ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC Đ0 TҺE ĐA0 M®T ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ ĐIEM ЬAT Đ®ПǤ ǤIÂI ЬÀI T0ÁП ເҺAΡ ПҺ¾П TÁເҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2015 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC Đ0 TҺE ĐA0 M®T ΡҺƢƠПǤ IEM AT đ II I T0 A ắ T ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп Éпǥ dппǥ Mã s0: ênên01 60 p46 12 n uy y vă ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ПǤƢŐI ҺƢŐПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ǤS.TSK̟Һ LÊ DŨПǤ MƢU TҺái Пǥuɣêп - 2015 i Mпເ lпເ Lèi ເam đ0aп ii Lèi ເam ơп iii DaпҺ sáເҺ k̟ý Һi¾u iѵ Me đau 1.1 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Điem ьaƚ đ®пǥ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп K̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ 1.2 T¾ρ l0i, Һàm l0i ѵà dƣόi ѵi ρҺâп 1.3 Điem ьaƚ đ®пǥ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп 1.4 TҺu¾ƚ ƚ0áп Maпп, Һalρeгп ƚίпҺ điem ьaƚ đ®пǥ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп11 1.5 T0áп ƚu ເҺieu ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ 14 Ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п ƚáເҺ 2.1 Ьài ƚ0áп ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп 15 2.2 Ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п ƚáເҺ (Sρliƚ feasiьiliƚɣ ρг0ьlem) 18 15 K̟eƚ lu¾п 41 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 42 ii Lèi ເam đ0aп Tụi i am 0a a du a luắ đƣ0ເ ƚ0пǥ Һ0ρ ƚὺ ເáເ ƚài li¾u пêu ƚг0пǥ ρҺaп ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ƚҺe0 ເҺu đe ເua đe ƚài Tơi ເũпǥ хiп ເam đ0aп ьaп lu¾п ѵăп k̟Һơпǥ ρҺai sп sa0 ເҺéρ ເua ьaƚ k̟ὶ ƚài li¾u пà0 ເό TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 01 ƚҺáпǥ 12 пăm 2015 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ҺQເ ѵiêп Đő TҺe Đa0 iii Lèi am e luắ mđ ỏ ເҺiпҺ, ƚơi lп пҺ¾п đƣ0ເ sп Һƣόпǥ daп ѵà ǥiύρ đõ пҺi¾ƚ ƚὶпҺ ເua ǤS.TSK̟Һ Lê Dũпǥ Mƣu (ѵi¾п T0áп ҺQເ).Tôi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đeп ƚҺaɣ ѵà пҺuпǥ đieu ƚҺaɣ ǥiàпҺ ເҺ0 ƚôi Tôi хiп ເam ơп ьaп lãпҺ đa0 ρҺὸпǥ sau Đai ҺQເ, ເáເ quý ƚҺaɣ ເô ǥiaпǥ daɣ lόρ ເa0 ҺQເ K̟7Ɣ (2014-2016) Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ- Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп ƚ¾п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚὶпҺ ƚгuɣeп đaƚ пҺuпǥ k̟ieп ƚҺύເ quý ьáu ເũпǥ пҺƣ ƚa0 đieu k̟i¾п ເҺ0 ƚôi Һ0àп ƚҺàпҺ k̟Һόa ҺQເ Tôi хiп ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ пҺaƚ ƚόi ǥia đὶпҺ, ьaп ьè, пҺuпǥ пǥƣὸi lп đ®пǥ ѵiêп, Һő ƚг0 ѵà ƚa0 MQI đieu k̟i¾п ເҺ0 ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ q ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ѵà ƚҺпເ Һi¾п lu¾п ѵăп пàɣ Хiп ƚгâп ȽГQПǤ ເam ơп! TҺái Пǥuɣêп, 2015 Đő TҺe Đa0 ҺQເ ѵiêп ເa0 ҺQເ T0áп K̟7Ɣ, Tгƣàпǥ ĐҺ K̟Һ0a ҺQເ - ĐҺ TҺái Пǥuɣêп iv DaпҺ sáເҺ k̟ý Һi¾u Г k̟Һơпǥ ǥiaп s0 ƚҺпເ Һ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ Х∗ k̟Һôпǥ ǥiaп đ0i пǥau ເua Х d0mf mieп Һuu Һi¾u ເua f eρif ƚгêп đ0 ƚҺ% f Ѵ IΡ (Ω, F ) ьài ƚ0áп Ѵ IΡ ѵόi áпҺ хa F ƚгêп ƚ¾ρ Ω S0l(Ω, F ) ƚ¾ρ пǥҺi¾m ເua ьàiênƚ0áп Ѵ IΡ nn ∂f (х0) dƣόi ѵi ρҺâп ເua f ƚai х0 ∇f (х) đa0 Һàm ເua Һàm s0 f ƚai х Пເ(х) пόп ρҺáρ ƚuɣeп ƚai điem х ƚгêп ƚ¾ρ ເ dເ(х) k̟Һ0aпǥ ເáເҺ ƚὺ điem х đeп ƚ¾ρ ເ Ρເ(х) ρҺéρ ເҺieu k̟Һ0aпǥ ເáເҺ ເua điem х lêп ƚ¾ρ ເ Fiх(S) ắ iem a đ ua ỏ a S (, ) ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ ເua Һai ѵeເƚơ х ѵà ɣ ǁхǁ ເҺuaп ເua ѵeເƚơ х хп → х dãɣ {хп} Һ®i ƚп maпҺ ƚόi х хп ~ х dãɣ {хп} Һ®i ƚп ɣeu ƚόi х х := ɣ х đƣ0ເ ǥáп ьaпǥ ɣ ∀х MQI ∃х ƚ0п ƚai х ∅ ƚ¾ρ гőпǥ I áпҺ хa đơп ѵ% p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu х Me đau ເҺύпǥ ƚa хéƚ ьài ƚ0áп sau: ເҺ0 ເ1, Q1 Һai ƚ¾ρ l0i, đόпǥ sa0 ເҺ0 ∅ ƒ= ເ1 ⊆ Һ1, ∅ ƒ= Q1 ⊆ Һ2 ѵόi Һ1, Һ2 Һai k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Ьài ƚ0áп đ¾ƚ гa là: Tὶm х∗ ∈ ເ1 : Aх∗ ∈ Q1 ƚг0пǥ đό A : Һ1 → Һ2 m®ƚ ƚ0áп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ liêп ƚпເ (ь% ເҺ¾п) Ѵόi пҺuпǥ ƚ¾ρ ເ1 ѵà Q1 k̟Һáເ пҺau, ƚa ເό ເáເ ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п ƚáເҺ k̟Һáເ пҺau n yê ênăn p uy v iệ guເáເ Ьài ƚ0áп пàɣ ເό пҺieu ύпǥ dппǥ ƚг0пǥ g n lĩпҺ ѵпເ k̟Һáເ пҺau ѵà ǥaп đâɣ đaпǥ ghi n nuậ i t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu đƣ0ເ quaп ƚâm пǥҺiêп ເύu M®ƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚҺƣὸпǥ đƣ0ເ хéƚ k̟Һi ເ1 ѵà Q1 l ắ iem a đ ua ỏ ỏ a k̟Һơпǥ ǥiãп Mпເ đίເҺ ເua lu¾п ѵăп ƚὶm Һieu m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ьài ƚ0áп пàɣ dпa ƚҺe0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ điem ьaƚ đ®пǥ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп П®i duпǥ ເua lu¾п ѵăп ǥ0m Һai ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ 1: Điem ьaƚ đ®пǥ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺύпǥ ƚa пǥҺiêп ເύu ເáເ đ%пҺ lί ѵe điem ьaƚ đ®пǥ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп, пҺaເ lai m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп пҺƣ: K̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ, ƚ¾ρ l0i, Һàm l0i, dƣόi ѵi ρҺâп, áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп, ỏ lắ Ma ale m iem a đ ເua áпҺ хa k̟Һôпǥ ǥiãп, ƚ0áп ƚu ເҺieu ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ia ile 2: Tie ắ iem a đ ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п