ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN HÀM ẤN Câu 1. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên 5;5 m để hàm số g x f x m nghịch biến trên khoảng 1;2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN HÀM ẤN Câu (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục y f x Biết hàm số có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị để hàm số nguyên có phần tử? m 5;5 g x f x m B A nghịch biến khoảng C 1;2 Hỏi S D Lời giải Ta có g x f x m Vì y f x g x f x m liên tục nên y f x liên tục Căn vào đồ thị hàm số ta thấy x m 1 x 1 m g x f x m 1 x m 1 m x m Hàm số g x f x m nghịch biến khoảng 1;2 1 m 3 m m 3 1 m 0 m 5;5 S 5; 4; 3;0;1 Mà m số nguyên thuộc đoạn nên ta có Vậy S có phần tử Câu (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hàm số hàm bảnng xét dấu đạo hàm hình vẽ sau: y f x có đạo y f x3 x m Có số nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng 1;1 ? A B C D Trang | 42 Lời giải Chọn C 1;1 t m 5; m 5 Đặt t x x m t x nên t đồng biến f t Yêu cầu toán trở thành tìm m để hàm số nghịch biến khoảng m 5; m 5 m 2 m m3 m Dựa vào bảng biến thiên ta m Câu (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số f 1 hàm số A Đồ thị hàm số y f x y f sin x cos x a f x có đạo hàm hình bên Có số ngun dương a để 0; nghịch biến ? B D C Vô số Lời giải Chọn B g x f sin x cos x a g x f sin x cos x a Đặt 4cos x f sin x 2sin x f sin x cos x a g x f sin x cos x a Ta có cos x f sin x sin x cos x f sin x sin x x 0; cos x 0,sin x 0;1 f sin x sin x Với 0; f sin x cos x a 0, x 0; g x 2 Hàm số nghịch biến f sin x 2sin x a, x 0; Trang | 42 f t 2t a, t 0;1 Đặt t sin x (*) Xét h t f t 2t h t f t 4t f t 1 Với t 0;1 Do (*) mãn Câu h t h t nghịch biến a h 1 f 1 2.12 0;1 Vậy có giá trị nguyên dương a thỏa y f x có đạo hàm liên tục g x f x m x m 1 2019 y f x có đồ thị hình vẽ Đặt , với m (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số y g x tham số thực Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương m để hàm số đồng biến khoảng 5;6 Tổng tất phần tử A B 11 C 14 S D 20 Lời giải Chọn C Xét hàm số g x f x m x m 1 2019 g x f x m x m 1 Xét phương trình g x 1 f t t 1 f t t 1 Đặt x m t , phương trình trở thành Nghiệm phương trình y t Ta có đồ thị hàm số 2 hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y f t y f t y t sau: Trang | 42 t 1 x m t x m t x m 2 Căn đồ thị hàm số ta có phương trình có nghiệm là: Ta có bảng biến thiên y g x m 5 m m m y g x 5;6 Để hàm số đồng biến khoảng cần m Vì m * m nhận giá trị 1; 2;5;6 S 14 Câu (Sở Hà Nội - Lần - 2020) Cho hàm số y ax bx cx dx e, a Hàm số y f ' x có đồ thị hình vẽ Trang | 42 6; 6 tham số m để hàm 0;1 nghịch biến Khi đó, Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên thuộc khoảng g x f x m x m x 2m số tổng giá trị phần tử S A 12 B C Lời giải Chọn B Xét g ' x 2 f ' x m x m t 2x m phương trình trở thành Từ đó, g ' x x1 D 15 Xét phương trình t 2 f ' t 2 g ' x t 2 t t , đặt 5m m3 1 m , x2 , x3 2 Lập bảng xét dấu, đồng f x 0 thời lưu ý x x1 t t1 nên Và dấu đan xen nghiệm làm đổi dấu đạo hàm nên suy Vì hàm số nghịch biến g ' x x x2 ; x1 ; x3 0;1 nên g ' x 0, x 0;1 từ suy 3 m 5m 