Giáo trình vật lý đại cương b1 phần 2 trường đh thủ dầu một

PHẦN NHIỆT HỌC CHƯƠN MỞ ĐẦ §6.1 NHỮN HÁ N ỆM CƠ BẢN 6.1.1 hông số trạng thái phương trình trạng thái Khi nghiên cứu vật, tính chất thay đổi ta nói trạng thái vật thay đổi Như tính chất vật biểu thị trạng thái vật dùng tập hợp tính chất để xác định trạng thái vật Mỗi tính chất đặc trưng đại lượng vật lý Tập hợp xác định đại lượng vật lý để xác định trạng thái vật gọi thông số trạng thái Có nhiều thơng số trạng thái Tuy nhiên, có số độc lập, số cịn lại phụ thuộc Mối quan hệ thông số trạng thái biểu diễn hệ thức gọi phương trình trạng thái Để biểu diễn trạng thái khối khí, dùng thơng số trạng thái: thể tích (V), áp suất (p), nhiệt độ (T) lượng khí (n) Thực nghiệm cho thấy thơng số có độc lập, thơng số lại phụ thuộc Như mối liên hệ thơng số biểu diễn phương trình trạng thái: f(p,V,T,n) = (6.1) Việc khảo sát dạng cụ thể phương trình (6.1) vấn đề nhiệt học 6.1.2 Áp suất Áp suất đại lượng vật lý có giá trị lực nén vng góc lên đơn vị diện tích Ký hiệu F lực nén vng góc lên diện tích S, áp suất p cho bởi: p F S (6.2) Đơn vị áp suất nêu §4.4.1 (chương học chất lưu) 6.1.3 Nhiệt độ 179 Nhiệt độ đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ chuyển động hỗn loạn phân tử vật Để xác định nhiệt độ người ta dùng nhiệt biểu Nguyên tắc nhiệt biểu dựa vào độ biến thiên đại lượng (chiều dài, thể tích, độ dẫn điện, …) đốt nóng làm lạnh suy nhiệt độ tương ứng Nhiệt biểu thường dùng nhiệt biểu thủy ngân Trong nhiệt biểu nhiệt độ xác định thể tích khối lượng thủy ngân định Để đọc nhiệt độ nhiệt biểu cần có thang đo nhiệt độ gọi nhiệt giai Nhiệt biểu có gắn thang đo nhiệt độ gọi nhiệt kế Người ta chọn điểm chuẩn thứ điểm ba nước đá, điểm tồn đồng thời trạng thái nước: hơi, lỏng, rắn (hay gọi trạng thái pha) áp suất 101 kPa at ứng với nhiệt độ thứ Điểm chuẩn thứ hai ứng với trạng thái điểm sôi nước áp suất 101 kPa Nhiệt giai ách ph n (Celsius): điểm chuẩn thứ ghi 0oC, điểm chuẩn thứ ghi 100oC, chúng chia thành 100 phần Ký hiệu nhiệt độ tC(oC) Nhiệt giai tuyệt đối (Kelvin): độ chia độ thang bách phân, độ khơng ứng với –273,16 thang bách phân Ký hiệu nhiệt độ T(K) Như ta có biểu thức liên hệ: T = tC + 273,16 (6.3) Trong tính tốn đơn giản thường lấy trịn: T = tC + 273 (6.3’) Cần ý thang bách phân, nhiệt độ ghi oC (ví dụ: 15 oC, 20 oC, …), thang tuyệt đối, nhiệt độ ghi K (ví dụ: 15 K, 20 K, v.v, …) Ngồi cịn hai loại nhiệt giai khác: + Nhiệt giai ahrenheit (dùng Anh, Mỹ số nước phụ thuộc): điểm chuẩn 32 oF, điểm chuẩn hai 212 oF, chúng chia làm 180 khoảng Ký hiệu TF : TF  tc  32 (6.4) + Nhiệt giai aumur (dùng Pháp số nước phụ thuộc): điểm chuẩn R điểm chuẩn hai 80 oR, chúng chia làm 80 khoảng Kí hiệu TR: o 180 TF  tc (6.5) Chú ý: Trong đời sống thường ngày, người ta dùng thông dụng nhiệt giai bách phân Nhưng khoa học kĩ thuật dùng nhiệt giai tuyệt đối §6.2 CÁC ĐỊNH