(Skkn 2023) một số biện pháp dạy học chủ đề hình học không gian 11 nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài : MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Năm học: 2022-2023 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU  - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài : MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Người thực hiện: NGUYỄN VĂN MINH DƯƠNG ĐĂNG LỢI TRƯƠNG XUÂN QUANG Tổ: Toán tin Nhóm: Tốn Học Địa gmail: nvminh8286@gmail.com Số điện thoại: 0977733088 – 0969871676 – 0961731978 Năm học: 2022-2023 MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu: 1.3 Tính khoa học qua nhóm giải pháp nghiên cứu 1.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.5 Tính đề tài, sáng kiến, giải pháp 1.6 Phương pháp nghiên cứu 1.7 Cách thực 1.8 Tính khả thi tính cần thiết thực sáng kiến kinh nghiệm Phần II NỘI DUNG I Cơ sở lí luận thực tiễn Cơ sở lý luận 1.1 Năng lực 1.2 Các thành tố lực Toán học 1.3 Năng lực giải vấn đề sáng tạo 1.4 Một số vấn đề lý thuyết liên quan Cơ sở thực tiễn 12 II Một số biện pháp thực 14 2.1 Biện pháp 1: Giải toán nhiều cách khác 14 2.2 Biện pháp 2: Thay đổi hình thức tốn mà khơng làm thay đổi chất toán 18 2.3 Biện pháp 3: Xây dựng tốn khó từ toán 25 III Thực nghiệm sư phạm 49 Phần III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50 Kết luận 50 Kiến nghị 50 B KẾ HOẠCH THỰC HIỆN 52 C TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 A NỘI DUNG PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn đề tài Mục tiêu giáo dục phổ thơng tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, phẩm chất lực công dân, phát bồi dưỡng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện, trọng lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, lực kỹ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời Nâng cao chất lượng giáo dục yêu cầu cấp bách ngành giáo dục nước ta Một khâu then chốt để thực yêu cầu đổi nội dung phương pháp dạy học Trong môn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh phẩm chất, lực người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học mơn hình học khơng gian số lý sau: i) Hầu hết em học sinh gặp khó khăn việc học hình học khơng gian, em bị tâm lý khơng có lực học phần hình học khơng gian ii) Để học tốt phân mơn hình địi hỏi người học phải có tư nhạy bén, óc tưởng tượng phong phú, phải nắm qui ước vẽ hình Nhưng đa số học sinh lại lười tư duy, suy nghĩ, tốn khó bỏ qua khơng kiên trì tìm kiếm phương pháp giải iii) Về phía giáo viên, phận giáo viên tốn dạy đến phân hình học khơng gian suy nghĩ em yếu phần này, có dạy em không học, không hiểu nên dẫn đến cách tiếp cận vấn đề sơ sài, cẩu thả làm cho em học sinh thêm phần khó khăn việc học chủ đề Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Từ lý nêu trên, định chọn đề tài nghiên cứu (SKKN) là: ‘‘Một số biện pháp dạy học chủ đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 nhằm phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh THPT” | SKKN năm học 2022-2023 1.2 Mục đích nghiên cứu: Trong đề tài tơi đưa số giải pháp giúp học sinh học tốt chủ đề qua giúp học sinh phát triển lực giải vấn đề sáng tạo Một số giải pháp đưa sau: + Giải tốn hình học khơng gian theo nhiều cách + Xây dựng tốn khó từ tốn + Tìm mối liên hệ hình học phẳng hình học khơng gian 1.3 Tính khoa học qua nhóm giải pháp nghiên cứu - Năng lực học tốn bao gồm thành tố: lực tư lập luận tốn học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp tốn học; lực sử dụng cơng cụ phương tiện học toán - Năng lực giải vấn đề sáng tạo thể qua việc thực hành động: + Nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học + Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải vấn đề + Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học tương thích (bao gồm cơng cụ thuật toán) để giải vấn đề đặt + Đánh giá giải pháp đề khái quát hóa cho vấn đề tương tự 1.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu đối tượng sau: Một số tốn hình học khơng gian lớp 11 chương 3: Quan hệ vng góc 1.5 Tính đề tài, sáng kiến, giải pháp Đã có nhiều tài liệu viết chủ đề hình học khơng gian này, có nhiều sáng kiến kinh nghiệm viết chủ đề giải pháp đưa cụ thể đề tài gần chưa có tài liệu trước viết sát thực sáng kiến 1.6 Phương pháp nghiên cứu a Phương pháp quan sát: Phương pháp giúp ta nắm bắt hoạt động dạy học thầy hoạt động học tập trò hoạt động giáo dục để có biện pháp giúp học sinh có thói quen học tập, phát kịp thời khó khăn học sinh để có biện pháp giúp đỡ phù hợp b Phương pháp thực nghiệm Tiến hành khảo sát thực tế hoạt động học tập học sinh lớp qua tiết | SKKN năm học 2022-2023 học, qua tiến hành kiểm tra học sinh Để từ thu lại tư liệu cần thiết Đây phương pháp quan trọng cần thiết nghiên cứu khoa học c Phương pháp tổng hợp kinh nghiệm: Pháp giúp người nghiên cứu tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm giáo viên qua hoạt động học tập, từ rút học nêu biện pháp khắc phục đề xuất - Nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết (Sách tham khảo, Chuyên đề tốn, tạp chí Tốn học, đề thi Học sinh giỏi Toán tỉnh) - Tham khảo ý kiến đồng nghiệp d Phương pháp đàm thoại: Đây phương pháp để giáo viên gần gũi học sinh, đồng thời thăm hỏi, trị chuyện, qua nắm bắt tâm tư tình cảm, nguyện vọng em việc học lớp việc học nhà em Để từ giáo viên cần có phương pháp hình thức tổ chức dạy học thích hợp, khơi dạy niềm đam mê, tinh thần ham học hỏi tư sáng tạo học sinh để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh e Phương pháp thống kê, tính tốn: Sử dụng phương pháp thống kê giúp ta sử lý liệu, thơng tin q trình nghiên cứu, điều tra thu thập Nhờ biết chất lượng học tập học sinh thời gian sau so với thời gian trước để điều chỉnh biện pháp cho phù hợp 1.7 Cách thực + Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên nhóm môn + Liên hệ thực tế, áp dụng đúc rút kinh nghiệm + Thông qua việc giảng dạy trực tiếp 1.8 Tính khả thi tính cần thiết thực sáng kiến kinh nghiệm - Mục đích khảo nghiệm: Thông qua khảo nghiệm nhằm khẳng định cần thiết tính khả thi số biện pháp dạy học chủ đề “Hình học khơng gian lớp 11 nhằm phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh THPT, để từ hồn thiện biện pháp cho phù hợp với thực tiễn - Đối tượng khảo nghiệm: Tác giả tiến hành trưng cầu ý kiến 50 người giáo viên Toán trường THPT Sở GD-ĐT Nghệ An - Nội dung quy trình khảo nghiệm: | SKKN năm học 2022-2023 