Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 189 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
189
Dung lượng
11,22 MB
Nội dung
CHIA BỘ 93 FILE TẢI LÊN TỔNG 135 ĐỀ, ĐÁP ÁN BỘ BỘ ĐỀ, ĐÁP ÁN CHI TIẾT THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH THÀNH NĂM 2020-2021 CÁC TỈNH THÀNH TRÊN CẢ NƯỚC GIÁO VIÊN CHIA THÀNH BỘ (3 FILE) (BỘ GỒM 45 ĐỀ) (BỘ GỒM 45 ĐỀ) (BỘ GỒM 45 ĐỀ) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 2019-2020 Câu 1: (3.0đ) b Tồn hay không số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2011 c 2 Tìm giá trị nguyên x, y thỏa mãn x xy y 2( x y ) Câu 2: (6.0đ) 2 Giải phương trình: 10x 3x (6x 1) x 3 3 Cho a, b, c thỏa mãn 2a b c Chứng minh 2a b c 3a (a b)(c b ) Câu 3: (3.0đ) Cho a, b,c số thực dương Chứng minh rằng: bc ca ab 1 � a (b c) b (c a ) c (a b) 2a 2b 2c Câu 4: (6.0đ) Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ) , Ba đường cao AD, BE CF cắt H Gọi I giao điểm EF AH Đường thẳng qua I song song với BC cắt AB, BE B Q Chứng minh: AEF ∽ ABC Chứng minh: IP IQ Gọi M trung điểm AH chứng minh I trực tâm tam giác BMC Câu 5: (2.0đ) Trong mặt phẳng cho điểm A1; A ; A ; A ; A ; A khơng có ba điểm thẳng hàng Với ba điểm số điểm ln tìm hai điểm mà khoảng cách chúng nhở 673 Chứng minh sáu điểm cho ln tìm ba điểm ba đỉnh tam giác có chu vi nhỏ 2019 (Hết) LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 20192020 Câu 1: (3.0đ) b Tồn hay không số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2011 c 2 Tìm giá trị nguyên x, y thỏa mãn x 4xy 5y 2(x y) Lời giải b Giả sử tồn số nguyên tố a, b,c thỏa mãn điêu kiện: a 2011 c Khi ta có: c 2011 � c số nguyên tố lẽ � a b chẵn �a 2 Nếu b c 2011 2015M5 � c hợp số (trái với giả thiết) Nếu b �3 số nguyên tố lẻ � b 2k (với k �N ) � a b 22 k 3 22 k.23 2k Vì �1(mod 3) �1(mod 3) � a b 22k.23 �1(mod 3) Lại có: 2011 �1(mod 3) � c ab 2011 �0(mod 3) � c hợp số (trái với giả thiết) b Vậy không tồn số nguyên tố a, b,c thỏa mãn điều kiện a 2011 c 2 Ta có : x xy y 2( x y ) � (4 y x xy x y ) ( y y 1) � (2y x 1) (y 1) 12 12 � (2 y x 1) 12 y x �1 � � �� �� 2 ( y 1) �y �1 � � � �2 y x �x � � � � �y �y � � � � �2 y x 1 �x � � � � � � �y 1 �y �� �� �2 y x 1 �x � � � � � � �y �y � � �2 y x �x � � � � �y 1 � � �y � � Vậy ( x; y) � (4; 2);(2; 0); (6; 2); (0; 0); Câu 2: (6.0đ) 2 Giải phương trình: 10x 3x (6x 1) x 3 3 Cho a, b, c thỏa mãn 2a b c Chứng minh 2a b c 3a (a b)(c b ) Lời giải ĐKXĐ phương trình là: x �� 2 Ta có: 10 x x (6 x 1) x � 40 x 12 x 4(6 x 1) x � (36 x 12 x 1) 4(6 x 1) x 4( x 3) � (6x 1) 2.(6x 1).2 x x � 6x x2 9 9 � 6x x2 � �� x x 3 � � 2 * Trường hợp 1: x x � x x � x x � �x �3 � � �� x� � x 1 x �0 � �� �� � �2 � 2 � � 4x 1 � x x 9x 6x x 3x �� � � 2 * Trường hợp 2: x x 3 � x x � x x � 2 �x � � �� 3 � �� x � 2 � � x� � �x �0 �� 3 �� 3 � �2 x �� � x 2 � x 9x 12x x 12 x � �� � Vậy phương trình có hai nghiệm là: x x 3 Ta có: 2a b c � a b (a c) � ( a b ) (a c )3 + � 2a b c 3a (ac c ab b ) � 2a b3 c 3a c(a c ) b(a b) � 2a b3 c3 3a c(a b) b(a b) (Vì a b (a c) ) � 2a b3 c 3a (a b)(b c) � 2a b3 c 3a (a b)(c b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-Sy cho hai số dương ta có: bc bc