Public giữa kì đại số tuyến tính k16 21 22

Training Đại số tuyến tính BHT Đồn khoa MMT&TT – Training kì I K16 PHAN HUY VŨ - ATTN2021 LƯU THỊ HUỲNH NHƯ - ATTT2021 PHẠM NGUYỄN HẢI ANH - ATTT2021 LÊ XUÂN HOÀNG - ATCL2021 MA TRẬN VÀ HPTTT ĐỊNH THỨC KHÔNG GIAN VEC TƠ Khái niệm ma trận Định nghĩa: Ma trận cỡ m × n ℝ bảng gồm m.n số thực viết thành m hàng n cột sau: với aij ℝ phần tử nằm hàng i cột j ma trận A Khái niệm ma trận Ta gọi: dòng thứ i ma trận A cột thứ j ma trận A Kí hiệu: A = [aij]mxn Tập hợp tất ma trận cỡ m × n ℝ ký hiệu Mmxn(ℝ) Khái niệm ma trận • Ví dụ: Khái niệm ma trận Ma trận có số dịng = số cột = n gọi ma trận vuông cấp n Mn (ℝ): Tập hợp tất ma trận vuông cấp n với hệ số thực Mn (Z): Tập hợp tất ma trận vuông cấp n với hệ số nguyên a11 a22 … ann đường chéo Khái niệm ma trận - Nếu phần tử nằm đường chéo A (nghĩa aij = 0, ∀i > j) A gọi ma trận tam giác - Nếu phần tử nằm đường chéo A (nghĩa aij = 0, ∀i < j) A gọi ma trận tam giác - Nếu phần tử nằm ngồi đường chéo (nghĩa là, aij = 0, ∀i ≠ j) A gọi ma trận đường chéo, ký hiệu: diag(a11, a22, , ann) Khái niệm ma trận - Ma trận chéo có phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị - Ký I (Hoặc ký hiệu In trường hợp cần thể rõ ma trận đơn vị cấp n) - Ma trận không ma trận có tất phần tử khơng Ma trận không thường ký hiệu θ Khái niệm ma trận - Ma trận chuyển vị A, ký hiệu AT, ma trận cấp n×m, có cách xếp dòng A thành cột tương ứng - Ví dụ: - Nếu AT = A ma trận A ma trận đối xứng - Nếu AT = −A ma trận A ma trận phản xứng Khái niệm ma trận - Ma trận bậc thang ma trận có tính chất: + Các hàng (nếu có) nằm hàng khác + Dưới phần tử khác (tính từ bên trái) dịng khác phần tử - Ví dụ: 10 KHƠNG GIAN MA TRẬN Mm×n ℝ Xét ma trn , ì () ã ã ã ã Phép cộng: Cộng ma trận; Phép nhân vô hướng: Nhân số với ma trận; Phần tử 𝜃 ma trận không; Phần tử đối ma trận A -A 65 Khơng gian vecto • Chứng minh W không gian vecto V Trên 𝑀2 (ℝ) không gian ma trận vuông, thực, cấp 2, cho tập hợp   −2b   3a   W = A =   a, b    b − a 4a + b      Hỏi W có phải khơng gian vector 𝑀2 (ℝ) hay khơng? Vì sao? 66 Cách chứng minh +)Chứng minh W V - Nếu số tọa độ vecto W = V WV - Ma trận cỡ +)Chứng minh W kgvt: - Vecto   W - x, y W, (x+y) W,    ℝ Khi thỏa hai điều kết luận W kgvtc V 67 Giải ví dụ 68 x1 + 3 y1  Ta có: x +  y =   x2 − x1 +  y2 −  y1 −2 x2 − 2 y2   x1 + x2 + 4 y1 +  y2  3( x1 +  y1 ) −2( x2 +  y2 )   = W  ( x2 +  y2 ) − ( x1 +  y1 ) 4( x1 +  y1 ) + ( x2 +  y2 )  (  ) W kgvtc V 69 Bài tập làm thêm • Tập vecto sau kgvtc 𝑃3 [𝑥]? • Chứng minh tập sau kgvtc kgvtc 70 Tổ hợp tuyến tính • Biểu diễn tuyến tính vecto x theo hệ vecto đề cho +Giải hệ phương trình tuyến tính Tìm m để vecto x thtt hệ vecto W 71 Cách giải • Giả sử x = • Lập hệ pttt • Biện luận giải hệ pttt 72 Giải 1.a • Giả sử x = a1u + a2 v + a3 w • Ta lập hệ  2a1 + 3a2 + a3 =  a3 = t (t tùy ý)   3a1 + a2 − 6a3 = −2   a2 = 3t −  5a + 8a + a = 15 a = 11 − 5t    x = (11 − 5t )u + (3t − 5)v + tw (t tùy ý) 73 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính • Khi thtt vecto hệ x=0 • Chỉ có nghiệm tầm thường hệ vecto dltt • Hệ khơng dltt pttt 74 Dạng thường gặp • Cho hệ vecto W, hỏi hệ dltt hay pttt? Vì sao? Cho hệ vecto W, tìm m để hệ vecto pttt dltt 75 Giải 3.a • Giả sử au + bv = (0, 0)  a − 3b = • Hệ pttt:  2a − 6b = 2 1 • Ta có: A =   ;det A =  −3 −6   Hệ pttt có nghiệm không tầm thường nên hệ vecto cho pttt 76 Giải • Giả sử : au+bv+cw = • Ta có:   m  A = −    −  − m − 1 −   −   det A = m3 − m − 2 4  m   • Để hệ vecto cho dltt detA  m  77 Bài tập làm thêm • Các tập sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? • a) u = (1, 0, 0, 2, 5); v = (0, 1, 0, 3, 4); x = (0, 0, 1, 4, 7); y= (2, -3, 4, 11, 12) b) + x + x , x + x ,5 + x + x , + x − x 2 2 P2 c) a = (4, -5, 2, 6); v = (2, -2, 1, 3); x = (6, -3, 3, 9); y = (4, -1, 5, 6) 78 79