Để tiến hành khảo nghiệm cần thiết tính khả thi cầu ý kiến theo hai tiêu chí: tính cần thiết tính khả thi giải pháp đưa Thực đánh giá tiêu chí theo mức độ từ cao đến thấp lượng hố điểm số + Tính cần thiết: Rất cần thiết (3 điểm); Cần thiết (2 điểm); Khơng cần thiết (1 điểm) + Tính khả thi: Rất khả thi (3 điểm); Khả thi (2 điểm); Không khả thi (1 điểm) Sau nhận kết thu được, chúng tơi tiến hành phân tích, xử lí số liệu bảng thống kê, tính tổng điểm (Σ) điểm trung bình ( X ) biện pháp khảo sát, sau xếp theo thứ bậc để nhận xét, đánh giá rút kết luận - Thời gian tiến hành khảo nghiệm: tháng 04/2022 - Hình thức khảo sát: Dùng google form https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfPxKTPJgMaFgoUlQFttWEQd_q PbNR93ecf2bpMxaDFr68_xA/viewform Kết khảo sát tính khả thi biện pháp đề tài SKKN Mức độ đánh giá TT Biện pháp Rất cần thiết SL Cẩn thiết Không cần Điểm SL Điểm SL Điểm Tổng Trung Thứ bình bậc Giải toán nhiều cách khác 35 105 10 20 5 130 2.6 Thay đổi hình thức tốn mà khơng làm thay đổi chất toán 40 120 14 3 137 2.74 | SKKN năm học 2022-2023 Xây dựng tốn khó từ tốn Trung bình chung 30 105 90 13 26 7 123 2.46 315 30 60 15 15 390 2.6 Kết khảo sát tính cần thiết biện pháp đề tài SKKN TT Biện pháp Mức độ đánh giá Rất cần Cẩn thiết Không cần Tổng Trung Thứ bình bậc SL Điểm SL Điểm SL Điểm Giải toán nhiều cách khác 40 120 16 2 138 2.76 Thay đổi hình thức tốn mà khơng làm thay đổi chất toán 35 105 12 24 3 132 2.64 Xây dựng tốn khó từ toán 30 90 10 20 10 10 120 2.4 105 315 30 60 15 15 390 2.6 Trung bình | SKKN năm học 2022-2023 Phần II NỘI DUNG I Cơ sở lí luận thực tiễn Cơ sở lý luận 1.1 Năng lực Các nhà tâm lí học cho rằng, lực kết hợp kiến thức, kĩ thái độ có sẵn dạng tiềm cá nhân, tổng hợp đặc điểm thuộc tính tâm lí cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng hoạt động định nhằm đảm bảo cho hoạt động có hiệu cao Hiện nay, quan niệm chung lực nhiều người thừa nhận là: “Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực thành cơng loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” (Chương trình Giáo dục phổ thơng tổng thể (tháng 7/2017)) Như vậy: - Năng lực kết hợp tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện người học - Năng lực tích hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,… - Năng lực hình thành, phát triển thông qua hoạt động thể thành công hoạt động thực tiễn - Năng lực tư khả tự suy nghĩ tự giải vấn đề mang lại kết tốt Với người sở hữu lực tư người có tính linh hoạt cao, có khả lắng nghe quan sát định đắn hiệu Khái quát lại lực hiểu kết hợp kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ hành vi cá nhân để thực cơng việc có hiệu Năng lực không bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà giá trị, động cơ, đạo đức hành vi xã hội Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các lực cần hình thành phát triển cho người học mơn Tốn trường phổ thơng Việt Nam là: lực tư duy; lực giải vấn đề; lực mơ hình hóa; lực giao tiếp; lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán; lực học tập độc lập hợp tác” 1.2 Các thành tố lực Toán học Trước hết, mục đích then chốt việc học tốn để trở thành người “thông minh hơn”, biết cách suy nghĩ, giải