bc bc �2 a (b c) 4bc a (b c) 4bc a bc 2 a (b c ) a 4b 4c ca 1 � Tương tự: b (c a ) b 4c 4a ab 1 � c (a b) c 4a 4b (1) (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: � bc ca ab 1 � �1 1 � �1 �� � � � a (b c) b (c a) c (a b) �a b c � �2a 2b 2c � � bc ca ab 1 � a (b c ) b (c a ) c (a b) 2a 2b 2c 2 Câu 4: (6.0đ) Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ) , Ba đường cao AD, BE CF cắt H Gọi I giao điểm EF AH Đường thẳng qua I song song với BC cắt AB, BE B Q 1/ Chứng minh: AEF ∽ ABC 2/ Chứng minh: IP IQ 3/ Gọi M trung điểm AH chứng minh I trực tâm tam giác BMC Lời giải Chứng minh: AEF ∽ ABC Ta có: AEF ∽ ABC ( g g ) � AE AB (1) AF AC Xét AEF ABC có: � BAC � ( góc chung ) � EAF � �� AEF ∽ ABC (c g c) AE AB (1) � AF AC � Kẻ AK HN vng góc với EF ( K ; N �EF ) Ta có: AK / / HN (cùng vng góc với EF ) AK EF IA AK S � AEF IH HN HN EF S HEF (1) AD.BC S AD ABC HD HD.BC S HBC Lại có: (2) Mặt khác: EHC ∽ FHB ( g g ) � HE HF HE HC � HC HB HF HB S �EF � � HEF ∽ HCB(c g c) � HEF � � SHCB �BC � S �EF � AEF ∽ ABC (câu a) � AEF � � SABC �BC � Và � S HEF S AEF �EF � S AEF S ABC � �� S HCB S ABC �BC � SHEF S HBC Từ (1), (2) (3) � (3) IA AD AI HI � IH HD AD HD (*) IP AI IQ HI PQ / / BC Vì nên áp dụng quan hệ định lý Ta-Lét ta có: DB AD DB HD Từ (*) (**) � (**) IP IQ � IP IQ DB DB AI HI HI HI AI (câu b) � HD HD AD Ta có: AD HD Vì M trung điểm AH � HI AI AH MA Và HD AD AH HD MH HD 2MD � HI MA MA HI MA � 1 1 HD MD MD HD MD � ID AD � ID.MD AD.HD HD MD (1) Lại có: DHB ∽ DCA (g g) � Từ (1) (2) DH DB � DB.CD AD.HD DC DA (2) � ID.MD BD.CD � ID CD BD MD � DCM � � � DIB ∽ DCM (c g c) � DIB BCJ � CBJ � DIB � DBI � 900 � BJ MC � BCJ Mặt khác: MD BC Mà BJ cắt MD I suy I trực tâm BMC Câu 5: (2.0đ) Trong mặt phẳng cho điểm A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 ; A6 khơng có ba điểm thẳng hàng Với ba điểm số điểm ln tìm hai điểm mà khoảng cách chúng nhở 673 Chứng minh sáu điểm cho ln tìm ba điểm ba đỉnh tam giác có chu vi nhỏ 2019 Lời giải -Tổng số đoạn thẳng sinh từ điểm cho là: 3+2 15 (đoạn thẳng) - Trong 15 đoạn thẳng đoạn thẳng Am An (với m; n � 1; 2;3; 4;5; 6 ; 6}) có độ dài nhỏ 673 tô mà đỏ Các đoạn thẳng cịn lại tơ màu xanh - Khi đó, tam giác ln tồn cạnh màu đỏ tam giác có cạnh tơ màu đỏ có chu vi nhỏ 2019 - Vì thế, ta cần chứng minh ln tồn tam giác có cạnh màu đỏ - Thật vậy: Nối điểm A1 với điểm lại ta đoạn thẳng gồm A1A ; A1A ; A1A ; A1A ; A1A - Theo nguyên lí Dirichlet đoạn thẳng tồn đoạn thẳng tơ màu - Khơng tính tổng qt, Giả sử A1A ; A1A ; A1A có màu xanh, tam giác A A3 A có cạnh tơ màu đỏ (vì tam giác ln tồn cạnh màu đỏ) - Nếu đoạn thẳng A1A ; A1A ; A1A có màu đỏ, tam giác A A3 A có cạnh tơ màu đỏ (trong tam giác ln tồn cạnh màu đỏ) Giả sử cạnh A A4 tô màu đỏ, Ta có tam giác A1 A2 A3 có З cạnh tơ màu đỏ - Bài tốn chứng minh (Hết) PHỊNG GD&ĐT ĐAN PHƯỢNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 -2019 MƠN: TỐN Ngày thi: 23/10/2018 Thời gian làm bài: 150 phút - Bài 1(5,0 điểm) P x x 26 x 19 x x 3 x2 x 3 x 1 x 3 Cho biểu thức: a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 64 a 3 Cho a Chứng minh rằng: Bài 2(4,0 điểm) 3 3a số nguyên Giải phương trình : Nhà