01 1 1 m 6; giải giá trị nguyên thuộc m -3; 3; 4; Từ chọn câu B Câu (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần - 2020) Cho hàm số hàm liên tục g x f x m có đồ thị y f x y f x có đạo hình vẽ bên Đặt x m 1 2019 , với m tham số thực Gọi S tập hợp y g x 5; giá trị nguyên dương m để hàm số đồng biến khoảng Tổng Trang | 42 tất phần tử S bằng: A B 11 C 14 D 20 Lời giải Chọn C Ta có g x f x m x m 1 Cho g x f x m x m Đặt x m t f ' t t Khi nghiệm phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng y t y f t t 1 f t t t t Dựa vào đồ thị hàm số ta có Bảng xét dấu g t Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số g t đồng biến khoảng 1;1 3; 1 t 1 x m m x m x m x m Hay t Trang | 42 m m 5 m g x 5; m m Để hàm số đồng biến khoảng S 1; 2; 5; 6 Vì m số nguyên dương nên Vậy tổng tất phần tử S là: 14 Câu Cho hàm số y f x f' x liên tục có đạo hàm Biết hàm số có đồ thị cho hình vẽ Có giá trị nguyên m thuộc g x f 2019 mx x A 2028 đồng biến 2019; 2019 để hàm só 0;1 B 2019 C 2011 D 2020 Lời giải Chọn D Ta có g ' x 2019 x ln 2019 f ' 2019 x m x 0;1 Ta lại có hàm số y 2019 đồng biến Với x 0;1 y f ' 2019 x Mà đồng biến mà hàm y f ' x đồng biến 1; nên hàm 0;1 2019 x 1; f ' 2019 x x 0;1 đồng biến Hay 2019 x 1; 2019 nên hàm h x 2019 x ln 2019 f ' 2019 x 0;1 h x h 0, x 0;1 Do hàm số g x đồng biến đoạn 0;1 g ' x 0, x 0;1 h x h 0 m 2019 x ln 2019 f ' 2019 x , x 0;1 m xmin 0;1 m 2019; 2019 2020 Vì m ngun có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Trang | 42 Câu Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị f ( x ) hình vẽ Có giá trị ngun m 2020; 2020 để hàm số g x f x 3 ln 1 x 2mx đồng biến 1 ; 2 2 ? A 2020 B 2019 C 2021 D 2018 Lời giải Chọn B + Ta có Hàm g x f x 3 số g x đồng 2x 2m x2 biến g x 0, x 1; m f x 1 ; 2 2 x 1 , x ; 1 x 2 x m f x 3 1 x 1 x ;2 2 1 x ; t 2;1 2 + Đặt t x , Từ đồ thị hàm f x suy f t 0, t 2;1 f t t 1 f x 3 f x 3 0, x ; 1 x ;2 2 2 Tức x + Xét hàm số h x x2 1 h x 1 x ; 2 x2 x khoảng Ta có h x x x 1 Trang | 42 Bảng biến thiên hàm số h x 1 ; 2 sau: h x 1 h x x ;2 2 Từ bảng biến thiên suy x m 1 3 Từ , suy m 2020; 2020 m 2019; 2018; ; 2; 1 Kết hợp với m , Vậy có tất 2019 giá trị m cần tìm Câu Cho hàm số f x f x x2 x 2 x2 6x m liên tục có đạo hàm với x Có số nguyên m thuộc đoạn g x f 1 x A 2016 nghịch biến khoảng B 2014 2020; 2020 để hàm số ; 1 ? C 2012 D 2010 Lời giải Chọn C 2 g x f 1 x 1 x x 1 1 x 1 x m Ta có: x 1 x 1 x x m 5 Hàm số g x nghịch biến khoảng g x 0, x 1 * ; 1 , (dấu " " xảy hữu hạn điểm) x 1 * Với x 1 x nên x x m 0, x 1 m x x 5, x 1 ; 1 Xét hàm số y x x khoảng , ta có bảng biến thiên: Trang | 42 Từ bảng biến thiên suy m 2020; 2020 m 9;10;11; ; 2020 Kết hợp với m thuộc đoạn m nguyên nên Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn đề f x y f x Câu 10 Cho hàm số xác định liên tục R Hàm số liên tục có đồ thị hình vẽ Xét hàm số g x f x 2m 2m x 2020 , với m tham số thực Gọi S y g x tập hợp giá trị nguyên dương m để hàm số nghịch biến khoảng 3; Hỏi số phần tử A S bao nhiêu? C B D Vô số Lời giải Chọn B Ta có g ' x f ' x 2m 2m x Trang 10 | 42 Ta có: f x 12x 12 x 24x ; f x x x x Do hàm số f x có ba điểm cực trị nên hàm