vấn đề học tập đời sống Muốn vậy, người cần biết cách “chuyển dịch”, mơ tả tình (có ý nghĩa toán học) đặt thực tiễn phong phú sang tốn hay mơ hình tốn học thích hợp, tìm cách giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập, từ đối chiếu, giải vấn đề thực tiễn đề Mặt khác, việc giải | SKKN năm học 2022-2023 vấn đề toán học gắn liền với việc đọc hiểu, ghi chép, trình bày, diễn đạt nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học tương tác (thảo luận, tranh luận, phản biện) với người khác, gắn liền với việ sử dụng hiệu ngôn ngữ tốn học kết hợp với ngơn ngữ thơng thường động tác hình thể Năng lực học tốn bao gồm thành tố: lực tư lập luận tốn học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp tốn học; lực sử dụng cơng cụ phương tiện học toán Mỗi thành tố lực toán học cần biểu cụ thể tiêu chí, báo Điều có độ phức tạp cao minh họa bảng: Các thành tố lực tốn học Các tiêu chí, báo Thể qua việc thực hành động: - So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp; diễn dịch Năng lực tư lập - Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lí trược kết luận tốn học luận - Giải thích điều chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện toán học Thể qua việc thực hành động: Năng lực mơ hình hóa tốn học - Sử dụng mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mơ tả tình tốn thực tế - Giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập - Thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế cải tiến mô hình cách giải khơng phù hợp Thể qua việc thực hành động: Năng lực giải vấn đề toán học - Nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học - Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải vấn đề - Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học tương thích (bao gồm cơng cụ thuật tốn) để giải vấn đề đặt - Đánh giá giải pháp đề khái quát hóa cho vấn đề tương tự Năng lực Thể qua việc thực hành động: giao tiếp toán - Nghe hiểu, đọc hiểu ghi chép thơng tin tốn học cần học | SKKN năm học 2022-2023   x  y  z  x3 y  y z  z x3   x6  y  z  3x y  3x z  y x  y z  3z x  3z y  x y z   x3  y  z    x2  y  z   Vậy với số dương x,y,z ta có: x3  y3  z    x2  y  y  Áp dụng bất đẳng thức cho x  cos2  , y  cos2  , z  cos2  Ta có tốn mới: Bài tốn 22 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh: cos3   cos3   cos3   Dấu xảy khi: cos  cos   cos   + Kỹ thuật  Lưu ý rằng, để chứng minh bất đẳng thức x3  y  z    x2  y  y  ta dùng bất đẳng thức Holder:  x3  y3  z3  x3  y3  z3  1   1   x2  y  z  Chú ý: Bất đẳng thức Holder Với số thực dương a,b,c,x,y,z,m,n,p, ta có:  a3  b3  c3  x3  y3  z3  m3  n3  n3    amx  bny  cpz 3 + Kỹ thuật Ngoài ra, sử dụng kỹ thuật cân hệ số: Đặt x  cos , y  cos  , z  cos   x2  y  z    x2  3  1  y3  y3   y   x3  y  z  3   z3  z3   z2  3  x3  x3  38 | SKKN năm học 2022-2023 Lưu ý rằng, đặt x  cos2  , y  cos2  , z  cos2   x  y  z  Dùng ý tưởng liên hệ x3  y3  z qua x  y  z : Với số dương: x, y , z x  y  z  , áp dụng bất đẳng thức CauchySchwars, ta được:  x3  y  z   x x     y y    z z    x    y    z   2   x x xy y yz z z    x2  y  z  2 2 2 1   x  y  z   3  Áp dụng với x  cos2  , y  cos2  , z  cos2   x, y, z  1; x  y  z  ta có tốn sau Bài tốn 23 