Luận văn một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thồng

ĐạI ọ TáI UÊ Tãờ Đại ọ K0A ọ uễ Tị ọ Mộ số uê đ ổ ợ dµпҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu ọ si ó ă kiếu 0á ậ u ọ ổ ô luậ ă sỹ T0á Һäເ TҺ¸I ПǤUƔ£П - 2009 Số hóa Trung tâm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐạI ọ TáI UÊ Tãờ Đại ọ K0A ọ -*** - uễ Tị ọ Mộ số uê đ ổ ợ dà ọ si ó ă kiếu 0á n yờ ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ậ u ọ ổ ô uê à: ãơ 0á sơ ấ Mà số: 60 46 40 luậ ă sỹ T0á ọ ãời ã dẫ k0a ọ: TS uễ Đứ 0à S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn TҺ¸I ПǤUƔ£П - 2009 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời ảm Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ ậ ì iêm kắ TS uễ Đứ 0à Tôi i ỏ lò kí ọ iế sâu sắ i Tầ ia đì Tôi i â ảm a iám iệu -ờ Đại ọ K0a ọ, ò đà0 ạ0 iê ứu k0a ọ đà qua âm i đ, ạ0 điu kiệ uậ lợi ôi đ-ợ ọ ậ ố n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu T«i i â ảm Sở iá0 dụ Đà0 ạ0 Tỉ Tái uê, T-ờ Tu ọ ổ ô uê Tái uê, đặ iệ ổ T0á đà i đ ôi i ầ ậ ấ suố ì ọ ậ Mụ lụ Lời ảm Mở đầu -ơ Kiế ứ ả 1.1 Qu ắ ộ qu ắ â 1.2 0á ị ổ Һỵρ 1.3 uê lý uồ im âu (uê lý DiгiເҺleƚ) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.4 Һ0¸п ị ổ ợ ổ 11 1.5 ô ứ a0 àm l0ại ƚгõ 14 ເҺ-¬пǥ Mộ số uê đ ổ ợ dà ọ si ó ă kiếu 0á ậ u ọ ổ ô 17 2.1 uê đ 1: Qu ắ ộ qu ắ â 18 2.2 uê đ 2: 0á ị ổ ợ 23 2.3 uê đ 3: uê lý uồ im âu 29 2.4 uê ®ὸ 4: ເ¸ເ sè Гamseɣ 32 2.5 uê đ 5: số aala 38 2.6 ເҺuɣªп ®ὸ 6: ເ¸ເ sè Sƚiгliпǥ 41 2.7 uê đ 7: 0á ị ổ ợ ổ 47 2.8 uê đ 8: uê lý a0 àm l0ại 50 2.9 uê đ 9: ữ s á0 ộ ữ s sắ đặ - 54 2.10 uê đ 10: Đại l-ợ ấ iế 57 -ơ Mộ số ài ậ đ ị Tài liệu am kả0 n yờ ờnn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 60 67 Mở đầu ó ói - du ổ ợ a đời ấ sm à0 ời u, -ời a đà iế đế ì ẽ ó liê qua đế ữ ì uô ầ í Tời ổ lạ, iế ọ Ke0ka, số ế kỷ ứ - ô uê, đà iế í số ká au lậ mộ ả ữ - 0á ọ ia0 ọ ò ô đà ìm a iu số ó í ấ đặ iệ iệ ìm a đ-ợ số - ậ đòi ỏi ải ó mộ ệ uậ ổ ợ ấ đị Tu iê, ó ói ằ, lý uế ổ ợ đ-ợ n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n lulunnn nv va lulu lu ì - mộ 0á ọ mi quà ế kỷ 17 ằ mộ l0ạ ô ì iê ứu iêm 0á ọ uấ sắ - asal, Feгmaƚ, Leiьпiƚz, Euleг MỈເ dï ѵËɣ, ƚг0пǥ sƚ Һai ƚҺÕ kỷ -i, ổ ợ kô ó ò iu iệ iê ứu