số y f x có điểm cực trị m Phương trình f x có nghiệm 0 m m Vậy có giá trị nguyên thỏa đề m 1; m 2; m 3; m Câu (Gia Bình 2019) Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên sau Hàm số y f x có điểm cực trị A B C D Lời giải Chọn C y f x 1 , Đặt t | x |, t Thì (1) trở thành: y f (t )(t 0) Có t ( x 3) t ' x3 ( x 3) Có y x t x f (t ) x x t x y t f (t ) t 2( L) x f (t ) t x 1 Lấy x=8 có t '(8) f '(5) , đạo hàm đổi dấu qua nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên: x x Trang 28 | 42 Dựa vào BBT hàm số y f x có cực trị Câu (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Tìm số giá trị ngun tham số m để đồ thị hàm số y x mx 2m m 12 có bảy điểm cực trị A C B D Lời giải Đồ thị hàm số y x mx 2m m 12 có bảy điểm cực trị đồ thị 2 hàm số y x 2mx 2m2 m 12 cắt trục hoành bốn điểm phân biệt x 2mx 2m m 12 có bốn nghiệm phân biệt m 2m m 12 m 1 97 m3 m 2 m 2m m 12 1 97 1 97 m m 4 Vậy khơng có giá trị ngun tham số m để đồ thị hàm số y x mx 2m m 12 có bảy điểm cực trị Câu (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y 3x x3 12 x m có điểm cực trị? A B C D Lời giải Xét hàm số f ( x) 3x x 12 x m ; f ( x) 12 x3 12 x2 24 x 2 f ( x) x1 0; x2 1; x3 Suy ra, hàm số y f ( x) có điểm cực trị Hàm số y 3x x3 12 x m có điểm cực trị đồ thị hàm số y f ( x) cắt trục hoành điểm phân biệt 3x x 12 x m có nghiệm phân biệt Phương trình 3x x3 12 x m2 3x x 12 x m (1) Xét hàm số g( x) 3x4 x3 12 x ; g( x) 12 x3 12 x 24 x Bảng biến thiên: Trang 29 | 42 m2 Phương trình (1) cớ nghiệm phân biệt m 32 5 m 32 Vậy m 3; 4;5; 3; 4; 5 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y x x 12 x m có điểm cực trị A 16 C 26 B 44 D 27 Lời giải Chọn C Đặt: g ( x) x x 12 x m x y m 32 Ta có: g '( x) 12 x3 12 x 24 x x 1 y m x y m Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có y g ( x) có điểm cực trị m m m 5 m 32 Vì m số nguyên dương có 26 số m thỏa đề m 32 Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y x 2mx 2m với m tham số thực Số giá trị nguyên khoảng 2; 2 m để hàm số cho có điểm cực trị A C B D Lời giải Chọn B Trang 30 | 42 x Đặt f x x 2mx 2m , f x x 4mx , f x x m + Trường hợp 1: hàm số có cực trị m 2;0 Đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị A 0; 2m 1 Do m 2;0 y A 2m nên đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số y f x có cực trị có giá trị nguyên m thỏa ycbt + Trường hợp 2: hàm số có ba cực trị m 0; 2 Khi đồ thị hàm số có điểm cực trị A 0; 2m 1 , B m ; m 2m , C m ; m 2m Do a nên hàm số y f x có điểm cực trị hàm số y f x có yB yC m 2m m Nếu yB yC (trong toán khơng xảy ra) hàm số có điểm cực trị Câu Vậy có giá trị m thỏa ycbt (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tập hợp giá trị m để hàm số y x x 12 x m có điểm cực trị là: A (0; 6) B (6;33) C (1;33) D (1; 6) Lời giải Chọn D Xét hàm số f ( x) x x3 12 x m , Có lim f x , lim f x x x f ( x ) 12 x 12 x 24 x 12 x x x x f ( x ) x 1 x Bảng biến thiên: Trang 31 | 42 Từ bảng biến thiên, ta có hàm số y f ( x) có điểm cực trị đồ thị hàm số y f ( x ) cắt Ox điểm phân biệt m m m Câu (THPT Kinh Môn - 2018) Cho hàm số y f ( x ) x3 (2m 1) x (2 m) x Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y