toán học De Morgan (1806 – 1871) hỏi tuổi trả lời: Tôi x tuổi x2 x x 1 x 2 vào năm x Hỏi năm x ơng tuổi Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có hai mệnh đề mệnh đề sai: a) A 51 số phương b) Chữ số tận bên phải A số c) A 38 số phương Bài (4,0 điểm) 2 a) Tìm x y biết x x y x y xy y 2 b) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn x y xy x 3x Bài (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BI, CK a) Chứng minh tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB; b) Biết S AKI S BKH SCHI Chứng minh rằng: ABC tam giác Cho tam giác ABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) đường cao AH R Gọi M N thứ tự hình chiếu H AB, AC Chứng minh ba điểm M, N, O thẳng hàng Bài (1,0 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z , chứng minh: x2 y2 z �6 x yz y zx z xy LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN ĐAN PHƯỢNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Bài 1(5,0 điểm) Cho biểu thức: p x x 26 x 19 x x 3 x2 x 3 x 1 x 3 a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Chứng minh rằng: a Cho a 3 64 3 3a số nguyên Lời giải 1a) ĐK: x �0; x �1 Ta có: x x 26 x 19 P x2 x 3 x x 1 x 3 x 3 x 1 x 3 x x 26 x 19 x x 3 x x 26 x 19 x 1 x 3 x 3 x x 1 x 3 x 3 x 1 x x 26 x 19 x x x x x 1 x x x 16 x 16 x 1 P b) Ta có �2 x 3 x 3 x 3 x 1 x x 16 x 3 x 16 x 3 x 3 x 16 x 3 25 x 3 x 3 25 6 x 3 10 x 3 Vậy MinP = x = a � a 3a � a 3a Từ � � a Vậy Bài 2(4,0 điểm) 64 3 64 a� a3 a 3 a 3 a 64 3 3a a 3a 3a số nguyên Giải phương trình : Nhà tốn học De Morgan (1806 – 1871) hỏi tuổi trả lời: Tôi x tuổi x2 x x 1 x 2 vào năm x Hỏi năm x ơng tuổi Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có hai mệnh đề mệnh đề sai: a) A 51 số phương ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 60: (2,5 điểm) A Tính giá trị biểu thức Câu 61: x x 9 y y 2 x x y 1 biết x 16 y xy xy x (5,0 điểm) 1 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y b) Tìm số tự nhiên n cho A n 2n số phương Câu 62: (4,5 điểm) a b2 c �a b c a) Cho a, b, c Chứng minh b c a �x y 2(1 xy ) � b) Giải hệ phương trình �xy x y Câu 63: (5,5 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường trịn a) Tính theo R chiều dài cạnh chiều cao tam giác ABC M �B; C b) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC Trên tia đối O; R tia MB lấy MD MB Chứng minh MCD c) Xác định vị trí điểm M cho tổng S MA MB MC lớn Tính giá trị lớn S theo R Câu 64: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a 9b 16 b c a c a b a b c ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 39: (2,5 điểm) A Tính giá trị biểu thức ĐKXĐ: y �1; x �0; x �3 A Ta có x x 9 y y 2 x x y 1 biết x 16 y xy xy x Lời giải x 3 x 3 y 1 y x 3 y x( x 3) x x 3 y 1 x 16 y xy xy x � x y x �0 Từ giả thiết �x �x �� �� �x y �y A Do Câu 40: (5,0 điểm) 1 x y a) Tìm nghiệm nguyên phương trình b) Tìm số tự nhiên n cho A n 2n số phương Lời giải 1 a) Với x, y �0 ta có x y x y � xy � x y xy � x y 2( y 2) � ( x 2)( y 2) Lập bảng xét ước ta có nghiệm : x; y � 2;1 ; 1; 2 ; 3; ; 4; ; 6;3 2 � a n 1 a n 1 b) Đặt n 2n a với a nguyên dương a n 1 a4 � � �� � a n 1 n � Vì a n a n nên � Câu 41: (4,5 điểm) a2 b2 c �a