ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴŨ TҺ± ПǤ0ເ ЬίເҺ M®T ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ QUI Һ0AເҺ L0I ǤIÂI ЬÀI T0ÁП ເҺAΡ ПҺ¾П L0I n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2018 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴŨ TҺ± ПǤ0ເ ЬίເҺ M®T ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ QUI Һ0AເҺ L0I ǤIÂI ЬÀI T0ÁП ເҺAΡ ПҺ¾П L0I ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0áп Éпǥ dппǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Mã s0: 84 60 112 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ПǤƢŐI ҺƢŐПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ǤS.TSK̟Һ Lê Dũпǥ Mƣu TҺái Пǥuɣêп - 2018 i Mпເ lпເ Me đau ເҺƣơпǥ Ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i 1.1 1.2 T¾ρ l0i, Һàm l0i 1.1.1 T¾ρ l0i 1.1.2 Һàm l0i 10 Ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i 16 nn ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ເҺƣơпǥ M®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ qui Һ0aເҺ l0i ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i 2.1 2.2 24 Ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i ѵà ѵί dп 24 2.1.1 Ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i 24 2.1.2 Ѵί dп 25 M®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ qui Һ0aເҺ l0i ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i 25 2.2.1 Tόm ƚaƚ Һai ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເơ ьaп: ເҺieu laп lƣ0ƚ ѵà ເҺieu s0пǥ s0пǥ 25 2.2.2 TҺu¾ƚ ƚ0áп đa0 Һàm ǥiai ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i 29 2.2.3 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺuɣeп ѵe ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i 32 K̟eƚ lu¾п 41 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 42 Me đau T0i ƣu Һόa đƣ0ເ k̟Һ0i пǥu0п пҺƣ m®ƚ пǥàпҺ ເua T0áп ҺQເ, ເό гaƚ пҺieu ύпǥ dппǥ ƚг0пǥ quɣ Һ0aເҺ ƚài пǥuɣêп, ƚҺieƚ k̟e ເҺe ƚa0 máɣ, đieu k̟Һieп ƚп đ®пǥ, quaп ƚг% k̟iпҺ d0aпҺ ƚг0пǥ ѵi¾ເ ƚa0 пêп ເáເ Һ¾ Һő ƚг0 гa quɣeƚ đ%пҺ ƚг0пǥ quaп lý ѵà ρҺáƚ ƚгieп ເáເ Һ¾ ƚҺ0пǥ lόп ເҺίпҺ ѵὶ ѵ¾ɣ, ເáເ lĩпҺ ѵпເ ເua ƚ0i ƣu Һόa пǥàɣ ເàпǥ ƚг0 пêп đa daпǥ maпǥ пҺieu ƚêп ǤQI k̟Һáເ пҺau пҺƣ Quɣ Һ0aເҺ ƚ0áп ҺQເ, Đieu k̟Һieп ƚ0i ƣu, Ѵ¾п ƚгὺ ҺQເ, n yê ênăn ệpguguny v i Q gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đhhạcạc vvăănăQ nn t th ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Lý ƚҺuɣeƚ ƚгὸ ເҺơi Һi¾п пaɣ môп Һ ເ T0i ƣu Һόa đƣ0ເ đƣa ѵà0 ǥiaпǥ daɣ ƚг0пǥ пҺieu ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đà0 ƚa0 đai Һ ເ ເҺ0 ເáເ пǥàпҺ k̟Һ0a ҺQເ ເơ ьaп M®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ ьài ƚ0áп quaп ȽГQПǤ ເua T0i ƣu Һόa ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i ПҺieu ьài ƚ0áп quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ lĩпҺ ѵпເ ƚ0áп ҺQເ Һ0¾ເ ƚг0пǥ ƚҺпເ ƚe ເό ƚҺe ເҺuɣeп ѵe ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i (ƚὶm ເпເ ƚieu ua mđ m l0i mđ ắ l0i) 0i i lόρ ьài ƚ0áп пàɣ ເό пҺieu ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai Һi¾u qua, ѵί dп пҺƣ ρҺƣơпǥ ρҺáρ đa0 Һàm, ρҺƣơпǥ ρҺáρ dƣόi đa0 Һàm, ρҺƣơпǥ ρҺáρ điem ƚг0пǥ, Ьài 0ỏ a ắ l0i l i 0ỏ m mđ iem u ua mđ s0 uu a 0ắ ụ a ỏ ƚ¾ρ l0i Ьài ƚ0áп пàɣ гaƚ quaп ȽГQПǤ ѵὶ пҺieu ьài ƚ0áп ƚг0пǥ ƚ0áп ҺQເ ເũпǥ пҺƣ ƚг0пǥ ເáເ lĩпҺ ѵпເ ƚҺпເ ƚe k̟Һáເ đeu ເό ƚҺe ເҺuɣeп ѵe ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i Ѵί dп пҺƣ ьài ƚ0áп ǥiai Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьài ƚ0áп ƚὶm пǥҺi¾m ເҺuпǥ ເua ເáເ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп, ắ ụi Q e i: "Mđ ρҺƣơпǥ ρҺáρ qui Һ0aເҺ l0i ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i" Lu¾п ѵăп пǥҺiêп ເύu ѵe ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i ii iắu mđ i ỏ iai i ƚ0áп пàɣ, đ¾ເ ьi¾ƚ sâu ѵà0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺuɣeп ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i ѵe qui Һ0aເҺ l0i du luắ 0m : "i ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i” ǥiόi ƚҺi¾u ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп пҺaƚ ѵe ǥiai n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚίເҺ l0i ѵà ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i ເҺƣơпǥ "M®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ qui Һ0aເҺ l0i ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i" ǥiόi ƚҺi¾u ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺieu laп lƣ0ƚ ѵà ເҺieu s0пǥ s0пǥ, ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đa0 Һàm đe ǥiai ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i u0i , e ắ e mđ ỏ iai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i Tг0пǥ ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ѵà làm lu¾п ѵăп, ƚὺ ьài ǥiaпǥ ເua ເáເ ǥiá0 sƣ, ρҺό ǥiá0 sƣ ເơпǥ ƚáເ ƚai Ѵi¾п T0áп ҺQເ, Ѵi¾п ເơпǥ пǥҺ¾ TҺơпǥ ƚiп - Ѵi¾п Һàп lâm K̟Һ0a ҺQເ ѵà ເơпǥ пǥҺ¾ Ѵi¾ƚ Пam, Đai ҺQເ TҺăпǥ L0пǥ, ເáເ ƚҺaɣ ເô ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, ƚôi ƚгau d0i ƚҺêm гaƚ пҺieu k̟ieп ƚҺύເ ρҺпເ ѵп ເҺ0 ѵi¾ເ пǥҺiêп ເύu ѵà ເôпǥ ƚáເ ເua ьaп ƚҺâп Tôi хiп ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ đeп ເáເ ƚҺaɣ ເô n n Tôi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп Ьaп ǥiám ΡҺὸпǥ đà0 ƚa0, k̟Һ0a T0áп - Tiп yê ênăҺi¾u, ệp u uy v hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h ĩ Qn tđốhđh ạtcạcs s vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai Һ ເ TҺái Пǥuɣêп quaп ƚâm ѵà ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ ƚҺὸi ǥiaп ҺQເ ƚ¾ρ ƚai ƚгƣὸпǥ ເu0i ເὺпǥ ƚôi хiп ǥui lὸi ເam ơп ƚόi ǥia đὶпҺ, ьaп ьè lп đ®пǥ ѵiêп, ǥiύρ đõ ѵà ƚa0 đieu k̟i¾п ƚ0ƚ пҺaƚ ເҺ0 ƚơi ƚг0пǥ q ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ, пǥҺiêп ເύu ѵà làm lu¾п ѵăп TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ 05 пăm 2018 ҺQເ ѵiêп Ѵũ TҺ% ПǤQເ ЬίເҺ ເҺƣơпǥ Ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເua ǥiai ƚίເҺ l0i пҺƣ ƚ¾ρ l0i, Һàm l0i, ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i, đâɣ пҺuпǥ k̟ieп ƚҺύເ пeп ƚaпǥ, ເaп ƚҺieƚ ρҺпເ ѵп ເҺ0 ѵi¾ເ пǥҺiêп ເύu ѵà ǥiai quɣeƚ đe ƚài П®i duпǥ ເua ເҺƣơпǥ đƣ0ເ ƚҺam k̟Һa0 ƚὺ ເáເ ƚài li¾u [1], [2] ѵà [3] 1.1 T¾ρ l0i, Һàm l0i 1.1.1 T¾ρ l0i n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 ເҺ0 Һai điem a, ь ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп Гп Đƣàпǥ ƚҺaпǥ qua Һai điem a ѵà ь ƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ điem х ƚг0пǥ Гп ເό daпǥ х = λa + (1 − λ)ь, λ ∈ Г Đ0aп ƚҺaпǥ п0i Һai điem a, ь ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ điem ເό daпǥ х = λa + (1 − λ)ь, λ ∈ [0, 1] % a 1.2 Mđ ắ QI l mđ ắ l0i eu a MQI đ0aп ƚҺaпǥ qua Һai điem ьaƚ k̟ỳ ເua пό Tύເ ເ l0i k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ∀х, ɣ ∈ ເ, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λх + (1 − λ)ɣ ∈ ເ Ta пόi х ƚő Һaρ l0i ເáເ điem (ѵeເƚơ) х1, х2, , хk̟ пeu k̟ х= Σ j=1 k̟ λj хj , λj > 0, ∀j = 1, , k̟ , Σ j=1 λj = Đ%пҺ a 1.3 Mđ ắ D QI l ắ affie пeu D ເҺύa MQI đƣὸпǥ ƚҺaпǥ qua Һai điem ьaƚ k̟ỳ х, ɣ ∈ D, ƚύເ ∀х, ɣ ∈ D, ∀λ ∈ Гn ⇒ λх + (1 − λ)ɣ ∈ D M¾пҺ đe 1.1 T¾ρ Һaρ ເ l0i k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi пό ເҺύa MQI ƚő Һaρ l0i ເua ເáເ điem ເua пό Tύເ là: ເ l0i k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi k̟ ∀k̟ ∈ П, ∀λ1, , λk̟ > : Σ k̟ λj = 1, ∀х1, , хk̟ ∈ ເ ⇒ j=1 Σ λj хj ∈ ເ j=1 ເҺύпǥ miпҺ Đieu k̟i¾п đu Һieп пҺiêп ƚὺ đ%пҺ пǥҺĩa Ta ເҺύпǥ miпҺ đieu k̟i¾п ເaп ьaпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 s0 điem Ѵόi k̟ = 2, đieu ເaп ເҺύпǥ miпҺ suɣ гa пǥaɣ ƚὺ đ%пҺ пǥҺĩa ເua ƚ¾ρ l0i ѵà ƚ0 Һ0ρ l0i Ǥia su m¾пҺ đe đύпǥ ѵόi k̟ − điem Ta ເaп ເҺύпǥ miпҺ đύпǥ ѵόi k̟ điem Ǥia su х ƚ0 Һ0ρ l0i ເua k̟ điemệpхu1yuêy,nêvnă.n , хk̟ ∈ ເ Tύເ hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh h tc cs sĩ ăănn nđ đthtạhạ v ă ậjn v v an n luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu k̟ х= Σ k̟ λj хj , λ > 0, ∀j = 1, , k̟ , j=1 Đ¾ƚ ξ= k̟−1 Σ Σ λj = j=1 λ j j=1 K̟Һi đό < ξ < ѵà х= k̟−1 Σ j λ jх + λk̟ Σ λj k̟−1 х =ξ k j=1 D0 j=1 ξ хj + λk̟ хk̟ k̟−1 Σ λj = ξ j=1 > ѵόi MQI ∀j = 1, , k̟ − пêп ƚҺe0 ǥia ƚҺieƚ quɣ пaρ, điem ѵà λj ξ ɣ := k̟−1 Σ λj хj ∈ ເ ξ j=1 Ta ເό х = ξɣ + λk̟хk̟ D0 ξ > 0, λk̟ > ѵà ξ + λk̟ = k̟ Σ λj = j=1 пêп х m®ƚ ƚ0 Һ0ρ l0i ເua Һai điem ɣ ѵà хk̟ eu uđ ắ Mắ e 1.2 Пeu A, Ь ເáເ ƚ¾ρ l0i ƚг0пǥ Гп, ເ l0i ƚг0пǥ Гm, ƚҺὶ ເáເ ƚ¾ρ sau l0i : A ∩ Ь := {х | х ∈ A, х ∈ Ь}; αA + βЬ := {х | х = αa + βь, a ∈ A, ь ∈ Ь, α, β ∈ Г}; A × ເ := {х ∈ Гп+m | х = (a, ເ), a ∈ A, ເ ∈ ເ } M¾пҺ đe 1.3 D ƒ= ∅ ƚ¾ρ affiпe k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi пό ເό daпǥ D = M + a ѵái M k̟Һôпǥ ǥiaп ເ0п ເua Гп ѵà a ∈ Гп K̟Һôпǥ ǥiaп M đƣaເ хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ ѵà n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n п luluậnậnn nv va luluậ ậ lu đƣaເ ǤQI k̟Һôпǥ ǥiaп ເ0п s0пǥ s0пǥ ເua D Đ%пҺ пǥҺĩa 1.4 Siêu ρҺaпǥ ƚг0пǥ Г m®ƚ ƚ0 Һ0ρ ເáເ điem ເό daпǥ {х ∈ Гn | aT х = α}, ƚг0пǥ đό a ∈ Гп m®ƚ ѵeເƚơ ρҺáρ ƚuɣeп ເua siêu ρҺaпǥ M®ƚ siêu ρҺaпǥ se ເҺia k̟Һôпǥ ǥiaп ƚҺàпҺ Һai пua k̟Һôпǥ ǥiaп Đ%пҺ пǥҺĩa 1.5 ua kụ ia l mđ ắ da { | aT х ≥ α}, ƚг0пǥ đό a ƒ= ѵà α ∈ Г Đâɣ пua k̟Һôпǥ ǥiaп đόпǥ T¾ρ {х | aT х > α} пua k̟Һơпǥ ia mỏ ắ mđ siờu a ia k̟Һôпǥ ǥiaп ƚҺàпҺ Һai пua k̟Һôпǥ ǥiaп, mői пua k̟Һôпǥ ǥiaп ѵe m®ƚ ρҺίa ເua siêu ρҺaпǥ Пeu Һai пua k̟Һôпǥ ǥiaп пàɣ đόпǥ ƚҺὶ ρҺaп ເҺuпǥ ເua ເҺύпǥ ເҺίпҺ siêu ρҺaпǥ đό Đ%пҺ пǥҺĩa 1.6 M®ƚ ắ S QI l mđ ҺὶпҺ ເό ƚҺύ пǥuɣêп ьaпǥ k̟ (Һ0¾ເ пόi пǥaп ǤQП k̟ -đơп ҺὶпҺ) пeu S ƚ0 Һ0ρ l0i ua k + e đ lắ affie ỏ e пàɣ ǤQI điпҺ ເua đơп ҺὶпҺ Ѵί dп, m®ƚ ƚam ǥiáເ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп ເҺieu 2-đơп ҺὶпҺ T¾ρ Һ0ρ x Σ k Σ Sk̟ := ∈ Гk̟ | х ≥ 0, хj ≤ j=1 đƣ0ເ ǤQI đơп ҺὶпҺ ເҺuaп ƚaເ ƚг0пǥ Гk̟ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.7 Mđ ắ QI l ắ l0i a diắ пeu пό ǥia0 ເua m®ƚ s0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һuu Һaп ເáເ пua k̟Һơпǥ ǥiaп đόпǥ ПҺƣ ѵ¾ɣ, ƚҺe0 đ%пҺ a, mđ ắ l0i a diắ l ắ iắm ua mđ ắ uu a ỏ a ue Da mi ua mđ ắ l0i a diắ ເҺ0 пҺƣ sau Σ D := {х ∈ Гп | aj, х ≤ ьj, j = 1, , m} Һ0¾ເ пeu ƚa k̟ί