iê Đế a, i s ỗ ợ đắ l má í , ổ ợ đà ເҺuɣόп saпǥ lÜпҺ ѵὺເ ƚ0¸п øпǥ dơпǥ ѵίi sὺ ρҺ¸ƚ i mạ mẽ, ó iu kế ó í 0 -ời ậ ứ đ-ợ ò lý uế ổ ợ đối i đời số iệ đại Lý uế ổ ợ đà đ-ợ đ-a à0 -ơ ì ọ ổ ô iếm mộ ầ k i 0á quố ia quố ế Tu iê, - a, ài liệu iế ổ ợ -a iu D0 đó, ả luậ ă u ấ êm mộ ài liệu ổ ợ ọ si ổ ô; đặ iệ dà ữ em ọ si ó ă kiếu mô 0á ôi i ọ luậ ă đá ứ đ-ợ ầ à0 lò í kám 0á ọ em Đồ ời đâ mộ ài liệu đ đồ iệ am kả0 Luậ ă ồm a -ơ -ơ mộ ôi ì mộ số kiế n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ứ ả ổ ợ e0 mộ lôi ká s0 i sá ổ ô ằm â s mi lạ ọ si -ơ ọ âm luậ ă T0 -ơ à, ọ si đ-ợ ìm iu m-ời uê đ: uê đ 1: Qu ắ ộ qu ắ â uê đ 2: 0á ị ổ ợ uê đ 3: uê lý uồ im âu uê đ 4: số amse uê đ 5: số aala uê đ 6: số Sili uê đ 7: 0á ị ổ ợ ổ uê đ 8: uê lý a0 àm l0ại uê đ 9: ữ s á0 ộ ữ s sắ đặ - uê đ 10: Đại l-ợ ấ iế ờn n n y êă ệp u uy v hii ngngận g i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ lu T0 uê đ, ài ậ -ờ đ-ợ dẫ dắ e0 ữ ủ đ ấ đị Qua ọ si ìm ấ mì ữ kiế ứ liê qua đế ủ đ đ-ợ Đồ ời, ài đu ó lời iải i iế, ắ ọ, đầ sá ạ0 ấ lời iải í ặ ài liệu ổ ợ ó ê ị -ờ Tá iả i ọ í điu k í í s am iu iế, lò sa mê ọ si ó ă kiếu 0á -ơ a ó ội du ữ ài ậ đ ị đ-ợ ເҺäп lὺa k̟Ü l-ὶпǥ; пҺ»m ǥiόρ ເ¸ເ em ѵËп dơпǥ ữ kiế ứ u đ-ợ -ơ - đ â a0 kỹ ă iải 0á ổ ợ mì Sau mộ ời ia iê ứu luậ ă đà đ-ợ 0à Tu iê kô kỏi iu sai só Kí m0 s ó ý quý ầ ô, đồ iệ em ọ si ôi i â ảm ơ! n yờ ờnn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һ¹ƚ ǥ¹0, п-ίເ ƚiÕρ ƚҺe0 A sÏ lÊɣ ạ, đâ số đà lấ - - Tậ ậ, sau ki A lầ đầu iê, ò lại 2008 ạ0 Tiế đó, e0 iế uậ ê ì sau lầ lấ ồi đế A đi, số ạ0 ò lại đố ằ ội số D0 ậ, uối ù đế l-ợ ì ò lại Dù iệ à0 ì A -ời iế ắ n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 96 -ơ Mộ số ài ậ đ ị ài 3.1 Tậ ợ A = {1, 2, , 100} đ-ợ ia ậ ợ ká ậ ỗ đôi mộ kô ia0 au ứ mi ằ ại Ýƚ пҺÊƚ méƚ ƚËρ ເ0п sa0 ເҺ0 ƚг0пǥ ƚËρ ເ0п ìm đ-ợ ầ a, , , d mà a + = + d 0ặ ìm đ-ợ ầ e, f, sa0 e + f = - iải: Sử dụ uê lý Diile ài 3.2 1978 ậ ợ, ậ ợ ó 40 ầ iế ằ ậ ợ ấ k ó đ mộ ầ u ứ mi ằ ại í ấ mộ ầ uộ ấ ả 1978 ậ ợ đÃờnờ0 nn y p u uy v hii ngngận g i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Һ-ίпǥ ǥi¶i: Sư dụ uê lý Diile ài 3.3 ậ ợ ká ỗ ồm số uê d-ơ sa0 ầ ậ ợ ỏ ( số uê d-ơ -, 2) ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ пÕu ƚỉпǥ sè ρҺÇп ƚư ເđa Һai ậ ợ kô é ì ó ọ ậ ợ mộ ầ sa0 ổ số ằ - iải: Sử dụ uê lý DiгiເҺleƚ Ьµi 3.4 ເҺ0 A = {0, 1, , 8}, ìm số f : A A ỏa mà điu kiệ: 1, ếu i ká j (i,j uộ A) ì f(i) ká f(j) 2, ếu i + j = ƚҺ× f (i) + f (j) = - iải: Sử dụ qu ắ â ài 3.5 ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ ƚõ ƚËρ Һỵρ ǥåm 25 sè d-ơ luô ó ọ đ-ợ số mà ổ iệu kô ù i 23 số ò lại - iải: Sử dụ uê lý Diile 97 ài 3.6 ậ ợ ó k ầ ậ ợ ó m ầ ỏi ó a0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va lulu lu 98 iêu đế - iải: Sử dụ qu ắ â ài 3.7 ເҺ0 S = {1, 2, , 280} T×m sè ƚὺ пҺiªп п пҺá пҺÊƚ sa0 ເҺ0 mäi ƚËρ ợ ồm ầ S đu ứa số đôi mộ uê ố ù au - iải: Sử dụ ô ứ số â ợ ậ ợ uê lý Diile ài 3.8 ứ mi ằ i a ó ®¼пǥ ƚҺøເ: Σ 1≤i1< ЬiÕƚ г»пǥ sè d- ƚг0пǥ ρҺÐρ yê ờnn ia ầ A m pguguny v i lµ gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ ká au đôi mộ v n n th h n văvăan n t ậ luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ứ mi ằ i k Z , ƚ¹i i, j ∈ {1, 2, , п} (i, j kô ấ iế ká au) sa0 số + aj − k̟ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 m Һ-ίпǥ ǥi¶i: Sư dụ uê lý Diile ài 3.10 , ứ mi đẳ ứ: + n+1 2k Σ = n+1 k=1 k k=0 C(n, k) - iải: Qu iế đổi ổ ợ ài 3.11 () [] ó ậ iế ằ i số uê k [, ] ì | () | 1.ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ ѵίi mäi х ∈ [−п, п] ƚҺ× | () | 22 - iải: Dù đa ứ ội su Laae iế đổi ổ ợ ài 3.12 số uê : < < < đa ứ () = + a1хп−1 + + aп ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ ƚг0пǥ ເ¸ເ sè Ρ (хj), j = 0, 1, , п ! luô ại í ấ mộ số ó iá ị uệ đối kô ỏ - iải : iố ài 3.11 99 ài 3.13 Tìm ấ ả số uê d-ơ k ỏa mà điu kiệ : ПÕu F (х) ∈ Z(х) sa0 ເҺ0 ≤ F (ເ) ≤ k̟ ѵίi mäi ເ ∈ {0, 1, , k̟ + 1} ƚҺ× F (0) = F (1) = = F (k̟ + 1) Һ-ίпǥ ǥi¶i: Sư dơпǥ uê lý Diile ài 3.14 iả sử : (1. + 2.х2 + + п.хп)2 = a0 + a1х + a2пх2п ເҺøпǥ п(п + 1)(5п2 + 5п + 2) miпҺ г»пǥ aп+1 + aп+2 + + a2п = 24 - iải : iế đổi ổ ợ ài 3.15 () Z[] sa0 i ∈ П∗ ƚa ເã Ρ (х) > х D·ɣ (ьп) đị - sau: = 1, k+1 = (k), k iế ằ i d luô ại í ấ mộ số d·ɣ (ьп) ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 d ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ: Ρ (х) = х + 1, ∀х ∈ П∗ Һ-ίпǥ ǥi¶i: ả ứ dù uê lý Diile ài 3.16 п sè ρ1, ρ2, , ρп ∈ [0, 1] ເҺøпǥ mi ằ ấ -ơ ì: 1 ên n1 n ≤ 8n(1 + + + + hiệnpgnugyậunyêvă ) cã nghiÖm thuéc [0, 1] i g 2ná i−u i=0 | x − i | t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ p - iải: Sử dụ uê lý Diile n ạạ vvăănănn thth n ậ v a[п/2] an luluậnậnn nv vΣ uuậ ậ ∗ l (ເ(п, k̟ ) − ເ(п, k̟ − 1))2 ເҺøпǥ miпҺ Ьµi 3.17 ເҺ0 п ∈ , đặ S = l lu ằ S = п +1 k̟=0 ເ(2п, п) Һ-ίпǥ ǥi¶i : ЬiÕп đổi ổ ợ ài 3.18 số 1, α2, , αп ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ ƚåп ƚ¹i sè ເ ρҺơ ƚҺເ ѵµ0 α1, α2, , αп sa0 ເҺ0 ເã ô số ộ số (m1, m2, , m) Zп ເ mµ | α1m1 + + αпmп |< п−1 | m1 | + + | m n | - iải : Dù qui ắ â uê lý Diile ài 3.19 ậ ợ M = {1, 2, , 27} ѵµ A = {a1, , ak̟} {1, 2, , 14} ó í ấ sau: Mỗi ầ M mộ ầ A 0ặ ổ ầ (kô ấ iế â iệ) A Tìm iá ị ỏ ấ k - iải : Dù ổ ợ ứ mi ả ứ đ ó kế iá ị ỏ ấ k ằ 100 ài 3.20 ệ -ơ ƚг×пҺ ǥåm q = 2ρ Èп: a х + + a х = 1q q 11 ap1 x1 + + apq xq = ƚг0пǥ ®ã aij ∈ {−1, 0, 1} ເҺøпǥ mi ằ ại iệm (1, , q) ká (0, 0, , 0), хj ∈ Z ѵµ | хj |≤ q, ∀j = 1, 2, , q Һ-ίпǥ ǥi¶i : Dù qui ắ â uê lý Diile ài 3.21 ậ ợ M ồm 2002 số uê d-ơ, số ỉ ó - uê ố kô -ợ 23 ứ mi ằ ại số â iệ M ເã ƚÝເҺ lµ lὸɣ ƚҺõa ьËເ ເđa méƚ số uê - iải: uê lý Diile ờnờnn ài 3.22 ậ ợ A ồm uê y â iệ ѵµ M lµ ƚËρ ǥåm п + p y ƚè iệ gugun v gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ lu số iê â iệ sa0 số M đu kô số í -ơ ເҺØ ເã -ίເ пǥuɣªп ƚè ƚҺuéເ A ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ ເã ƚҺό ເҺäп гa ƚг0пǥ M méƚ sè ເã ƚÝເҺ mộ số í -ơ - iải: uê lý Diile Ьµi 3.23 ເҺ0 S = {1, 2, 3, , 100} ậ ậ S mà |T | = 49 i T , a đá số mộ ẫu iê, số lấ ƚõ ƚËρ S ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ ƚåп ƚ¹i ƚËρ ເ0п M S ó số ầ 50 i M , ậ M \ {} kô đ-ợ đá số ởi - iải: uê lý Diile ài 3.24 Tô màu ô ả ởi màu: đe, ắ ứ mi ằ i ô luô ại mộ ì ữ ậ ó ằm ê đ-ờ l-i sa0 ô ó ù màu - iải: uê lý Diile ài 3.25 é ả ô uô Đi à0 ô mộ số 0ặ -1 sa0 101 ổ số à ổ số ộ ằ ỏi ó a0 iêu á? n yờ ờnn pguguny v i gỏhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n lulunnn nv va lulu lu 102 Đá á: 90 ài 3.26 L-i ô uô , số uê d-ơ Mỗi l-i a ô mộ màu: a 0ặ đỏ sa0 ì uô ị ó đỉ màu đỏ đỉ màu a ỏi ó a0 iêu á? Đá á: 2+2 ài 3.27 số uê d-ơ Kí iệu Z = {0, 1, 2, , п − 1} ХÐƚ ເ¸ເ ƚËρ: Aп = {(a, ь, ເ) : a, ь, ເ ∈ Zп, a < ь < ເ, a + ь + ເ ≡ 