b c a) Cho a, b, c Chứng minh b c a �x y 2(1 xy ) � b) Giải hệ phương trình �xy x y Lời giải a2 b �2a a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: b b2 c2 a2 b2 c2 c �2b; a �2c � b c a �2a 2b 2c a b c a Tương tự ta có: c � a b2 c �a b c b c a Dấu “ =” xảy a b c b) Từ phương trình xy x y � xy x y Thay vào phương trình thứ ta được: x y 2( x y 3) � x y x y � x y Thay vào phương trình thứ hai ta y y � y y Với y � x Với y � x 4 Vậy hệ có nghiệm 2� � � � 4; x; y 0; ; � � O; R (5,5 điểm)Cho tam giác nội tiếp đường tròn a) Tính theo R chiều dài cạnh chiều cao tam giác ABC Câu 42: M �B; C b) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC Trên tia đối tia MB lấy MD MC Chứng minh MCD c) Xác định vị trí điểm M cho tổng S MA MB MC lớn Tính giá trị lớn S theo R Lời giải a) Kẻ đường cao AH 3R AH AB R sin B sin 60� Ta có � � b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên CMD BAC 60� � 60� MCD cân có CMD nên CMD tam giác c) Ta có MCD nên MC MD CD AH AO 3R 2 ; � � � Xét AMC BDC có AC BC ; MC CD ; ACM BCD 60� BCM Nên AMC BDC (c.g.c) � MA BD Do đó: S MA MB MC MA MB MD MA BD 2MA O Vậy S lớn MA đường kính đường trịn hay M điểm cung nhỏ BC Câu 43: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a 9b 16 b c a c a b a b c Lời giải bca x 2a y z � � � � cab y � � 2b z x � � � abc z 2c z y � Đặt � Ta có : S y z 9( z x) 16( x y ) �y x z 16 x z 16 y � � � �x y x z y z � 2x 2y 2z � 2.3 2.4 2.3.4 19 Giá trị nhỏ S 19 Đạt a ;b ;c 8 …………… HẾT…………… ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017-2018 A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Cho phương trình x mx Tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm kép : 4; 4 4 16 A B C D Câu 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo hai đường thẳng có phương trình y x y x : o A 70 o B 30 o C 90 o D 45 x Câu 3: Câu 4: Cho 2018 A 2 10 1 62 x Giá trị biểu thức Câu 6: trục Câu 7: bằng: Câu 9: lần 2018 : B C D Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) B (2018;1) Đường trung trực C y 2018 x D y 2018 x Cho biểu thức P x x x x , khẳng định ? x� A P 2 với B P 2 với x �1 �x �1 C P 2 x với x �1 D P 2 x với Trong góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết M cách tung, trục hoành đường thẳng y x Hoành độ điểm M : A B C D M 2018; 2018 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ đến đường thẳng y x A Câu 8: 4x 2 2018 đoạn thẳng AB có phương trình : x x y y 2018 2018 A B Câu 5: B C D �2 � A � m;m - 10 � Oxy , � � Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm Khi m thay đổi khẳng định ? A Điểm A thuộc đường thẳng cố định B Điểm A thuộc đường tròn cố định C Điểm A thuộc đoạn thẳng cố định D Điểm A thuộc đường thẳng y x 10 Cho tam giác ABC có AB cm, AC cm BC cm.Kẻ đường cao AH , gọi I , K lượt tâm đường tròn nội tiếp tam giác HAB tam giác HAC Độ dài đoạn thẳng KI : A.1, cm C 1, 45 cm D cm O; cm � AOB 150o Độ dài đoạn Câu 10: Cho AB dây cung đường tròn thẳng AB : B 2 cm B cm.C cm D cm I ; O;6 tiếp xúc với A Qua A vẽ hai tia Câu 11: Cho hai đường trịn vng góc với cắt hai đường tròn cho B C Diện tích lớn tam giác ABC bằng: A cm A B 12 C 18 D 20 x , y Câu 12: Cho hình