Phương pháp tính - Đại học Thuỷ lợi

Trường Đại học Thủy 10 Phạm Phú Triêm phương pháp tính Carl Friedrich Gauss (1777-1855) vua Tốn hoc MỤC LỤC Lịi nói đầu Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1.1 Phương pháp Cholesky 1.2 Phương pháp lặp Gauss-Seidel 1.3 Phương pháp nói lỏng 13 Chương : PHƯƠNG TRINH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 22 2.1 Phương pháp chia đôi 22 2.2 Phương pháp dây cung 25 2.3 Phương pháp tiếp tuyến 28 2.4 Phương pháp lặp đơn 31 2.5 Phương pháp Newton-Raphson cho hệ phương trình 33 2.6 Phương pháp lặp Seidel cho hệ phương trình 37 Kiểm tra nhận thức 42 Chương : Nội SUY GIÁ TRỊ HÀM SÓ 44 3.1 Công thức nội suy Gregory-Newton tiến 44 3.2 Công thức nội suy Gregory-Newton lùi 46 3.3 Công thức nội suy Gauss 48 3.4 Công thức nội suy Lagrange 50 3.5 Công thức nội suy Newton 51 3.6 Cơng thức bình phương nhỏ 54 Bai tạp p Kiếm tra nhận thức 58 Chương : XÁP xỉ ĐẠO HÃM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 59 4.1 Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo tỷ sai phân 59 4.2 Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo công thức Richardson 60 4.3 Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo công thức nội suy với mốc cách 62 a- Công thức nội suy Gregory-Newton tiến 62 b- Công thức nội suy Gregory-Newton lùi 62 c- Công thức nội suy Gauss 62 4.4 Xấp xỉ giá trị đạo hàm theo công thức nội suy với mốc 65 a- Công thức nội suy Lagrange 65 b- Công thức nội suy Newton 65 c- Công thức bình phương nhỏ 65 4.5 Xấp xỉ giá trị tích phân xác định A 68 a- Cơng thức hình thang 68 b- Công thức Simpson 68 4.6 Dãy quy tắc 71 a- Dãy quy tắc hình thang 71 b- Dãy quy tắc Simpson 12 Bài tập 75 Kiếm tra nhận thức 78 Chương 5: XẤP xỉ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 79 5.1 Xấp xỉ nghiệm phương trinh vi phân cấp 79 a- Phương pháp Euỉer 79 b- Phương pháp Runge-Kutta bậc hai 80 c- Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn 80 5.2 Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình vi phân cấp 82 a- Phương pháp Euler 82 b- Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn 83 5.3 Xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân cấp 85 5.4 Xấp xỉ nghiệm phương trình đạo hàm riêng 86 Kiểm tra nhận thức 96 Lịí nói đầu Nhu cầu nâng cao chất lượng đào tạo sinh viên toán thực tiên đa dạng, phức tạp đòi hỏi cấp thiết đưa vào mơn học PHƯƠNG PHẢP TÍNH nhằm giúp cho sinh viên khối kỹ thuật- Kỹ sư tương lai, tiếp cận với cách giải gần phương trình, hệ phương trình có đánh giá sai só , kêt hợp sở làm quen tự cao lập trình ngơn ngữ thường sử dụng, PASCAL Bộ mơn Tốn tác giả trăn trọng giới thiệu Giáo trình vơ cảm ơn ỷ kiến đóng góp quỷ giá độc giả Hà nội 8-2005 Chương 1: HẸ PHƯƠNG TRÌNH DẠI SƠ TUYỂN TÍNH Chúng ta biêt ràng hưu hèt toàn thực tè đêu dân đèn giãi hệ phương trình tuyền tinh Các phương pháp giai hệ dược trình bày dầy du tài lieu vẽ Đại sô tuyên tinh Tuy nhiên each giãi vé mặt thực tiền đêu phái tính gàn dũng gán liền với sai sơ Vì chương giãi vằn dề nêu dãy 1.1 Phương pháp Cholesky Giái hộ AX B (1.1.1) X A B (1.1.2) Các bước ban cùa phương pháp *• Tìm ma trận tam giác (I ■ 3 I ũ "U u I 0 (1.1.3) thố mãn LL’ (1.1.4) *• Giái hệ sau tim Y LY= B (1.1.5) *• Tìm nghiệm X từ hộ ux= (1.1.6) ĐĨ nghiệm cua hệ (1.1.1) Thật AX = L(UX) = LY = B Đế tìm L u ta (im lằn lượt hàng I cùa u , CỘI cùa L , hàng cùa Ư cột cùa L theo công thức tổng quát sau Hàng cùa L’ uỉ2-a22-l2|U12-2-|.0-2 ; u23 - a23-Ỉ2|U|3-5-|.l Cột cùa L 1?|- ; ’ Tim Y yi = b| = A y2 = b2 -l21y,= 10-|.3=H A y3 = b3-(lJ1y1 + l32y2)=0-g.3.1.^? • Tính nghiệm X X, - 21 = j=l ủx: - H-2.1 = 2_ã_ = _ yi- ABS(A|R|l],IỊ) (hen 1) _ * Begin T: R[I];R[I]: R[K];R[K]: T;DET: -DET; End; If A[R(l].l]-0 then DK:-2 Else Begin A[R|I],I]; * DET:=DET For K:=l+1 to N Begin A[R[K],I]:=A|R|K],I]/A|R|1],1]; For J:=I+1 to N A[R[K],J]: A[R[K],J]-A[R[K],I] A[R[1],J]; * End: End; End; End: If A[N.N]=0 then DK:=2 Else Begin Y[1]:=B[R[1]]; For K:=2 to N Begin SUM-0; For J:-l to K-l SUM:=SUM+A[R[K],J]’Y[J]; Y[K]:=B[R[K]]-SUM; End; X[N]:=Y[N]/A[R[N],N]; ForK:=N-l downto I Begin SUM:-0; ForJ:= K+l to N SUM: SUM • A[R[K],J]’X(J|; X[K]:=(Y[K]-SUM)/A|R[K].K]; End; End: If DK=1 then Forl:=l toNdo Write(,X[',I.,]=,.X(I]); If DK=2 then Writeln('Khong linh duoe’); Readln: END 1.2 Ph irong pháp lập Gauss-Seidel Giải hệ «n*!+ +a I,x, = éi (1.2.1) * Đicu kiện lặp: A cỏ đường chéo trội, có nghía N’ i HI = n (1.2.2) * Điều kiện hội tụ: A xác định dương, có nghĩa a„ > «12 «II "22 «21 > M > «II "'I , flí’ (1.2.3) * Dưa hộ (1.2.1) hệ tương đương * »1-«12 -+f !! .* * ’ - 21’ I * «■ 2.l‘ * -♦ ) nghiêm X^J-C, 11 *1" xn‘°') cùa nghiệm vào (1.2.4) đề tìm xấp xi ’ ’ C- , 4".c ,,♦ _.