2022 2023 đại số tuyến tính training ck k17

TRAINING CUỐI KÌ I – K17 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Trần Nguyễn Bảo Hoàng TRAINER Trương Nguyễn Khánh Hoàng Trần Thảo Quyên Nguyễn Thị Nguyệt Ánh CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTOR I NHẮC LẠI II CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTOR III CƠ SỞ CHÍNH TẮC IV TỌA ĐỘ CỦA VECTOR V MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ I NHẮC LẠI 1) KHÔNG GIAN VECTOR CON Chứng minh W có phải khơng gian vector V khơng: Bước 1: Xét xem vector θ có thuộc W khơng? (Chứng minh W ≠ ∅) - Nếu θ ∉ W kết luận W khơng khơng gian V - Nếu θ ∈ W làm tiếp bước Bước 2: Lấy x, y vector W, từ suy dạng x, y (dựa vào tính chất W) Kiểm tra x + y αx có thỏa tính chất W khơng - Nếu thỏa suy x + y ∈ W αx ∈ W, kết luận W khơng gian V - Nếu khơng thỏa trường hợp cụ thể kết luận W không không gian V I NHẮC LẠI 1) KHÔNG GIAN VECTOR CON Bài tập: Trên ℝ5 cho tập hợp W = x1 , x2 , x3 , x4 , x5 2x1 + x2 − x3 + 2x4 + 4x5 = Chứng minh W không gian vector ℝ5 GIẢI (0, 0, 0, 0, 0) ∈ W ⇒ W ≠ ∅ Ta có: ∀ u = (u1, u2, u3, u4, u5) ∈ W ⇒ 2u1 + u2 − u3 + 2u4 + 4u5 = ∀ v = (v1, v2, v3, v4, v5) ∈ W ⇒ 2v1 + v2 − v3 + 2v4 + 4v5 = ⇒ u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4, u5 + v5 ) I NHẮC LẠI 1) KHÔNG GIAN VECTOR CON Bài tập: Trên ℝ5 cho tập hợp W = x1 , x2 , x3 , x4 , x5 2x1 + x2 − x3 + 2x4 + 4x5 = Chứng minh W không gian vector ℝ5 GIẢI • Xét: 2(u1 + v1) + (u2 + v2) – (u3 + v3) + 2(u4 + v4) + 4(u5 + v5) = (2u1 + u2 − u3 + 2u4 + 4u5 ) + (2v1 + v2 − v3 + 2v4 + 4v5 ) = + = ⇒ u + v ∈ W (1) Xét: 𝛼u = (𝛼 u1, 𝛼 u2, 𝛼 u3, 𝛼 u4, 𝛼 u5) (với ∀ 𝛼 ∈ ℝ) 2𝛼u1 + 𝛼u2 − 𝛼u3 + 2𝛼u4 + 4𝛼u5 = 𝛼 (2u1 + u2 − u3 + 2u4 + 4u5 ) = 𝛼.0 = ⇒ 𝛼u ∈ W (2) Từ (1) (2) suy ra: W không gian vector ℝ5 I NHẮC LẠI 2) ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH/ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH Trong khơng gian vector V cho hệ S = x1 , x2 , … , xn ⸦ V - Trường hợp vector V thuộc không gian Rn : x11 x12 ⋯ x1m x1 x21 x22 … x2m Đặt A = x…2 = ⋮ ⋱ ⋮ xn xn1 xn2 ⋯ xnm Tìm r(A): • Nếu r(A) = n = số vector ⇒ Hệ S độc lập tuyến tính • Nếu r(A) < n = số vector ⇒ Hệ S phụ thuộc tuyến tính - Trường hợp A ma trận vuông cấp n Có thể dùng det(A) thay cho r(A) Tính det(A): • Nếu det(A) ≠ ⇒ Hệ S độc lập tuyến tính • Nếu det(A) = ⇒ Hệ S phụ thuộc tuyến tính - Trường hợp vector đa thức, ma trận, : Đưa hệ phương trình tuyến tính • Hệ có nghiệm tầm thường ⇒ Hệ độc lập tuyến tính • Hệ vơ số nghiệm ⇒ Hệ phụ thuộc tuyến tính II CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTOR 1) ĐỊNH NGHĨA - Cho S = x1 , x2 , … , xn sở không gian vector V Hệ S độc lập tuyến tính (∗) ⇔ ൝ ∀x ∈ V biểu diễn qua S (∗∗) ⇒ x = 𝛼1 x1 + 𝛼2 x2 + ⋯ + 𝛼n xn - Khi số chiều kgvt V = dim V = n = số phần tử S - Chú ý: • V có nhiều sở khác • Kgvt bé V = {θ} khơng