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh: cos6   cos6   cos6   Một cách giải khác tự nhiên sau: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương x, y, z : x  y  z  1 1    x 27 27   1  y    y   x3  y  z  27 27  1  z3    z 27 27  x3  Nhận xét Đây đánh giá hình tứ diện vng OABC Tương tự, kết hợp bất đẳng thức bất đẳng thức AM-GM, thu được: Với  x, y, z : x  y  z  1 1 9     3 2 x y z x yz x y z  Mặt khác:  1    3 x  y  z     x  y  z   12 x y z x yz 1 Từ hai bất đẳng thức suy ra:    x  y  z  x y z 39 | SKKN năm học 2022-2023 Dấu xảy ra: x  y  z  Ta có tốn Bài tốn 24 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 1    cos   cos   cos  cos  cos  cos  Lưu ý: Khơng học sinh sai lầm       A   cos     cos      cos   6 cos   cos    cos    Tương tự ý tưởng toán Bài toán 25 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  cos   cos   cos  cos  cos  cos  Lời giải Đặt x  cos2  , y  cos2  , z  cos2   x, y, z  1; x  y  z  Ta có bất đẳng thức sau: 1 x yz xyz    3   xyz   3 x yz 1  44  xyz x yz 4 xyz Dấu xảy khi: x  y  z  Vậy giá trị nhỏ B hình tứ diện OABC vuông cân O Tiếp theo, áp dụng kết quen thuộc:  x  x2     3  x  x2  với  x, y, z  3 Thật vậy, có hướng sau: Hướng Áp dụng bất đẳng thức AM-GM 40 | SKKN năm học 2022-2023   x2  x2  x2   x2   x2       27 Hướng Hoặc xét hàm số: f  x   f ' x   3x   x2  x2   x 1 x  ,0  x  có 3  f  x   , f ' x    x  Từ dẫn đến kết mạnh hơn:  x2 x  x2  x2 3 3  x ,0  x   x ,0  x  2  x2 Sử dụng kết cho hai toán sau đây: Bài tốn 26 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P1  P2  cos   cos   cos  2 cos2  cos2   cos2   cos  cos   cos  2 cos2  cos2   cos2  cos   cos   cos   cos2  cos2   cos2  Lời giải Đặt x  cos2  , y  cos2  , z  cos2   x, y, z  Ta có: P1  P2  x  x2  x2  x2  y  y2 y2  y2 z   z2  ; z2  z2 Dễ dàng nhận thấy: Giá trị nhỏ P2 P1  x2 y z 2  y2 x z 2  3 đạt hình tứ diện vng cân O z2 y x 2  x2 1 x  y2 1 y  z2 1 z   3 x  y3  z  41 | SKKN năm học 2022-2023 nên Theo ta chứng minh được: x3  y3  z  P1  3   cos  cos   cos  Dấu xảy x  y  z  Giá trị nhỏ P1 hình tứ diện vuông cân O     Lưu ý: Để chứng minh x  x  x3  3  3  x  x  x2  với  x  ta dùng cách sau 3 3   x  x2   3 Ý tưởng mạnh: Kỹ thuật Cosi ngược dấu Để ý rằng, với số dương a, b ta có: a5 a b 2  Dẫn đến:  a3 a  b  b a b a5 a  b2  a3    a3  a3b2 a b a a b 2 a  b2  a3  a 2b 2a  2b 2 a  a  b3 b3  a  6 Cùng với hai kết tương tự, ta có bất đẳng thức sau đây: a  b3  c    * b2  c a  c b2  a a5 b5 c5 Dùng bất thức ta có tốn: Bài tốn 27 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: cos5  cos2   cos2   cos5  cos2   cos2   cos5  cos   cos   Lời giải Áp dụng bất đẳng thức (*) với a  cos  , b  cos  , c  cos  toán cos3   cos3   cos3   Bài toán 28 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi 1, 1, 1 góc đường thẳng OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: 42 | SKKN năm học 2022-2023 cot 1  cot 1  cot 1  Lời giải Ta có: 1  OAH sin 1  Tương tự: sin 1  OH OB OH OA2 ;sin   OH OC Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ta có   1    OA2  OB  OC   2 2 OC   OA OB  OA2 OH    OB OH  OC OH  9 9 OH OH OB OC 1    9 sin 1 sin 1 sin  OH OA2   cot 1   cot 1   cot    cot 1  cot 1  cot   Nhận xét Đó