í c, r,_ I „4"’* b'„ , jxffj+c 4'.', (1.2.5) Như ta đà sư dụng giá trị X/1" v/' dược tinh hàng dê tìm giá trị xnlh, i =1 n - l hàng * Nếu EX (1.2.6) đỏ ex> cho trước (sơ/ sơ ưJí vớĩ' nghiệm} ta dừng X'11 • Ngưực lọi, cõ nghĩa lả ■ i Giãi hệ phương trinh vi phản I* ^3^2 ' BEGIN Writclnf Dicu kicn ban dau'); Writer T(Ol=’):Rcadln(TroJ): Writer X[‘,T[0]:4:2,’]-).Rcadln(X[0]); Writer Y[,T|O]:4:2,’i-);Readln(Y[oj); Writer Can tinh gia tri xap xi cua X.Y tai Tc =');Readln(Tc); Writer So diem chia N = :);Readln(N); H:=(Tc T[0])/N; For K:=l to N T[K]:-T[K-1] + H: WritelnfGia tri gan dung tai cac diem chia'); For K:-0toN I Begin X[K+1 ] := X[K] + F(T[K].X[K].Y|K]); Y[K+1] := Y[K] + G(T[K],X[K].Y[K]); Writeln('X[‘,T[K+1 ]:4:2,']=’, X[K+1 ],’Y[‘,T[K+I ]:4:2/)=\ Y[K+1 J); End: Rcadln; END Xâp xi nghiệm phương trinh vi phàn eâp Tinh gân nghiệm X * ) (t * t cho trước cùa phương trinh x"(t) = f(t,x(t).x’(t)) (5.3 1) thoà điều kiện x(to) = Xq , x'(tu) = x’o (5.3.2) Ta đưa (5.3.1) hộ phương trinh sau |xw- ytn |yX«)- fil.xut.yin) 5.3 (5.3.3) x(to) - Xo y(to) - x’o (5.3.4) Tim xấp xi x(t ) * ()■(/•)) Vi dụ 5.3 Giai phương trinh x"(t) + 4x'(t) + 5x(t) = thoá mãn điệu kiện x(0) = , x'(0) = tim giá trị gân dúng cùa x(0,4) với h = 0.1 Giãi * Ta có hệ tương ứng r'° với diều kiện x(0) = y(0) = - 6 |yw>- SMI) 4yit> v Chăng hạn băng phương pháp Eulcr ta lim dược x(0.1) = X) = Xo + hyo = + 0.1 (-5) = 2.5 85 y(0.1) = )'1 = x(0.2) • x2 = y(0.2) * y2 = Xj * x(0.3) = y(0.3)a>yj = yo + hf(to, Xfl, y0) = - + 0,1 [-53 - 4(- 5)] = - 4.5 X) + hy, = 2.5 + o.l(- 4.5) = 2,05 yi + hf(ll, X, y() = - 4.5 + 0.1[-5.2.5 - 4(- 4.5)] = - 3.95 x2 + hy2 = 2.05 + 0.1 (-3.95)= 1.655 yi + hf(t2.x2.y2) = 3,95+ 0.1 [-5.2,05-4( 3.95)]= 3.395 x(0.4)* X4 = Xj + hy3 = 1,655 + 0,1 (-3.395) = 13155 x(0,4)» 1.3155 Xắp xi nghiệm phương trình đạo hàm riêng Trong thực tế ta thưởng gặp bải tốn sau • Các toán trirờng diện lừ, dộng lực học chắt long, trạng thái cân nhiệt, khuyểch tán dẫn 5.4 dền phương trình Laplace * ‘ -** y- = “ Các toàn vê truyên nhiệt, thâm thâu chât lóng, chài khí dân dên phương trình jC f * Các toàn vé dao dộng dây, dao động diện dân dên phương trình Ịặ đ-’lị I'2 v! Chủng ta sứ dụng phương phàp sai phán dè giãi gân dùng phương trinh đáy a- Giãi gân dứng phương trình -^Ịị=o 1«- ir (5.4.1) miên chừ nhật a < X < b , c M - a( b4 - abt Ngồi ,,= 1.267949(2.I.52- Ubii» «I !)» 4.437822 = 2(2.1.1339752- 1) » 3.143597 4.732051(2.1.5'- 1) Ubil» w|».>.