(Skkn 2023) phát triển năng lực toán học cho học sinh thpt thông qua việc định hướng tìm lời giải trong một số bài toán về giới hạn dãy số và đạo hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT THƠNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ ĐẠO HÀM LĨNH VỰC: TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2023 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG * Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ ĐẠO HÀM LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Họ tên: Đậu Hoàng Hưng Số điện thoại: 0983.566.166 NGHỆ AN – 2023 MỤC LỤC Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ ……………………………………………………… … I Lý chọn đề tài……………………………………………………… II Mục đích nghiên cứu………………………………………………… III.Phương pháp nghiên cứu………………………………………… … IV Khả ứng dụng triển khai đề tài……………………………… B NỘI DUNG…………………………………………………………… I Cơ sở lý luận…………………………………………………………… II Cơ sở thực tiễn………………………………………………………… III Nội dung đề tài……………………………………………………… Một số khái niệm tính chất bản……………………………… 1.Bồi dưỡng lực giải vấn đề toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện tốn học cho học sinh THPT thơng qua việc định hướng tìm lời giải cho toán giới hạn hữu hạn dãy số, đạo hàm cho dạng tường minh từ kiến thức Bồi dưỡng tư sáng tạo, lực giải vấn đề cho học sinh THPT thơng qua việc định hướng tìm lời giải cho toán biện luận tồn giới hạn hữu hạn dãy số có phụ thuộc tham số… 17 Bồi dưỡng lực giải vấn đề toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn cho học sinh THPT thơng qua việc định hướng tìm lời giải cho tốn chứng minh tồn tìm giới hạn hữu hạn dãy số cho dạng dãy ẩn…………………… 31 Bồi dưỡng lực phát giải vấn đề cho học sinh thông qua việc ứng dụng tính chất giới hạn dãy số…………………… … 38 C KẾT LUẬN………………………………………………………… 45 D TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………… 46 A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài Nền giáo dục Việt Nam nói chung, chục năm qua có nhiều thành tựu việc đào tạo nguồn nhân lực cho đất nước Những thành tựu khơng thể khơng khẳng định Nhưng hoàn cảnh lịch sử khác, trước yêu cầu cấp bách phát triển kinh tế-xã hội bối cảnh tồn cầu hóa, nảy sinh nhiều bất cập địi hỏi phải có nhận thức lại, nhìn nhận lại cách nghiêm túc thực trạng giáo dục Việt Nam Nghị 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 Ban chấp hành Trung ương Đảng đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo rõ thực trạng “… công việc giảng dạy, học tập, thi cử, kiểm tra đánh giá kết lạc hậu, thiếu thực chất…’’ Như vậy, theo xu đổi mới, mục tiêu giáo dục thay đổi từ quan niệm tiếp cận nội dung, nghĩa quan tâm đến việc người học lĩnh hội kiến thức gì, sang cách tiếp cận phát triển lực, nghĩa học sinh làm sau lĩnh hội kiến thức nhà trường Vì vậy, vấn đề hình thành phát triển lực trở thành yêu cầu tất yếu việc xây dựng chương trình việc tổ chức dạy học nhiều nước giới, có Việt Nam Nghị 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 Ban chấp hành Trung ương Đảng đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ "Phát triển giáo dục đào tạo nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học" Nghị 88/2014/QH13 ngày 28 tháng 11 năm 2014 Quốc hội đổi Chương trình, Sách giáo khoa phổ thông xác định mục tiêu đổi mới, "Đổi chương trình, Sách giáo khoa