cách chứng minh trực tiếp áp dụng tính chất đường cao tứ diện vng Sau ta áp dụng tính chất khác mà lời giải ngắn gọn nhiều: Đặt m  sin 1, n  sin 1, p  sin 1   m, n, p : m  n  p  Ta có: cot 1  cot 1  cot   Do: 1 m 1 n 1 p   m n p 1 m 1 n 1 p 1      3 3 m n p m n p mn p Suy ra: cot 1  cot 1  cot 1  Dấu xảy  cos1  cos 1  cos   , tức tứ diện OABC vng cân O Bài tốn chứng minh Có khai thác thêm? 43 | SKKN năm học 2022-2023 Từ bất đẳng thức số, ta suy ra:  x2  y2  z   xy1  yz1  zx1   x  y  z  k 1    xy yz zx k Áp dụng cho tứ diện vuông OABC, ta thu điều gì? Giả thiết gì? Nếu đặt x  sin  / sin  '/ sin 1 , y  sin  / sin  '/ sin 1 , z  sin  / sin  '/ sin 1 ta thấy x  y  z  k số Nghĩa biểu thức dạng M 1   sin  sin  sin  sin  sin  sin  N 1   sin  '.sin  ' sin  '.sin  ' sin  '.sin  ' P 1   sin 1.sin 1 sin 1.sin 1 sin  1.sin 1 ta đánh giá Bài toán sau trường hợp: Bài tốn 29 Cho hình tứ diện vuông OABC Gọi  ',  ',  ' góc OH với đường thẳng OA,OB,OC.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 1   sin  '.sin  ' sin  '.sin  ' sin  '.sin  ' Lời giải Áp dụng (II), ta có:  1   9 sin  ' sin  ' sin  '  sin  '.sin  ' sin  '.sin  ' sin  '.sin  '   M  sin  ' sin  ' sin  '   Ta lại có: sin  ' sin  ' sin  ' =2 Suy ra: M  Đẳng thức xảy khi: 44 | SKKN năm học 2022-2023 sin  '  sin  '  sin  '  cos   cos   cos   a  b  c Vậy: M   OABC tứ diện vng cân O Nhận xét Lời giải cịn không thay biểu thức dạng M 1   cos  cos  cos  cos  cos  cos N 1   cos  '.cos  ' cos  '.cos  ' cos  '.cos  ' P 1   cos1.cos 1 cos 1.cos 1 cos  1.cos 1 Khơng vậy, ta cịn nghĩ đến biểu thức có dạng hốn vị vịng quanh Bài tốn 30 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi  ',  ',  ' góc OH , với đường thẳng OA,OB,OC Tìm giá trị nhỏ biểu thức: N cos  ' cos  ' cos  '  cos  ' cos  ' cos  '  cos  ' cos  ' cos  ' Lời giải Đặt x  cos ', y  cos  ', z  cos  '   x, y, z Khi đó: x2  y  z  nên x  y  z  Dấu xảy x  y  z x y yz zx Ta có:  x  y  z  N   x  y  z      x y   z 2 x y yz zx x y  yz zx          z x y  z   x   y  1x  y y  z z  x x y yz zx           18  3 z x y  z x y Suy ra: N  18 18  6 x yz Dấu xảy khi: x  y  x  cos '  cos  '  cos  '  a  b  c Vậy: N   OABC tứ diện vng cân Bài tốn 31 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng: 45 | SKKN năm học 2022-2023 cot  cot   cot  cot   cot  cot   Lời giải Ta có: cot   OI ca bc ab , cot   , cot    OC c a  b2 a b2  c b c2  a2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: cot  cot   b2 a  b2  b2 b2      b  c  b  c 2  a  b  c2 c2  cot  cot       c  b a  c  Tương tự:  a2 a2  cot  cot       a  b a  c  Cộng bất đẳng thức ta có điều cần chứng minh Dấu xảy khi: a  b  c Lưu ý rằng, ta thấy ngay: cot  cot   cot  cot   cot  cot   b2 a  b2 b2  c c2 c b 2 a c a c 2 a2 a b 2  cos B  cos C  cos A Suy ra: cot  cot   cot  cot   cot  cot   cos A  cos B  cos C  Nhận xét: Dùng kết áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta thu kết đẹp là: cot  cot  cot   2 a 2b2c  a2  b2 b2  c2  c2  a2   Dấu xảy  a  b  c Từ kết này, ta có kết sau đề nghị Olympic 30/04/2007 46 | SKKN năm học 2022-2023 Bài tốn 32 Cho hình tứ diện vuông OABC Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:  cot  cot   cot  cot   cot  cot  2  6cot  cot  