ư » 16.562179 u3 b2» “I 4(2.1.133975'- 1) » Um 3» «I 1,267949(2.2.5' 6.2X7194 D» 14.5X1414 U1M» 2(2.2.866025'- 1) » Ub(3» «I - 4.732051 (2.2.5'- 1) 30,855640 » 54,41X5X7 = 4.732051 (2.2.5'- 1) » UjhS» "I 54,41X5X7 UM » 4., , = 3(2.12-1) = U «| 3(2.3'-!) = 51 Thay Uai I, , U24 vừa tìm dược vào (a 1), , (a9) ta có hệ phương trình 92 4u„f U21 2U|J - 6.7253 -6 - U||+ 4u.|» Uj| - 2uu - Uji* um - 2u,, = 3.9IM *• *4u,j u22 - 2un - 2U|| • 2u2| - U|jKua+ U,J - 2u2) - 2uj| - U2ỉ+4uu - 2Ujj - 35 - 2U|J + 4U|%‘ UD - 76.2925 - U|>4 4uj, u„ -102 - 2"» U2V 4un - 69.00-1 ■ 2uj2 Giãi hệ ta U| » 3,399008 10.76850 U|2 » 7.214778 17.11298 U|J» 15.43175 33.05626 u2| » 7,558824 ,11 2.1 2.1 ờừr (al) - ír2 ừ2 2.1 ĩ't2 = 2^» ừ2 2.1 =2 2.1 (a2) (a3) 93 2.1 2rz ừ2 ở2 ừ2 J- 2".>? 2.1 2t? 2.1 Ịa4) 2.1 " 2.1 (a5) đô tử điêu kiện biên ta có chảng hạn ubl I = Ub2 I = ub2 = Ub2 = U| b3 = Ubi ĩ = Ubl = U3 b3 = u2 b3 = Uio = I (a6) Rút gọn lại ta hệ phương trinh: “II- "12 -0 2U| Ị-2U|J«-2U|J- U2J - I 2ii|j- 2U|) - U2J =- I “12 * ỈU22- 2“2) = "l.t- 2u2ỉ* 2“ỉ> ■ Ta tim Uli =- I U|2=- I , U|3= ’ U22 = J , 1123=3 Bãi lập 1- I im xấp xi cùa nghiệm cua phương trình vi phân băng phương pháp Euler Rungc-Kutta bậc hai, bậc a- y' = sin(3x- y2) +x2y , y( 1) = - với h = 0.1 tính gần y( 1.4) b- y = e'> +£! y( 1) = với h = - 0,1 tính gần y( 1,3) Ds: Phương pháp Euler: a- y(l,4) a - 1.287397 b- y(-1,3) s 1.030681 Phương pháp Rungc-Kutta bậc bốn : a- y( 1,4) a - 1,376031 b- y(-1.3)=1.145378 2- Bâng phương pháp Runge - Kutta bậc hai giãi phương trinh vi phân y' = cv' + cos(x - 3y) thoã điêu kiện y(- I) =0 tìm y(- 0,7) với h = 0.1 Ds:y(0.4)a 0.312014 3- Giãi phương trinh vi phân bảng phương pháp Runge-Kutta bậc hai y’= sin(2x' - y) + xy2 biết y(- 1) = h = 0.1 tìm y(- 0,8) Đs : y(0.4)« 0.943695 4- Tim xấp xi x(- 0.7) với h - 0.1 từ phương trình vi phân x"(t) - 2tx’(t) + 3r\(t) 4t’ thồ măn điều kiện x( 1) 2,x’(-l) -3 a- Băng phương pháp Eulcr b- Bàng phương pháp Runge-Kutta bậc bôn Đs: 94 a- Bàng phương pháp Euler: x(- 0.7) ft 2.916097 5- Giãi phương trinh vi phàn cấp hai: x"(t) - sint.x'(t) + c ' x(t) = thoã điêu kiện x(0) = , x’(0) = I tìm tim x(0.03) với h = 0,01 6- Giải hộ Ị *w" * , thoã điều kiện x(0) = y(0) = - I y\l) - ln(2t- 3x’ t- 4y')J tìm x(0,05), y(0,05) với h = 0,0I 7- Giải hệ phương trình vi phàn x«) a- y z«t) - 2imiz- 3coM.y« «X I tgt thoa mãn điều kiện x(l) = - I , y( 1) = z( 1) = với h = 0.05 xto - yin >’' " Hr ờ2 a-trong miền thoã điều kiện biên li = + i.h ,h=^l=l,i = 0, ,4 X, = + j.k , k = b- Trong miền chừ nhật < t < ,1 < X < với n = , m = thoả điều kiện bicn «| ,.» = x-3 = 0,5 , j = I