hở Tìm tần số dao động hệ phụ thuộc vào biên độ x0

Tr¶ lêi:

m C p

; x

2 p

p 0

0

0 =

Δ − Δ + π

π =

C C L

O

ϕ

α

L L

h×nh vÏ bt 52 h×nh vÏ bt 53

m

C1 C2

x0

Δ

C C

Δ

m

h×nh vÏ bt 54 h×nh vÏ bt 56

55. Giải tập 54 với độ cứng hai lò xo khác (C1 C2) Trả lời:

) x )( p p (

p p p

Δ − Δ + π +

π =

0

1

2

2

56. Giả thiết khối l−ợng m dịch chuyển tự (không ma sát) mặt phẳng nằm ngang Khi chuyển động khối l−ợng tiếp xúc với hai lị xo gắn hai phía Lị xo không gắn cứng vào khối l−ợng vị trí cân (khi lị xo khối l−ợng khơng có khe hở) lị xo khơng bị nén kéo Độ cứng lò xo khác C1 C2 Tìm tần số dao động hệ

Tr¶ lêi:

) C C (

C C m

p

2

2

+ =

57. Cho biết khối l−ợng m đ−ợc gắn vào hai lò xo kéo với độ căng ban đầu To Giả sử dao động khối l−ợng mặt phẳng ngang khơng có ma sát Hãy tìm giá trị độ lệch ban đầu x0 cho tần số dao động khối l−ợng rad/s Hãy giải toán ph−ơng pháp tham số bé giới hạn xấp xỉ bậc Cho m = 0,01 Ns2 /cm; L

0 = 50 cm; T0 = 50 N; C = 20 N/cm

Tr¶ lêi: x0≈ 9,12 cm

y

L0

L0

C

C m

x C

Fr

R

58. Cho biết ph−ơng trình dao động tự lắc tốn học có dạng:

sin L

g ϕ=

+

ϕ•• Trong đó: L độ dài lắc

Tìm tần số dao động tự biết khai triển hàm sinϕ chuỗi Taylor ta lấy hai số hạng đầu

Cho biết thời điểm ban đầu (t = 0) lắc lệch khỏi vị trí cân thẳng đứng góc ϕ0 Hãy giải tốn ph−ơng pháp tham số bé ph−ơng pháp tuyến tính hố trực tiếp so sánh kết thu đ−ợc:

Trả lời: a) Phơng pháp tham số bé:

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ ϕ

− =

8

2

1 L g p

Phơng pháp tuyến tính hoá trực tiÕp:

L g p ; p

p ⎟⎟ =

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ − ϕ

=

0 2

0

42 b) Δ=0,006p20ϕ02

59. Tìm tần số dao động địn bẩy cho lực không đổi F tác dụng vào Mơ men qn tính khối l−ợng địn bẩy J, độ cứng trục C

Giả sử dao động địn bẩy lớn, khai triển hàm sinϕ chuỗi Taylor ta lấy hai số hạng sinϕ =

6

ϕ −

ϕ BiÕt ë thêi ®iĨm ban ®Çu (t = 0) gãc quay

của địn bẩy ϕ(0) = 0, cịn vận tốc góc Hãy giải toán ph−ơng pháp tham số bé ph−ơng pháp Butnốp-Galepkin so sánh kết thu đ−ợc

0 )

( •

ã

=

Trả lời: Kết hai phơng pháp trùng nhau:

J FR C p , GJ FR p

4 p

p

2

1

2

− = ⎟⎟

⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ϕ + =

•

60. Ng−ời ta gắn khối l−ợng m vào đầu mút yếu tố đàn hồi phi tuyến (lò xo) Giả sử lực động điều hồ có dạng F = F0 sin ωt, đặc tr−ng lị xo có dạng T = Cx + C1x3 cịn ma sát khơng đáng kể Cho F0 = 20N ; ω = 10rad/s, m = 10 –1Ns2/cm C = 15N/cm; C1 = 1,0N/cm Với giá trị tần số lực kích động hệ tồn hai chế độ dao động bình ổn Tính biên độ dao động hai chế độ

Tr¶ lêi: ω* = 16,6 rad/s; a0 = 4,76 cm; a1 = - 2,38 cm

m F

61. Tìm nghiệm gần ph−ơng trình dao động c−ỡng khối l−ợng m (xem hình vẽ BT 60) ph−ơng pháp Đufinh, biết thời điểm ban đầu khối l−ợng m có độ lệch cực đại vị trí cân x0 (các trị số số lấy nh− BT 60)

Tμi liƯu tham kh¶o

1 Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng Dỗn Điền Bài giảng Lý thuyết dao động ĐHTL - Hà Nội 1988, 88 tr

2 Giáo trình Cơ học lý thuyết Tập II ĐHTL - Hà nội 1977

3 БабаковИ М Теорияколебаний изд 2-е М Наука - 1965- 650с

4 Бутенин Н В Элементытеориинелинейныхколебаний Л.Сидпромгиз -1962 - 194c

5 Быховский И И Основы теории вибрационной техники М.Машиностроение -

1969 - 364c

6 Пановко Я Г Основы прикладной теории колебаний и удара -

Л.Машиностроение -1976 319c

7 ТимошенкоС П колебаниявинженерномделе М Наука - 1967 - 444c

8 ФилиповА Л колебаниядеформируемыхсистем М.Машиностроение -1970 - 732c

9 Nguyễn Văn Khang Dao động kỹ thuật NXB KHKT Hà Nội 2001

10.Nguyễn Thúc An Lý thuyết va chạm dọc đàn hồi ứng dụng vào toán cọc - ĐH Thuỷ lợi 1991