GDPT nhằm tạo chuyển biến bản, toàn diện chất lượng hiệu giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển giáo dục nặng truyền thụ kiến thức sang giáo dục phát triển toàn diện phẩm chất lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ phát huy tốt tiềm học sinh" Cụ thể hóa Nghị Đảng Nhà nước, chương trình GDPT 2018 mơn Tốn (được ban hành theo Thơng tư số 32/2018/TT-BGDĐT) nêu rõ “Mơn Tốn góp phần hình thành phát triển cho học sinh lực toán học bao gồm thành phần cốt lõi sau: Năng lực tư lập luận toán học; Năng lực giải vấn đề tốn học; Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán…” Để thực tốt yêu cầu, mục tiêu chương trình GDPT 2018, chúng tơi lựa chọn viết sáng kiến với đề tài “Phát triển lực tốn học cho học sinh THPT thơng qua việc định hướng tìm lời giải số toán giới hạn dãy số đạo hàm” II Mục đích nghiên cứu - Định hướng cho học sinh THPT số cách tiếp cận lời giải toán dãy số đạo hàm , từ phát triển tư , lực tốn học cho em - Hình thành cho em học sinh giới quan khoa học, cho em phương pháp tìm hiểu mối liên hệ mật thiết phần nội dung, chương trình mơn Tốn bậc THPT, mối liên hệ kiến thức sách giáo khoa thực tiễn sống - Phát triển tư sáng tạo lập luận toán học; lực giải vấn đề toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn III Phương pháp nghiên cứu - Trên sở kiến thức Sách giáo khoa Giải tích 11, 12 (cơ bản) chúng tơi xây dựng, khai thác, phát triển, sếp vấn đề, lồng ghép vào ví dụ (được tham khảo từ đề thi HSG mơn Tốn bậc THPT) để phân hoạch thành dạng toán cụ thể theo mức độ để phù hợp với nhu cầu, lực em học sinh - Tham khảo viết đồng nghiệp ngồi nước tạp chí có nội dung liên quan đến đề tài - Trao đổi với đồng nghiệp Tổ Toán-Tin Trường Huỳnh Thúc Kháng, Trường THPT chuyên Phan Bội Châu số đơn vị bạn tỉnh có quan tâm đến vấn đề để đề xuất biện pháp tiếp cận lời giải toán, triển khai đề tài - Trao đổi, thảo luận phối hợp trực tiếp với em học sinh trực tiếp gián tiếp giảng dạy để kiểm nghiệm rút kinh nghiệm IV Khả ứng dụng triển khai kết - Đề tài dùng làm tài liệu tham khảo, học tập cho em học sinh lớp THPT ngồi trường - Đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy mơn Tốn THPT, học viên Cao học, Nghiên cứu sinh chuyên nghành Phương pháp giảng dạy Toán - Đề tài ứng dụng để phát triển thành mơ hình sách tham khảo lĩnh vực để phục vụ công tác giảng dạy giáo viên, công việc học tập cho học sinh công tác nghiên cứu nhà giáo dục Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến của độc giả để thân tơi ngày hồn thiện đạt nhiều kết tốt việc giảng dạy phần dãy số đạo hàm Chúng xin chân thành cảm ơn B NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Qua nhiều cơng trình nghiên cứu Giáo dục cho thấy, chia q trình nhận thức người thành hai cấp độ: nhận thức cảm tính nhận thức lí tính Trong đó, nhận thức cảm tính (cảm giác, tri giác,…) có vai trị quan trọng đời sống tâm lí người, cung cấp vật liệu cho hoạt động tâm lí cao Tuy nhiên, thực tế sống đặt vấn đề mà nhận thức cảm tính, người khơng thể nhận thức giải Muốn nhận thức giải vấn đề vậy, người phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, nhận thức lí tính (còn gọi tư duy) Tư xét trình gồm nảy sinh, diễn biến kết thúc Quá trình minh họa sơ đồ sau: Nhận thức vấn đề Xuất liên tưởng Sàng lọc liên tưởng hình