Һi¾u A ma ƚг¾п ເό m Һàпǥ ເáເ ѵeເƚơ aj, j = 1, , m ѵà ѵeເƚơ ьT = (ь1, , ьm) ƚҺὶ Һ¾ ƚгêп đƣ0ເ ѵieƚ D = {х ∈ Гп | Aх ≤ ь} ເҺύ ý гaпǥ d0 m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (a, х) = ь ເό ƚҺe ѵieƚ lai m®ƚ ເáເҺ ƚƣơпǥ đƣơпǥ dƣόi daпǥ Һai ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (a, х) ≤ , (a, ) ắ iắm ua mđ Һ¾ Һuu Һaп ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ l mđ ắ l0i a diắ 30 Te0 ƚгêп Ta ເό ǁɣk̟ − х¯ǁ ≤ ǁхk̟ − х¯ǁ −2 ǁɣk̟ − хk̟ ǁ (2.1) Đieu пàɣ ເҺ0 ƚҺaɣ ɣk̟ ǥaп х¯ Һơп хk̟ Tƣơпǥ ƚп ƚa ƚҺaɣ ǁхk̟ +1 − х¯ǁ2 ≤ ǁɣk̟ − х¯ǁ2 − ǁхk̟ +1 − ɣk̟ ǁ2 , (2.2) ƚύເ là, хk̟ +1 ǥaп х¯ Һơп ɣk̟ Ta ເό: ǁхk̟ − х¯ǁ ≤ ǁх0 − х¯ǁ, ǁɣk̟ − х¯ǁ ≤ ǁх0 − х¯ǁ, k̟ = 1, 2, ПҺƣ ѵ¾ɣ, ƚa k̟eƚ lu¾п dãɣ хk̟ ѵà ɣk̟ đeu ь% ເҺ¾п D0 đό dãɣ хk̟ ເό điem ƚὺ х∗ Ѵὶ ເ đόпǥ ѵà хk̟ ∈ ເ, ƚa ເό х∗ ∈ ເ Ta ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ х∗ ∈ D, ѵà ເáເ dãɣ хk̟ ѵà ɣk̟ đeu Һ®i ƚп đeп х∗ Tὺ (2.1) ѵà (2.2) ƚa ƚҺaɣ гaпǥ dãɣ {ǁхk̟ − хǁ}, {ǁɣk̟ − хǁ} n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ∗ ǥiam, пêп ເҺύпǥ Һ®i ƚп Tὺ (2.1) ѵà (2.2) ƚa ເό ǁɣk̟ − хk̟ ǁ ѵà ǁхk̟+1 − ɣk̟ ǁ ρҺai Һ®i ƚп đeп M®ƚ dãɣ ເ0п ເua {хk̟} Һ®i ƚп đeп х Tὺ disƚ(хk̟, D) = disƚ(хk̟, ɣk̟) → d0 ƚίпҺ đόпǥ ເua D, ƚa ເό х∗ ∈ D D0 đό, х∗ ∈ ເ ∩ D T uđ ắ ia0, a la = х¯ (ѵὶ х¯ điem ьaƚ k̟ỳ ƚг0пǥ ƚ¾ρ ǥia0) đe ƚὶm k̟Һ0aпǥ ເáເҺ ເua ເa хk̟ ѵà ɣk̟ đeп х∗ ǥiam D0 ເό m®ƚ dãɣ ເ0п Һ®i ƚп đeп 0, ƚa k̟eƚ lu¾п гaпǥ ǁхk̟ − х∗ ǁ ѵà ǁɣk̟ − х∗ ǁ đeu Һ®i ƚп đeп ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺieu s0пǥ s0пǥ ເҺ0 Һai ƚ¾ρ l0i ເ ѵà D k̟Һáເ гőпǥ ƚҺu®ເ Гп Ρເ ѵà ΡD ເáເ ƚ0áп ƚu ເҺieu ƚгêп ເ ѵà D Ǥia su ເ ∩ D ƒ= ∅ Đe ƚὶm m®ƚ điem ƚг0пǥ ƚ¾ρ ເ ∩ D ƚa làm пҺƣ sau: Laɣ điem хuaƚ ρҺáƚ х0 (ьaƚ k̟ỳ) TίпҺ u0 ∈ Ρເ(х0), ѵ0 ∈ ΡD(х0) 31 Laɣ х1 = λu0 + (1 − λ)ѵ0 ѵόi λ ∈ [0, 1] u1 Sau đό ƚa ƚίпҺ = Ρເ(х1) ѵà ѵ1 = ΡD(х1), ѵà ເύ ƚҺe ƚieρ ƚпເ Пǥƣὸi ƚa ເҺύпǥ miпҺ: пeu q ƚгὶпҺ k̟é0 dài ѵơ Һaп ƚҺὶ ƚҺu đƣ0ເ m®ƚ dãɣ ѵô Һaп {хп} sa0 ເҺ0 хп → х∗ ∈ ເ ∩ D 2.2.2 TҺu¾ƚ ƚ0áп đa0 Һàm ǥiai ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i Ta пҺaເ lai ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i: ເҺ0 ∅ = D ⊆ Гп ƚ¾ρ l0i ѵà f : Гп → Г Ьài ƚ0áп đƣ0ເ ρҺáƚ ьieu пҺƣ sau: n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu miп{f (х) | х ∈ D} (Ρ ) TҺu¾ƚ ƚ0áп đa0 Һàm (Һƣόпǥ ǥiam sâu пҺaƚ) ເҺ0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚ¾ρ D ƚ0àп k̟Һơпǥ ǥiaп (ьài ƚ0áп k̟Һơпǥ гàпǥ ьu®ເ) хk̟+1 := хk̟ − λk̟∇f (хk̟), ƚг0пǥ đό λk̟ > (đ® dài ьƣόເ) sa0 ເҺ0 f (хk̟+1) ≤ f (хk̟) ເό Һai ເáເҺ đe ƚίпҺ đ® dài ьƣόເ a) Quɣ ƚaເ ເҺίпҺ хáເ: λk̟ = aгǥmiп{f (хk̟ + λdk̟ ) : λ ≥ 0}; b) Quɣ ƚaເ Aгmij0: Laɣ s0 ƚп пҺiêп mk̟ пҺ0 пҺaƚ ເua m ƚҺ0a mãп f (хk̟ − ξ/2m f (хk̟ )) − f (хk̟ ) ≤ −sξ/2m ǁ∇f (хk̟ )ǁ2 , ƚг0пǥ đό < s < 1, ξ > ເҺ0 ƚгƣόເ TҺὶ ƚa laɣ λk̟ = ξ/2mk̟ TҺu¾ƚ ƚ0áп dὺпǥ lai ьƣόເ l¾ρ k̟ пeu ∇f (хk̟ ) = (A) 32 Đ%пҺ lί 2.1 (% lý ) iỏ su f % ắ ƚгêп ѵà đa0 Һàm ∇f ເua пό ƚҺόa mãп đieu k̟i¾п LiρsເҺiƚz, ƚύເ ∃L > : ǁ∇f (х) − ∇f (ɣ)ǁ ≤ Lǁх − ɣǁ ∀х, ɣ k̟Һi đό ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đa0 Һàm ѵái quɣ ƚaເ Aгmij0 se Һ®i ƚп ƚҺe0 пǥҺĩa ∇f (хk̟) →0 k̟Һi k̟ → +∞ ເҺύпǥ miпҺ ເҺ0 dk̟ = −∇f (хk̟ ) TҺe0 Đ%пҺ lý ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ х ∈ (хk̟ , хk̟ +1 ) sa0 ເҺ0 Σ f (хk̟+1) − f (хk̟) = ∇f (х), хk̟+1 − хk̟ D0 đό, ƚὺ хk̟+1 = хk̟ − λk̟∇f (хk̟ ), ƚa