L Ậ H C N H ỆM VỀ CH H 6.2.1 Định luật Boyle - Mariot Hình 6.1 Họ đường đẳng nhiệt Trong trình đẳng nhiệt, thể tích khối khí xác định tỷ lệ nghịch với áp suất: pV = const (6.6) Trong hệ trục tọa độ vng góc OpV, q trình biến đổi đẳng nhiệt đường Hypebol vng góc gọi đường đẳng nhiệt Nhiệt độ cao, đường đẳng nhiệt xa điểm gốc Tập hợp đường đẳng nhiệt tạo thành họ đường đẳng nhiệt (hình 6.1) 6.2.2 Định luật Charles (Định luật ay – Lussac 1) Với lượng khí n khơng đổi áp suất p khơng đổi tỉ số thể tích V nhiệt độ T không đổi: V  const T 6.2.3 Định luật (6.7) ay – Lussac (2) Với lượng khí n khơng đổi thể tích V khơng đổi tỉ số áp suất p 181 nhiệt độ T không đổi: p  const T (6.8) Các phương trình (6.7), (6.8) viết dạng: p T V const  p0 T0 V T P const  V0 T0 Với To nhiệt độ xác định, po Vo áp suất thể tích khối khí nhiệt độ To Thường chọn To = 273 K = 1/a Khi đó: p = poa (V = const) (6.9) V = Voat (p = const) (6.10) a gọi hệ số dãn nở nhiệt chất khí 6.2.4 iới hạn ứng dụng Các định luật thực nghiệm định luật gần Nó thiết lập cho chất khí điều kiện nhiệt độ áp suất thông thường (p ~ at, T ~ 300 K) Nếu áp suất lớn nhiệt độ nhỏ định luật sai lệch lớn Tuy nhiên, để việc nghiên cứu đơn giản, người ta định nghĩa “khí lý tưởng chất khí hồn tồn tn theo định luật thực nghiệm trên” Thực nghiệm cho thấy phần lớn chất khí điều kiện thường coi khí lý tưởng Một chất khí coi khí lý tưởng bỏ qua lực tương tác phân tử kích thước chúng §6.3 HƯƠN RÌNH RẠN HÁ H LÝ ƯỞN 6.3.1 hiết lập phương trình Xét Kmol khí có trạng thái ban đầu M1(p1, V1,T1) biến đổi sang trạng thái M2 (p2,V2, T2) Giả sử biến đổi từ M1 sang M2 qua trạng thái trung gian M’1 có thơng số trạng thái (p’1 , V2 , T1) theo định luật Boyle – Mariot ta có: p1V1 = p’1V2 (6.11) Từ trạng thái M’1 sang trạng thái M2 trình đẳng tích Theo định luật Gay – Lussac ta có: p’1 = po.a.T1 p2 = po.a.T2 182 Rút ra: p1'  p2T1 T2 (6.12) Thay (6.12) vào (6.11) ta được: p1V1 p2V2  T1 T2 (6.13) pVo không đổi: T Như thế, kmol khí cho, pVo R T  pVo  RT (6.14) ta kí hiệu thể tích kmol khí Vo Đối với khối khí có khối lượng m thể tích V thì: V m  Vo hay Vo   m V Thay vào (6.14) ta được: pV  m  RT (6.15) (6.14) (6.15) phương trình trạng thái khí lí tưởng Đặt m   n n thơng số trạng thái, số mol (hay kmol khối khí) Như vậy, trường hợp tổng quát, khối khí tích V bất kì, phương trình trạng thái khí lí tưởng là: pV  nRT 6.3.2 (6.16) iá trị R R gọi số khí lý tưởng hay số khí phổ biến Theo định luật Avogadro, nhiệt độ áp suất, chất khí khác chiếm thể tích Xét điều kiện tiêu chuẩn (To = 273,16 K , po = 1,01325.105 Pa, Vo = 22,414 m3), ta có: poVo 1,01325.105 ( Pa).22,414(m3 /kmol )  R To 273,15K 183 R  8,314462  103 J J  8,314462 kmol.K mol.K Từ phương trình (6.15) ta tính khối lượng riêng  nó:  p (6.17) RT Ví dụ 3.1 Một khối khí nitơ tích 8,32 l, áp suất 15 at, nhiệt độ 27 oC a) Tính khối lượng khối khí