Public giữa kì giải tích k16 21 22

Training Giải Tích BHT Đồn khoa MMT&TT – Training kì I K16 Nguyễn Cao Thi – MMTT 2021 Đinh Minh Tuấn – MMTT 2021 Đinh Bùi Huy Phương – ATTT2021 Đề thi kỳ năm 2020 Câu (2 điểm) Chứng tỏ giới hạn sau không tồn : Câu (2 điểm) Tìm cực trị hàm số: Câu (3 điểm) a) Khảo sát hội tụ chuỗi số sau: b) Tìm miền hội tụ chuỗi số: Câu (3 điểm) Xét hội tụ tích phân: Nội dung 01 Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số biến nhiều biến 02 Cực trị hàm số hai biến 04 Chuỗi số Đạo hàm – Đạo hàm riêng – Cực trị tự Chứng minh giới hạn không tồn 03 Tích phân suy rộng Tính tích phân suy rộng loại 1, loại Xét tính hội tụ chuỗi số Chuỗi số dương, chuỗi có dấu tùy ý, Chuỗi đan dấu, chuỗi lùy thừa, chuỗi hàm Topic 01 Giới hạn hàm số Giới hạn hàm biến - Các quy tắc để tính giới hạn Giới hạn hàm nhiều biến - Định nghĩa giới hạn hàm nhiều biến - Vô bé Vơ lớn - Tính giới hạn hàm nhiều biến - Quy tắc L’Hôpital - Chứng minh giới hạn không tồn - Định lý kẹp Giới hạn hàm số I Giới hạn hàm biến a/ Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định khoảng [a, b] Ta nói giới hạn hàm số f(x) x tiến tới x0 ∈ [a, b] L viết: 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝑳 𝒙 → 𝒙𝟎 Như vậy, hàm số f(x) có giới hạn L (hữu hạn), x dần tiến tới x0 với 𝝐 > cho trước ta tìm 𝜹 > 𝟎 cho < |x – x0| < 𝜹 |f(x) – L| < 𝝐 Các kết giới hạn cần nhớ sin a(x) 1) lim a x →0 a(x) = tan a(x) lim a x →0 a(x) 2) Nếu 𝛼 ≥ 1, 𝛽 > =1 ln(x) lim 𝛼 x→+∞ x x𝛼 = lim x x→+∞ 𝛽 =0 3) Nếu lim u x = a > 0, lim v x = b lim u x x→x0 4) lim (1 + x→±∞ x→x0 x ) = lim(1 x x→0 x→x0 v x = ab x + x) = e Giới hạn hàm số I Giới hạn hàm biến b/ Phương pháp tính giới hạn: 1) Vô bé, vô lớn 2) Quy tắc L’Hospital 3) Định lý kẹp Giới hạn hàm số I.1) Vô bé, vô lớn: Vô bé: - Cho hàm số f(x), ta gọi f(x) vô bé x -> x0 nếu: lim f(x) = x → x0 Vô lớn: - Cho hàm số f(x), ta gọi f(x) vô lớn x -> x0 nếu: lim |f(x)| = +∞ x → x0 Giới hạn hàm số I.1) Vô bé, vô lớn: Một số vô bé tương đương cần nhớ x -> 0: - sin(x) ~ tan(x) ~ arcsin(x) ~ arctan(x) ~ x 𝐱 𝐚 −𝟏 x - e –1~ ~ ln(1 + x) ~ x Mr Serj Protector Researcher 𝐥𝐧(𝐚) - (1 + x)a - ~ ax 𝐱𝟐 - – cos(x) ~ 𝟐 Lưu ý: Các VCB với u(x) Mr Eric Shun u(x) -> x -> x0 Không thay VCB tương đương với hiệu VCB Researcher Researcher Giới hạn hàm số I.1) Vô bé, vô lớn: Quy tắc ngắt bỏ vô bé: - Cho a(x) b(x) tổng VCB khác bậc x -> x0, a(x) lim giới hạn tỉ số VCB bậc thấp tử x → x0 b(x) Portfolio One Portfolio Two mẫu Pellentesque ullamcorper orci mi, ut bibendum Pellentesque ullamcorper orci mi, ut bibendum odio maximus Aenean sed auctor neque Duis odio maximus Aenean sed auctor neque Duis 10 Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi số sau: +∞ ෍ n=1 (x − 1)n n2 + 2.3n (đề thi kì năm 2020) 95 +∞ ෍ n=1 an = (x − 1) n Ví dụ n2 + 2.3n n2 +2.3n ~ n.3n n → +∞ Áp dụng tiêu chuẩn tỉ số ta có: an+1 lim n→+∞ an = n.3n lim (n+1) n→+∞ (n+1).3 = lim n→+∞ n n+1 =  Bán kính hội tụ chuỗi cho Khoảng hội tụ chuỗi cho là: -3 < x -1 <  -2 < x < 96 +∞ ෍ n=1 (x − 1) Ví dụ n n2 + 2.3n Xét x = -2, ta có σ+∞ n=1 (−3)n n2 +2.3n = n (−1) σ+∞ n=1 n2 +2 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Xét x = 4, ta có (3)n +∞ σn=1 n +2.3n an= = , bn= n2 +2 n +∞ σn=1 n +2 97 +∞ ෍ n=1 (x − 1) n n2 + 2.3n Ví dụ an= 1 , bn= n n2 + an +∞ σ lim = => σ+∞ a tính chất với bn (tcss 2) n=1 n=1 n n→+∞ bn Mà +∞ σn=1 n phân kỳ (chuỗi điều hòa) +∞  σn=1 n +2 phân kỳ Vậy miền hội tụ σ+∞ n=1 (x−1)n n2 +2.3n [-2; 4) 98 Tính giới hạn hàm số sau 1) 2) 3) 4) 99 Chứng minh không tồn giới hạn 100 Tính giới hạn hàm số sau • Cách 1: Nhân liên hợp x−1 lim x→1 x −1 = x−1 lim 3 x → (x−1)(x+1)( x + x+1) = lim 3 x → (x+1)( x + x+1) = • Cách 2: L’Hospital x−1 lim x→1 x −1 = lim −2 x3 x → 2x = 101 Tính giới hạn hàm số sau lim 𝑥 𝑥→0 − 2𝑥 = lim (1 − Ta có: lim(1 − 2x) 𝑥→0 −2x x→0 2𝑥)𝑥 = lim 𝑥→0 − 2𝑥 −2𝑥 −2 (∗) =e => (*) = lim e−2 = e−2 𝑥→0 102 Tính giới hạn hàm số sau Đặt t=xy; x->0, y-> => t->0 Ta sin 𝑡 lim (∗) t → 1− 1+ t Khi t → ta có: sin(t) ~ t − + t ~ (*) ~ lim t→0 t −t = lim −2 = −2 t→0 −t 103 Tính giới hạn hàm số sau f(x, y) Ta có: xy2+x2y xy2 lim lim 2 = 2 x,y →(0,0) x +y x,y →(0,0) x +y g(x, y) + x2y lim 2 x,y →(0,0) x +y Sử dụng lại kết từ ví dụ đầu ta lim f x, y = lim g x, y = x,y →(0,0) => xy2+x2y lim 2 x,y →(0,0) x +y = lim x,y →(0,0) x,y →(0,0) f x, y + lim x,y →(0,0) g x, y = 104 Chứng minh không tồn giới hạn Cách 1: Cho x=0, ta có f(0, y)= -1, ∀y ≠ Vậy f(x, y)→ −1 dọc theo trục Oy Cho y=0, ta có f(x, 0)=1, ∀x ≠ Vậy f(x, y)→ dọc theo trục Ox Hàm số f(x, y) dần tới giới hạn khác theo phương khác nhau, không tồn giới hạn f (x, y)→(0, 0) 105 Chứng minh không tồn giới hạn Cách 2: Cho y=kx, k số, ta có: lim x,y →(0,0) f(x, y) = lim f(x,kx) = x→0 𝑥 −k2 x2 lim 2 x→0 x +k x = 𝑥 (1−k2 ) lim x→0 x (1+k2 ) = 1−k2 1+k2 Ta thấy giới hạn hàm số phụ thuộc vào số k, nên với giá trị k khác ta có giới hạn khác Vậy hàm số cho không tồn giới hạn điểm (0,0) 106 Chứng minh không tồn giới hạn • Cách 2: Cho x=ky2, k số, ta có: lim f(x,y) = lim f(ky2,y) = lim x,y →(0,0) y→0 ky4 y→0 (k +1)y = k k2+1 Ta thấy giới hạn hàm số phụ thuộc vào số k, nên với giá trị k khác ta có giới hạn khác Vậy hàm số cho không tồn giới hạn điểm (0,0) 107 Chứng minh không tồn giới hạn • Cách 1: 1 1 Xét dãy điểm ( ; )→ (0,0) ( ; )→ (0,0) n→ ∞ n n Ta có: lim f n→∞ Còn 1 ( ; ) n n = lim 1 lim f ( ; ) = n n n→∞ n→∞ n n3 1 + n→∞ n2 n4 n4 1 + n4 n4 lim = = n n lim n→∞ n +1 =0 Vậy hàm số cho khơng có giới hạn 108