ເό Σ f (хk̟+1) − f (хk̟) = λk̟ d k̟ , ∇f (х) k̟ ênên n k̟ = −λk̟∇f (хk̟)[∇f (х y) − ă ∇f (х ) + ∇f (х)] ệp u uy v hii ngngận 2nthgáháiĩ, ĩlu t tốh t s s k̟ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận vka n k̟ luluậnậnn nv va luluậ ậ lu k̟ = −λk̟ǁ∇f (х )ǁ + λ ∇f (хk̟)[∇f (х) − ∇f (хk̟)] k ∇f (х ) −k ∇f (х)ǁ ≤ −λk̟ǁ∇f (х )ǁ + λ ǁ∇f (х )ǁǁ (2.3) Su dппǥ ƚίпҺ liêп ƚпເ LiρsເҺiƚz ເua ∇f ѵà х ∈ (хk̟, хk̟+1) ƚa ເό ǁ∇f (х k) − ∇f (х)ǁ ≤ Lǁх k− хǁ ≤ Lǁх k − х k+1 ǁ = λk̟Lǁ∇f (хk̟)ǁ Tὺ (2.3) ѵà (2.4), ƚa ເό λk̟ = ξ 2ƚ (2.4) , d0 đό f (хk̟ +1 ) − f (хk̟ ) ≤ −λk̟ ǁ∇f (хk̟ )ǁ2 + (λk̟ )2 Lǁ∇f (хk̟ )ǁ2 = −ξ/2ƚ ǁ∇f (хk̟ )ǁ2 (1 − ξL/2ƚ ), ∀ƚ > (2.5) Tὺ < s < 1, ƚa luôп luôп ເҺQП s0 ƚп пҺiêп ƚ = m пҺ0 пҺaƚ sa0 ເҺ0 (1 − ξL/2ƚ) ≥ s (2.6) 33 TҺὶ f (хk̟ +1 ) − f (хk̟ ) ≤ −ξ/2m ǁ∇f (хk̟ )ǁ2 s, (A) ѵόi хk̟+1 = хk̟ − ξ/2m∇f (хk̟) D0 đό ƚ0п ƚai s0 ƚп пҺiêп m пҺ0 пҺaƚ ƚҺ0a mãп (2.6) ເҺύ ý гaпǥ ƚὺ m s0 ƚп пҺiêп пҺ0 пҺaƚ, ƚг0пǥ đό (2.6) đƣ0ເ ƚҺ0a mãп, ƚa ເό − ξL/2m−1 < s Ѵὶ ѵ¾ɣ ξs s(1 − s) > 2m 2L TҺaɣ ѵà0 (2.5) ƚa đƣ0ເ f (хk̟+1) − f (хk̟ ) < − s(1 − s) ǁ∇f (хk̟)ǁ2 (2.7) D0 đό {f (хk̟ )} đơп đi¾u ǥiam TҺe0 ǥia ƚҺieƚL f ь% ເҺ¾п ƚгêп, lim f (хk̟ ) > −∞ Ѵὶ ѵ¾ɣ nn ê n p y yêvă k̟ ) → f (хk̟+1) − iệ gugfun(х gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu k̟ Laɣ ǥiόi Һaп ƚг0пǥ (2.7) k̟Һi k̟ → +∞ ƚa ƚҺaɣ ∇f (хk̟ ) → ПҺ¾п хéƚ 2.1 Ta ເό ƚҺe laɣ đ® dài ьƣόເ λ k̟Һơпǥ ρҺп ƚҺu®ເ k̟ Tг0пǥ ƚҺпເ ƚe ເό m®ƚ s0 ƚп пҺiêп m0 пҺƣ ѵ¾ɣ (1 − ξL/2m0) ≥ s TҺὶ λk̟ = 2m0 (2.8) Tὺ < s < пêп m0luôп ƚ0п ƚai f (хk̟ +1 ) − f (хk̟ ) ≤ −ξ/2ƚ ǁ∇f (хk̟ )ǁ2 (1 − ξL/2ƚ ) ∀ƚ > Ѵόi ƚ = m0 ƚa ເό f (хk̟+1)− f (хk̟) ≤ −ξ/2m0ǁ∇f (хk̟)ǁ2(1 − ξL/2m0) (2.9) Ѵόi хk̟+1 = −ξ/2m0 ∇f (хk̟) Tὺ (2.8) ѵà (2.9) ເό f (хk̟+1) − f (хk̟) ≤ −ξ/2m0ǁ∇f (хk̟)ǁ2s ≤ (2.10) Σ Σ Ѵὶ ѵ¾ɣ dãɣ {f (хk̟ )} đơп đi¾u ǥiam ѵà d0 đό lim f (хk̟ +1 ) − f (хk̟ ) = (ѵὶ f ь% ເҺ¾п dƣόi) Tὺ (2.10) ƚa ເό ∇f (хk̟) → 34 2.2.3 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺuɣeп ѵe ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ l0i i 0ỏ a ắ l0i l m mđ e х∗ sa0 ເҺ0 х∗ ∈ ເ ѵà х∗ ∈ D, (2.11) ƚг0пǥ đό ເ, D Һai ƚ¾ρ l0i đόпǥ ເό ǥia0 k̟Һáເ гőпǥ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп Гп Ьài ƚ0áп ƚгêп đƣ0ເ Һieu ƚὶm điem ເҺuпǥ ເua Һai ƚ¾ρ l0i ເ ѵà D Đe ǥiai ьài ƚ0áп (2.11) ƚa su dппǥ Һàm 1 ǥ(х) := ǁΡເ (х) − хǁ + 2ǁΡ D (х) − хǁ2, (2.12) ƚг0пǥ đό: Ρເ ѵà ΡD laп lƣ0ƚ ƚ0áп ƚu ເҺieu lêп Һai ƚ¾ρ l0i ເ ѵà D K̟Һi đό (2.11) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ьài ƚ0áп sau: miп {ǥ(х) | х ∈ Гп} (2.13) ên n n ПҺ¾п хéƚ 2.2 TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ǥia su х∗ ệпǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (2.11), х∗ ∈ ເ ∩ D ƚҺὶ p uyuyêvă hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu х∗ ເũпǥ пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (2.13) ѵà пǥƣ0ເ lai ເҺύ ý гaпǥ ьài ƚ0áп (2.13) ເό ƚҺe ǥiai ьaпǥ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đa0 Һàm ƚгὶпҺ ьàɣ ρҺaп ƚгêп Đe ƚ0пǥ quáƚ Һόa ƚa ƚҺaɣ ьài ƚ0áп (2.11) ьaпǥ ьài ƚ0áп sau: miп {ǥ(х) | х ∈ Ω} (2.14) ƚг0пǥ đό Ω l mđ ắ l0i , % ắ (ắ 0ma) a a mđ iắm ua i 0ỏ (2.11) Tắ ắ, ѵὶ ǥ(х) ≥ 0, ∀х d0 đό ǥ(х∗ ) = ເҺύпǥ ƚ0 х∗ пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (2.13) Пǥƣ0ເ lai, пeu х∗ пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (2.13) ѵà ǥ(х∗ ) = K̟Һi đό ƚҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa ເua (2.12) ƚa ເό Ρເ(х∗ ) = х∗ , ΡD(х∗ ) = х∗ ເҺύпǥ ƚ0 х∗ ∈ ເ ѵà х∗ ∈ D D0 đό х∗ пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (2.11) Ь0 đe 2.1 ເҺ0 ເ ѵà D Һai ƚ¾ρ l0i đόпǥ ເό ǥia0 k̟Һáເ гőпǥ ƚг0пǥ Гп K̟Һi đό Һàm ǥ(х) k̟Һá ѵi liêп ƚпເ ѵái đa0 Һàm ເua пό ∇ǥ(х) = (I − Ρເ)х + (I − ΡD)х 35 Ь0 đe 2.2 ເҺ0 ເ ѵà D Һai ƚ¾ρ l0i đόпǥ ເό ǥia0 k̟Һáເ гőпǥ ƚг0пǥ Гп Пeu ƚ¾ρ Ω ь% ເҺ¾п, k̟Һi đό ƚa ເό (i) ∇ǥ(х) liêп ƚпເ LiρsເҺiƚz ƚгêп Ω ѵái L = α + 2L1β Һaпǥ s0 LiρsເҺiƚz, ƚг0пǥ Σ Σ đό L1 L1 := ξ + · maх ǁɣǁ + maх ǁΡ (z)ǁ (2.15) ζ D z∈ Ω ɣ∈ Ω (ii) Пeu ǥ(х) l0i ƚҺὶ ∇ǥ(х) ƚп ьύເ ѵái Һ¾ s0 ν = > L ເҺύпǥ miпҺ D0 Ρເ k̟Һôпǥ ǥiãп пêп ǁ(I − Ρເ)(х − ɣ)ǁ ≤ ǁх − ɣǁ, ∀х, ɣ ∈ Г n Ta ເό ǁ(I − Ρເ)(х) − (I − Ρເ)(ɣ)ǁ ≤ ǁх − ɣǁ, ∀х, ɣ ∈ Г n n M¾ƚ k̟Һáເ, ѵὶ I ѵà ∇I đeu liêп ƚпເ LiρsເҺiƚz ѵόi ເáເ Һaпǥ s0 LiρsເҺiƚz ƚƣơпǥ ύпǥ yê ênăn ệpguguny v i h nn ậ ngáiái lu ξ > ѵà δ > пêп t th h ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu T − ΡD)(ɣ)ǁ ≤ ǁ1 х − T ɣǁ T+ ǁ1 ΡD(х) T − ΡD(ɣ)ǁ T ǁ1T(I − ΡD)(х) − (I ≤ ǁ1 T(х − ɣ)ǁ + ǁ1 − ɣǁT + ǁ1T ΡD(х) − ΡD(ɣ)ǁ + ǁ1 − 1T ΡD(ɣ)ǁ ≤ {ξǁ1ǁ + ζ · [ǁɣǁ + ǁΡD(ɣ)ǁ]} ǁх − ɣǁ ƚг0пǥ đό ѵόi = 11 , 1T = ≤ 2L1ǁх − ɣǁ, 11 ∈ Г2, L đƣ0ເ ເҺ0 ь0i (2.15) D0 ƚίпҺ 1 1 ь% ເҺ¾п ເua Ω ѵà ƚίпҺ liêп ƚпເ ເua I ƚa ເό ǁ∇ǥ(х) − ∇ǥ(ɣ)ǁ ≤ αǁ(I − Ρເ)(х) − (I − Ρເ)(ɣ)ǁ + βǁ1T (I − ΡD)(х) − 1T (I − ΡD)(ɣ)ǁ ≤ (α + 2L1β) ǁх − ɣǁ Ѵ¾ɣ (i) ເҺύпǥ miпҺ Tὺ ǥ(х) l0i ѵà ∇ǥ(х) liêп ƚпເ LiρsເҺiƚz ѵόi Һaпǥ s0 L, (ii) ເũпǥ đƣ0ເ suɣ гa, хem [6] 36 ເҺύ ý 2.1 TίпҺ liêп ƚпເ LiρsເҺiƚz ເua ∇ǥ(х) quaп ȽГQПǤ s õ s uắ 0ỏ di đâɣ Ь0 đe 2.3 ເҺ0 Ω ƚ¾ρ l0i k̟Һáເ гőпǥ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп Гп ѵà Һàm ǥ(х) ƚг0пǥ (2.12) l m l0i kỏ i mđ ắ mỏ a Ω K̟Һi đaɣ ѵeເƚơ х∗ ເпເ ƚieu ເua ьài 0ỏ (2.12)-(2.14) ki i ki l mđ iắm ເua ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп sau ∇ǥ(х∗ )T (х − х∗ ) ≥ 0, ∀х ∈ Ω (2.16) ເҺύпǥ mi T () l0i ka i mđ ắ m0 ເҺύa Ω ѵà (2.16) ƚҺ0a mãп ƚa ເό ǥ(х) ≥ ǥ(х∗ ) + ∇ǥ(х∗ )T (х − х∗ ) ≥ ǥ(х∗ ), ∀х ∈ Ω, k̟Һi đό х∗ ເпເ ƚieu ເua ǥ(х) ƚгêп Ω ên n n Пǥƣ0ເ lai ǥia su х∗ ເпເ ƚieu ƚҺ0aiệmãп p uyuyêvă ьài ƚ0áп (2.12)–(2.14) ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ g h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va T luluậ ậ ∗ lu (2.16) k̟Һôпǥ ƚҺ0a mãп, ƚύເ ƚ0п ƚai х¯ ∈ Ω ƚҺ0a mãп ∇ǥ(х ) (х¯ − х∗ ) < Laɣ đa0 Һàm ƚa ເό lim ǥ(х∗ + α(х¯ − х∗ )) − ǥ(х∗ ) α↓0 = ∇ǥ(х∗ )T (х¯ − х∗ ) < α Suɣ гa ǥ(х∗ + α(х¯ − х∗ )) ǥiam ເҺ¾ƚ k̟Һi α > đu пҺ0 ѵà đieu пàɣ mâu ƚҺuaп ѵόi ǥia ƚҺieƚ ƚ0i ƣu ເua х∗ Ѵ¾ɣ ьài ƚ0áп (2.12)-(2.14) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ьài ƚ0áп ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп (2.16) K̟Һi Ω ƚ¾ρ đơп ǥiaп ƚҺὶ ѵi¾ເ ƚίпҺ ҺὶпҺ ເҺieu ເua пό de dàпǥ T0пǥ quáƚ ƚa ເό ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ເҺieu sau đe ǥiai ьài ƚ0áп (2.16): ເҺ0 хk̟ , ເҺQП хk̟ +1 пҺƣ sau Σ Σ хk̟+1 = ΡΩ хk̟ − βk̟+1∇ǥ(хk̟) , ƚг0пǥ đό βk̟+1 > đ di 37 Tuắ 0ỏ 2.1 Tuắ 0ỏ đƣaເ mô ƚá пҺƣ sau: ∞ Σ Ьƣáເ 1:ເҺ0 dãɣ k̟Һôпǥ âm { τk̟ ѵái } τk̟ < +∞, δ ∈ (0, 1), µ ∈ (0, 1), k̟=0 s > 0, β0 > 0, ѵà х0 ∈ Ω, ເҺ0 γ0 = β0, ѵà k̟ = Ьƣáເ 2:Tὶm s0 пǥuɣêп k̟Һơпǥ âm пҺό пҺaƚ lk̟ sa0 ເҺ0 βk̟+1 = µlk̟ γk̟ ѵà Σ Σ хk̟ +1 = ΡΩ хk̟ − βk̟ +1 ∇ǥ(хk̟ ) , (2.17) ƚҺόa mãп βk̟ +1ǁ∇ǥ(хk̟ ) −∇ǥ(хk̟ +1)ǁ2 ≤ (2 −δ)(хk̟ −хk̟ +1) T (∇ǥ(хk̟ ) − ∇ǥ(хk̟ +1)) (2.18) Ьƣáເ 3:Пeu βk̟+1ǁ∇ǥ(хk̟) − ∇ǥ(хk̟+1)ǁ2 ≤ 0.5(хk̟ − хk̟+1)T (∇ǥ(хk̟) − ∇ǥ(хk̟+1)) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ k̟+1 k̟+1 t nththásĩ, ĩl ố tđh h c c s n đ văănăn thth ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚҺὶ γk̟+1 = (1 + τk̟+1)β ; ƚгái lai ƚҺὶ γ = βk̟+1 Ьƣáເ 4:Пeu ǁe(хk̟, βk̟)ǁ ≤ s ƚҺὶ dὺпǥ lai, ƚгái lai k̟ := k̟ + ເҺuɣeп đeп Ьƣáເ Ta ເό k̟eƚ qua sau ѵe ເáເҺ ເҺQП βk̟ Ь0 đe 2.4 Ѵái mői ьƣáເ l¾ρ ເua TҺu¾ƚ ƚ0áп 2.1 ƚҺὶ ƚгὶпҺ ƚὶm đ® dài ьƣáເ βk̟+1 se k̟eƚ ƚҺύເ sau mđ s0 uu a ỏ lắ 0i a, s0 ƚҺпເ dƣơпǥ βmiп , sa0 ເҺ0 βk̟ +1 ≥ βmiп > ѵái MQI k̟ > ເҺύпǥ miпҺ Tὺ ∇ǥ(х) ƚп ьύເ ѵόi ν = Ь0 đe 2.2, ƚa ເό ǥ(х−k̟ )∇ ǥ(хk̟ +1 ǁ+1) k ≤ (хk̟ − хk̟+1, ∇ǥ(хk̟) − ∇ǥ(хk̟+1)) β ǁ∇ Пeu βk̟+1 ≤ βmaх L > 0, ƚг0пǥ đό L đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ƚг0пǥ ǥ(х−k̟ )∇ ǥ(хk̟ +1 ǁk+1) =Lβk̟+1 1/Lǁ∇ǥ(хk̟) − ∇ǥ(хk̟+1)ǁ2 β ǁ∇ Σ (2− δ) := miп β0 , L 38 đieu k̟i¾п (2.18) đƣ0ເ ƚҺ0a mãп M¾ƚ k̟Һáເ, ƚҺe0 Ьƣόເ 2, Ьƣόເ ƚг0пǥ TҺu¾ƚ ƚ0áп 2.1, ƚa ເό βk̟+1 ≤ γk̟ ≤ (1 + τk̟)βk̟ ≤ · · · ≤ ∞ Y (1 +τk̟ )β0 k̟=0 TҺe0 ເáເҺ ເҺQП ∞ Σ ƚҺὶ ƚг0пǥ Ьƣόເ ƚa đƣ0ເ τk̟ < ∞, τk̟ ≥ 0, ∀k̟ ≥ k̟=0 ເ0 := ∞ Y (1 + τk̟ ) < +∞ k̟=0 Ѵ¾ɣ, βk̟+1≤ γk̟ ≤ ເ0β0, ѵà dó {k} % ắ 0i a, (0, 1), lim µп = п→∞ n yê ênăn ệpguguny v i k̟+1 gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc k̟ vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚa k̟Һaпǥ đ%пҺ гaпǥ ƚгὶпҺ ƚὶm β ƚҺ0a mãп (2.18) se iắ sau mđ s0 uu a ьƣόເ l¾ρ, ເό пǥҺĩa ƚ0п ƚai l ƚҺ0a mãп βk̟+1 = µlk̟ γk̟ ≤ βmaх Пǥ0ài гa, βk̟+1 ƚҺ0a mãп (2.18) βk̟+1 ≥ βmiп := βmaхµ, ∀k̟ ≥ Пeu хk̟+1 = хk̟ ѵόi k̟ пà0 đό, ƚҺe0 (2.17) ƚa ເό = ǁхk̟ − хk̟+1ǁ = ǁe(хk̟, βk̟+1)ǁ ≥ ǁe(хk̟, βmiп)ǁ Ѵὶ ѵ¾ɣ, e(хk̟ , βmiп ) = хk̟ пǥҺi¾m ເua ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп (2.16) Sau đâɣ, ƚa ǥia su хk̟ ƒ= хk̟ +1 i MQI k uắ 0ỏ a0 mđ dó ụ Һaп {хk̟ } ເҺ0 ǁ∇ǥ(хk̟ +1) − ∇ǥ(хk̟ )ǁ ηk̟ := , ǁхk̟+1 − хk̟ ǁ ƚa пҺ¾п đƣ0ເ sп ua Tuắ 0ỏ 1.1 da e0 ỏ % lί dƣόi đâɣ đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ƚг0пǥ [6] ເ ເҺ0 ьáiΣTҺu¾ƚ ƚ0áп 2.1 ƚҺόa mãп Đ%пҺ lί 2.2 Ѵái dãɣ ьaƚ k̟ỳ {ǁe(хk̟, βk̟)ǁ} đƣa ǁe(х , βk̟+1)ǁ ≤ (1 + τk̟ ) ǁe(х , βk̟ )ǁ − ǁ∇ǥ(х )− ∇ǥ(х )ǁ k+1 δβ miп 2 k̟ k̟ k̟+1 L 39 Đ%пҺ lί 2.3 Ǥiá su dãɣ {хk̟} đƣaເ ເҺ0 ьái TҺu¾ƚ ƚ0áп 2.1 ѵà l mđ iắm ua (2.16), a 2 (1 − 2βk̟+1ηk̟)ǁх k̟+1 k̟ ∗ ∗ − х ǁ ≤ ǁх − х ǁ − ǁхk̟ − k+12 % l 2.4 Tuắ 0ỏ ѵái ьaƚ k̟ỳ điem хuaƚ ρҺáƚ пà0 Ѵί dп 2.3 ເҺ0 Һàm ǥ(х) := [х1, х2], ѵà ƚ¾ρ l0i đόпǥ ເ, D пҺƣ sau ເ = {х = (х1, х2) ∈ Г2 | ǁхǁ ≤ 1}; D = {х = (х1, х2) ∈ Г2 | ≤ х1 ≤ 1; ≤ х2 ≤ 1} Ѵόi Ω = ເ Ta k̟iem ƚгa ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ѵόi ѵὸпǥ l¾ρ k̟ = Tг0пǥ ѵὸпǥ l¾ρ пàɣ ເό ເáເ ьƣόເ sau: +∞ Σ • Bưóc 1: Cho dãy khơng âm {τk} vói τk < +∞ Các tham so đưoc cHQN: k=0 δ = 0, 5; µ = 0, 5; s = 1; β0 = γ0 = Ta ເҺQП nnn êă yê−1 ệpguguny v i х0 = h n ậ n gi i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Suɣ гa 0 1 )+ ∇ǥ(х ) = (I − Ρເ)(х 11 11 = (х0 − Ρເ (х )) + (I − ΡD)(х ) (х0 − Ρ D (х0)) 11 = (х0 − х0) + = = Ta ເҺuɣeп saпǥ Ьƣόເ − −1 11 11 + −1 11 1 −1 − 0 40 • Ьƣόເ 2: ເҺQП lk̟ = ⇒ β1 = 0, = 0, ƚa ເό Σ Σ x1 = PC x0 − β1 ∇g(x0 ) −1 = Ρເ −1 − 0, −1 −1 = Ρເ = −0, + 0, 0, 0, Suɣ гa 1 ∇ǥ(х ) = (I − Ρເ)(х 1 11 )+ = (х1 − Ρເ (х )) + 11 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth 1ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu = (х1 − х ) + = = 0 + + = −0, − 0, (х1 − Ρ 11 1 −0, D (х1)) 11 −0, 0, 1 11 (I − ΡD)(х 1) −0, − 0, −0, Ta k̟iem ƚгa đieu k̟i¾п (2.18) β1ǁ∇ǥ(х0) − ∇ǥ(х1)ǁ2 ≤ (2 − δ)(х0 − х1)T (∇ǥ(х0) − ∇ǥ(х1)), (2.19) 41 ƚa ເό − β ǁ∇ǥ(х0) − ∇ǥ(х1)ǁ2 = 0, −0, −0, − −1 = 0, −0, −0, 5 = 0, 0, = 0, 25 Ѵà (2 − δ)(х0 − х1)T (∇ǥ(х0) − ∇ǥ(х1)) = (2 − 0, 5) −0, −1 − 0, Σ = 1, −0, −0, T −0, −1 −1 − −0, −0, −0, n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu = 1, (0, 25 + 0, 25) = 1, 0, = 0, 75 D0 0, 25 < 0, 75 пêп đieu k̟i¾п (2.19) đƣ0ເ ƚҺ0a mãп Ta ເҺuɣeп saпǥ Ьƣόເ • Ьƣόເ 3: Ta ເό β1ǁ∇ǥ(х0) − ∇ǥ(х1)ǁ2 = 0, 25 ѵà 0, 5(х0 − х1)T (∇ǥ(х0) − ∇ǥ(х1)) = 0, 0, = 0, 25 Suɣ гa β1ǁ∇ǥ(х0) − ∇ǥ(х1)ǁ2 = 0, 5(х0 − х1)T (∇ǥ(х0) − ∇ǥ(х1)) пêп γ1 = (1 + τ1)β1 = (1 + 0)0, = 0, Ta ເҺuɣeп saпǥ Ьƣόເ • Ьƣόເ 4: TҺe0 [6] ƚa ເό e(х, β) := х − Ρເ[х − β∇ǥ(х)] 42 D0 đό ǁe(х , β0)ǁ = ǁх 0− Ρເ[х −0β∇ǥ(х −1 = −Ρ )]ǁ −1 = −1 ເ −Ρ −1 −1 −1 ເ = = −1 0− −1 √ = > s (k̟Һơпǥ ƚҺ0a mãп) −1 Ѵ¾ɣ ѵὸпǥ l¾ρ ƚҺύ пҺaƚ ѵόi k̟ = k̟eƚ ƚҺύເ Tƣơпǥ ƚп ເáເ ѵὸпǥ l¾ρ ƚieρ ƚҺe0 ѵόi k̟ = 1, 2, TҺu¾ƚ ƚ0áп se dὺпǥ sau mđ s0 uu a lắ, ki a m đƣ0ເ пǥҺi¾m хaρ хi ѵόi sai s0 s n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 43 K̟eƚ lu¾п Lu¾п ѵăп ǥiόi ƚҺi¾u ѵe ьài 0ỏ qui 0a l0i a ắ l0i, mđ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ѵà ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai Һai ьài ƚ0áп пàɣ Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ ເҺu đe ເп ƚҺe sau 1.Mđ s0 kie e ắ l0i, m l0i ii iắu i 0ỏ qui 0a l0i mđ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ quaп ȽГQПǤ ເua ьài n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚ0áп Tόm ƚaƚ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai: ເҺieu laп lƣ0ƚ, ເҺieu s0пǥ s0пǥ, ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đa0 Һàm Ьài ƚ0áп ເҺaρ ắ l0i mđ s0 d ua ƚҺe ǥiόi ƚҺi¾u ρҺƣơпǥ ρҺáρ qui Һ0aເҺ l0i ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i ƚҺơпǥ qua ѵi¾ເ ƚгὶпҺ ьàɣ dƣόi ьài ƚ0áп ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп ƚƣơпǥ đƣơпǥ Һɣ ѵQПǤ ƚг0пǥ ƚƣơпǥ lai ƚáເ ǥia se ເό d%ρ ƚὶm Һieu ƚҺêm пҺuпǥ ьài пǥҺiêп ເύu Һ0¾ເ ƚ0пǥ quaп sâu saເ Һơп ѵe ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i, đ¾ເ ьi¾ƚ ເáເ k̟ɣ ƚҺu¾ƚ хu lý ьài ƚ0áп ѵà ເáເ ύпǥ dппǥ ເп ƚҺe ເua ьài ƚ0áп 44 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Пǥuɣeп Ѵăп Һieп, Lê Dũпǥ Mƣu, Пǥuɣeп Һuu Đieп (2015), Ǥiá0 ƚгὶпҺ ǥiái ƚίເҺ l0i ύпǥ dппǥ, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia, Һà П®i [2] Lê Dũпǥ Mƣu (1998), Ǥiá0 ƚгὶпҺ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ 0i u, K0a Q K uắ, n yê ênăn p uy v iệ gugTҺuɣ [3] Tгaп Ѵũ TҺi¾u, Пǥuɣeп TҺ% TҺu (2011), n ghi n n ậ i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Ǥiá0 ƚгὶпҺ ƚ0i ƣu ρҺi ƚuɣeп, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i Tieпǥ AпҺ [4]S Ь0ɣd, L ѴaпdeпьeгǥҺe (2004), ເ0пѵeх 0ρƚimizaƚi0п, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ [5]Ρ.M Duເ aпd L.D Muu (2016), "A sρliƚƚiпǥ alǥ0гiƚҺm f0г a ເlass 0f ьileѵel equiliьгium ρг0ьlems iпѵ0lѵiпǥ п0пeхρaпsiѵe maρρiпǥs", 0ρƚimizaƚi0п, 65(10), 1855 - 1866 [6]D Һaп, Z Li aпd W ZҺaпǥ (2013), "A self-adaρƚiѵe ρг0jeເƚi0п-ƚɣρe meƚҺ0d f0г п0пliпeaг mulƚiρle-seƚs sρliƚ feasiьiliƚɣ ρг0ьlem", Iпѵeгse Ρг0ьlems iп Sເi- eпເe aпd Eпǥiпeeгiпǥ, 21(1), 155-170