đó? b) Hơ nóng đẳng tích khối khí đến nhiệt độ 127 oC Hãy tính áp suất khối khí sau hơ nóng Giải: Ta có: T1 = 273 + t1 (= 27 oC) = 300 (K) T2 = 273 + t2 (= 127 oC) = 400 (K) at = 9,81.104 Pa a) Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng (6.15) cho trạng thái 1: p1V1   m  m  p1V1 RT1  (1) RT1 Đối với khí nitơ  = 28 kg/kmol, thay vào (1): 15.9,81.104.8,32.28 m  137 g 8,32.300 c) Đối với trình đẳng tích, áp dụng định luật Gay – Luytxac, ta có: p1 p2  T1 T2  p2  p1 p2  T2 T1 400.15  20 at 300 184 CÂ HỎ ƠN Ậ CHƯƠN 6.1/ Có thơng số trạng thái chất khí? Thế thông số độc lập phụ thuộc? 6.2/ Theo bạn thông số trạng thái: nhiệt độ, áp suất thể tích lượng khí, thơng số biểu thị lượng, thông số biểu thị chất? Hãy giải thích 6.3/ Phân biệt nhiệt biểu, nhiệt giai nhiệt kế 6.4/ Nhiệt lượng có phải thơng số trạng thái khơng? Giải thích 6.5/ Trong điều kiện cân nhiệt nhiệt độ phòng, bạn tiếp xúc với khơng khí, gỗ sắt bạn có cảm giác nóng hay lạnh khơng? Nếu khác cảm giác vật nóng lạnh hơn? Hãy giải thích 6.6/ Có thể làm cho bình nước vừa đóng băng vừa sơi khơng? Giải thích 6.7/ Ý nghĩa số khí lí tưởng R? 6.8/ Các định luật thực nghiệm chất khí thực khí thực, người ta lại định nghĩa khí lí tưởng khí tuân theo định luật thực nghiệm trên? 6.9/ Khí hỗn hợp nhiều loại khí khác nhau, phương trình trạng thái viết cho khí có thay đổi khơng? Khi thơng số n có ý nghĩa gì? ĨM Ắ CƠN HỨC VÀ BÀ CHƯƠN 6.1 ĨM Ắ CƠN HỨC Phương trình trạng thái khí: f(p,V,T,n) = (6.1) p suất: p F S (6.2) F lực nén vng góc lên diện tích S Nhiệt độ tuyệt đối T (Kelvin): T = tC + 273,16 (6.3) tC nhiệt độ bách phân (Celsius) 185 Ậ + Quá trình đẳng nhiệt: pV = const (6.5) + Quá trình đẳng tích: p  const T (6.6) + Q trình đẳng áp: V  const T (6.7) Phương trình trạng thái khí lí tưởng: pV  m  RT  nRT (6.8) V thể tích khối khí khối lượng m,  khối lượng mol (kmol) khí, R số khí lí tưởng 103 J J R  8,314462   8,314462 kmol.K mol.K Khối lượng riêng  khí:  BÀ p (6.9) RT Ậ 6.1/ Có 40 g khí ơxy chiếm thể tích lit nhiệt độ: T = 292,5 K a) Tính áp suất khối khí b) Cho khối khí nở đẳng áp đến thể tích lit Tìm nhiệt độ khối khí sau giãn nở Đ : a) p1 = 10 at ; b) T2 = 390 K 6.2/ Có 10 g khí hydro áp suất 8,2 at đựng bình tích 20 lit a) Tìm nhiệt độ khối khí b) Hơ nóng đẳng tích khối khí đến áp suất at Tìm nhiệt độ khối khí sau hơ nóng Đ : T1 = 387 K ; T2 = 425 K 186 6.3/ Có 10 kg khí đựng bình, áp suất 107 N/m2 Người ta lấy bình mơt lượng khí áp suất khí cịn lại bình 2,5.106 N/m2 Coi nhiệt độ khối khí khơng đổi Tìm lượng khí lấy Đ : m = 7,5 kg 6.4/ Có g khí ơxy hỗn hợp với 22 g khí cacbonic (CO2) Xác định khối lượng kilơmol hỗn hợp đó? Đ :  = 40 kg/kmol Hướng dẫn: Áp dụng phương trình trạng thái cho loại khí 6.5/ Một hỗn hợp khí có 2,8 kg khí nitơ 3,2 kg khí ơxy nhiệt độ 17 0C áp suất 4.105 N/m2 Tìm thể tích hỗn hợp Đ : V = 1,205 m3 6.6/ Có 12 g khí chiếm thể