thành giả thuyết Kiểm tra giả thuyết Chính xác hố Khẳng định Phủ định Hoạt động tư Giải vấn đề Nhìn vào sơ đồ ta thấy việcnhận thức, phát vấn đề giải vấn đề giữ vai trò quan trọng Trước đây, phương pháp dạy học truyền thống thực theo chương trình giáo dục tiếp cận nội dung, việc phát vấn đề giải vấn đề chủ yếu dành cho người dạy, người học việc thực lại thao tác, yêu cầu mà người dạy cung cấp, khó có điều kiện tìm tịi kiến thức, kĩ cung cấp sẵn Công việc đổi phương pháp giảng dạy nói chung, mơn Tốn nói riêng thực bước chuyển mạnh mẽ từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học, từ phương pháp dạy học truyền thống theo lối “truyền thụ chiều” , “thầy đọc trò chép” sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành lực phẩm chất Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học, sở trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư , người học tự hồn thành nhiệm vụ nhận thức với tổ chức, hướng dẫn người dạy Việc đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát triển lực thường thể qua việc người dạy tổ chức, hướng dẫn cho người học tự tiến hành hoạt động học tập, tìm hiểu kiến thức mới; vận dụng cách sáng tạo kiến thức biết để phát đưa hướng giải tình nảy sinh học tập thực tiễn; đồng thời người dạy phải trọng rèn luyện cho người học biết khai thác sách giáo khoa tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại kiến thức có, suy luận để tìm tịi phát kiến thức mới, định hướng cho học sinh cách tư phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, đặc biệt hóa , khái qt hóa… để từ dần hình thành phát triển lực sáng tạo Bên cạnh đó, người dạy phải xây dựng tình huống, hệ thống câu hỏi, tập hay kiện để tăng cường công tác phối hợp học tập, làm việc tập thể , nhằm vận dụng hiểu biết kinh nghiệm cá nhân, tập thể giải nhiệm vụ chung Đây sở lí luận để tiến hành công việc triển khai đề tài II Cơ sở thực tiễn Qua thực tế giảng dạy chương trình Tốn THPT, chúng tơi tạm thời chia thành 03 phần gồm Hình học, Đại số Giải tích Trong phần Đại số Giải tích tồn lớp 10 học kỳ lớp 11 học sinh học Đại số; học kỳ lớp 11 lớp 12 học sinh học Giải tích Chương trình Đại số bậc THPT kế thừa từ lớp cấp học Điều chứng tỏ trước tiến hành học phần Giải tích học sinh có thời gian dài học Đại số (bao gồm cấu trúc, phép toán tập hợp số) đối tượng tĩnh, rời rạc “hữu hạn” Điều đối lập với đối tượng nghiên cứu Giải tích, đối tượng biến thiên, liên tục “vô hạn” Do đó, số “tư kiểu Đại số” mà em có q trình học Đại số không phù hợp tiếp cận đối tượng Giải tích em học sinh thường cảm thấy khó bắt đầu học khái niệm Giải tích vận dụng Các yếu tố Giải tích thường mang tính “động” tính “tĩnh” Đại số, điều địi hỏi cần có cách nhìn khác, tiếp cận khác vận dụng khác khái niệm Giải tích so với Đại số Ví dụ dạy khái niệm giới hạn (hữu hạn) dãy số trình xây dựng khái niệm giới hạn dãy số  un  sách giáo khoa bắt đầu việc xét dãy số  un  cụ thể sau xem xét thay đổi un cho n “dần tới” dương vơ cực Đây hình ảnh trực quan quan trọng cho định nghĩa khái niệm giới hạn dãy số, để từ đến phát biểu định nghĩa theo ngôn ngữ dãy số Trong định nghĩa ta thấy, đẳng thức lim un  a khơng cịn túy giá trị hai biểu thức mà n  học sinh học lớp Người giáo viên phải có gợi mở, giải thích để học sinh có cách nhìn linh hoạt biện chứng đại lượng un