thoi ABCD có cạnh Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp 1 2 y : tam giác ABC tam giác ABD Giá trị biểu thức x A B C 2 D O; R đường kính AC dây cung BD R Câu 13: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Gọi x, y, z, t khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC , DA Giá trị biểu thức xy zt bằng : 2 2 R R A 2 R B R C D O;6 cm Câu 14: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ; cm) nội tiếp đường tròn Tổng khoảng cách từ điểm O tới cạnh tam giác ABC : A cm B 12 cm C 16 cm D 32 cm Câu 15: Nếu tam giác có độ dài đường cao 12,15, 20 bán kính đường trịn nội 2 tiếp tam giác : A B C D 6 Câu 16: Trên khu đất rộng, người ta muốn rào mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước 60m lưới để rào Trên khu đất người ta tận dụng bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm cạnh hàng rào Hỏi mảnh đất để trồng rau an tồn có diện tích lớn ? A 400 m2 B 450 m2 C 225 m2 D 550 m2 B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 17: (3,0 điểm) a b c b c a 2018 a) Cho với a, b, c đôi khác khác khơng Tính c2 a b giá trị biểu thức b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a b c 91 b ca Câu 18: (3,5 điểm) x x x x a) Giải phương trình b) Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A, B đến bờ sông 118 m 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét) Câu 19: (4,0 điểm) O điểm A nằm O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với Cho đường tròn O ( B, C tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt O D E ( AD AE ) Tiếp tuyến O D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M , E , N , I T thuộc đường tròn O T tiếp xúc b) Chứng minh hai đường tròn c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định Câu 20: (1,5 điểm) 3a b 3b c 3c a � �9 a b c � � � a ab b bc c ca � � Chứng minh với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ……………….HẾT…………… LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017-2018 A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm: Mỗi câu 0,5 điểm) Câu A C B C B,D A,B B Câu 10 11 12 13 14 15 D B C A C A A B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 17: (3,0 điểm) a b c b c a 2018 a) Cho với a, b, c đơi khác khác khơng Tính giá trị biểu thức c2 a b b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a b c 91 b ca Lời giải a b a b a b c b2 c a � bc ab ab ca c b a c a) Ta có ab bc ca � bc a b c � abc a b c 2018.(1) Suy ab bc ca � ab c a b � abc c a b (2) Từ (1) (2) ta c a b 2018 b qa; c q a q 1 ta a q q 91 13.7 b)Đặt Trường hợp 1: Nếu q số tự nhiên ta : a 1 a 1 � � �� � a 1; b 9; c 81 � q9 q q 91 � � a7 a7 � � � � a 7; b 21; c 63 � � q3 q q 13 � � a 13 a 13 � � �� � a 13; b 26; c 52 � q2 1 q q � � q x x �3; y �2 y Trường hợp 2: Nếu q số hữu tỷ giả sử a q q 91 � a x xy y 91 y x xy y �19 Khi : ax a c ��� ��� a ty � x xy y 91 � x 6; y y y Ta có : a 25; b 30; c 36 Vậy có số a; b; c thỏa mãn 1;9;81 , 81;9;1 , 7; 21;63 , 63; 21;7 ; Câu 18: (3,5 điểm) a) Giải phương trình x x x x A 16 B b) Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sông Khoảng cách từ A, B đến bờ sông 118 m 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét) Lời