2022 2023 giải tích training ck k17

TRAINING CUỐI KÌ I – K17 GIẢI TÍCH Nguyễn Chu Nguyên Chương TRAINER Bùi Hữu Nghĩa Nguyễn Mai Thanh Thảo Lâm Mai Tuyền CHƯƠNG Tích phân bội Định nghĩa Tính chất Một số phương pháp tính tích phân kép Định nghĩa: Tích phân bội 2: ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 Tính diện tích D; với 𝑓 𝑥, 𝑦 = thì: ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆(𝐷) 𝐷 Tính chất ‫𝑥 𝑓𝛼 𝐷׭‬, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝛼 ‫𝑥 𝑓 𝐷׭‬, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ‫𝑥 𝑓 𝐷׭‬, 𝑦 + 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ‫𝑥 𝑓 𝐷׭‬, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 + ‫𝑥 𝑔 𝐷׭‬, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Nếu D chia thành miền D1, D2 không dẫm lên thì: ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 + ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 𝐷1 𝐷2 Tính chất Nếu ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷, 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦) thì: ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≤ ඵ 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 𝐷 Giả sử M, m tương ứng với GTLN & GTNN f(x,y) D Khi đó: 𝑚 𝑆𝐷 ≤ ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≤ 𝑀 𝑆𝐷 𝐷 Định lý GT trung bình: Tồn điểm M ∈ D, cho: ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑓 𝑀 𝑆𝐷 𝐷 Một số phương pháp tính tích phân kép Đưa tích phân lặp - Đưa tích phân lặp - Đổi thứ tự lấy tích phân Đổi biến tích phân kép - Đổi biến tổng quát - Đổi biến sang tọa độ cực Đưa tích phân lặp -Đưa tích phân lặp : Giả sử hàm số f(x,y) liên tục miền đóng bị chặn D TH1: D hình chữ nhật D=[a;b]x[c;d] 𝑏 𝑑 𝑑 𝑏 𝐼 = න 𝑑𝑥 න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = න 𝑑𝑦 න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑎 𝑐 𝑐 𝑎 Chú ý: D=[a;b]x[c;d] f(x,y)=g(x)h(y) , ta có : 𝑏 𝑑 𝐼 = ඵ 𝑔 𝑥 ℎ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = (න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ) (න ℎ 𝑦 𝑑𝑦 ) 𝐷 𝑎 𝑐 VD : Tính 𝐼 = ‫ 𝑦𝑥 𝐷׭‬+ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑣ớ𝑖 𝐷 = 0; × 0; Giải: 𝐼 = ඵ 𝑦 𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦 = (න 𝑥 + 𝑑𝑥)(න 𝑦𝑑𝑦) 𝐷 = 𝑥2 +𝑥 อ 𝑦2 2 อ 0 = ×2=3 Đưa tích phân lặp 𝑎≤𝑥≤𝑏 TH2: 𝐷: ቊ 𝑓1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑓2 (𝑥) 𝑏 𝐼=න 𝑎 𝑓2 (𝑥) 𝑏 𝑓2 (𝑥) න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = න 𝑑𝑥 න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑓1 (𝑥) 𝑎 𝑓1 (𝑥) Đưa tích phân lặp 𝑐≤𝑦≤𝑑 TH3: D:ቊ 𝑔1 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑔2 (𝑦) 𝑑 𝐼=න 𝑐 𝑔2 (𝑦) 𝑑 𝑔2 (𝑦) න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = න 𝑑𝑦 න 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑔1 (𝑦) 𝑐 𝑔1 (𝑦) 10 Phương trình tuyến tính Có dạng: 𝒚′ + 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 • 𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑥 hàm số liên tục • Nếu 𝑄 𝑥 = 0, phương trình tuyển tính cấp • Nếu 𝑄 𝑥 ≠ 0, phương trình tuyến tính cấp khơng Cách giải : Nghiệm tổng quát PTTT cấp có dạng : 𝑦 = 𝑒− ‫𝑃 ׬‬ 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑄(𝑥) 𝑒 ‫𝑃 ׬‬ 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 57 Phương trình tuyến tính VD1 𝒚′ + 𝟐𝒙𝒚 = ⇒𝑦= 𝑒 − ‫ ׬‬2𝑥𝑑𝑥 𝟐 −𝒙 𝒙𝒆 ‫ ׬‬2𝑥𝑑𝑥 −𝑥 න𝑥𝑒 𝑒 𝑑𝑥 +𝐶 58 VD2 𝒙𝒚′ − 𝒚 𝒙+𝟏 =𝒙 59 Phương trình bernouli Có dạng: 𝒚′ + 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 𝒚𝒏 + Trong n số thực khác Cách giải : Đặt 𝑧 = 𝑦1−𝑛 , đưa pt ban đầu dạng PTTT cấp 1: 𝑧 ′ + − 𝑛 𝑃 𝑥 𝑧 = − 𝑛 𝑄(𝑥) 60 61 Phương trình vi phân tồn phần Có dạng: 𝐏 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑸 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 với điều kiện 𝜕𝑃(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 , ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 Cách giải: giải phương trình vi phân tồn phần tìm 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝐶 cho : 𝑑𝑢 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = Khi ta tìm 𝑢 𝑥, 𝑦 hai công thức này: 𝑥 𝑦 𝑢 𝑥, 𝑦 = න 𝑃 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥 + න 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑦 𝑢 𝑥, 𝑦 = න 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + න 𝑄 𝑥0 , 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑥0 𝑦0 62 VD1 𝒚 = ′ 𝟐𝒙𝒚 −𝟏−𝒙𝟐 Đặt 𝑃 = 2𝑥𝑦, 𝑄 = + 𝑥 Chọn 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 0, ta có nghiệm dương phương trình tổng qt: 63 Thừa số tích phân Khi phương trình 𝐏 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑸 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 không phương trình vi phân hồn tồn có hàm 𝐻 𝑥, 𝑦 cho nhân vế phương trình với 𝐻(𝑥, 𝑦) ta phương trình: 𝐻 𝑥, 𝑦 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝐻 𝑥, 𝑦 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = phương trình vi phân tồn phần Vậy hàm gọi thừa số tích phân Cách giải: Ta xét trường hợp đơn giản nhất: Nếu 𝜕𝑃 𝜕𝑄 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Nếu = 𝑄 = 𝑓 𝑥 đó: 𝐻 𝑥, 𝑦 = 𝐻 𝑥 = 𝑒 ‫𝑓 ׬‬ 𝜕𝑃 𝜕𝑄 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑃 𝑔 𝑦 đó: 𝐻 𝑥, 𝑦 = 𝐻 𝑥 = 𝑒 − ‫𝑓 ׬‬ 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 64 Ta có: 𝜕𝑃 𝜕𝑦 Ta lại có: ≠ 𝜕𝑄 𝜕𝑥 𝜕𝑃 𝜕𝑄 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑄 =3 Thừa số tích phân: 𝐻 𝑥 = 𝑒 ‫ ׬‬3𝑑𝑥 = 𝑒 3𝑥 Nhân thừa số tích phân cho vế phương trình ban đầu: 𝑒 3𝑥 2𝑦 𝑒 𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝑒 3𝑥 𝑒 𝑥 𝑦𝑑𝑦 = Nên phương trình vi phân tồn phần, chọn 𝑥0 = 𝑦0 = ta có tích phân tổng quát: 𝑥 𝑦 න 𝑒 3𝑥 2𝑦 𝑒 𝑥 + 𝑑𝑥 + න 𝑒 3.0 𝑒 𝑦𝑑y = 𝐶 ⇒ 𝑦2 𝑒 4𝑥 + 𝑒 3𝑥 𝑦2 3𝑥 2𝑒 + = 𝐶 ⇔ 𝑦 = 4𝑥 𝑒 +1 65 Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát: 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒚′ , 𝒚′′ = 𝟎 hay 𝒚′′ = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒚′ ) 66 Phương trình vi phân tuyến tính Phương trình tuyến tính cấp với hệ số số, có dạng: 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎2 𝑦 = Cách giải: Xét phương trình đặc trưng: 𝑘 + 𝑎1 𝑘 + 𝑎2 = Nếu pt có nghiệm phân biệt 𝑘1 , 𝑘2 nghiệm tổng quát pt: 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑘1.𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑘2.𝑥 Nếu pt có nghiệp kép 𝑘1 = 𝑘2 nghiệm tổng quát phương trình: 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑘1.𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑘1.𝑥 Nếu pt có nghiệm phức 𝑘1 = 𝛼 + 𝛽𝑖, 𝑘2 = 𝛼 − 𝛽𝑖 nghiệm tổng quát: 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥) 67 Phương trình vi phân tuyến tính khơng Phương trình tuyến tính cấp khơng với hệ số số 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎2 𝑦 = 𝑓(𝑥) Cách giải: Nghiệm tổng quát phương trình có dạng: 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦𝑟 Với 𝑦1 nghiệm tổng quát phương trình 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎2 𝑦 = 𝑦𝑟 nghiệm riêng phương trình khơng 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎2 𝑦 = 𝑓(𝑥) 68 Tìm nghiệm riêng Nếu 𝑓 đa thức bậc 𝑛 𝑦𝑟 đa thức bậc 𝑛, có dạng 𝑦𝑟 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 với 𝑎𝑖 số • Nếu 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑃𝑛 𝑥 ∶ + 𝑘 ≠ 𝛼 𝑚 = + k = α nghiệm 𝑚 = + k = 𝛼 nghiệm kéo m = ⇒ yr = x m eαx [Pm x ] • Nếu 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑃𝑛 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑛 𝑥 sin 𝛽𝑥 + 𝛼 + 𝛽𝑖 = 𝑘 → 𝑚 = + 𝛼 + 𝛽𝑖 ≠ 𝑘 → 𝑚 = ⇒ 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑚 𝑒 𝛼𝑥 𝑃𝑚 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥 sin 𝛽𝑥 69 • Xét phương trình đặc trưng: 2𝐾 − 𝐾 − = ⇒ 𝐾 = 𝐾 = • Ta có 𝛼 = nghiệm pt đặc trưng nên 𝑦𝑟 = 𝑥𝑒 𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵) nghiệm pt Đồng hệ số: Vậy nghiệm phương trình là: 70 • Xét phương trình đặc trưng: • ∝ = nghiệm ptdt • Đồng hệ số: Vậy nghiệm phương trình là: 71 ... pháp tính tích phân kép Đưa tích phân lặp - Đưa tích phân lặp - Đổi thứ tự lấy tích phân Đổi biến tích phân kép - Đổi biến tổng quát - Đổi biến sang tọa độ cực Đưa tích phân lặp -Đưa tích phân...CHƯƠNG Tích phân bội Định nghĩa Tính chất Một số phương pháp tính tích phân kép Định nghĩa: Tích phân bội 2: ඵ