tích lít nhiệt độ 0C Sau hơ nóng đẳng áp, khối lượng riêng 6.10-4 g/cm3 Tìm nhiệt độ khối khí sau hơ nóng Đ : T2 = 1400 0K 6.7/ Một bình chứa khí nén nhiệt độ 27 0C áp suất 40 at Tìm nhiệt độ khối khí có nửa lượng khí khỏi bình áp suất hạ xuống 19 at Đ : T2 = 285 K 6.8/ Có bình chứa hai thứ khí khác thơng với ống thuỷ tinh có khố Thể tích bình thứ lít, bình thứ hai lít Lúc đầu ta đóng khố, áp suất hai bình l at at Sau mở khố nhẹ nhàng để hai bình thơng cho nhiệt độ khơng thay đổi Tính áp suất chất khí hai bình khí thơng nhau? Đ : p = 1,6 at 6.9/ Một khí cầu thể tích V Người ta bơm vào khí hidro 20 0C áp suất 750 mmHg Nếu giây bơm 25 g thời gian bơm 45 phút Tìm thể tích V Đ : V = 3017 m3 6.10/ Cho tác dụng axit Sul uaric lên đá vôi (CaCO3) người ta thu 1320 cm khí carbonic (CO2) nhiệt độ 22 0C áp suất 1000 mmHg Xác định lượng đá vôi tham gia phản ứng Đ : m = 7,18.10-3 kg 6.11/ Một ống thuỷ tinh tiết diện đều, đầu kín đầu hở Lúc đầu người ta nhúng đầu hở vào chậu nước cho mức nước ngồi ống nhau, chiều cao cịn lại ống 20 cm Sau người ta rút ống lên đoạn cm (hình 6.2) Hỏi mức nước ống dâng lên bao nhiêu, biết nhiệt độ xung 187 quanh khơng đổi áp suất khí 760 mmHg Bỏ qua tượng mao dẫn sức căng mặt Đ : h = 3,95cm 6.12/ Có 10g khí ơxy nhiệt độ 10 0C, áp suất at Sau hơ nóng đẳng áp, khối khí chiếm thể tích 10 lít Tìm: a) Thể tích khối khí trước giãn nở? b) Nhiệt độ khối khí sau giãn nở? c) Khối lượng riêng khối khí trước giãn nở? d) Khối lượng riêng khối khí sau giãn nở? Đ : a) V1 = 2,4.10-3 m3 ; c) 1 = g/l ; b) T2 = 1132 0K d) 2 = g/l Hình 6.2 6/13 Một bình kín tích V = 0,5 m3 chứa 0,6 kmol khí CO2 áp suất 3.106 N/m2 Hỏi áp suất khối khí tăng lên gấp hai lần nhiệt độ khối khí tăng lên bao nhiêu? Đ : T tăng lần CÂ HỎ VÀ BÀ Ậ RẮC N H ỆM 6.1/ Chọn phát biểu đúng: a) Phương trình trạng thái biểu diễn mối quan hệ thông số trạng thái b) Các thông số trạng thái đại lượng vật lý để xác định trạng thái vật c) Có thơng số trạng thái thể tích, áp suất, nhiệt độ lượng khí d) Tất phát biểu 6.2/ Chọn phát biểu sai: 188 12/7 Tính lượng liên kết hai hạt nhân 234 92 U 238 92 U Hạt nhân bền hơn? S: 1786 MeV 1804 MeV ; Hạt nhân 238 92 U bền 12/8 Dịng điện ion hóa bão hịa có mCi radon 222 86 Rn khơng khí 0,92 A Hãy tính hạt  radon phóng tạo ion khơng khí? S: 1,57.105 ion 12/9 22 11 Na phóng xạ có chu kì bán rã 2,60 năm Hãy xác định: a) Số phân rã giây? b) Ở thời điểm mẫu chứa 8.6.1016 hạt nhân 22 11 Na xạ sau năm c) Hằng số phân rã sau năm d) Khi độ phóng xạ 0? S: a)  = 3,085.10-6 s-1 ; b) H  6,63.1010 Bq ; c)  không thay đổi ; d) t =  12/10 Tính lượng tỏa phản ứng hạt nhân sau: a) 1H + 23 He  11 H + 42 He b) Li + 21 H  He + 42 He c) Li + 11 H  He + 24 He S: a) 18,3 MeV ; b) 22,4 MeV ; c) 4,02 MeV 285 Tính độ phóng À L H M KHẢO David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentals of Physics, 8th Edition, John Wiley & Sons, Inc 2007 Giáo trình Kỹ thuật mơi trường, Trần Kim Cương, Trường Đại học Đà lạt, http//www.ebook.edu.vn Lương Duyên Bình (chủ biên), Vật lý đại cương Tập 2,3 NXB Giáo dục, 2000 Lương Duyên Bình (chủ biên), Giáo trình Vật lý đại cương Tập hai ba, dùng cho sinh viên trường cao đẳng, NXB Giáo dục, 2000 Lương Duyên Bình, Nguyễn Hữu Hồ, Lê Văn Nghĩa, Bài tập Vật lý đại cương Tập 2,3, NXB Giáo dục, 2000 Hồng Văn Huệ, Thái Dỗn Thanh, Lê Văn Nam, Đinh Nguyễn Trọng Nghĩa, Trang Huỳnh Đăng Khoa, Nguyễn Thị Thu Hiền, Nguyễn Tuấn Anh, Bùi Quốc Trung, Giáo trình Vật lý đại cương Tập Thành phố Hồ Chí Minh, 2012 (Lưu hành nội bộ) Trần Ngọc Hợi, Phạm Văn Thiều, Vật lý đại cương – Các nguyên lí ứng dụng (Tập hai ba), NXB Giáo dục, 2006 286 PHỤ LỤC CÁC HẰNG SỐ CƠ BẢN 287 CÁC SỐ L H N VĂN 288 CÁC H SỐ CH ỂN Ổ 1) ộ dài 2) Diện tích 3) Khối lượng 289 4) Thể tích 5) Thời gian 6) Tốc độ 290 7) Lực 8) Công suất 9) Áp suất 291 10) Năng lượng 292 BẢNG ẦN HOÀN CÁC NG 293 N Ố PHÉP ÍNH V C OR VÀ ỐN Ử Vector đại lượng gồm độ lớn hướng, kí hiệu a Độ lớn vector a : a  a đại lượng không âm P5.1 Vô hướng vector Thuật ngữ vô hướng dùng để đại lượng mà giá trị phụ thuộc vào số thực (dương âm) Ví dụ đại lượng vô hướng Vật lý như: tọa độ, thời gian, độ dài, khối lượng, thể tích, nhiệt độ, áp suất, cơng,, điện thế, dịng điện, Thuật ngữ vector dùng để đại lượng vừa có độ lớn, vừa có hướng khơng gian Ví dụ đại lượng vector Vật lý như: Lực, vận tốc, gia tốc, cường độ điện trường, mật độ dòng điện, Kí hiệu V vùng khơng gian Nếu ứng với điểm P V, ta xác định vô hướng vector, ta nói V tồn trường vơ hướng trường vector tương ứng Ví dụ: nhiệt độ điểm phòng trường vô hướng; gia tốc trọng trường điểm mặt đất trường vector P5.2 Phép tính vector Vector biểu diễn đoạn thẳng có hướng, ký hiệu a , b , … Trong hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, người ta biểu diễn vector thơng qua vector đơn vị i , j , k dọc theo trục Ox, Oy, Oz tương ứng Vector đơn vị trục tọa độ vector có độ lớn hướng theo chiều tăng trục tọa độ Các vector biểu diễn sau: a  ax i  a y j  az k b  bx i  by j  bz k c  cx i  c y j  c z k Trong mặt phẳng (khơng gian hai chiều) thì: a  ax i  a y j Độ lớn hướng vector a xác định sau (hình P5.1): a  ax2  a y2 tan   ay ax 294 Hình P5.1 Vector a khơng gian hai chiều Nếu biết độ lớn a hướng (góc ) tìm thành phần vector a : ax  a cos ; a y  a sin  Trong không gian chiều độ lớn vector a là: a  ax2  a y2  az2 với ax , a y , az thành phần vector a dọc theo trục toa độ Ox, Oy, Oz tương ứng Hướng vector a biểu thị qua góc trục tọa độ Tổng a  b vector c xác định theo phương pháp hình học Vector tổng c đường chéo hình bình hành mà hai cạnh hai vector a b (hình P5.2) Độ lớn c là: c  a  b2  2ab cos với a, b độ lớn vector a b ,  góc hai vector Hình P5.2 hương pháp hình học cộng hai vector Vector tổng c xác định theo phương pháp giải