giải a) x x x x � x x x x � x x 1( L) �� � � x 2x � x2 2x � x2 x � x 1 �� x 1 � b) Gọi C , D hình chiếu A, B lên bờ sông Đặt CE x x 492 CD 6152 487 118 492 Ta có Quãng đường di chuyển người AE EB x 1182 Ta có với Thật � a 492 x a, b, c, d 487 a2 b2 c2 d � a c b d 1 � a b c d 2 a 2 (1) b c d � a c b d 2 b c d �ac bd (2) Nếu ac bd (2) ln Nếu ac bd �0 bình phương hai vế ta ad bc �0 (2) trở thành Dấu đẳng thức sảy ad bc AE EB � x 492 x 487 118 608089 �779,8m Áp dụng (1) 487x 118 492 x Dấu đẳng thức xảy Vậy quãng đường nhỏ 780 m Câu 19: (4,0 điểm) x 96m O điểm A nằm O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với Cho đường tròn O ( B, C tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt O D E ( AD AE ) Tiếp tuyến O D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M , E , N , I T thuộc đường tròn O T tiếp xúc b) Chứng minh hai đường tròn c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định Lời giải o � � a) Ta có ABO ACO 180 nên tứ giác ABON nội tiếp ABOC Suy DMA đồng dạng DNJ Gọi J giao điểm AD với đường tròn DM DN DA.DJ Suy : DA DI ; DJ DE Mà : DM DN DI DE � DMI đồng dạng DEN Nên MINE nội tiếp hay có đpcm Vậy tứ giác MN OA O T tiếp xúc E b) Dễ thấy MN khơng vng góc OA Gọi K giao điểm MN với tiếp tuyến O Khi E Ta có O, J , K thẳng hàng Trong tam giác OEK : KJ KO KE (1) ( Định lý hình chiếu) ABOC ta có KJ KO KN KM (2) Trên đường tròn KE KN KM nên KE tiếp xúc T Từ (1) (2) suy � ODE � TIE � OED c)Ta có IT / / OD Gọi W OA �IT Nên I trung điểm AD nên W trung điểm OA (đpcm) Vì MN OA W �IT Khi Câu 20: (1,5 điểm) 3a b 3b c 3c a � �9 a b c � � a ab b bc c ca � � � Chứng minh với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Lời giải Giả sử a b c t đặt a tx; b ty; c tz � x y z �t x y t 3y z t 3z x � ��9 t x y z �2 2 2 t x xy t y yz t z zx � � � � Ta chứng minh 3x y y z 3z x � �9 x xy y yz z zx 4x x y y y z 4z z x 4 � �9 � �9 x x y y y z z z x 1 z x 1 x y 1 y z 5x y 1 y 1 � �9 x x2 y y z z � 1� a b c � x, y, z �� 0; � a , b , c � � Vì ba cạnh tam giác nên Ta có: � 1� 5x x �� 0; � �18 x � x 1 x 1 �0 � 2� xx y 1 � 1� y �� 0; � �18 y � y 1 y 1 �0 2� yy � � 1� 5z z �� 0; � � 18 z � z z � 2� � z z2 5x 1 y y 1 5x 1 y 1 y 1 �18 x y z � �9 2 2 2 x x y y z z x x y y z z Suy : ……………….HẾT…………… ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017-2018 2 2 2 P 42 42 1 1 2 Câu 65: Tính giá trị 2017 x 2017 x x 2018 x 2018 2 2017 x 2017 x 2018 x x 2018 Câu 66: Giải phương trình 13 37 Câu 67: Cho a, b, c Chứng minh rằng: a) a a a 2b a b b) a b c a 2b b 2c c 2a Câu 68: Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD BA, tia Cy lấy điểm E cho CE CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC a) Chứng minh CA CK ; BA BL; b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I , J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh tam giác IHJ vuông cân Câu 69: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C ) Gọi H , K hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn H ; HM K ; KM a) Chứng minh hai đường tròn H K b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn qua điểm cố định cắt nhau; H K Chứng minh MN ln Câu 70: Tìm