11.Nguyễn Thúc An áp dụng lý va chạm dọc vào tốn đóng cọc - ĐH Thuỷ lợi 1999

12.Kolsky - Stress waves in soil - Oxford 1953

13.Кильчевский Н А Теориясоударенийтвердыхтел- Киев 1969

14.P C Muller, W O Schiellen, Dao động tuyến tính dịch giả Nguyễn Đơng Anh, NXB Xây Dựng 1997

Môc lôc

Trang

Lời nói đầu

Chơng mở đầu

1 Mt vi khỏi nim v nh ngha

Đ2 Động hệ

Đ3 Thế hệ

Đ4 Hàm hao tán

5 Phng pháp thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động 5.1 Thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động nhờ ph−ơng trình LagrăngII 5.2 Thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động theo ph−ơng pháp Đalămbe 5.3áp dụng ph−ơng pháp lực để thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ

Đ6 Xác định độ cứng hệ dao động 10

6.1 Thanh đàn hồi 10

6.2 HƯ c¸c lß xo 12

Ch−ơng I: Dao động tuyến tính hệ bậc tự 14

Đ1.1 Dao động tự hệ tuyến tính bậc tự 14

1.1.1 Dao động tự không cản 14

1.1.2 Dao động tự có cản 17

Đ1.2 Dao động c−ỡng hệ tuyến tính bậc tự 22 1.2.1 Dao động c−ỡng không cản 23

1.2.2 Dao động c−ỡng có cản 26

1.2.3 Đệm đàn hồi Máy 30

1.2.4áp dụng phép biến đổi Laplace tính tốn dao động c−ỡng 32

Ch−ơng II: Dao động tuyến tính hệ nhiều bậc tự 38

§2.1 HƯ nhiỊu bậc tự Phơng pháp chung thiết lập phơng trình vi ph©n

chuyển động 38

2.1.1 HƯ nhiỊu bËc tù 38

Đ2.2 Dao động tuyến tính hệ có hai bậc tự 41

2.2.1 Dao động tự khơng có cản 41

2.2.2 Dao động cững khơng cản 46

2.2.3 Mét vµi toán ứng dụng 49

2.3 Dao ng xon trục mang đĩa 55

2.3.1 Ph−ơng trình Ph−ơng trình tần số 55 2.3.2 Ph−ơng trình dao động xoắn c−ỡng trục mang đĩa 57

Đ2.4 Dao động uốn dầm có khối l−ợng tập trung 59 2.4.1 Ph−ơng trình – Ph−ơng trình tần số 59 2.4.2 Ph−ơng trình dao động uốn c−ỡng dầm có khối l−ợng tập trung 60

Ch−ơng III: Dao động tuyến tính hệ có vơ số bậc tự 65

Đ3.1 Dao động dọc tiết diện khơng đổi 65 3.1.1 Ph−ơng trình vi phân dao động dọc 65 3.1.2 Giải ph−ơng trình sóng ph−ơng pháp Furiê 66 3.1.3 Các điều kiện biên thanh, ph−ơng trình tần số 67

Đ3.2 Dao động xoắn trục tròn tiết diện khơng đổi 70 3.2.1 Ph−ơng trình nghiệm 70 3.2.2 Các điều kiện biên - Ph−ơng trình tần số 71

Đ3.3 Dao động uốn dầm tiết diện không đổi 72

3.3.1 Phơng trình 72

3.3.2 Giải ph−ơng trình vi phân dao động uốn dầm tit din khụng i 74

3.3.3 Phơng trình tÇn sè 74

Đ3.4 Sự truyền sóng đàn hồi dọc tiết diện không đổi 77 Ch−ơng IV: Va chạm dọc vật rắn vμo đμn hồi

vμ áp dụng lý thuyết va chạm vμo bμi tốn đóng cọc 79

Đ4.1 Một vài toán va chạm dọc vật rắn vào đàn hồi 79 4.1.1 Va chạm dọc vật rắn vào đàn hồi tự 79 4.1.2 Va chạm vật rắn vào đàn hồi đầu bị gắn chặt 82

4.2.2 Va chạm búa vào cọc tựa cứng 97 4.2.3 Va chạm búa vào cọc đóng đồng

đáy cọc gặp lực cản không đổi 103

Ch−ơng V: Cơ sở lý thuyết dao động phi tuyn 124

Mở đầu 124

5.1 Dao động tự không cản hệ bậc tự

đặc tr−ng phi tuyến lực phục hồi 126 5.1.1 Ph−ơng trình vi phân nghiệm xác 126 5.1.2 Nghiệm gần ph−ơng trình vi phân 128

Đ5.2 Dao động c−ỡng không cản hệ bậc tự

với đặc tr−ng phi tuyến lực phục hồi 135 5.2.1 Ph−ơng pháp Butnôp-Galepkin 135 5.2.2 Ph−ơng pháp tuyến tính hố trực tiếp 136

5.2.3 Ph−¬ng pháp Đufing 136

phần bi tập

Bài tập chơng I 143

Bài tập chơng II 155

Bài tập chơng III 162

Bài tập chơng V 164

Tμi liƯu tham kh¶o 168