0(m0dп)} , n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ п t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ьп = {(a, ь, ເ) : a, ь, ເ ∈ Z , a ≤ ь ≤ ເ, a + ь + ເ ≡ 0(m0dп)} a) ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ |Ьп| = |Aп| + b) Tí |A| - iải: ) Dù s0 sá ®ό ເҺøпǥ miпҺ |Aп+3| = |Ьп| Suɣ гa |Aп+3| = |A| + Từ í đ-ợ |A| ài 3.28 ƚËρ Х = {1, 2, , 2000} Һái ເã ьa0 iêu ậ T mà ổ ầ T ia ế Đá số: Số ậ ầ ìm (2402 + 22000) ài 3.29 ả ô uô 1991 1992 Kí iệu ô (m, ) ằm ia0 ứ m ộ ứ Tô màu ô ả e0 qu ắ sau: Lầ ứ ấ ô ьa « (г, s), (г + 1, s + 1), (г + 2, s + 2) ѵίi ≤ г ≤ 1989, ≤ s ≤ 1990 Tõ lÇп ƚҺø ai, lầ ô a ô -a ó màu ằm ê au ù mộ 0ặ ù mộ ộ ỏi a ó ô màu ế ấ ả ô ả đ-ợ kô? 103 Đá số: Kô ( Sử dụ ấ iế) ài 3.30 ó uô ia ó ì uô ị ởi n yờ ờnn pguguny v i gỏhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n lulunnn nv va lulu lu 104 đ-ờ ẳ s0 s0 i Kí iệu ô (i, j) ô ằm ia0 dò ứ i ộ ứ j (ứ dò ộ đ-ợ í d-i lê sa ải) T iệ uậ 0á sau: Mỗi lầ lấ a kỏi ó iê i ô (i, j) à0 mà ại ô (i + 1, j) (i, j + 1) đu kô ó i, đồ ời êm à0 ô ô mộ iê i ỏi sau mộ số lầ iệ uậ 0á a ó ậ đ-ợ mà: a) ô (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) đu kô ó i? ) ô (1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (1,3) (3,2) đu kô ó i? Đá số: a) ó b) K̟Һ«пǥ ( Sư dơпǥ ьÊƚ ьiÕп) n ê ờnn y 0ặ à0 ô ả 1993 ài 3.31 -ời luâ iê iế p ysè iệ gugun v gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ lu 1994 ọi A -ơ ứ iá ị l ấ ổ số uộ ù mộ à ổ số uộ ù mộ ộ -ời ứ ấ ắ ếu A > , -ợ lại ì -ời ứ ắ ỏi ó iế l-ợ ắ Đá số: -ời ứ ó iế l-ợ ắ ài 3.32 Tê ả - số uê d-ơ -ời ò sau: -ời ứ ấ đ-ợ é iế lê ả số sa0 0 02, -ời ứ đ-ợ é ѵiÕƚ sè п2 sa0 ເҺ0 п1 ເã d¹пǥ ρs, ƚг0пǥ số uê ố s số uê d-ơ Sau a iá ị ởi iá ị iế ụ -ời ứ ấ ắ ếu iế đ-ợ số 2001 -ời ứ ắ ếu iế đ-ợ số iả iế ằ, -ời đu ấ ô mi ỏi -ời iế ắ Đá số: ếu ∈ {2, 3, 4, 5} ƚҺ× пǥ-êi ƚҺø Һai sÏ ắ ếu {6, 7} ì 105 -ời òa -ờ ợ ò lại ì -ời ứ ấ ắ ài 3.33 T0 mộ uộ i 0a ậu, iám kả0 đ-ợ đ ị 10 í si à0 ò u kế Mộ óm í si ọi ấ ậ đ-ợ đối i iám kả0 A ếu óm ®ã ເã Ýƚ пҺÊƚ méƚ ƚҺÝ siпҺ d0 A ®ὸ пǥҺÞ ЬiÕƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 106 г»пǥ, ѵίi iám kả0 ấ kì đu ại mộ óm ồm đ í si óm ấ ậ đ-ợ đối i ả iám kả0 ứ mi ằ ại mộ óm ồm 10 í si óm ấ ậ đ-ợ đối i iê a iám kả0 - dẫ: ả ứ ài 3.34 k, số uê d-ơ mộ ả ô uô ô Đặ 3k quâ ì ữ ậ 3k é sau đâ: quâ ả a 0ặ ả dọ qua mộ ô k ó ứa quâ đ đế ô iế e0 ếu ô ò ố Sau ki làm - ậ ì l0ại ỏ quâ ừa ị ả qua.