thay đổi “xung quanh” a có xu ngày gần a khơng nhận giá trị a Hơn nữa, để vận dụng tốt tính chất Giải tích người giáo viên phải hướng dẫn học sinh hiểu chất, tìm kiếm dấu hiệu “Giải tích” để làm sở nhận dạng gặp tình cụ thể Đây sở thực tiễn để tiến hành công việc triển khai đề tài III Nội dung đề tài Trước hết, để thuận lợi cho việc trình bày chúng tơi việc theo dõi người đọc, nhắc lại số khái niệm tính chất cần dùng cho phần sau Một số khái niệm tính chất Trong mục chúng tơi trình bày lại số khái niệm tính chất Giải tích chương trình Tốn THPT cần dùng phần sau 0.1 Định nghĩa Dãy số thực  u n  gọi dãy số tăng un1  un gọi dãy số giảm với n   * ta có un1  un Nếu dãy số  u n  tăng, giảm gọi dãy số đơn điệu 0.2 Định nghĩa Dãy số thực  un  gọi bị chặn tồn M cho un  M n  * , bị chặn tồn m cho un  m n  * gọi bị chặn đồng thời bị chặn trên, bị chặn 0.3 Định nghĩa Dãy số  un  gọi có giới hạn a ( hữu hạn) với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, cách a khoảng nhỏ số dương viết lim un  a n  0.4 Định lý Nếu dãy số  un  đơn điệu bị chặn  un  có giới hạn hữu hạn 0.5 Định nghĩa (i) Dãy số thực  un  gọi có giới hạn âm vơ cực với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm viết : lim un   n (ii) Dãy số thực  un  gọi có giới hạn dương vô cực với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương viết lim un   n 0.6 Định nghĩa (i) Cho hàm số y  f ( x) xác định  a; b  ( trừ điểm x0   a; b  ) Ta nói f ( x) có giới hạn L x dần đến x0 với dãy số  x    a; b  \  x  : lim x n n  n  x0 lim f  xn   L viết lim f ( x )  L n  x  x0 36 Vậy để thỏa mãn tốn    Bài tốn 3.5 Cho hàm số liên tục f :    0;   thỏa mãn: lim f ( x )  lim f ( x )  x  x  a) Chứng minh f ( x ) đạt gia trị lớn  b) Chứng minh tồn hai dãy số ( xn ) , ( yn ) với xn  yn  n   * cho chúng hội tụ tới giới hạn thỏa mãn f ( xn )  f ( yn ) n   * (VMO-2019) Lời giải a) Do hàm số nhận giá trị dương nên f (0)  , kết hợp với điều kiện lim f ( x )  lim f ( x )  định nghĩa giới hạn vơ cực tồn số thực a đủ x  x  nhỏ b đủ lớn cho f ( x )  f (0)  x  a f ( x )  f (0) x  b Khi đó, giả thiết f ( x ) liên tục  nên đoạn  a ; b  hàm số f ( x ) đạt giá trị lớn M  f ( c ) , với M  f (0) c   a; b  Ta có f ( x )  f (0)  M x   ; a    b;   , suy f ( x )  M x   Như vậy, tập  f ( x ) có giá trị lớn M , đạt x  c b) Nếu tồn khoảng  a; b  chứa giá trị c cho f ( c )  M f ( x )  M x   a; b  \ c Lấy A, B   a; b  \ c cho c   A; B  ta xét đoạn  A; B  , f ( x ) liên tục đoạn  A; c   c; B  nên tồn giá trị nhỏ hai đoạn này, đặt m1 , m2 Giả sử m  max m1 ; m2  , theo định lý giá trị trung gian hàm liên tục tồn x1   A; c  , x2   c; B  cho f ( x1 )  f ( x2 )  m , ngồi ta có x1  c  y1 Lại áp dụng định lý giá trị trung gian cho hàm liên tục đoạn  x1 ; c   c; y1  ta thấy tồn x2 , y2 cho f ( x2 )  f ( y2 )  mM x2  c  y2 Cứ thế, ta xét dãy số (un ) cho: u1  m   un  M * u   n   n   37 Ta có dãy số (un ) hội tụ M với n  , tồn số  f ( xn )  f ( y n )  u n xn   xn 1 ; c  yn   c; yn 1  để:  n   *  xn  c  yn Do dãy số ( xn ) tăng bị chặn c nên có giới hạn l  c Nếu l  c tính liên tục nên ta có: M  lim u n  lim f ( xn )  f (l )  M , vô lý Chứng n  n  minh tương tự ta có lim xn  c Vậy ta có hai dãy số ( xn ) , ( yn ) thỏa mãn n  xn  yn n   * , hội tụ tới giới hạn thỏa mãn đẳng thức: f ( xn )  f ( y n )  n   *  Bài tập 3.1 Với n  * đặt f n ( x )  x n  x n 1   x  a) Chứng minh với n , phương trình f n ( x)  có nghiệm xn  (0; ) b) Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn tìm lim xn n Bài tập 3.2 Cho đa thức f n ( x )  x n  x n1   x  x   n   *  a) Chứng minh với n  * f n ( x ) đạt giá trị nhỏ điểm nhất, ký hiệu xn b) Với n  * đặt sn  f n ( xn ) Chứng minh : (i) lim xn  1 ; n  (ii) sn  1 n * không tồn a  để sn  a n  * ; 2 (iii) Dãy số  sn  giảm lim sn  n Bài tập 3.3 Hãy xác định cặp số thực  a ; b  cho với n  * với nghiệm thực xn phương trình 4n x  log 1  2n x  ta ln có bất đẳng thức a xn  b xn   xn 38 Bồi dưỡng lực phát giải vấn đề cho học sinh thông qua việc ứng dụng tính chất giới hạn dãy số Trong mục ta xét số tốn ứng dụng tính chất giới hạn dãy số Bài toán 4.1 Cho dãy số nguyên  un  thỏa mãn điều kiện:  un  7un 1  10un 2  n   Chứng minh tồn n0   cho un  n   : n  n0 Nhận xét định hướng Từ kết luận toán “tồn n0   cho un  n   : n  n0 ” ta thấy thuật ngữ xuất định nghĩa giới hạn dãy số Điều gợi cho ta liên hệ đến định nghĩa giới hạn dãy số, kết hợp với giả thiết dãy số  un  nguyên gợi ý cho đưa toán chứng minh lim un  Từ nhận xét ta có lời giải toán n  Lời giải Với k   ta đặt xk  un : n  k  yk  max un : n  k  Khi đó, ta xác định dãy số  xn  ,  yn  thỏa mãn điều kiện  xn  dãy số tăng ,  yn  dãy số giảm xn  yn n   Mặt khác, giả thiết dãy số  un  nên hai dãy số  xn   yn  bị chặn, suy tồn lim xn  x n lim yn  y Lại có  xn  ,  yn    nên tồn n0   để xn  x , yn  y n  n0 n Mà xk  un : n  k  yk  max un : n  k nên tồn n  n0 để un  y un , un1  x , suy x  10 y  (4.1.1) tồn m  n0 để um  x um , um 1  y ,suy 10 x  y  (4.1.2) Từ (4.1.1), (4.1.2) x, y   ta có x  y  hay lim xn  lim yn  , suy n n lim un  Do tồn n0   để un  n   : n  n0 n  Bài toán 4.2 Cho dãy số  un  u1   thỏa mãn:  * un 1  un  2u n    n 39 Chứng minh 9 x   81 ( kí hiệu  x  phần nguyên số thực 81 x ) n 1 Lời giải Trước hết ta chứng minh n  un n  n  H n n  * ,với H n   k 1 k Thật vậy, un 1  u n  1 nên un21  u n2   u12  2u n 4u n +) Với n  ta có u12  , giả sử sử đến n , nghĩa un2  n , suy ra: un21  n    n  4un2 Theo nguyên lý quy nạp ta có un2  n n * hay Lại có un2  un21  nun  n n  * (4.2.1) n 1  n 1  1 2  u  n      u  n      n    k 1 k  4un21 k 1 4u k 1    u  n  Hn   n  H n   nun  n  H n n  * 6 n   n (4.2.2) Từ (4.2.1) (4.2.2) ta có: n  n un  n  H n n  * Tiếp theo ta chứng minh H 81  Xét hàm số : f  x   ln  x  1  ln x  Do f   x    x   0;   ; x 1 1   x   0;   nên hàm số f  x  nghịch biến x  x  1  x  12 khoảng  0;   f  x   x   0;   hay ta có:  ln  x  1  ln x x   0;   x 1 n 1 n 1    ln  k  1  ln k   ln n  H 81   ln 81  k 1 k  k 1  Khi đó, ta có 81  81 u81  81  H 81  82 , suy 9 x81   81  40 2020  a  ,  2019 Bài toán 4.3 Cho dãy số ( an ) xác định bởi:  n * an1  an  an  , n    an n a) Chứng minh dãy số (bn ) xác định bn   n  * có giới i 1 hạn hữu hạn n    n i b) Cho dãy số (cn ) xác định cn     n  * Chứng minh  i 1  số nguyên dương có xuất dãy (cn ) , đây, kí hiệu [ x ] phần nguyên số thực x n2 Lời giải a) Ta có an 1  (n  1)  an  n  2( an  n)   an 2  a 1   ( an  n )  n    an an  n   Mặt khác, từ a1  12 quy nạp ta chứng minh an  n n  * , suy an1  an  an  Điều kéo theo Lại a1  an1  an  2020  2 nên quy nạp, ta có: an  (n  1)2 n  * 2019 Điều chứng tỏ n  an  (n  1) n  * , suy bn  