có sở có chiều - Nếu hệ S thỏa (**), người ta gọi S hệ sinh không gian V II CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTOR 2) ĐỊNH LÝ Nếu S sở khơng gian vector V thì: • Hệ S độc lập tuyến tính • dim V = số phần tử S II CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTOR 2) ĐỊNH LÝ x − 2x2 − x4 = Ví dụ: Cho khơng gian W ℝ4 : W = (x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ4 ቊ 2x1 − 3x2 − x3 = Hãy tìm hệ sinh, sở số chiều W GIẢI x − 2x2 − x4 = Xét HPTቊ (*) 2x1 − 3x2 − x3 = −2 A= −3 −1 −1 h2=h2−2h1 −2 −1 −1 x1 = 2a − 3b x2 = a − 2b ⇒ r(A) = < (số ẩn) ⇒ (*) có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số ; a, x3 = a x4 = b b∈ℝ ⇒ ∀ u = (x1, x2, x3, x4) ∈ W, u có dạng: u = (2a − 3b, a − 2b, a, b) = a(2, 1, 1, 0) + b(-3, -2, 0, 1) II CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTOR 2) ĐỊNH LÝ x − 2x2 − x4 = Ví dụ: Cho khơng gian W ℝ4 : W = (x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ4 ቊ 2x1 − 3x2 − x3 = Hãy tìm hệ sinh, sở số chiều W GIẢI Suy ra: S = {(2, 1, 1, 0) , (-3, -2, 0, 1)} hệ sinh W (1) 1 Ta lại có: B = có r(B) = nên r(S) = = số phần tử S ⇒ S đltt (2) −3 −2 Từ (1), (2) suy S sở W ⇒ dim W = 10 I DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Giả sử V không gian vector ℝ Ánh xạ 𝑓 : V x V → ℝ gọi dạng song tuyến tính  x, y, z  V  a ℝ, ta có: 𝑓(x + y, z) = 𝑓(x, z) + 𝑓(y, z) 𝑓(ax, y) = a𝑓(x, y) 𝑓(x, y + z) = 𝑓(x, y) + 𝑓(x, z) 𝑓(x, ay) = a𝑓(x, y) Nói cách khác, 𝑓(x, y) tuyến tính theo biến Ví dụ: Cho ánh xạ 𝑓 : ℝ2 x ℝ2 → ℝ xác định x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ℝ có 𝑓(x, y) = 2x1y1 – 3x1y2 – 2x2y1 + x2y2 Khi 𝑓 dạng song tuyến tính ℝ2 42 I DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Nếu 𝑓 dạng song tuyến tính 𝑓(x, y) = 𝑓(y, x), x, y  V ta nói 𝑓 dạng song tuyến tính đối xứng Ví dụ: Cho ánh xạ 𝑓 : ℝ2 x ℝ2 → ℝ xác định  x = (x1, x2), y = (y1, y2)  ℝ có 𝑓(x, y) = x1y1 + x1y2 + 4x2y1 + 4x2y2 Khi 𝑓 dạng song tuyến tính đối xứng 43 II DẠNG TỒN PHƯƠNG Cho ánh xạ 𝑓 : V x V → ℝ dạng song tuyến tính đối xứng Khi ánh xạ q : V → ℝ xác định q(x) = 𝑓(x, x)  ℝ,  x  V gọi dạng toàn phương xác định dạng song tuyến tính 𝑓 Ví dụ: Cho 𝑓: ℝ3 x ℝ3 → ℝ x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3)  ℝ3 Có 𝑓(x, y) = x1y1 + x1y2 + x1y3 + 2x2y1 – 3x2y2 + 8x2y3 + 2x3y3 dạng song tuyến tính Dạng tồn phương 𝑓 q : ℝ3 → ℝ xác định sau: q(x) = x12 + 3x1x2 + x1x3 – 3x22 + 8x2x3 + 2x32 Nếu cho dạng song tuyến tính đối xứng ta có dạng toàn phương tương ứng Nếu q dạng tồn phương dạng song tuyến tính đối xứng tương ứng q xác định bởi: 𝑓(x, y) = [q(x + y) – q(x) – q(y)] 44 II DẠNG TỒN PHƯƠNG Dạng tồn phương ℝ𝑛 hàm thực f : ℝ𝑛 → ℝ, 𝑥 = 𝑥1 𝑥2 𝑛:  ℝ ⋮ 𝑥𝑛 f(x) = xT.M.x M ma trận đối xứng thực gọi ma trận dạng toàn phương (trong sở tắc) Ví dụ: cho f(x) = f(x1,x2) = 2x12 + 3x22 – 6x1x2 dạng tồn phương Ma trận M