số ngun tố p cho p lập phương số tự nhiên ……………….HẾT…………… ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ YÊN 2017-2018 2 2 2 P 42 42 1 1 2 Câu Tính giá trị Lời giải P 2 3 2 3 2 2 3 3 6 6 3 3 2017 x 2017 x x 2018 x 2018 2 2017 x 2017 x 2018 x x 2018 Câu Giải phương trình 13 37 Lời giải a ab b 13 2 37 Đặt 2017 x a x 2018 b Ta có phương trình a ab b 2 2 � 12a 25ab 12b � 12a 16ab 9ab 12b � 3a 4b 4a 3b Xét 3a 4b � 2017 x x 2018 � x 2021 Xét 4a 3b � 4(2017 x) 3( x 2018) � x 2014 S 2014; 2021 Phương trình có tập nghiệm Câu Cho a, b, c Chứng minh rằng: a) a a a 2b a b b) a b c 1 a 2b b 2c c 2a Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có : a a a � a 2b a.(a 2b) a b Dấu “=” xảy a a 2b � b vô lý Vậy b) Tương tự câu a ta có : a a a 2b a b a b c a b c a b c a 2b b 2c c 2a a b b c c a a b c a b c a b c Câu Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD BA, tia Cy lấy điểm E cho CE CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC a) Chứng minh CA CK ; BA BL; b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I , J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh tam giác IHJ vuông cân Lời giải a) � BDA � Ta có BD BA � ABD cân nên BAD � � � � � � � � Mà BAD KAC 90� BDA BKD BDA AKC � KAC AKC � ACK cân nên CA CL Tương tự ABL cân nên BA BL b) Áp dụng định lý Ta let hệ ta có: CH GE CE CA CK CK CH HK BH GB BD BA BL BL BH HL (Giả sử AB AC ) HK CE GC IK HK IK � HI //DL Suy HL BD GD ID hay HL ID Ta lại có BD BL nên tam giác BDL vuông cân � 45�� JIH � BHI � BLD � 45� � BLD � Chứng minh tương tự ta có IJH 45�� IHJ vuông cân H Câu Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C ) H ; HM Gọi H , K hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn K ; KM a) Chứng minh hai đường tròn H K b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn qua điểm cố định Lời giải cắt nhau; H K Chứng minh MN HM KM HK HK KM a) Ta có b) � � � � Ta có NHM NCB ; NMK NBC nên đường tròn H K cắt Do AKMH chữ nhật nên � � � NBC � 90�� BNC � 90� NHM NKM 90�� NCB Vẽ hình vng ABEC ta có A, N , B, E , C thuộc đường trịn đường kính BC cố định � � � � � � Ta lại có NEB NCB mà NCB NMH , NEB NHM , MH //EB nên ba điểm N , M , E thẳng hàng Vậy MN qua điểm E cố định Câu Tìm số nguyên tố p cho p lập phương số tự nhiên Lời giải p � p Xét (loại) Xét p p số nguyên tố lẻ nên p số tự nhiên chẵn p 2k Đặt với k nguyên dương p 2k 2k 1 4k 2k 1 Khi Vì p số nguyên tố nên 2k k 4 � � �� � 4k 2k p �p 73 (thỏa mãn) TH1: � 2k k 1 � � �� � 4k k p �p (loại) TH2: � 2k p 2k p k 1 � � � �� �� � 4k k 2k k �p (loại) � TH3: � Vậy p 73 thỏa mãn toán ... ( x + 2) dư f (? ??2) � 2a b (2 ) (1 ) Từ (1 ) (2 ) � a = b = Vậy f ( x) :[ (x- 1)(x+ 2)] dư 2x + 2 x - 3x + x + = � ( x 1 )( x x 6) � x+1= 0�? ?(1 ) x2 - 4x+ = 0? ?(2 ) (1 ) � x =- 2 (2 ) � (x-... tự: b (c a ) b 4c 4a ab 1 � c (a b) c 4a 4b (1 ) (2 ) (3 ) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1 ), (2 ), (3 ) ta được: � bc ca ab 1 � �1 1 � �1 �� � � � a (b c) b (c a) c (a b)... Vì (x- 1)(x+ 2) = x + x- đa thức bậc nên f x : ( x 1 )( x 2) có đa thức dư dạng ax + b Đặt f ( x) ( x 1 )( x 2).q( x) ax b Theo đề ra: f ( x) : ( x- 1) dư f (1 ) � a b f (