1 1 1    1      n  * 2 n 1 2  ( n  1) n n Do ta có dãy số (bn ) bị chặn trên, mà dãy số (bn ) tăng thực nên có giới hạn hữu hạn b) Vì n  an  (n  1) n  * nên sn  n n    n   * Do : n an ( n  1) 4n n 1 1 1             n   * a1 a2 a3 an  n 41 Mà e x  x  x  nên x  ln( x  1), x  Thay x , ta i n 1 n  i 1  ln   ln( i  1)  ln i     ln(i  1)  ln i   ln( n  1)     i  i  i 1 i i 1 n   , suy sn   n   Do đó, với số nguyên dương m tồn n để sn  m Gọi n0 số để s0  m , suy sn0 1  m Do sn0  m  ngược lại n0  sn0  sn0 1  , mâu thuẫn Điều un0 cho thấy cn0  [ sn0 ]  m hay số nguyên dương có xuất  dãy (cn ) 1  Bài toán 4.4 Với số thực x   ;1 , số nguyên dương n cho  nx  số 2  chẵn viết thành dãy số tăng u1  u2  u3  a) Có tồn số nguyên dương m để m, m  1, m  không thuộc dãy số (un ) hay không? n n  * Chứng minh  uk k 1 u b) Dãy số (vn ) xác định bởi:   k 1 lim   n Lời giải a) Câu trả lời không tồn Thật vậy, giả sử ngược lại tồn số nguyên dương m để  mx  ,  (m  1) x  ,  ( m  2) x  số lẻ Khi ta xét hai trường hợp: -Nếu mx   mx  x  , suy mx  x   Mặt khác, (m  1) x    mx   mx  x    mx   mx  x  nên ta có  (m  1) x  số chẵn, mâu thuẫn -Nếu mx  , để có  ( m  1) x  ,  mx  lẻ ta phải có  ( m  1) x    mx  , nghĩa mx  x   , suy (m  2) x   (m  1) x   mx  x    (m  1) x   mx  42 Mà (m  2) x    mx  mx  x    mx  mx  x  nên mx  x   , 1  điều khơng thể xảy x   ;1 Do khơng tồn số m  * thỏa mãn 2  m, m  1, m  không thuộc dãy số (un ) b) Với ba số nguyên dương liên tiếp, ln có số thuộc dãy số (un ) nên un1  un  n  * Lại có  x  số chẵn nên u1  , suy un   3(n  1)  3n  n  * Do ta có: un21  un2   un1  un  un1  un    3(n  1)   3n    18n n  * 1  n 1  n   *    2 18  k 1 k  k 1 u k 1  uk n Suy    n 1 Mà lim      nên ta có lim   n n  k 1 k   Bài toán 4.5 Cho a, b hai số nguyên dương nguyên tố Gọi un số cách viết số nguyên dương n  ab thành dạng n  au  bv với u, v    Chứng un  n n ab minh rằng: lim Lời giải Với số nguyên dương n , tồn số nguyên dương k cho kab  n  (k  1) ab  kb  n  (k  1)b a Mặt khác, để có cặp (u; v ) thỏa mãn u cầu tốn phải tồn u    cho: au  n u  (k  1)b   au  n (mod b ) au  n (mod b )   (4.5.1) Số lượng số u    thỏa mãn (4.5.1) giá trị un Với số nguyên dương m , ma,(m  1) a,( m  2) a, ,( m  b  1)a hệ thặng dư đầy đủ modulo b nên chưa số đồng dư với n theo modulo b Kết hợp với u  (k  1)b  ta có  ua   (k  1)b  1 a Ta tiến hành chia bội a nửa khoảng  0;  (k  1)b  1 a  thành k  nửa 43 khoảng  0;  b  1 a  ,   b  1 a;(2b  1)a  , ,  kba;  (k  1)b  1 a  Do nửa khoảng, có số đồng dư với n theo modulo b nên k nửa khoảng cuối, có k số ua , nửa khoảng đầu chưa có nên k  un  k   k un k    n  * Kết hợp với kab  n  (k  1)ab ta có: n n n 1 k un k  1       n   * ab n n n n ab n un  n n ab Cho n   ta suy lim  Bài toán 4.6 Cho dãy số  un  có cơng thức un   n    n   1n  * Chứng minh với số nguyên dương d tồn số nguyên dương m để m  dum (P55-Tạp chí Pi-Tập số tháng năm 2017) Lời giải Với số nguyên dương d tùy ý, đặt  n  dun n  * , suy dãy số (vn ) dãy số nguyên  n   n 1 v u un Do lim  lim      nên lim n   d lim n  Suy ra, tồn n n n  n n n n n k  * cho vk  k  duk  Như thế, tập hợp S  n  * :  0 khác rỗng nên S tồn số nguyên dương m nhỏ để vm  Giả sử vm  , vm số nguyên nên vm  Mặt khác, v1   3d  nên m  , suy vm  vm1   d  um  um1   1, kéo theo vm1  , điều mâu thuẫn với tính nhỏ m S Như vm  hay m  dum Bài tập 4.1 Cho dãy số nguyên  un  u1  1, u2   thỏa mãn :  un21 *   u    n   n   un  Chứng minh u2018  7(mod 9) (P159-Tạp chí Pi, Tập 2, số tháng năm 2018) Bài tập 4.2 Tìm tất dãy số  un   * bị chặn thỏa mãn điều kiện: 44 u1 , u2     un1  un  * u   n    n gcd  u , u  n 1 n  ( All Rusian M.O 1999) 45 C KẾT LUẬN Qua viết sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển lực toán học cho học sinh THPT thơng qua việc định hướng tìm lời giải số toán giới hạn dãy số đạo hàm” giải vấn đề sau: Bồi dưỡng cho học sinh lực phát giải vấn đề , giúp học sinh tự khám phá điều chưa biết không thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn, chủ động học tập phát kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức biết vào tình cụ thể học tập thực tiễn Rèn luyện cho học sinh biết khai thác sách giáo khoa tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại kiến thức có, suy luận để tìm tịi phát kiến thức Định hướng cho học sinh cách tư phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái qt hóa, để dần hình thành phát triển lực tư sáng tạo cho em Đáp ứng yêu cầu, mục tiêu đáp ứng yêu cầu Nghị Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị số 29-NQ/TW) nói chung, chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 (được ban hành theo Thơng tư số 32/2018/TT-BGDĐT) nói riêng đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế Tạo cho em tảng kiến thức vững vàng thống nhất, suy nghĩ tư lôgic, tự tin gặp vấn đề khó, góp phần nâng cao hiệu học tập giảng dạy, đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy mơn Tốn từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học giai đoạn Rèn luyện cho em học sinh THPT có khiếu Tốn , có tham gia vào kỳ thi học sinh Toán cấp học sinh giỏi Tỉnh, học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn lớp 12 (VMO), chọn đội tuyển dự thi Toán quốc tế (Viet Nam TST), học sinh giỏi Toán quốc tế (IMO) hàng năm biết cách phát giải vấn đề nảy sinh trình học tập Nghệ An, ngày 20 tháng năm 2023 Đậu Hoàng Hưng 46 D TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đảng Cộng sản Việt Nam: Nghị 29-NQ/TW Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI [2] Quốc hội Nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam: Nghị số 88NQ/QH13 [3] Ủy ban Nhân dân tỉnh Nghệ An: Kế hoạch số 306/KH-UBND ngày 23 tháng năm 2019 triển khai thí điểm xây dựng trường trung học trọng điểm chất lượng cao địa bàn tỉnh Nghệ An giai đoạn 2019-2023 [4] Luật Giáo dục 2019 văn hướng dẫn thi hành-Nhà xuất trị quốc gia [5] Đ.H.Hưng (2015), Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh có khiếu Tốn thơng qua việc tổng qt hóa, đặc biệt hóa số tốn tổng lũy thừa., Sáng kiến kinh nghiệm cấp Tỉnh(Loại A), Giải Khuyến khích Sáng tạo KH-KT tỉnh Nghệ An 2016 [6] Đ.H.Hưng (2016), Phát triển tư sáng tạo cho học sinh chun Tốn thơng qua việc ứng dụng số tính chất Giải tích vào tốn Số học Đại số, Sáng kiến kinh nghiệm cấp Tỉnh (Loại A) [7] Đ.Đ.Thái, Đ.T.Đạt, P.X.Chung, N.S.Hà, P.S.Nam, V.