cot   Tuy vậy, cách chứng minh khác:  cot  cot   cot  cot   cot  cot  2   cos A  cos B  cos C 2   cos A  cos B  cos C  cot  cot  cot   cos A cos B cos C       2 Cả hai đẳng thức xảy cot A  cot B  cot C  A  B  C  tứ diện vng cân O Bây giờ, ta ngẫu hứng (có cố ý tạo vậy) biểu thức dạng đa thức sau mà đặc biệt nên lời giải bất ngờ: Bài tốn 33 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:  T  cos   2cos   3cos   6cos2   3cos2   2cos2    Dấu xảy nào? Lời giải Đặt x  cos2  , y  cos2  , z  cos2   x  y  z  1; x  0, y  0, z  Ta có: T   x  y  3x  x  y  x   x  y  z  15 xy  13 yz  20 zx   x  y  z   3x  y  z   y  y  z   yz  6 x  y  z  2 x  y  z x  y  z   3 5 4  8 x  y  z   cos    x    x  y  z     Dấu xảy ra:  y  z  x   y   cos   x  y  z    1  z  cos     Điều khơng xảy Bài tốn chứng minh 47 | SKKN năm học 2022-2023 Bài tốn 34 Cho hình tứ diện vuông OABC Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q  tan   tan   tan   cot   cot   cot  Lời giải Đặt: x  cos2  , y  cos2  , z  cos2   x  y  z  1; x  0, y  0, z   cos   a b  c Ta có: tan     cos  a a Tương tự: tan   Ta có: ac ; b tan   ab c bc ca ab    (i) a b c a b c a   b   c      1      3 b  c c  a a  b  b  c   c  a   a  b  1    a  b  c   3 bc ca ab 1    b  c  c  a  a  b     3 bc ca ab  3  ii  2 15 Từ (i) (ii) suy ra: Q  tan   tan   tan   cot   cot   cot   Dấu xảy a  b  c Bài toán 35 Cho hình tứ diện vng OABC Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB),(OBC),(OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: cos2  sin   sin   cos2  sin   sin   cos2  sin   sin   Lời giải Đặt x  sin   sin  , y  sin   sin  , z  sin   sin  Ta có ngay: x  y  z  sin   sin   sin   Mặt khác: cos    sin      sin   sin    x    Tương tự: cos2   y  1; cos   z  48 | SKKN năm học 2022-2023 Bất đẳng thức tương đương với: x 1 y 1 z 1 1        x x y z y z 1 1 Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc:  x  y  z       x y z 1 9     x y z x yz Bài toán chứng minh Dấu xảy x  y  z  cos  cos   cos   a  b  c III Thực nghiệm sư phạm Sau thực biện pháp sáng kiến kinh nghiệm này, tiến hành lấy ý kiến điều tra em học sinh kết sau: TT Tổng số Biện pháp Giải toán nhiều cách khác Thay đổi hình thức tốn mà khơng làm thay đổi chất tốn Xây dựng tốn khó từ toán Mức độ đánh giá Rất hứng thú Hứng thú Không hứng thú Tổng 150 20 10 180 160 25 180 120 45 15 180 430 90 30 540 49 | SKKN năm học 2022-2023 Phần III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Với cơng việc bạn muốn thành cơng địi hỏi bạn phải có đam mê u thích, đầu tư thời gian, trí tuệ, vật chất tinh thần cho Cơng việc giảng dạy khơng ngoại lệ Để kích thích niềm đam mê u thích mơn học phát triển tư sáng tạo cho học sinh đòi hỏi người giáo viên phải không ngừng đổi mới, đổi cách nghĩ, cách đánh giá, đổi cách làm việc giảng dạy Để ngày đến lớp ngày vui, giao tiếp thầy trị ln cởi mở ngày gắn bó thân thiện, người giáo viên phải tạo hứng thú học tập học sinh mình, giúp em học tập chủ động, học tập trải nghiệm sáng tạo, học tập hoạt động hoạt động trải nghiệm để chiếm lĩnh tri thức Đề tài: Một số biện pháp dạy học chủ đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 nhằm phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh THPT, giải pháp khả thi giúp học sinh THPT phát triển lực nói chung, lực Tốn học nói riêng đặc biệt thành tố lực tốn học lực giải vấn đề sáng tạo, áp dụng trình giảng dạy thân tác giả đơn vị trường công tác lớp mà tác giả giảng dạy từ năm học 2021-2022 2022-2023 đến gồm lớp 11A, 11I, 11N (năm học 2021-2022) lớp 11A, 11B, 11E, 11I, 11N 11A, 11B lớp mũi nhọn định hướng tổ hợp mơn Tốn - Vật lí - Hóa học, tập trung em có lực giỏi mơn Tốn, lớp 11E, 11I tập trung em có lực trung bình mơn Tốn, lớp 11N đối tượng em học sinh trung bình yếu mơn Tốn Đồng thời đồng nghiệp trường tiến hành thực nghiệm khối Quá trình triển khai áp dụng với phương thức lựa chọn kiến thức tập phù hợp nhận thấy gây hứng thú học tập cho em, em có tiến mặt tư lực giải vấn đề Toán Đây đề tài mà qua tìm hiểu thân có thầy cô bàn đến … không cụ thể không theo đường nghiên cứu xây dựng đề tài này, đề tài thân đúc rút, tích lũy từ q trình học tập giảng dạy thân học hỏi từ đồng nghiệp nên chắn có đặc trưng khác biệt mà khơng trùng với đề tài nghiên cứu trước Kiến nghị Từ kinh nghiệm thân nhận thấy: Để áp dụng đề tài cách hiệu cần có u cầu sau giáo viên, học sinh cấp quản lí: - Đối với GV: Phải thật say mê, tâm huyết u nghề, trau dồi chun mơn Tích cực chuyển đổi thay đổi thân, đặc biệt tích cực học hỏi tích lũy trau dồi cơng nghệ số để thích nghi với cơng nghệ thời đại 4.0 Chuẩn bị giáo án phù hợp với đối tượng học sinh theo mức độ đơn vị lớp Trong trình 50 | SKKN năm học 2022-2023 giảng dạy phải thật linh hoạt, gần gũi chia sẻ kinh nghiệm, trải nghiệm thân với học sinh Chia sẻ giúp đỡ em tháo gỡ khó khăn vướng mắc - Đối với học sinh: Phải nghiêm túc, chủ động trình học tập, mạnh dạn trao đổi trình bày, chia sẻ băn khoăn, chỗ chưa hiểu Luôn đặt mục tiêu phấn đấu trình học Trên lớp học học phải cởi mở, hợp tác, tranh luận xây dựng với nhóm, với bạn với thầy - Đối với cấp quản lí: Tạo điều kiện cho giáo viên học tập trao đổi, trau dồi chuyên môn cách giới thiệu, cung cấp tài liệu, tập huấn phổ biến nội dung thiết thực cho việc dạy học Đầu tư trang thiết bị dạy học phù hợp, cần sử dụng khai thác có để sử dụng Mặc dù cố gắng để hồn thành đề tài, chúng tơi mong muốn nhận góp ý, nhận xét, học hỏi thêm từ quý thầy cô bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Diễn Châu, ngày 20 tháng 04 năm 2023 51 | SKKN năm học 2022-2023 B KẾ HOẠCH THỰC HIỆN Thời gian Nội dung thực Tháng 10 năm 2021 Chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 11 năm 2021 Hoàn thành đề cương Tháng 12 năm 2021 đến hết tháng 09 Tập trung nghiên cứu năm 2022 Tháng 10 năm 2022 đến tháng 03 năm 2023 Viết hoàn chỉnh sáng kiến Tháng 04 năm 2023 Nạp sáng kiến hội đồng chấm sáng kiến Trường C TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản dịch Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD [2] G Polya (1997), Giải toán nào?, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Đào Tam(2004), Hình học sơ cấp, nhà Nhà xuất Đại học sư phạm [4] Sách giáo khoa Hình học 11 THPT hành, NXBGD [5] Đề thi THPT quốc gia mơn Tốn [6] Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố [7] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXBGD [8] Internet 52 | SKKN năm học 2022-2023