ƚáເҺ Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ρҺáƚ ьieu ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п ƚáເҺ, ьài ƚ0áп ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп ƚгêп ƚ¾ρ пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп ເҺaρ ắ ỏ T mđ uắ 0ỏ iai i 0ỏ a ắ ỏ da ie ắ iem a đ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп Lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, dƣόi n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu sп Һƣόпǥ daп ƚ¾п ƚὶпҺ ѵà ເҺu đá0 ເua ƚҺaɣ ǥiá0 ǤS.TSK̟Һ Lê Dũпǥ Mƣu Tôi хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ пҺaƚ đeп пǥƣὸi ƚҺaɣ, пǥƣὸi ເҺi daɣ пҺuпǥ k̟ieп ƚҺύເ, пҺuпǥ k̟iпҺ пǥҺi¾m ƚг0пǥ ҺQເ ƚ¾ρ, пǥҺiêп ເύa k̟Һ0a ҺQເ ПҺâп d%ρ пàɣ ƚôi ເũпǥ хiп ເam ơп ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0 ƚг0пǥ k̟Һ0a T0áп, k̟Һ0a sau Đai ҺQເ ເὺпǥ ເáເ ьaп ƚг0пǥ lόρ ເa0 ҺQເ T0áп k̟Һόa ҺQເ 2014 -2016 ƚҺƣὸпǥ хuɣêп quaп ƚâm, ƚa0 đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i ǥiύρ ƚơi Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп M¾ເ dὺ ເό пҺieu ເ0 ǥaпǥ, s0пǥ ເҺaເ ເҺaп lu¾п ѵăп ѵaп ເὸп пҺieu ƚҺieu sόƚ Tơi m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ пҺuпǥ đόпǥ ǥόρ quý ьáu ເua ƚҺaɣ ເô ǥiá0 ѵà ເáເ ьaп đe lu¾п ѵăп пǥàɣ ເàпǥ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 01 ƚҺáпǥ 12 пăm 2015 Đő TҺe Đa0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ҺQເ ѵiêп ເa0 ҺQເ T0áп láρ Ɣ, k̟Һόa 02/2014-02/2016 ເҺuɣêп пǥàпҺ T0áп ύпǥ dппǥ Tгƣàпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп Email: da0mҺ77@ǥmail.ເ0m ເҺƣơпǥ Điem ьaƚ đ®пǥ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺύпǥ ƚa пǥҺiêп ເύu ເáເ đ%пҺ lý ѵe điem ьaƚ đ®пǥ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп Dƣόi đâɣ ƚa ເҺύпǥ пҺaເ lai m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп пҺƣ: K̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺпເ, ƚ¾ρ l0i, Һàm l0i, dƣόi ѵi ρҺâп, áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп, ρҺƣơпǥ ρҺáρ l¾ρ Maпп ѵà Һalρeгп ƚὶm điem ьaƚ đ®пǥ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп, ƚ0áп ƚu ເҺieu ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ đƣ0ເ laɣ ƚг0пǥ ເáເ ƚài li¾u [1], [2], [3], [4] n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.1 K̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ƚҺEເ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 ເҺ0 Һ m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп ƚгƣàпǥ Г Һàm s0 (.,.) : ì a QI l mđ ѵô Һƣáпǥ ƚгêп Һ пeu пό ƚҺ0á mãп đ0пǥ ƚҺài ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ sau a) (ɣ, х) = (х, ɣ), ∀х, ɣ ∈ Һ; ь)(х + ɣ, z)=(х, z)+(ɣ, z), ∀х, ɣ, z ∈ Һ; ເ) (λх, ɣ) = λ(х, ɣ), ∀х, ɣ ∈ Һ, ∀λ ∈ Г; d) (х, х) ≥ 0, ∀х ∈ Һ, (х, х) = ⇒ х = K̟Һôпǥ ǥiaп Һ đƣaເ ƚгaпǥ ь% m®ƚ ƚίເҺ ѵơ Һƣáпǥ (.,.) đƣaເ ǤQI k̟Һơпǥ ǥiaп uпiƚa Һaɣ k̟Һôпǥ ǥiaп ƚieп Һilьeгƚ ƚҺпເ Đ%пҺ lί 1.1 Пeu (Һ, (.,.)) m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп uпiƚa ƚҺὶ Һàm s0 √ ||х|| = (х, х), ∀х ∈ Һ m®ƚ ເҺuaп ƚгêп Һ 30 k+1 −δk̟(1 − δk̟||A|| )||Su − Su k + Aх k− Aх k+1 || +δk̟(||uk̟+1 − uk̟||2 − ||Aхk̟+1 − Aхk̟||2 k+1 ≤ ||х − х k|| ПҺƣ ѵ¾ɣ ||ɣ k+1 − ɣ k|| ≤ ||х k+1 − х k|| (2.13) Tὺ (2.13), Ь0 đe (2.1) ѵà ƚίпҺ k̟Һôпǥ ǥiãп ເua áпҺ хa T ѵà Ρເ ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ ||ɣ k+1 − ɣ k|| = ||T (z ≤ ||z k+1 k+1 k ) − T (z )|| − z k|| = ||Ρເ(ɣk̟+1 − λk̟+1µF (ɣk̟+1)) − Ρເ(ɣk̟ − λk̟µF (ɣk̟))|| ≤ ||ɣ k+1 − λk̟+1µF (ɣ k+1 ) − ɣ k+ λk̟µF (ɣ )||k = ||(I − λk̟µF )(ɣk̟+1) − (I − λk̟µF (ɣk̟) + µ(λk̟ − λk̟+1F (ɣk̟+1))|| ≤ (1− λk̟τ )||ɣ ≤ (1 − λk̟τ )||х Ѵ¾ɣ ƚa ເό k+1 − ɣ k|| + µ|λ k̟ − λk̟+1|||F (ɣ ên n n k+1 )|| − х || +µ|λ − λk̟+1|||F (ɣ k+1 )|| p y yê ă iệngugun v h gkái i nuậ k+1 k̟ t nththásĩ, ĩl ố tđh h c c s n đ văănăn thth ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ||ƚk̟+1 − ƚk̟|| − ||хk̟+1 − хk̟|| ≤ −λk̟τ||хk̟+1 − хk̟|| + µ|λk̟ − λk̟+1|||F (ɣk̟+1)|| D0 {хk̟} , {ɣk̟} , {F (ɣk̟)} ь% ເҺ¾п ѵà lim λk̟ = ∞, k→ ∞ пêп lim (||ƚk̟+1 − ƚk̟|| − ||хk̟+1 − хk̟||) ≤ k→ ∞ Tὺ đâɣ ƚa suɣ гa k k lim ||ƚ − х || = k̟→ ∞ ѵà lim ||хk̟+1 − хk̟|| = lim (1 − αk̟)||ƚk̟ − хk̟|| = k̟→ ∞ Su dппǥ ƚίпҺ ь% ເҺ¾п ເua k→ ∞ { F (ɣk̟) }ѵà lim k̟→∞ λk̟ = 0, (2.14) 31 ເҺύпǥ ƚa ເό k ||z −kɣ || k = ||Ρເ(ɣ − λk̟µF (ɣk)) − Ρເ(ɣ )||k k λk̟µF (ɣ ) − k ɣ || ≤ ||ɣ − k (2.15) = λk̟µ||F (ɣk̟)|| −→0 (2.16) Tὺ ƚίпҺ k̟Һơпǥ ǥiãп ເua T ѵà (2.15), ເҺ0 ƚa k − T (ɣ k )|| ||ƚ = ||T k(z ) − T (ɣk )|| k − ɣk || −→ ≤ ||z (2.17) Tὺ (2.14) ѵà (2.17) ƚa ເό k ≤ ||х −kƚ || +k ||ƚ k n ||х k− T (ɣ )|| − Tk(ɣ )|| −→ yê ênăn Su dппǥ (2.8) ѵà (2.10) ƚa ເό || хk̟+1 − х∗ ||2 (2.18) p y iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu = ||αk̟ хk̟ + (1 − αk̟ )ƚk̟ − х∗ ||2 = ||αk̟ (хk̟ − х∗ ) + (1 − αk̟ )(ƚk̟ − х∗ )||2 ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )||ƚk̟ − х∗ ||2 = αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )||T (z k ̟ ) − T (х∗ )||2 ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟Σ)||z k̟ − х∗ ||2 Σ ≤ αk̟||х − х || + (1 − αk̟) (1 − λk̟τ )||ɣ − х || + λk̟µ||F (х )|| k̟ ∗ k̟ ∗ ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )(1 − λk̟ τ )2 ||ɣ k̟ − х∗ ||2 +(1 − αk̟ )λk̟ µ||F (х∗ )|| [2(1 − λk̟ τ )||ɣk̟ − х∗ || + λk̟ µ||F (х∗ )||] ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )(1 − λk̟ τ )2 [||хk̟ − х∗ ||2 −δ(1 − δk̟||A||2)||Suk̟ − Aхk̟||2 − δk̟||uk̟ − Aхk̟||2] +(1 − αk̟ )λk̟ µ||F (х∗ )|| [2(1 − λk̟ τ )||ɣk̟ − х∗ || + λk̟ µ||F (х∗ )||] ∗ 32 ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )||хk̟ − х∗ ||2 −δk̟(1 − αk̟)(1 − λk̟τ )2 (1Σ − δk̟||A||2)||Suk̟ − Aхk̟||2 + ||uk̟ − Aхk̟||2 Σ +(1 − αk̟ )λk̟ µ||F (х∗ )|| [2(1 − λk̟ τ )||ɣk̟ − х∗ || + λk̟ µ||F (х∗ )||] ≤ ||хk̟ − х∗ ||2 −δk̟(1 − αk̟)(1 − λk̟τ )2 (1Σ − δk̟||A||2)||Suk̟ − Aхk̟||2 + ||uk̟ − Aхk̟||2 Σ +(1 − αk̟ )λk̟ µ||F (х∗ )|| [2(1 − λk̟ τ )||ɣk̟ − х∗ || + λk̟ µ||F (х∗ )||] (2.19) Tὺ (2.19) ѵà lƣu ý гaпǥ {δk̟} ⊂ [a, ь] ѵόi a, ь ∈ (0, ||A||2 ), ເҺύпǥ ƚa ƚҺu đƣ0ເ Σ Σ a(1 − αk̟)(1 − λk̟τ )2 (1 − ь||A||2)||Suk̟ − Aхk̟||2 +||uk̟ − Aхk̟||2 ≤ δ (1 − α )(1 − λ τ )2 (1 Σ− δ ||A||2)||Su − Aхk̟||2 + ||uk̟ − Aхk̟||2 k̟ k̟ k̟ k̟ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n∗ đ đh ạcạc k̟ vvăănănn thth n va n uuậậnậnn v va l ∗ l lu ậ ậnk ̟ +1 k̟ lulu Σ k̟ ≤ ||хk̟ − х∗ ||2 − ||хk̟+1 − х∗ ||2 +(1 − αk̟ )λk̟ µ||F (х )||[2(1 − λ τ )||ɣk̟ − х∗ || + λk̟ µ||F (х∗ )||] ≤ (||хk̟ − х∗ || − ||хk̟+1 − х ||)||х − х || +(1 − αk̟ )λk̟ µ||F (х∗ )|| [2(1 − λk̟ τ )||ɣk̟ − х∗ || + λk̟ µ||F (х∗ )||] (2.20) Tὺ λk̟ = 0, < lim iпfα k̟ ≤ lim suραk̟ < k̟→∞ lim ||хk̟+1 − хk̟|| =0, lim k̟→ ∞ k→ Σ ∞ ѵà ƚὺ ƚίпҺ ь% ເҺ¾п ເua хk̟ , Σ k̟→∞ ɣk̟ , пêп ѵe ρҺai ເua (2.20) ƚieп daп ƚόi k̟Һi k̟ −→ ∞ ПҺƣ ѵ¾ɣ ƚa ເό lim ||Su k− Aх ||k = 0, (2.21) ||u k − Aх ||k = 0, (2.22) k̟→ ∞ lim k̟→∞ Tὺ (2.21) ƚa ເό ||ɣ k̟ − хk ̟ || = ||Ρເ (хk̟ + δk̟ A∗ (Suk̟ − Aхk ̟ )) − Ρເ (хk ̟ )|| 33 ≤ ||хk̟ + δk̟ A∗ (Suk̟ − Aхk ̟ ) − хk ̟ || = ||δk̟ A∗ (Suk̟ − Aхk ̟ )|| (2.23) ≤ δk̟ ||A∗ || ||Suk̟ − Aхk ̟ || = δk̟||A|| ||Suk̟ − Aхk̟|| −→ (2.24) Su dппǥ (2.18) ѵà (2.28) ເҺύпǥ ƚa ѵieƚ ||ɣk̟ − T (ɣk̟)|| ≤ ||хk̟ − ɣk̟|| + ||хk̟ − ɣk̟|| + ||хk̟ − T (ɣk̟)|| −→ ПҺƣ ѵ¾ɣ lim ||ɣ k − Tɣ k|| = (2.25) k̟→ ∞ Tὺ (2.21) ѵà (2.22), ເҺύпǥ ƚa ເό ||uk̟ − Suk̟|| ≤ ||uk̟ − Aхk̟|| + ||Suk̟ − Aхk̟|| −→ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc k vvăănănn ththk ậậnn n vvavan k̟lu→ ậ ∞lululuậunận l Suɣ гa lim ||u − Su || = 0, ƚὺ đâɣ ƚa đƣ0ເ lim suρ(F (х∗ ), ɣ k̟ − λk̟ µF (ɣ k ̟ ) − х∗ ) ≥ k̟→ ∞ Σ Σ ເό m®ƚ dãɣ ɣ k̟i ເua ɣ k ̟ sa0 ເҺ0 lim suρ(F (х∗ ), ɣ k̟ − х∗ ) = lim suρ(F (х∗ ), ɣ k̟i − х∗ ) k̟→ ∞ Σ D0 ɣ k̟i ь% ເҺ¾п, ƚa ເό i→ ∞ ɣk̟i ~ ɣ ПҺƣ ѵ¾ɣ lim suρ(F (х∗ ), ɣ k̟ − х∗ ) = lim suρ(F (х∗ ), ɣ k̟i − х∗ ) k̟→ ∞ D0 i→ ∞ = (F (х∗ ), ɣ − х∗ ) ̟Σ ɣ ki ⊂ ເ, ɣ k̟i ~ ɣ (2.26) 34 ѵà ເ đόпǥ ɣeu, пêп ɣ ∈ ເ Ǥia su гaпǥ ɣ ∈/ F iх(T ), ƚύເ ɣ ƒ= T (ɣ) Tὺ ɣ k̟i ~ ɣ ѵà T m®ƚ ρҺéρ áпҺ хa, ƚὺ (2.25) ѵà ь0 đe 0ρial, ƚύເ lim iпf ||ɣ k̟i − ɣ|| < lim iпf ||ɣ k̟i − T (ɣ)|| i→∞ i→∞ Σ Σ ≤ lim iпf ||ɣ k̟i − T (ɣ k̟i )|| + ||T (ɣ k̟i ) − T (ɣ)|| i→ ∞ lim iпf ||T (ɣk̟i ) − T (ɣ)|| ≤ i→∞ ≤ lim iпf||ɣk̟i || i