Đ.Phượng, N.T.K.Sơn, V.P.Thúy, T.Q.Vinh (2018), Dạy học phát triển lực mơn Tốn, NXB Đại học sư phạm [8] L.X.Sơn, V.T.H.Thanh (2019), Một số trao đổi dạy học mơn Tốn THPT theo định hướng phát triển lực, Báo cáo hội thỏa khoa học Nghiên cứu dạy học Toán đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục nay-Đại học Vinh [9] Tuyển tập đề thi HSGQG mơn Tốn ( Từ năm 2005 đến năm 2023) [10] Tạp chí Pi (Số hàng kỳ) PHỤ LỤC: MẪU PHIẾU KHẢO SÁT GIÁO VIÊN BỒI DƯỠNG VÀ HỌC SINH ĐỘI DỰ TUYỂN, ĐỘI TUYỂN HÀNG NĂM Để kiểm tra tính hiệu thiết thực đề tài; tiến hành khảo sát, điều tra phiếu điều tra theo Mẫu 1.1 học sinh đội dự tuyển, đội tuyển Mẫu 2.1 giáo viên Toán tham gia bồi dưỡng HSG hàng năm số đơn vị địa bàn thành phố Vinh sau: PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH ( Mẫu 1.1) TT Câu hỏi Phương án trả lời Mức độ hứng thú em sau học A Rất tốt xong chuyên đề này? Ghi B Tốt C Khá D Trung bình Mức độ nhận dạng em gặp A Rất tốt toán giới hạn dãy số? B Tốt C Khá D Trung bình Mức độ nhận dạng em gặp A Rất tốt toán ứng dụng đạo hàm? B Tốt C Khá D Trung bình Năng lực khai thác cơng cụ, phương A Rất tốt tiện toán học vào giải toán B Tốt C Khá cụ thể D Trung bình Mức độ phát vấn đề giải A Rất tốt vấn đề em sau học xong chuyên B Tốt C Khá đề này? D Trung bình Năng lực bao quát, xử lý yêu cầu A Rất tốt toán sau học chuyên đề này? B Tốt C Khá D Trung bình Sau thu thập, tổng hợp, xử lý số liệu, chúng tơi có kết khảo sát thơng qua bảng sau: Bảng 1.2: Tự đánh giá lực học sinh sau định hướng tìm lời giải chuyên đề Tham số Tổng Mức độ đánh giá Rất tốt Tốt Khá Trung bình Số lượng 108 05 63 36 Tỷ lệ % 100 4,6 58,9 33,3 3,2 Trung bình 3,65 Phương sai 0,00 Kết xử lý số liệu thu từ Bảng 1.2 cho thấy lực Toán học em học sinh sau hướng dẫn giá trị trung bình 3,65 khác mức độ đánh giá có ý nghĩa thống kê với phương sai < 0,05 Kết phản ánh rằng, lực Toán học em mức tốt Tuy nhiên, chiếm tỷ lệ không nhỏ mức 33,3% Từ thực trạng cho thấy, phương án hiệu áp dụng cho học sinh tham gia đội tuyển thức cần điều chỉnh hệ thống ví dụ để mở rộng đối tượng tham gia học tập PHIẾU KHẢO SÁT GIÁO VIÊN THAM GIA THỰC NGHIỆM ( Mẫu 2.1) TT Câu hỏi Mục tiêu, nội dung chuyên đề Phương án trả lời A Rất tốt Ghi B Tốt C Khá D Trung bình E Yếu Hình thức, phương pháp tổ chức triển A Rất tốt khai B Tốt C Khá D Trung bình E Yếu Năng lực khai thác cơng cụ, phương A Rất tốt tiện toán học vào giải toán B Tốt cụ thể C Khá D Trung bình E Yếu Mức độ tư sáng tạo em sau A Rất tốt học xong chuyên đề này? B Tốt C Khá D Trung bình E Yếu Sau thu thập, tổng hợp, xử lý số liệu, chúng tơi có kết khảo sát thông qua bảng sau: Bảng 2.2 : Thực trạng kết hoạt động quản lý, dạy học trực tuyến cho học sinh nhà trường TT Nội dung Tham số Mức độ đánh giá Trung Độ lệch Rất Tốt Khá TB Yếu tốt Mục tiêu, nội dung chuyên đề Hình thức, phương pháp tổ chức triển Số lượng 04 75 23 06 Tỷ lệ % 3,7 69,4 21 5,9 Số lượng 03 74 25 06 Tỷ lệ % 2,7 68,9 22,4 5,9 bình chuẩn cộng 3,71 0,633 3,68 0,625 khai Năng lực khai thác cơng cụ, phương tiện tốn học vào giải toán cụ thể Mức độ tư sáng tạo em sau học xong chuyên đề này? Số lượng 02 51 48 Tỷ lệ % 1,8 47,5 44,7 6,0 Số lượng 07 51 41 Tỷ lệ % 6,4 47,0 38,4 8,2 3,44 0,635 3,52 0,738 Từ Bảng 2.2 ta thấy, ý kiến đánh giá kế hoạt động giáo viên với nội dung mức Tốt với điểm trung bình cộng từ 3.44 đến 3.71 Trong đánh giá cao mục tiêu nội dung dạy học trực tuyến với giá trị trung bình cao 3.71 đánh giá thấp lực khai thác công cụ, phương tiện toán học vào giải toán cụ thể Đây khó khăn chung giáo viên tham gia bồi dưỡng HSG hàng năm