có dạng M = −3 −3 45 II DẠNG TỒN PHƯƠNG Ví dụ: Tìm dạng tồn phương q(x) Biết ma trận q sở tắc A = −2 −2 GIẢI Ta có q(𝑥) = q(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥 𝑇 𝐴 𝑥 = 𝑥1 = 𝑥1 − 2𝑥2 −2𝑥1 + 5𝑥2 𝑥2 −2 𝑥1 −2 𝑥2 𝑥1 𝑥2 = 𝑥1 − 2𝑥2 𝑥1 + (−2𝑥1 + 5𝑥2 )𝑥2 = 𝑥1 −2𝑥1 𝑥2 − 2𝑥1 𝑥2 + 5𝑥2 Vậy q(𝑥) = 𝑥1 −4𝑥1 𝑥2 + 5𝑥2 46 III DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG Cho q dạng tồn phương V Nếu có sở B cho  x V, biểu thức q có dạng: q(x) = a1x12 + a2x22 + … + anxn2 (x1, x2, …, xn) = (x)B ta nói q có dạng tắc sở B gọi sở tắc tương ứng với q Định lý Lagrange: cho V ℝ - khơng gian vector q dạng tồn phương V Khi ln có sở E tắc tương ứng với q (tức q có dạng tắc sở E) Cho q dạng tồn phương trên khơng gian Euclide ℝ𝑛 , tồn sở trực chuẩn sở tắc tương ứng với q 47 IV ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Có phương pháp đưa dạng tồn phương dạng tắc - Phương pháp Lagrange - Phương pháp Jacobi - Phương pháp chéo hóa trực giao 48 IV ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Phương pháp Lagrange Bước 1: chọn thừa số khác không của hệ số xk2 Lập thành nhóm : nhóm gồm tất hệ số chứa xk, nhóm cịn lại khơng chứa số hạng Bước 2: nhóm đầu tiên, lập thành tổng bình phương Ta có tổng bình phương dạng tồn phương không chứa hệ số xk Bước 3: lặp lại bước cho dạng tồn phương khơng chứa hệ số xk Chú ý: Nếu dạng toàn phương ban đầu, tất hệ số xk2 0, ta chọn thừa số khác xixj 49 IV ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Ví dụ 1: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi 𝑓 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 = 9𝑥12 + 6𝑥22 + 6𝑥32 − 6𝑥1 𝑥2 − 6𝑥1 𝑥3 + 12𝑥2 𝑥3 GIẢI Chọn thừa số 9𝑥12 lập thành hai nhóm 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 9𝑥12 − 6𝑥1 𝑥2 − 6𝑥1 𝑥3 + (6𝑥22 + 6𝑥32 + 12𝑥2 𝑥3 ) Lập tổng bình phương nhóm 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 9𝑥12 − 2.3𝑥1 𝑥2 − 2.3𝑥1 𝑥3 + 𝑥22 + 𝑥32 + 2𝑥2 𝑥3 − 2𝑥2 𝑥3 − 𝑥22 − 𝑥32 + (6𝑥22 + 6𝑥32 + 12𝑥2 𝑥3 ) = (3𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 )2 + 5𝑥22 + 5𝑥32 + 10𝑥2 𝑥3 = (3𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 )2 + 𝑥22 + 2𝑥2 𝑥3 + 𝑥32 Lặp lại từ đầu cho dạng toàn phương 𝑥22 + 2𝑥2 𝑥3 + 𝑥32 50 IV ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Ví dụ 1: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi 𝑓 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 = 9𝑥12 + 6𝑥22 + 6𝑥32 − 6𝑥1 𝑥2 − 6𝑥1 𝑥3 + 12𝑥2 𝑥3 GIẢI Chọn thừa số 𝑥22 Lập hai nhóm: (𝑥22 + 2𝑥2 𝑥3 ) + 𝑥32 Lập tổng bình phương 𝑥22 + 2𝑥2 𝑥3 + 𝑥32 = (𝑥2 + 𝑥3 )2 ⟹ 𝑓 = (3𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 )2 + (𝑥2 + 𝑥3 )2 𝑦 = 3𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 Đặt ቊ (∗) 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑥3 Vậy dạng tắc cần tìm là: 𝑓 = 𝑦12 + 5𝑦22 (∗) phép biến đổi cần tìm 51 IV ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Chú ý: Nếu biểu thức dạng toàn phương có aii = 0, i= 1, 2, 3,…,n aij ≠ 𝑖, 𝑗 1, 𝑛, 𝑖 ≠ 𝑗 Ta dùng phép biến đổi: 𝑥1 + 𝑥2 𝑥2 − 𝑥1 𝑦1 = , 𝑦2 = , 𝑦3 = 𝑥3 , … , 𝑦𝑛 = 𝑥𝑛 2 ⟹ 𝑥1 = 𝑦1 − 𝑦2 , 𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑥3 = 𝑦3 , … , 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛 Khi đó: 𝑓 = 𝑎12 𝑥1 𝑥2 + 𝑎12 𝑥1 𝑥3 + ⋯ = 𝑎12 𝑦12 − 𝑦22 + 𝑎13 𝑦1 − 𝑦2 𝑥3 + ⋯ = 𝑎12 𝑦12 − 𝑎12 𝑦22 + ⋯ 52 IV ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Ví dụ 2: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi 𝑓 𝑥, 𝑥 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 + 𝑥3 𝑥4 Giải 𝑥1 = 𝑦1 − 𝑦2 𝑥 =𝑦 +𝑦 Đặt ൞ 𝑥 =1 𝑦 Thay vào dạng toàn phương cho, ta được: 3 𝑥4 = 𝑦4 𝑓 𝑥, 𝑥 = 𝑦1 − 𝑦2 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦1 + 𝑦2 𝑦3 + 𝑦3 𝑦4 = 𝑦12 − 𝑦22 + 𝑦1 𝑦3 + 𝑦2 𝑦3 + 𝑦3 𝑦4 = = 𝑦3 𝑦32 𝑦 + 2𝑦1 + − 𝑦22 − 2𝑦2 𝑦 𝑦 (𝑦1 + )2 − (𝑦2 − )2 + 𝑦3 𝑦4 2 𝑦12 + 𝑦32 + 𝑦3 𝑦4 53 IV ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Ví dụ 2: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi Lagrange Nêu rõ phép biến đổi 𝑓 𝑥, 𝑥 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 + 𝑥3 𝑥4 Giải 𝑦3 𝑦3 𝑧2 = 𝑦2 − 𝑦3 +𝑦4 𝑧3 = 𝑦4 −𝑦3 𝑧4 = 𝑧1 = 𝑦1 + Đổi biến Dạng tắc cần tìm 𝑓 𝑥, 𝑥 = 𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧32 − 𝑧42 54 IV ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Ví dụ 3: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc tìm sở tương ứng với dạng tắc 𝑓 𝑥, 𝑥 = 𝑥12 − 2𝑥22 + 𝑥32 + 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 + 2𝑥2 𝑥3 Giải 𝑓 𝑥, 𝑥 = 𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 2𝑥3 + 2𝑥2 2𝑥3 + 𝑥22 + 4𝑥32 − 4𝑥2 𝑥3 − 𝑥22 − 4𝑥32 + (−2𝑥22 + 𝑥32 + 2𝑥2 𝑥3 ) = (𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 )2 + (−3𝑥22 − 3𝑥32 − 2𝑥2 𝑥3 ) 1 = 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥22 + 2𝑥2 𝑥3 + 𝑥32 + 𝑥32 − 3𝑥32 = 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 − 3(𝑥2 + 𝑥3 )2 − 𝑥32 𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 𝑥1 = 𝑦1 − 𝑦2 − 𝑦3 1 Đặt ൞ 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑥3 ⟹ 𝑥 = 𝑦 − 𝑦 2 3 𝑦3 = 𝑥3 𝑥 =𝑦 3 55 IV ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Ví dụ 3: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc tìm sở tương ứng với dạng tắc 𝑓 𝑥, 𝑥 = 𝑥12 − 2𝑥22 + 𝑥32 + 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 + 2𝑥2 𝑥3 Giải Dạng tồn phương 𝑓 đưa dạng tắc: 𝑓 = 𝑦12 − 3𝑦22 − 83𝑦32 Ma trận 𝑇𝑒𝑒ҧ chuyển từ sở 𝑒 = ሼ𝑒1 , 𝑒2 , … , 𝑒𝑛 } sang sở 𝑒ҧ = ሼ𝑒ഥ1 , 𝑒ഥ2 , … , 𝑒𝑛 } để 𝑓 có dạng tắc trên: −1 −53 𝑇𝑒𝑒ҧ = −1 0 Vậy sở 𝑒ҧ 𝑒ഥ1 = 1, 0, , 𝑒ഥ2 = −1, 1, , 𝑒ഥ3 = (−53, −13, 1) 56 ... lập tuyến tính • Nếu det(A) = ⇒ Hệ S phụ thuộc tuyến tính - Trường hợp vector đa thức, ma trận, : Đưa hệ phương trình tuyến tính • Hệ có nghiệm tầm thường ⇒ Hệ độc lập tuyến tính • Hệ vơ số nghiệm... 3x1y2 – 2x2y1 + x2y2 Khi