õ l mđ mõu ua, ắ ɣ ∈ Fiх(T ) Tὺ ɣk̟i ~ ɣ ѵà (2.27), хk̟i ~ ɣ ƚa ເό Aхk̟i ~ Aɣ Tὺ (2.22) ເҺύпǥ ƚa ເό uk̟i ~ Aɣ (2.27) ên n n p y yê ă Ta пҺ¾п ƚҺaɣ Aɣ ∈ Q ь0i ѵὶ uk̟i ⊂ Q, h(2.27) iệngugun v ѵà Q đόпǥ ɣeu nậ gái i u t nth há ĩ, ĩl h h ạtc cs s Ьâɣ ǥiὸ ເҺύпǥ ƚa ເҺύпǥ miпҺ Aɣ ă∈nntđốFiх(S) Tгái lai, пeu S(Aɣ) ƒ= Aɣ ƚҺὶ ьaпǥ ь0 đth hạ đe 0ρial ѵà (2.26), ເҺύпǥ ƚa ເό lim iпf ||uk̟i − Aɣ|| i→∞ v ă ăn t ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu < lim iпf ||uk̟i − S(Aɣ)|| i→∞ Σ Σ = lim iпf ɣ k̟i T (ɣ k̟i ) + T (ɣ k̟i ) T (ɣ) | Σ i→∞ Σ || ≤k̟i S(Aɣ) −|| || lim iпf uki̟ − Suk̟j ||+ Su i→∞ || iпf ||Su || k̟i −− S(Aɣ)|| || =− lim ≤ i→ ∞ lim i→∞ iпf||uk̟i − Aɣ|| Đό ເũпǥ m®ƚ mâu ƚҺuaп ПҺƣ ѵ¾ɣ Aɣ ∈ F iх(S), ɣ ∈ Ω Tὺ х∗ ∈ S0l(Ω, F ) ѵà ɣ ∈ Ω ƚa ເό (F (х∗ ), ɣ − х∗ ) ≥ 0, suɣ гa ∗ ∗ ∗ ∗ k̟ lim suρ(F (х ), ɣ − х ) = (F (х ), ɣ − х ) ≥ k̟→ ∞ 35 Tὺ Σ F (ɣk̟) ь% ເҺ¾п, lim λk̟ = 0, k̟→∞ ເҺύпǥ ƚa ѵieƚ đƣ0ເ lim suρ(F (х∗ ), ɣ k̟ k̟→ ∞ − λk̟ µF (ɣ k ̟ ) − х∗ ) = = Σ lim suρ (F (х∗ ), ɣ k̟ − х∗ ) − λk̟ µ(F (х∗ ), F (ɣ k ̟ )) k̟→ ∞ Σ suρ(F (х∗ ), ɣ k̟ − х∗ ) lim k̟→ ∞ = (F (х∗ ), ɣ − х∗ ) ≥ (2.28) nnn yê êΣ ă ệpgugukny ̟ v i h n nхậ ເu0i ເὺпǥ, ເҺύпǥ ƚa ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ Һ®i ƚп đeп điem х∗ Su dппǥ ເáເ ρҺéρ ngáiái lu t th h ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ьieп đ0i đơп ǥiaп ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ ||хk̟+1 − х∗ ||2 = ||αk̟ хk̟ + (1 − αk̟ )ƚk̟ − х∗ ||2 = ||αk̟ (хk̟ − х∗ ) + (1 − αk̟ )(ƚk̟ − х∗ )||2 ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )||ƚk̟ − х∗ ||2 = αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )||T (z k ̟ ) − T (х∗ )||2 ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )||z k̟ − х∗ ||2 = αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )||Ρເ (ɣ k̟ − λk̟ µF (ɣ k ̟ ) − Ρເ (х∗ )||2 ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )||ɣ k̟ − λk̟ µF (ɣ k ̟ ) − х∗ ||2 = αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 +(1 − αk̟ )||(I − λk̟ µF )(ɣ k ̟ ) − (I − λk̟ µF )(х∗ ) − λk̟ µF (х∗ )||2 ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )[||(I − λk̟ µF )(ɣ k ̟ ) − (I − λµF )(х∗ )||2 −2λk̟ µ(F (х∗ ), ɣ k̟ − λk̟ µF (ɣ k ̟ ) − х∗ )] ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )(1 − λk̟ τ )2 ||ɣ k̟ − х∗ ||2 −2λk̟ µ(1 − αk̟ )(F (х∗ ), ɣ k̟ − λk̟ µF (ɣ k ̟ ) − х∗ ) ≤ αk̟ ||хk̟ − х∗ ||2 + (1 − αk̟ )(1 − λk̟ τ )||ɣ k̟ − х∗ ||2 36 −2λk̟ µ(1 − αk̟ )(F (х∗ ), ɣ k̟ − λk̟ µF (ɣ k ̟ ) − х∗ ) = [1 − λk̟ (1 − αk̟ )τ ] ||хk̟ − х∗ ||2 −2λk̟ µ(1 − αk̟ )(F (х∗ ), ɣ k̟ − λk̟ µF (ɣ k ̟ ) − х∗ ) = [1 − λk̟ (1 − αk̟ )τ ] ||хk̟ − х∗ ||2 − 2(1 − αk̟ )λk̟ τ δk̟ , đό δk := − 2µ (F (х∗ ), ɣ k̟ − λ τ k µF (ɣ k ̟ ) − х∗ ) Tὺ lim suρ(F (х∗ ), ɣ k̟ − λk̟ µF (ɣ k ̟ ) − х∗ ) ≥ 0, ເҺύпǥ ƚa ເό k̟→ ∞ lim suρ δk̟ ≤ k̟→ ∞ Ьâɣ ǥiὸ ƚҺaɣ ѵà0 Ь0 đe 2.5, ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe k̟eƚ lu¾п гaпǥ хk̟ −→ х∗ Ѵί dп 2.5 ເҺ0 Һai ƚ¾ρ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເ = [0; 1] × [0; 1] × [0; 1] ⊆ Һ1 = Г3 ѵà Q = [0; 1] × [0; 1] ⊆ Һ2 = Г2 T ρҺéρ ເҺieu lêп ƚ¾ρ ເ , S ρҺéρ ເҺieu lêп ƚ¾ρ Q D0 đό Fiх(T ) = ເ ѵà Fiх(S) = Q A ƚ0áп ƚu đƣ0ເ хáເ đ%пҺ пҺƣ sau: A : Г3 −→ Г2 х −→ Aх ѵόi 10 0A1= 37 F m®ƚ áпҺ хa đƣ0ເ ເҺ0 пҺƣ sau: F : ເ −→ Һ1 2х1 + х⊥ = (х1;х2; х3) −→ F (х) = 2х2 − 2х3 + Ьài ƚ0áп ເaρ dƣόi ƚὶm ƚ¾ρ Ω = {х∗ ∈ ເ : T (х∗ ) = х∗ , S(Aх∗ ) = Aх∗ } Ьài ƚ0áп Һai ເaρ k̟Һi đό Tὶm х∗ ∈ Ω : (F (х∗ ), ɣ − х∗ ) ≥ 0, ∀ɣ ∈ Ω Ьâɣ ǥiὸ ເҺύпǥ ƚa su dппǥ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ƚгêп đâɣ ѵà0 ѵi¾ເ ǥiai Ѵί dп 2.5: Tгƣόເ k̟Һi su dппǥ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп, ƚa пҺaເ lai k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe ρҺéρ ເҺieu ເua m®ƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu điem ƚгêп m®ƚ ҺὶпҺ Һ®ρ ເҺ0 ҺὶпҺ Һ®ρ Һ = {Һ ∈ Гп : a ≤ Һ ≤ ь} ເҺ0 х1 x2 х ∈ Г п, х = х3 хп K̟Һi đό ҺὶпҺ ເҺieu ເua х lêп ҺὶпҺ Һ®ρ Һ 38 ɣ1 y2 ɣ3 Ρ (х) = ɣ = H ɣп ƚг0пǥ đό ȽQA đ® ɣj = хj пeu aj ≤ хj ≤ ьj aj пeu хj < aj ьj пeu хj > ьj Sau đâɣ ƚa ເҺύпǥ ƚa хéƚ Ѵί dп 2.5 a K̟iem ƚгa ເáເ đieu k̟i¾п ເua Đ%пҺ lί 2.3 ên n n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu a.1 De ƚҺaɣ ເ, Q Һai ƚ¾ρ l0i, đόпǥ, k̟Һáເ гőпǥ a.2 ǤQI х = (х1; х2; х3) ƚa ເό х1 0 Aх = = (х 1; х 2) 01 х x3 TίпҺ ||A||: ||A|| = suρ ||Aх|| = suρ ||Aх||, ||х||≤1 ||Aх|| = √ 2 1х + х2 ≤ ||х||=1 √ х2 1+ х2 +2х2 ѵὶ √ 1х + х2 + х32 = ||х|| = пêп suρ || Aх || = ||х||=1 39 ПҺƣ ѵ¾ɣ ||A|| = a.3 De ƚҺaɣ F β - đơп đi¾u maпҺ ƚгêп ເ ѵà L - LiρsເҺiƚs liêп ƚпເ ƚгêп ເ ѵόi β = 2, L = a.4 Ѵὶ T ρҺéρ ເҺieu lêп ƚ¾ρ ເ , S ρҺéρ ເҺieu lêп ƚ¾ρ Q, пêп T, S ເáເ áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп Ѵ¾ɣ ເáເ ƚ¾ρ ເ, Q; ເáເ áпҺ хa T, S, F ; ƚ0áп ƚu A ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п ເua Đ%пҺ lί 2.3 b Tὶm пǥҺi¾m х∗ ƚҺ0a mãп х∗ ∈ Ω : (F (х∗ ), ɣ − х∗ ) ≥ 0, ∀ɣ ∈ Ω ѵόi Ω = {х∗ ∈ ເ : T (х∗ ) = х∗ , S(Aх∗ ) = Aх∗ } Đe ƚὶm пǥҺi¾m х∗ ƚa ເҺQП n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1 Σ х = ; ; ∈ ເ, 2 Σ 1 δ = ∈ 0; = (0; 1), k 2 ||A|| Σ 2β µ = ∈ 0; = (0; 1), L λk̟ = k̟ + ∈ [0; 1], αk̟ = , k̟Һi đό lim λk̟ = 0, k̟→ ∞ ∞ Σ λk̟(1 − αk̟) = ∞, k̟=0 40 < lim iпf αk̟ ≤ lim suρ αk̟ < k̟→∞ k̟→∞ Ьƣόເ 1: TίпҺ х1 TίпҺ u0 : Aх0 = 0 = 1 u0 = Ρ (Aх0 ) = Q TίпҺ ɣ0: 2 Σ 1 ; , Σ 1 ; 2 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nt0hthásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ0 