tích: biểu diễn vector hệ tọa độ c có thành phần: cx  ax  bx c y  a y  by cz  az  bz 295 c biểu diễn dạng: c  a  b   ax  bx  i   a y  by  j   az  bz  k Độ lớn c : c  cx2  c y2  cz2  (ax  bx )  (a y  by )  (az  bz ) Phép cộng vector có tính chất: - Giao hốn: a b b a - Kết hợp:     a  b c  a b c - Nhân với vô hướng: b  sa Nếu s > b hướng với a ; s < b ngược hướng với a Độ lớn b  s a Vector đối a ký hiệu a vector ngược chiều với a có độ lớn độ lớn a Hiệu vector theo định nghĩa:   a  b  a  b Tích vơ hướng hai vector Tích vơ hướng hai vector a b định nghĩa:   a.b  a b cos a, b  axbx  a yby  azbz Một ứng dụng quan trọng tích vơ hướng tìm thành phần hình chiếu vector theo hướng cho trước Tích vơ hướng hai vector có tính chất: - Giao hốn: a.b  b a - Phân phối: a.(b  c )  a.b  a.c - Nhân với vô hướng: 296 a.( sb )  s(b a ) s vơ hướng Tích hữu hướng hai vector tích vector) Kí hiệu góc  góc nhỏ (0     ) a b Tích vector, hay tích hữu hướng a b kí hiệu a  b (hay a  b ) vector c định nghĩa: + Có phương: vng góc với mặt phẳng chứa a b + Có chiều: chiều tiến đinh ốc thuận ta quay đinh ốc từ a dến b theo góc nhỏ  + Có độ lớn: a  b  ab sin  Tích vector có tính chất: - Đối giao hốn: b  a  a  b - Phân phối: a  (b  c )  a  b  a  c Nếu biểu diễn hệ tọa độ tọa độ thì: c  a  b  cx i  c y j  c x k với thành phần vector c là: cx  a ybz  az by c y  az bx  axbz cx  a ybz  az by cz  axby  a ybx Dưới dạng tường minh: c  a  b   a ybz  azby  i   azbx  axbz  j   axby  a ybx  k Hay dạng định thức: i a  b  ax bx j ay by k az bz 297 P2.3 oán tử Toán tử Haminton  (nabla) vector tượng trưng thay cho kí hiệu grad, div, rot toán tử giải tích vi phân Biểu thức  hệ toạ độ Descartes là:     i j k x y z Với i , j , k vector đơn vị theo ba trục toạ độ Bằng cách nhân hình thức vector  với đại lượng vô hướng U hay với vector V (nhân vô hướng nhân vector) biểu diễn theo toạ độ Descartes, ta nhận công thức grad, div, rot Tốn tử gradient Cho trường vơ hướng U  U ( x, y, z ) Ta định nghĩa toán tử gradient U trường vector gradU  U  U U U i j k x y z Kết phép toán grad vector Chiều vector chiều tăng cực đại trường vơ hướng U Vì tốn tử grad cịn gọi toán tử "thế" Toán tử div divergence) Cho trường vector A( x, y, z ) Toán tử div trường vector A định nghĩa trường vô hướng: div A   A  Ax Ay AZ   x y z Kết phép tốn trường vơ hướng Divergence cho ta biết trường vector có mức độ phát hay thu vào điểm không gian Vì tốn tử div cịn gọi "nguồn" Tốn tử rot rotationel) Cho trường vector A( x, y, z ) Toán tử rot định nghĩa trường vector:  A A   A A   A A  rotA    A   z  y  i   x  z  j   y  x  k z   z x  y   y  x Hay biểu diễn dạng định thức: 298 i  rotA    A  x Ax j  y Ay k  z Az Kết phép toán trường vector Rotation cho ta biết trường vector V quay (xoáy) quanh điểm không gian Hướng rot trục xoay độ lớn rot ứng với mức độ xốy Vì tốn tử rot cịn gọi toán tử "xoáy" 299