Hsg đề số 2

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) ĐỀ SỐ Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A  212.35  46.9  3   510.73  255.492  125.7   59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n 2  2n  3n  2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x      3,   5 b  x   x 1   x  7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A b) Cho a c a2  c2 a  Chứng minh rằng: 2  c b b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  Biết     = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME HBE  200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Bài 1:(4 điểm): Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 212.35  6.9 510.73  255.49 10 212.35  212.34 510.73  A   12 12  9 3  3   125.7   14   212.34   1 510.73     12    1 59.73   23  12 10 0,5 điểm 0,5 điểm 3     212.35.4 59.73.9  10     0,5 điểm b) (2 điểm) n+2 0,5 điểm - Với số nguyên dương n ta có: 3n 2  2n2  3n  2n = 3n 2  3n  2n2  2n = 3n (32  1)  2n (2  1) 0,5 điểm = 3n 10  2n 5 3n 10  2n 10 điểm = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2  2n2  3n  2n  10 với n số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) Đáp án a) (2 điểm) x 0,5 điểm Thang điểm 0,5 điểm 4  16     3,    x     5 5  x 14   5  x 14   5 0,5 điểm 0,5 điểm  x 12   x 1   x  2   0,5 điểm  x217  3  x 21  3  0,5 điểm b) (2 điểm)  x  7 x 1   x  7   x  7 x 1   x  7  x 1 x 11 0,5 điểm 0    x   10  0   0,5 điểm    x   10  0     x   x 10       1 ( x  7)10 0  0,5 điểm    x  7010 x 7 x 8  ( x  7)  Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = : : (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm 0,5 điểm a b c k   Từ (1)  = k  a  k ; b  k ; c  6 Do (2)  k (   ) 24309 25 16 36  k = 180 k =  180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237 0,5 điểm + Với k =  180 , ta được: a =  72 ; b =  135 ; c =  30 0,5 điểm Khi ta có só A =  72 +(  135 ) + (  30 ) =  237 b) (1,5 điểm) Từ 0,5 điểm 0,5 điểm a c  suy c a.b c b a  c a  a.b 2  b c b  a.b 0,5 điểm 0,5 điểm a ( a  b) a  = b( a  b) b Bài 4: (4 điểm) Đáp án Thang điểm 0,5 điểm Vẽ hình A I B M C H K (gt ) a/ (1điểm) Xét AMC EMB có : AM = EM AMC = EMB  (đối đỉnh ) BM = MC Nên : E (gt ) AMC = EMB (c.g.c )  AC = EB   Vì AMC = EMB  MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE b/ (1 điểm ) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt )   = MEK ( AMC EMB ) MAI AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c )  Suy AMI = EMK  Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )    EMK + IME = 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm )  = 90o ) có HBE  Trong tam giác vuông BHE ( H = 50o   = 90o - HBE = 90o - 50o =40o  HBE    = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o  HEM  góc ngồi đỉnh M HEM BME    Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o (định lý góc ngồi tam giác ) Bài 5: (4 điểm) A 20 M D B C a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c)   suy DAB DAC  Do DAB 200 : 100 b)  ABC cân A, mà A 200 (gt) nên ABC (1800  200 ) : 800   ABC nên DBC 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD 800  600 200 Tia BM phân giác góc ABD nên ABM 100 Xét tam giác ABM BAD có:   AB cạnh chung ; BAM  ABD 200 ; ABM DAB 100 Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đạt điểm tối đa