f ( x ) có điểm cực trị A m B 2 m 5 C m 4 Lời giải D m Ta có: y ' x m 1 x m Hàm số y f ( x ) có điểm cực trị chi hàm số f x có hai cực trị dương 2m 1 m 4m m 2m 1 m2 S 0 m P 2 m m Câu (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x x x với x Hàm số f 1 2018 x có nhiều điểm cực trị? A B 2018 D 11 C 2022 Lời giải Ta có f x x x x có nghiệm đổi dấu lần nên hàm số y f x có cực trị Suy f x có tối đa nghiệm phân biệt Do y f 1 2018 x có tối đa cực trị Câu 10 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa - 2018) Hình vẽ bên đồ thị hàm số y f x Trang 32 | 42 Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x 1 m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S A B 12 C 18 D 15 Lời giải Nhận xét: Số giao điểm C : y f x với Ox số giao điểm C : y f x 1 với Ox Vì m nên C : y f x 1 m có cách tịnh tiến C : y f x 1 lên m đơn vị Trang 33 | 42 TH1: TH2: TH3: TH4: m Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại m Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận m Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận m Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại Vậy m Do m * nên m 3; 4;5 Vậy tổng giá trị tất phần tử S 12 Câu 11 (THPT Quảng Yên - Quảng Ninh - 2018) Có giá trị nguyên tham số m m để hàm số y 3x x3 12 x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Ta có y x x 12 x y 12 x m m x x 12 x 2 m 12 x 24 x x x3 12 x 2 m x x 12 x 2 12 x3 12 x 24 x 1 y 3 x x 12 x m x Từ 1 x x 2 Vậy để hàm số có điểm cực trị (2) phải có bốn nghiệm phân biệt khác 0;1; 2 Trang 34 | 42 Xét hàm số x m f x 3x x 12 x f ' x 12 x 12 x 24 x f ' x x x 2 Để (2) có nghiệm phân biệt f x cắt trục hồnh điểm phân biệt m 5 m 10 m 10 m m 0 Vậy có giá trị nguyên tham số m để hàm số y 3x x3 12 x m có điểm cực trị Câu 12 (THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y x3 3x m có điểm cực trị? A B C D Lời giải Hàm số y x3 3x m có điểm cực trị đồ thị hàm số y x x m có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh phương trình x x m 1 có ba nghiệm phân biệt Xét bbt hàm số y x x x y x x x Trang 35 | 42 Từ ta 1 có ba nghiệm phân biệt 4 m m Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 13 (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y 3x5 25 x3 60 x m có điểm cực trị? A 42 B 21 C 40 D 20 Lời giải y 3x 25 x 60 x m y 15 x 75 x 60 x 2 y m 16 x 1 y m 38 x y x y m 38 x x y m 16 Suy y 3x5 25 x3 60 x m có điểm cực trị m 17,37 m 38 m 16 16 m 38 m 16 m 38 38 m 16 m 37, 17 Có tất 42 giá trị nguyên m Câu 14 (Sở Nam Định - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Trang 36 | 42 Đồ thị hàm số y f x m có điểm cực trị A m 4;11 11 B m 2; 2 C m 11 D m 2; 2 Lời giải Từ BBT hàm số y f x ta có bảng biến thiên hàm số y f x 2m sau Đồ thị hàm số y f x m gồm hai phần: + Phần đồ thị hàm số y f x 2m nằm phía trục hoành + Phần đối xứng với đồ thị hàm số y f x 2m nằm phía trục hồnh qua trục Ox Do đó, đồ thị hàm số y f x m có điểm cực trị 2m 11 2m m 2; 11 2 Câu 15 (THPT Nguyễn Huệ - Tt Huế - 2018) Hình vẽ bên đồ thị hàm số y f x Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để đồ thị hàm số y f x m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S