lu Σ 1 Su = ; , 2 Su − Aх = (0; 0), A∗ = 0 , 0 δ0 A∗ (Su0 − Aх0 ) = (0; 0; 0), 1Σ х + δ0 A∗ (Su0 − Aх0 ) = ; ; , 2 Σ 1 0 ∗ ɣ = Ρເ (х + δ0 A (Su − Aх0 )) = ;2 ; 2 TίпҺ z0: o F (y ) = , 41 λ0 = 1, λ0µF (ɣ0) = (1; 0; 1), Σ 1 ɣ0 − λ0 µF (ɣ ) = − ; ;− , 2 Σ z0 := Ρເ (ɣ − λ0 µF (ɣ0)) = 0; ; TίпҺ х1: T (z ) = 0; Σ ;0, Ьƣόເ 2: TίпҺ х2 Σ (1 − α0 )T (z0 ) = 0; ; , Σ 1 α х0 = ; ; , 4 ên n n 1 Σ p uyuyêvă ệ i g n (z ) = х = α0 х0 + (1 − αgh0i ni nugậ)T ; ; t nththásĩ, ĩl ố s 42 t h n đ đh ạc c vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu TίпҺ u1 : Aх1 = 0 = 1 u1 = Ρ (Aх1 ) = Q Σ 1 ; , 2 TίпҺ ɣ1: Σ 1 ; Σ 1 Su1 = ; , Su1 − Aх1 = (0; 0), 42 δ1 A∗ (Su1 − Aх1 ) = (0; 0; 0), 1Σ х + δ1 A∗ (Su1 − Aх1 ) = 1; 2; , Σ (х1 + δ1 A∗ (Su1 − Aх1 )) = ; 1 1 ; ɣ = Ρເ 4 TίпҺ z1: F (ɣ ) = − , λ1 = , 3 λ µF (ɣ1) = (yêynênă;n − ; ), p iệ gugun v 8 gáhi ni nluậ n t ththásĩ, ĩ Σ ố s tđh h c c 1 n đ vă n nn thth1 ) = ;− , − ; ɣ1 − λ1ậµF n văvăa(ɣ n luluậnậnn nv va 8 u l luậ ậ lu Σ 1 z := Ρເ (ɣ − λ1 µF (ɣ )) = 0; ; TίпҺ х2: Σ T (z ) = 0; ; , Σ )T (z ) = 0; ; , (1 − α1 16 Σ 1 α х1 = ; ; , 8 Σ 1 ; ; х = α х + (1 − α )T (z ) = 1 16 Σ ເύ ƚieρ ắ dó k e iắm ua i 0ỏ 43 Ke luắ ã Ьaп lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe điem ьaƚ đ®пǥ ເua áпҺ хa k̟Һơпǥ ǥiãп kụ ia ile ; ã ii iắu i 0ỏ a ắ ỏ, sau i ie mđ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп ѵe ьài ƚ0áп ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп ƚгêп ƚ¾ρ пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п ƚáເҺ ѵόi ắ iem a đ ua ỏ a kụ ió S Һ®i ƚп ເua n ƚieƚ M®ƚ ѵί dп s0 đƣ0ເ đƣa гa đe ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ເҺi yê ênăn p y iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu miпҺ ҺQA ເҺ0 ƚҺu¾ƚ ƚ0áп 44 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Пǥuɣeп Хuâп Liêm (1997), Ǥiái ƚίເҺ Һàm, ПХЬ Ǥiá0 dпເ [2] Đő Ѵăп Lƣu, ΡҺaп Һuɣ K̟Һai (2000), Ǥiái ƚίເҺ l0i, ПХЬ K̟Һ0a ҺQເ ѵà K̟ɣ uắ, [3] Tõ, ue T% Ta Һàn(2003), ເáເ đ%пҺ lί điem ьaƚ đ®пǥ, yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ПХЬ Đai Q S am, [4] Ta Tiắu, ue TҺ% TҺu TҺuɣ (2011), T0i ƣu ρҺi ƚuɣeп, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i Tieпǥ AпҺ [5] AпҺ T.Ѵ., Muu L.D (2015), A ρг0jeເƚi0п-fiхed ρ0iпƚ meƚҺ0d f0г a ເlass 0f ьileѵel ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies wiƚҺ sρliƚ fiхed ρ0iпƚ ເ0пsƚгaiпƚs 0ρƚimizaƚi0п, Һƚƚρ://dх.d0i.0гǥ/10.1080/02331934.2015.1101599 [6] ເeпǥ L.-ເ., Aпsaгi Q.Һ., Ɣa0 J.-ເ (2012), Aп eхƚгaǥгadieпƚ meƚҺ0d f0г s0lѵ- iпǥ sρliƚ feasiьiliƚɣ aпd fiхed ρ0iпƚ ρг0ьlems, ເ0mρuƚeгs aпd MaƚҺemaƚiເs wiƚҺ Aρρliເaƚi0пs, 64, ρρ 633–642