ỏi ó ki à0 ê ả ô uô đà ỉ ò lại đ mộ quâ ờ? n yờ ờnn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu - iải: Sử dụ ấ iế ài 3.35 T0 ì ò ị 2000 đim ạ0 đa iá lồi A1A2 A2000 ứ mi ằ ại đim số ạ0 am iá ó diệ í kô -ợ 31250000 - iải: -ơ ài 3.36 Tê mặ ẳ mộ số đim đỏ mộ số đim a Mộ số ặ đim đ-ợ ối i au Mộ đim đ-ợ ọi kì dị ếu ửa số đ0ạ ẳ uấ đim ó đầu m ò lại ká màu i ó T iệ uậ 0á sau: Mỗi lầ ọ a mộ đim kì dị đổi màu ó ứ mi ằ sau ữu -, ấ ả đim kì dị đu ị óa - iải: -ơ ài 3.37 em kế ọ ƚËρ ເđa méƚ lίρ Һäເ, пǥ-êi ƚa ƚҺÊɣ Һ¬п 2/3 số ọ si đạ đim iỏi mô T0á đồ ời đạ đim iỏi mô 107 ậ Lý; 2/3 số ọ si đạ đim iỏi mô ậ Lý đồ ời đạ đim iỏi mô ữ ă; 2/3 số ọ si đạ đim iỏi mô ữ ă đồ ời đạ đim iỏi mô Lị sử; 2/3 số ọ si đạ đim iỏi mô Lị sử đồ ời đạ đim iỏi mô T0á ứ mi ằ ại í ấ mộ ọ si đạ đim iỏi ả ố mô ê n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 108 Һ-ίпǥ dẫ: uê lý ù ài 3.38 - số iê lẻ l 1, i 0á ị a = (a1, a2, , a) số ! 0á ị 1, 2, , , a đặ S(a) = п Σ 2iai i=1 ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ ƚåп ại 0á ị , ká sa0 ເҺ0 п! lµ méƚ -ίເ sè ເđa S(ь) − S() - dẫ: -ơ ả ứ ài 3.39 Mộ ì ò đ-ợ ia ì quạ ằ au, ì quạ đặ mộ quâ Mỗi lầ é u mộ quâ mộ ì quạ sa mộ ì quạ ê ứ mi ằ kô dồ quâ à0 mộ ì quạ sau 2006 lầ iệ n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu - dẫ : â d ệ ứ u ồi ài 3.40 1, 2, , đim ê ù mộ đ-ờ ò , ó a0 iêu ô màu dim đà ằ màu sa0 đim k au đ-ợ ô ởi màu ká au Đá sè: a1 = ρ, a2 = ρ(ρ − 1), aп = (ρ − 1)aп−2 + (ρ − 2)aп−1 109 Tµi liệu am kả0 Tiế iệ uễ ữu Đi (2004), iải 0á ằ -ơ đại l-ợ ấ iế, iá0 dụ, ội uễ Đứ ĩa, uễ Tô Tà (2004), T0á ời ạ, Đại ọ Quố ia ội, ội uễ ă Mậu, Tầ am D, Đì òa, Đặ u uậ, Đặ ù Tắ (2008), uê đ ọ lọ ổ ợ 0á ời ạ, iá0 dụ, ội n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ô Đắ Tâ (2004), Lý uế ổ ợ đồ ị, Đại ọ Quố ia ội, Пéi TiÕпǥ AпҺ Ѵ.K̟ Ьalak̟гisҺпaп, ΡҺ.D (1995), TҺe0гɣ aпd ρг0ьlems 0f ເ0mьiпaƚ0гiເs, MເǤгaw-Һill, IПເ, Siпǥaρ0гe Tiƚu Aпdгeesເu Zumiпǥ Feпǥ (2004), A ΡaƚҺ ƚ0 ເ0mьiпaƚ0гiເƚs f0г Uпdeг- ǥгaduaƚes ( ເ0uпƚiпǥ Sƚгaƚeǥies), Ьiгk̟Һauseг Ь0sƚ0п, Uпiƚed sƚaƚes 0f Ameг- iເa 110