A 15 C B 18 D 12 Lời giải Trang 37 | 42 Cách 1: dùng đồ thị - Nhận thấy: số giao điểm C : y f x với Ox số giao điểm C1 : y f x với Ox Vì m nên C2 : y f x m có cách tịnh tiến C1 : y f x lên m đơn vị - Đồ thị hàm số y f x m có cách lấy đối xứng qua trục hoành Ox phần đồ thị C2 nằm phía trục Ox giữ nguyên phần phía trục Ox - Ta xét trường hợp sau: + Trường hợp 1: + Trường hợp 2: + Trường hợp 3: + Trường hợp 4: m : đồ thị hàm số có điểm cực trị (loại) m : đồ thị hàm số có điểm cực trị (thỏa mãn) m : đồ thị hàm số có điểm cực trị (thỏa mãn) m : đồ thị hàm số có điểm cực trị (loại) Vậy m Do m nên m 3; 4;5 hay S 3; 4;5 Vậy tổng giá trị tất phần tử S 12 * Cách 2: đạo hàm hàm số hợp Trang 38 | 42 - Ta có: y f x m f x m y f x m f x 2 f x m - Xét f x 1 + Do phương trình f x có nghiệm phân biệt nên phương trình f x có nghiệm phân biệt - Xét f x m f x m + Nếu 6 m 3 m phương trình có nghiệm phân biệt khác nghiệm 1 + Nếu m 3 m có nghiệm phân biệt (trong có nghiệm đơn khác nghiệm 1 nghiệm kép trùng với nghiệm 1 ) Tóm lại : với m hai phương trình 1 có tất nghiệm bội lẻ phân biệt y đổi dấu x qua nghiệm đó, hay đồ thị hàm số y f x m có điểm cực trị - Lại m nên m 3; 4;5 hay S 3; 4;5 Vậy tổng giá trị tất phần tử S 12 Câu 16 (Sở Hưng Yên - 2018) Cho hàm số f ( x) x x m với m 5;5 tham số Có giá trị nguyên m để hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị A B C D Lời giải x Xét hàm số g ( x ) x x m có g '( x) 3x x x Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị đồ thị hàm số g ( x) phải có giao điểm tiếp xúc với Ox m m Điều kiện tương đương với Kết hợp điều kiện m 5;5 4 m m ta có m 5; 4; 3; 2; 1; 0; 4; 5 Vậy có giá trị thoả mãn Trang 39 | 42 Câu 17 (Chuyên Hùng Vương - Bình Dương - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y f x 2017 2018 có điểm cực trị? A B C D Lời giải Có y f x 2017 cách tịnh tiến sang bên phải 2017 đơn vị ta có bảng biến thiên hàm số y f x 2017 Tịnh tiến đồ thị hàm số f x 2017 lên 2018 đơn vị lấy trị tuyệt đối ta có bảng biến thiên hàm số y f x 2017 2018 Từ bảng biến thiên, suy hàm số có cực trị Câu 18 (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Hàm số f x có đạo hàm f x Hình vẽ bên đồ thị hàm số f x Trang 40 | 42 Hỏi hàm số y f x 2018 có điểm cực trị? A C B D Lời giải Cách 1: Từ đồ thị hàm số f x ta thấy f x có hai cực trị dương nên hàm số y f x lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục tung qua trục tung ta bốn cực trị, cộng thêm giao điểm đồ thị hàm số y f x 2018 với trục tung ta tổng cộng cực trị Cách 2: Ta có: y f x 2018 f Đạo hàm: y f x x 2 x x x 2018 f x Từ đồ thị hàm số f x suy f x dấu với x x1 x x2 x x3 với x1 , x2 x3 Suy ra: f x dấu với x x1 Do x x x x nên x x2 x x x x x x y f x x 2 x x2 f x dấu với Vậy hàm số y f x 2018 có cực trị Câu 19 (Sở- Nam Định - 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y f x 2m có điểm cực trị Trang 41 | 42 A m 4;11 11 B m 2; 2 C m 11 D m 2; 2 Lời giải Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y f x có hai điểm cực trị Để đồ thị hàm số y f x 2m có điểm cực trị đồ thị y f x cắt đường thẳng y 2m điểm phân biệt m 11 m 11 Trang 42 | 42